авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА ПРОБЛЕМНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС МОСКВА 2011 ББК Ж УДК Рецензенты: ...»

-- [ Страница 5 ] --

Особенностью СПС «ГАРАНТ» являлась ориентация на единую базу правовых документов, однако в последнее время в ее составе появились локальные базы правовых документов, ориентированные на определенные группы пользователей.

Особенностью СПС «Консультант Плюс» была ориентация на локаль ные правовые базы данных правовых документов, хотя в последнее время в ее составе появились мощные интегрированные базы правовых документов.

Особенностью СПС «ЮСИС» является ориентация на аналитическую обработку правовых документов. Эта СПС обладает наиболее мощной ба зой правовых актов и может включать в свой состав автоматизированное рабочее место делопроизводства.

Подробнее см.: 2, 3, 5.

ТЕМА 9 ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ОТ НЕСАНКЦИОНИРОВАННОГО ДОСТУПА И ВРЕДОНОСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ Основные вопросы темы 1. Защита информации и информационных технологий – важнейшая задача современной информатики.

2. Криптографические методы защиты информации.

3. Защита информации и информационных технологий от вредоносных программ.

4. Правовые аспекты защиты информации и информационных технологий.

2. План-конспект лекционного курса 1. Нельзя не согласиться с тем, что краеугольным камнем развития электронной коммерции и будущего облика окружающего нас информаци онного пространства является безопасность. Резонно задать вопрос: чья безопасность и от чего (или кого)? Очевидно, безопасность субъектов электронного взаимодействия от злонамеренных действий контрагентов и третьих по отношению к ним лиц. При этом выделим несколько характер ных типов угроз:

• доступ к конфиденциальной информации посторонних лиц;

• уничтожение информации (умышленное или по халатности);

• искажение информации в процессе передачи;

• создание вредоносных программ;

• имитация электронных документов;

• отказ от авторства электронного документа;

• отсутствие правовой защиты участников электронного документо оборота.

Всемирная паутина с момента ее зарождения опутала все экономиче ски развитые и стремящиеся к этому страны. Использование имеющейся телекоммуникационной инфраструктуры Интернета в качестве среды пе редачи юридически и финансово значимых документов не просто целесо образно, но и единственно возможно. Естественно, всегда будут существо вать замкнутые корпоративные сети, но по масштабам они не превзойдут Интернет. Необходимо заметить, что изначально сеть задумывалась от крытой, т.е. со свободным доступом к размещенной в ней информации при минимальных ограничениях. Единственной угрозой безопасности инфор мации в первоначальной концепции сети была угроза ее несанкциониро ванного уничтожения и модификации. При этом ущерб имел скорее мо ральный, нежели материальный характер.

Интеграция бизнес-процессов в среду Интернета приводит к карди нальному изменению положения с обеспечением безопасности. Порожде ние прав и ответственности на основании электронного документа требует всесторонней защиты от всей совокупности угроз и прежде всего несанк ционированного доступа как отправителя документа, так и его получателя.

Защита от несанкционированного доступа – это система мероприятий, средств и методов ограничения допуска к информационным технологиям и информационным ресурсам лиц, не обладающих правами доступа к ним.

Систему мероприятий, средств и методов ограничения допуска к ин формационным технологиям и информационным ресурсам можно пред ставить в виде трех составляющих:

• организационно-технических;

• программно-аппаратных;

• программных.

146 Информатика и математика Организационно-технические средства и методы включают:

• создание и оборудование специальных помещений с ограничен ным доступом;

• использование специального оборудования и технических средств (сейфов, сейфовых ячеек и т.п.) для хранения документов и пред метов;

• организацию и проведение охранных мероприятий;

• использование специального оборудования, ограничивающего дос туп в охраняемые помещения с применением кодового, дактило скопического, биометрического, антропологического и т.п. кон троля;

• экранирование служебных помещений как от внешнего электро магнитного излучения, так и от распространения электромагнит ных излучений за пределы помещений.

Программно-аппаратные средства и методы включают использование:

• стационарных и съемных программируемых устройств типа мик росхем. Например, микросхема, поддерживающая BIOS любой ПЭВМ, позволяет проконтролировать память компьютера на со держание вирусов и настроиться на парольный вход в компьютер;

• кодовых электронных ключей;

• специальной аппаратуры и программного обеспечения для речево го, биометрического, дактилоскопического, антропологического и т.п. контроля входа в конкретный компьютер;

• программируемых сетевых фильтров – брандмауэров;

• машинных носителей в качестве ключей доступа к конкретным программам и информационным массивам.

Программные средства и методы включают:

• создание и использование программных парольных служб;

• программное обеспечение индикации и обезвреживания компью терных вирусов;

• программы-сетевые фильтры;

• криптографические методы.

Программы-сетевые фильтры типа Fire Wall позволяют проконтроли ровать внутренний и внешний трафик как по IP-адресам, так и по отдель ным сетевым протоколам, а также по контексту сетевых сообщений и сде лать фильтрацию сетевых подключений и сообщений по заданной схеме.

2. Основу криптографических методов защиты информации состав ляют методы и способы кодирования и декодирования информации.

Любое сообщение (документ) при применении криптографических методов рассматривается как уникальная последовательность символов.

2. План-конспект лекционного курса Метод кодирования (шифрования) заключается в том, что реальная уни кальная последовательность символов заменяется на другую, ключ к рас шифровке которой известен только отправителю и получателю. Метод шифрования представляет собой формальный алгоритм преобразования исходного сообщения в результирующее. Ключ шифрования – это набор параметров, необходимых для применения метода. Существует великое множество различных методов шифрования сообщений, и, в принципе, все они известны. Уникальность применению того или иного метода придает использование ключа шифрования. Различают статические и динамиче ские ключи шифрования. Статический ключ – это ключ многократного использования с различными сообщениями. Динамический ключ – это ключ, который меняется от сообщения к сообщению. Соответственно, для такого ключа необходимо в шифрограмме сообщать информацию о том, какой ключ из набора известных ключей использовался для шифровки данного сообщения.

Существуют два вида методов шифрования: симметричный и несим метричный.

Симметричный метод заключается в том, что отправитель и получа тель используют один и тот же ключ. Современные методы симметричного шифрования обладают достаточно высокой криптостойкостью и обеспечи вают надежную аутентификацию сообщения, т.е. уникальность передачи сообщения.

Однако для использования этого метода требуется либо физическое общение партнеров с целью передачи ключа, либо наличие защищенного канала связи. С другой стороны, если один из партнеров имеет уникальные связи со многими партнерами, то при реализации симметричного метода шифрования встают сложные технические проблемы: хранение множества ключей, передача их партнерам, привязка конкретного партнера к кон кретному ключу. Перечисленные сложности делают симметричный метод практически непригодным в электронной коммерции.

Несимметричный метод шифрования заключается в том, что в ре зультате применения этого метода создаются два взаимосвязанных ключа с уникальным свойством: зашифрованное одним ключом может быть рас шифровано только другим ключом. В этом случае один из ключей может быть открытым (публичным) и предоставлен всем заинтересованным партнерам. Другой ключ остается у владельца пары ключей и является за крытым (личным). При этом шифрация и дешифрация с помощью откры тых и закрытых ключей может осуществляться в ту и другую стороны. Ис пользование закрытого ключа позволяет идентифицировать отправителя.

Использование открытого ключа позволяет аутентифицировать сообще ния, т.е. сохранять конфиденциальность.

148 Информатика и математика Появление несимметричных методов шифрования связано с необхо димостью разработки технологии электронно-цифровой подписи как сред ства идентификации отправителя.

Размер ключа измеряется в битах, и чем длиннее ключ, тем больше времени необходимо для перебора его возможных значений. Естественно, для обеспечения одинаковой криптостойкости симметричного ключа тре буется меньшее количество бит, чем несимметричного. Так, если для сим метричного ключа нужно 56 бит, то для несимметричного необходимо иметь 384 бита, чтобы обеспечить ту же криптостойкость.

Однако абсолютно надежных средств криптографической защиты не существует. Вопрос снятия любой защиты является в большей степени экономическим: соотношение времени, финансовых затрат и целесообраз ности.

С развитием интернет-технологий в различных областях человеческой деятельности и прежде всего электронной почты появилось новое негатив ное явление – Spam – незапрашиваемая рассылка. Методы борьбы с этим явлением только начинают разрабатываться, и в настоящее время в основ ном используются правовые способы воздействия (например, в США).

3. Массовое применение персональных компьютеров, к сожалению, оказалось связанным с появлением самовоспроизводящихся программ вирусов, препятствующих нормальной работе компьютера, разрушающих файловую структуру дисков и наносящих ущерб хранимой в компьютере информации. Проникнув в один компьютер, компьютерный вирус спосо бен распространиться на другие компьютеры.

Компьютерным вирусом называется специально написанная програм ма, способная самопроизвольно присоединяться к другим программам, создавать свои копии и внедрять их в файлы, системные области компью тера и вычислительные сети с целью нарушения работы программ, порчи файлов и каталогов, создания всевозможных помех.

Причины появления и распространения компьютерных вирусов, с од ной стороны, скрываются в психологии человеческой личности и ее тене вых сторонах (зависти, мести, тщеславии непризнанных творцов, невоз можности конструктивно применить свои способности), а с другой – обусловлены отсутствием аппаратных средств защиты и противодействия со стороны операционной системы персонального компьютера.

Несмотря на принятые во многих странах законы о борьбе с компью терными преступлениями и разработку специальных программных средств защиты от вирусов, количество новых программных вирусов постоянно растет. Это требует от пользователя персонального компьютера знаний о природе вирусов, способах заражения вирусами и защиты от них.

2. План-конспект лекционного курса Основными путями проникновения вирусов в компьютер являются съемные диски (гибкие и лазерные), а также компьютерные сети. Зараже ние жесткого диска вирусами может произойти при загрузке компьютера с дискеты, содержащей вирус. Такое заражение может быть и случайным, например, если дискету не вынули из дисковода А и перезагрузили ком пьютер, при этом дискета может и не быть системной. Заразить дискету гораздо проще. На нее вирус может попасть, даже если дискету просто вставили в дисковод зараженного компьютера и, например, прочитали ее оглавление.

Зараженный диск – это диск, в загрузочном секторе которого нахо дится программа-вирус.

После запуска программы, содержащей вирус, становится возможным заражение других файлов. Наиболее часто вирусом заражаются загрузоч ный сектор диска и исполняемые файлы, имеющие расширения ЕХЕ, СОМ, SYS или ВАТ. Крайне редко заражаются текстовые и графические файлы.

Зараженная программа – это программа, содержащая внедренную в нее программу-вирус.

При заражении компьютера вирусом очень важно своевременно его обнаружить. Для этого следует знать основные признаки проявления виру сов. К ним можно отнести следующие:

• прекращение работы или неправильная работа ранее успешно функционировавших программ;

• медленная работа компьютера;

• невозможность загрузки операционной системы;

• исчезновение файлов и каталогов или искажение их содержимого;

• изменение даты и времени модификации файлов;

• изменение размеров файлов;

• неожиданное значительное увеличение количества файлов на диске;

• существенное уменьшение размера свободной оперативной памяти;

• вывод на экран непредусмотренных сообщений или изображений;

• подача непредусмотренных звуковых сигналов;

• частые зависания и сбои в работе компьютера.

Следует заметить, что вышеперечисленные явления необязательно вызываются присутствием вируса, а могут быть следствием других при чин. Поэтому всегда затруднена правильная диагностика состояния ком пьютера.

В настоящее время известно более 70 тыс. программных вирусов, их можно классифицировать по следующим признакам:

• среде обитания;

• способу заражения среды обитания;

• воздействию;

• особенностям алгоритма.

150 Информатика и математика В зависимости от среды обитания вирусы можно разделить на сете вые, файловые, загрузочные и файлово-загрузочные. Сетевые вирусы рас пространяются по различным компьютерным сетям. Файловые вирусы внедряются главным образом в исполняемые модули, т.е. в файлы, имею щие расширения СОМ и ЕХЕ. Файловые вирусы могут внедряться и в дру гие типы файлов, но, как правило, записанные в таких файлах, они никогда не получают управление и, следовательно, теряют способность к размно жению. Загрузочные вирусы внедряются в загрузочный сектор диска (Boot сектор) или в сектор, содержащий программу загрузки системного диска (Master Boot Record). Файлово-загрузочные вирусы заражают как файлы, так и загрузочные сектора дисков.

По способу заражения вирусы делятся на резидентные и нерезидент ные. Резидентный вирус при заражении (инфицировании) компьютера ос тавляет в оперативной памяти свою резидентную часть, которая потом пе рехватывает обращение операционной системы к объектам заражения (файлам, загрузочным секторам дисков и т.п.) и внедряется в них. Рези дентные вирусы находятся в памяти и являются активными вплоть до вы ключения или перезагрузки компьютера. Нерезидентные вирусы не зара жают память компьютера и являются активными ограниченное время.

По степени воздействия вирусы можно разделить на следующие виды:

• неопасные, не мешающие работе компьютера, но уменьшающие объем свободной оперативной памяти и памяти на дисках, дейст вия таких вирусов проявляются в каких-либо графических или звуковых эффектах;

• опасные вирусы, которые могут привести к различным нарушени ям в работе компьютера;

• очень опасные, воздействие которых может привести к потере про грамм, уничтожению данных, стиранию информации в системных областях диска.

По особенностям алгоритма вирусы трудно классифицировать из-за большого разнообразия. Простейшие вирусы – паразитические, они изме няют содержимое файлов и секторов диска и могут быть достаточно легко обнаружены и уничтожены. Можно отметить вирусы-репликаторы, назы ваемые червями, которые распространяются по компьютерным сетям, вы числяют адреса сетевых компьютеров и записывают по этим адресам свои копии. Известны вирусы-невидимки, называемые стелс-вирусами, которые очень трудно обнаружить и обезвредить, так как они перехватывают обра щения операционной системы к пораженным файлам и секторам дисков и подставляют вместо своего незараженные участки диска. Наиболее трудно обнаружить вирусы-мутанты, содержащие алгоритмы шифровки расшифровки, благодаря которым копии одного и того же вируса не имеют ни одной повторяющейся цепочки байтов. Имеются и так называемые ква 2. План-конспект лекционного курса зивирусные или «троянские» программы, которые хотя и не способны к самораспространению, но очень опасны, так как, маскируясь под полезную программу, разрушают загрузочный сектор и файловую систему дисков.

Для обнаружения, удаления и защиты от компьютерных вирусов раз работано несколько видов специальных программ, которые позволяют об наруживать и уничтожать вирусы. Такие программы называются антиви русными.

Различают следующие виды антивирусных программ:

• программы-детекторы;

• программы-доктора или фаги;

• программы-ревизоры;

• программы-фильтры;

• программы-вакцины или иммунизаторы.

Программа-полифаг «Doctor Web» (Dr.Web) предназначена прежде всего для борьбы с полиморфными вирусами. Она может эффективно бо роться со сложными вирусами-мутантами. Программа «Dr.Web» способна обнаруживать изменения в собственном программном коде, эффективно определять файлы, зараженные новыми, неизвестными вирусами, прони кая в зашифрованные и упакованные файлы, а также преодолевая «вак цинное прикрытие». Это достигается благодаря наличию достаточно мощ ного эвристического анализатора. В режиме эвристического анализа программа «Dr.Web» исследует файлы и системные области дисков, пыта ясь обнаружить новые или неизвестные ей вирусы по характерным для ви русов кодовым последовательностям. Если таковые будут найдены, то вы водится предупреждение о том, что объект, возможно, инфицирован неизвестным вирусом.

Работать с программой «Dr. Web» можно в двух режимах:

• полноэкранного интерфейса с использованием меню и диалоговых окон;

• управления через командную строку.

Общие технические характеристики Antiviral Toolkit Pro (AVP):

• поиск и удаление всех типов вирусов и вредоносных программ в файлах, загрузочных секторах и оперативной памяти:

а) полиморфных вирусов;

б) вирусов-невидимок;

в) макровирусов (инфицирующие документы MS Word, Excel, Access и PowerPoint);

г) HTML-вирусов;

д) Windows, UNIX, OS/2 и Java-вирусов;

е) троянских коней, интернет-червей;

• надежный контроль над всеми возможными источниками проник новения вирусов;

152 Информатика и математика • передовые способы защиты против вирусов: резидентный пере хватчик, сканер, фильтр электронной почты;

• проверка на вирусы локальных почтовых ящиков наиболее распро страненных почтовых систем;

• обнаружение и удаление вирусов из файлов упакованных PKLITE, LZEXE, DIET, COM2EXE и другими утилитами сжатия;

• проверка архивированных файлов всех наиболее распространен ных форматов (ZIP, ARJ, LHA, RAR и др.);

• эвристический анализатор второго поколения для поиска неиз вестных вирусов;

• централизованная инсталляция и управление антивирусным ком плексом;

• ежедневные обновления антивирусных баз из Интернета в мас штабе реального времени;

• режим избыточного сканирования;

• поддержка журнала работы программы;

• удобный пользовательский интерфейс, созданный по уникальной технологии Tree Chart.

Norton AntiVirus автоматически защищает от вирусов, злонамеренных программ ActiveX, апплетов Java при взаимодействии с Интернетом или при использовании информации с флоппи-дисков, CD или из сети, автома тически проверяет входящие приложения в самых распространенных про граммах электронной почты.

Основные функции программы Norton AntiVirus:

• графическое оповещение. Легкое проведение обновления. Скани рование по заданию;

• повышенная безопасность. Сканирование электронной почты (MS Outlook, MS Outlook Express, Eudora Pro, Eudora Lite, Netscape Messenger, Netscape Mail). Обнаружение и лечение сжатых файлов.

Автоматическое оповещение о вирусной угрозе;

• мощные функции обнаружения и лечения. Карантин. Функция Scan and Deliver. Поддержка микрообновлений. Обнаружение зло намеренных программ. Обнаружение и лечение вирусов сжатых файлов (MIME/UU, LHA/LZH, ARJ, CAB, PKLite, LZEXE, ZIP).

Всеобъемлющая автоматическая защита включает программы:

Bloodhound, LiveUpdate, AutoProtect, Мастер лечения.

Программа Bloodhound обеспечивает самую надежную на сегодня за щиту против новых и неизвестных вирусов, используя революционную, эвристическую технологию. Беспрепятственно пропускает незараженные файлы, но задерживает файлы с вирусами еще до того, как они могут войти в систему и нанести ей вред.

2. План-конспект лекционного курса Программа AutoProtect следит за системой в резидентном режиме, ис пользуя сканирование в реальном времени в сеансах DOS и Windows.

Программа LiveUpdate проверяет наличие обновлений к базам данных по вирусам при загрузке системы (с центрального сервера) и автоматиче ски скачивает и устанавливает на систему последние версии.

4. В теме 1 были приведены основные нормативные акты, составляю щие правовую базу защиты информации и информационных технологий.

Важным дополнением к указанным документам может служить появление в 1996 г. поправок в Уголовный кодекс РФ (УК РФ), в которых определе ны меры ответственности и наказания за незаконные деяния в области ис пользования информации и информационных технологий. В УК РФ были внесены три новые статьи:

• «Неправомерный доступ к компьютерной информации» (ст. 272);

• «Создание, использование и распространение вредоносных про грамм для ЭВМ» (ст. 273);

• «Нарушение правил эксплуатации ЭВМ, системы ЭВМ или их се ти» (ст. 274).

Подробнее см.: 5–6.

Изучение основ математики позволяет специалистам, занимающимся юридической деятельностью, расширить свои профессиональное воз можности, а будущим юристам – сформировать качественное профес сиональное мышление.

ТЕМА 10 АКСИОМАТИЧЕСКИЕ НАЧАЛА МАТЕМАТИКИ Основные вопросы темы 1. Основные понятия теории множеств.

2. Операции над множествами.

3. Соответствие, отображение и функция.

4. Элементарные функции. Графики.

Теория множеств предлагает юристу математический аппарат, кото рый позволяет описать реальные элементы, участвующие в юридическом событии, в виде множеств. Алгебра множеств позволяет осуществлять формальный анализ юридических событий. Юридический принцип отне сения элементов юридической проблемной ситуации к тому или иному множеству может быть проиллюстрирован нормами законодательства (на пример, в процессуальном законодательстве – множество обвиняемых, по дозреваемых и т.д.).

При описании юридической проблемной ситуации требуется осуще ствлять проверку корректности выполнения операций над множествами.

154 Информатика и математика Например, важнейший для юриста аспект связан с соотношением мно жеств (выделить метод наказания из предусмотренных статьями дейст вующих кодексов, соответствующий установленной судом модели реаль ной ситуации). При этом, поскольку отображения в юридической практике многократны, последовательно исследуются отношения между множест вами.

Функциональный анализ обеспечивает юриста возможностью выде лить независимые переменные и функции, зависимые от конкретных зна чений. Так, например, нормативные документы можно рассматривать как отображение в существенной мере тех или иных функций.

1. Множество – это набор, совокупность каких-либо вполне разли чаемых объектов, называемых элементами множества, обладающих об щими для всех них и только их свойствами и рассматриваемых как единое целое.

Каждое множество состоит из того или иного набора объектов, кото рые называются элементами множества.

Факт, что элемент а принадлежит множеству Х будем обозначать: аХ.

Порядок элементов в множестве несуществен. Множества {а, в, с} и {а, с, в} одинаковы.

Множество может задаваться:

1. Путем перечисления его элементов. Обычно перечислением задают конечные множества.

2. Путем описания свойств, общих для всех элементов этого множе ства, и только этого множества.

Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Если мы задаем множество ка ким-либо свойством, потом может оказаться, что этим свойством обладает всего лишь один объект или вообще такого объекта нет. Данный факт мо жет быть совсем не очевиден.

Если характеристическим свойством, задающим множество А не об ладает ни один объект, то говорят, что множество А пустое. Обозначается это так:. Множества бывают конечными или бесконечными. Если число элементов множества конечно, множество называется конечным. Пустое множество считается конечным множеством.

Количество элементов, составляющих множество, называется мощно стью множества.

Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимооднозначное соответствие с элементами множества положительных целых чисел, то говорят, что множество счетно.

2. План-конспект лекционного курса Например:

• множество действительных чисел, множество частных решений дифференциального уравнения – бесконечные множества;

• множество чисел, делящихся без остатка на 3, – счетное множество;

• множество букв русского алфавита, множество отличников вашей группы – конечно.

Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. любой элемент множества Х является элементом множе ства Y, и любой элемент множества Y является элементом множества Х.

Множество Х является подмножеством Y, если любой элемент мно жества Х принадлежит множеству Y. Этот случай носит название «нестро гое включение».

Некоторые свойства подмножества:

1. Х Х – рефлективность.

2. X Y & Y Z X Z – транзитивность.

3. X, т.е. пустое множество является подмножеством любого множества.

Например:

Пусть Х – множество студентов некоторой группы;

Е – множество от личников этой же группы.

E X, так как группа может состоять только из отличников.

Когда хотят подчеркнуть, что в множестве У есть обязательно элемен ты, отличные от элементов множества Х, то пишут Х У. Это называется строгим включением.

Например:

Пусть Х – множество всех студентов МИЭП;

Е – множество студентов юридического факультета.

E X, так как во множестве всех студентов МИЭП обязательно есть элементы E.

Универсальное множество – это такое множество, которое состоит из всех элементов, а также подмножеств множества объектов исследуемой области, т.е.

1. Если М I, то М I.

2. Если М I, то (М) I, где под (М) – понимаются все возможные подмножества М, или Булеан М.

Универсальное множество обычно обозначается I.

Универсальное множество может выбираться самостоятельно, в зави симости от рассматриваемого множества и решаемых задач.

156 Информатика и математика 2. Операции над множествами:

1. Пересечение множеств: пересечением множеств Х и У называ ется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, кото рые принадлежат и множеству Х, и множеству У.

Например: Х={1,2,3,4}, У={2,4,6}, пересечение – {2,4} (см. рис. 1), Рис. 1. Пересечение множеств Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т.е. их пересечение равно пустому множеству.

Например: непересекающимися множествами являются множества отличников группы и неуспевающих.

Данную операцию можно распространить и на большее, чем два, чис ло множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежа щих одновременно всем множествам.

Свойства пересечения:

1. XY = YX – свойство коммутативности.

2. (XY) Z =X (YZ)=XYZ – свойство ассоциативности.

3. X =.

4. XI = Х.

2. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У.

Например: Х={1,2,3,4}, У={2,4,6}, объединение – {1,2,3,4,6} (см.

рис. 2).

Рис. 2. Объединение множеств Данную операцию можно распространить и на большее, чем два, чис ло множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежа щих хотя бы одному из этих множеств.

Свойства объединения:

1. XUY= YUY – свойство коммутативности.

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ – свойство ассоциативности.

3. XU = X.

4. XUI = I.

Из свойств операций пересечения и объединения видно, что пустое множество аналогично нулю в алгебре чисел.

2. План-конспект лекционного курса 3. Разность множеств. Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения, определена только для двух множеств.

Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежат У.

Например: Х={1,2,3,4}, У={2,4,6}, разность – {1,3} (см. рис. 3).

Рис. 3. Разность множеств Роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Определим множество, которое будет играть роль единицы в алгебре множеств.

4. Дополнением множества Х называется разность I и Х (см. рис. 4).

Рис. 4. Дополнение множества Свойства дополнения:

1. Множество Х и его дополнение не имеют общих элементов:

X I X =.

2. Любой элемент I принадлежит или множеству Х, или его дополнению.

X UX =I.

Из формулы 2 вытекает еще одно важное свойство:

X =X.

Законы и тождества алгебры множеств:

X Y = Y X – коммутативность пересечения.

(X Y) Z =X (Y Z) =X YZ – ассоциативность пересечения.

X U Y = Y U Y – коммутативность объединения.

(X U Y) U Z =X U (Y U Z =X U Y U Z – ассоциативность объединения.

X U = X.

X =.

X I = Х.

XUI = I.

Транзитивность ( X UY ) I Z = ( X I Z ) U (Y I Z ).

158 Информатика и математика 5. Декартовым произведением двух непустых множеств Х и У называется множество ХхУ, состоящее из всех упорядоченных пар:

ХУ = {(x,y) / x X;

y Y).

Если одно из множеств пустое, то и ХхУ пустое.

Например: X = {1, 2}, Y = {1, 2, 4}, тогда:

XY = {(1,1);

(1,2);

(1,4);

(2,1);

(2,2);

(2,4)};

YX = {(1,1);

(1,2);

(2,1);

(2,2);

(4,1);

(4,2)}.

Обратим внимание, что речь идет об упорядоченных парах, в отличие от множеств (1,2)(2,1).

Примером декартова произведения является система координат – пара чисел, обозначающая широту и долготу. Частный случай декартова произ ведения множества самого на себя называется степенью множества. Так, привычная система координат на плоскости есть не что иное, как декарто во произведение множества вещественных чисел само на себя или квадрат множества вещественных чисел:

RR=R2, и любая точка на плоскости задается (х, у).

Из приведенного примера видно, что ХУУХ.

3. Рассмотрим два множества А и В. Элементы этих множеств могут каким-либо образом сопоставляться один с другим, образуя пары (а, b).

Если задан способ такого сопоставления, то говорят, что между множест вами установлено соответствие. При этом совершенно необязательно, что бы в сопоставлении участвовали все элементы множеств А и В.

Соответствием между множествами А и В называется любое под множество R= АхВ – декартова произведения множеств.

Например: Рассмотрим два множества:

А = {Гагарин, Дунаевский, Носов, Рахманинов} В = {1900,1901,….2000} – годы XX в.

Установим соответствие между множествами: человек – год рожде ния.

Г = {(Гагарин, 1934);

(Дунаевский, 1900);

(Носов,1908)} (Рахманинов, 1873), естественно, не вошел в множество.

Множество DR, таково, что DR, = {a A : b B (a,b) R}, оно называется областью определения соответствия R.

Множество BR, такое, что BR, = { b B: (a,b) R}, и называется областью значений соответствия R или образом, т.е. соответствие можно задать ООС, ОЗС и законом, определяющим соответствие.

Если каждому элементу множества Х ставится в соответствие один или более элемент множества У, то говорят, что задано отображение Х на У.

2. План-конспект лекционного курса Функцией называется однозначное отображение Х на У, т.е. такое ото бражение f, что если (х1,y1) f и (х2,y2) f, то из х1 = х2 следует y1 = y2.

При этом множества Х и У могут совпадать.

Если область определения отображения и область значения отображе ния совпадают, то отображение называется отношением.

Типы отношений:

1) отношение эквивалентности.

Некоторые элементы множества можно рассматривать как эквива лентные, если любой из этих элементов при некотором рассмотрении можно заменить другим.

Т.е. отношение эквивалентности удовлетворяет следующим условиям:

каждый элемент эквивалентен сам себе, неважен порядок, в котором рас сматриваются эквивалентные элементы, и если два элемента эквивалентны третьему, то они эквивалентны между собой;

2) отношение строгого порядка.

Часто приходится сталкиваться с отношениями, определяющими не который порядок расположения элементов множества.

Примеры отношения строгого порядка: «быть больше», «быть мень ше» – на множестве действительных чисел;

«быть предком» – на множестве людей;

3) отношение нестрогого порядка.

Примеры отношения строгого порядка:

отношение на множестве действительных чисел;

отношение на множестве подмножеств данного множества.

4. Переменная величина y называется функцией переменной величи ны x, если каждому значению x соответствует определенное значение y.

Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоско сти, координаты которых – (x,f(x)).

К простейшим элементарным функциям относятся:

y = kx + b – линейная, график – прямая;

k y = – обратная пропорциональность, график – гипербола;

x y = x n – степенная;

y=n x;

y = ax 2 + bx + c – квадратичная, график – парабола;

y = x3, график – кубическая парабола;

y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x – тригонометрические;

y = log a x – логарифмическая, график – логарифмика;

y = a x – показательная.

160 Информатика и математика Однако современный уровень развития математики требует от сту дентов умения строить графики более сложных функций, таких как:

3 2x y = x 2 3x + 2 ;

y = ( x + 3) 2 и т.д.

y= 1 x ;

Графики некоторых из перечисленных функций можно построить, проведя исследование по заданной формуле, но этот процесс довольно трудоемкий и требует знаний дифференциального исчисления.

Основные методы построения графиков функций:

1) линейные преобразования графиков функций;

2) арифметические операции с графиками;

3) преобразования симметрии.

Во многих случаях графики элементарных функций можно построить по графику заданной его части или по графику другой функции с помощью линейных преобразований: параллельного переноса, растяжения (сжатия), преобразования симметрии.

С помощью параллельного переноса вдоль оси Ох (см. рис. 5) или оси Оу (см. рис. 6) по заданному графику функции y = f ( x ) можно построить графики функций y = f ( x m ) и y = f ( x ) + n. В этом случае любая точка A ( x ;

y ) графика переходит в точку A` ( x+m ;

f(x)+n ).

Рис. 5. Сдвиг вдоль оси ОХ. Рис. 6. Сдвиг вдоль оси OY С помощью растяжения или сжатия по оси Ох или оси Оу можно по строить график функции y = af ( x ) (см. рис. 7) или y = f (kx ) (см. рис. 8).

Для построения графика функции y = af (kx m ) + n последовательно при меняют вышеуказанные преобразования.

Если функция y = f ( x ) – периодическая с периодом Т, то достаточно построить часть ее графика для 0 x T, и тогда весь график получается переносом построенной части вдоль оси абсцисс на отрезки kT, k N (см.

рис. 9).

2. План-конспект лекционного курса получается из графика функции y = f ( x ) График функции y = f (x ) заменой каждой ординаты y величиной, ей обратной, (см. рис. 10).

y График функции y = f ( x ) + g ( x ) получается из графиков функций y1 = f ( x ) и y 2 = g ( x ) заменой каждой ординаты y1 величиной y1+y2, анало гично y = f ( x ) g ( x ).

Рис. 7. Растяжение по оси Oy Рис. 8. Растяжение по оси Ox Рис. 10. Построение функции y = Рис. 9. Периодичная функция f (x ) 162 Информатика и математика Построение графика функции y = f ( x ) g ( x ) производится сложени f (x ) ем графиков функций y = f ( x ) и y = g ( x ), графика функции y = – g (x ) умножением графиков функций y = f ( x ) и y =.

g (x ) Для построения графика функции y = f ( x ) необходимо построить график функции y = f ( x ) и отразить его относительно оси ординат. Полу ченный график является графиком функции y = f ( x ) (см. рис. 11).

Для построения графика функции y = f ( x ) необходимо построить график функции y = f ( x ) и отразить его относительно оси абсцисс (см.

рис. 12).

Рис. 11. Отражение относительно Oy. Рис. 12. Отражение относительно Ox.

Построение графиков четных и нечетных функций изучается в школьном курсе. Напомним, что для построения графиков этих функций следует строить ветвь графика только в области неотрицательных значе ний аргумента x 0. График функции y = f ( x ) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ор динат для графика четной функции и получается отражением ее относи тельно оси ординат. Для нечетной функции необходимо дополнить по строенную ветвь симметричной ей относительно начала координат.

Для построения графика функции y = f ( x ), обратной функции y = g ( x ), следует построить график функции y = g ( x ) и отразить его отно сительно прямой y = x (см. рис. 13).

Для построения графика функции y = f ( x ) следует учесть, что функ ция является четной, поэтому строим график функции y = f ( x ) при x 0 и отражаем полученный график относительно оси ординат.

2. План-конспект лекционного курса Рис. 13. Построение обратной функции Для построения графика функции y = f ( x ) нужно сначала построить график функции y = f ( x ), а затем ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отразить относительно оси абсцисс. Полученная в верхней полуплоскости линия и будет графиком функции y = f ( x ).

Для построения графика сложной функции y = g ( f ( x )) надо постро ить график функции y = f ( x ), а затем по точкам строить график сложной функции, проводя операцию взятия функции от функции.

Подробнее см.: 1.

ТЕМА 11 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Основные вопросы темы 1. Понятие предела функции.

2. Понятие производной.

3. Понятие интеграла.

Знание юристом интегрального исчисления позволяет анализировать накопленные параметры юридических событий, оценивать потенциальный и нанесенный ущерб и другие юридические категории. Дифференциальное исчисление позволяет описывать изменяющиеся во времени взаимосвязан ные события.

1. – окрестностью точки а называется открытый интервал (а–, а+) ( – эпсилон буква греческого алфавита), или |х – а|.

Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.

Число b называется пределом функции f(х) при х, стремящемся к а, ес ли для любого сколь угодно малого, наперед заданного 0 существует та кое 0, что для всех х таких, что |х-а| выполняется неравенство |f(x) – b|.

164 Информатика и математика В компактном виде это определение можно записать так:

lim x a f(x) = b.

(lim – сокращение от limit – предел).

При отыскании предела не учитываем значение функции в самой точ ке а, оно может быть любым.

Предел может существовать, при этом значение функции в точке а совпадает с предельным f(a) = b или не совпадает. Предел у функции в точке а может и не существовать.

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim x a f(x) = f(a).

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они оп ределены.

Основные теоремы о пределах функций 1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов:

lim x a (f(x) + (x)) = lim x a f(x) + lim x a (x).

2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов:

lim x a [f(x)(x)] = lim x a f(x) lim x a (x).

3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции:

lim x a Сf(x) = С lim x a f(x).

Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела.

4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремится к нулю.) lim x a f(x) / (x) = lim x a f(x) / lim x a (x), lim x a (х)0.

Если знаменательстремится к нулю, а числитель нет, то говорят, что отношение стремится к бесконечности.

Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству веще ственных чисел R в качестве нового элемента. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.

Раз мы добавили новый элемент к множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом.

Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда:

а + = ;

– + а = -;

(–а) = –, а › 0;

– а = ;

= ;

– – а = – ;

А = ;

а 0 + = ;

а/ = 0, /а = ;

– – = –.

2. План-конспект лекционного курса Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи носят название «неопределенности».

Выделяют неопределенности двух типов:

• арифметические неопределенности – (0/0);

(/);

( – );

(0);

• степенно-показательные неопределенности – (1);

(0);

00.

Эти записи не являются операциями над числами и, они представ ляют собой только деловые обозначения.

В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечно му числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.

Пример 1. Найти lim x 2 [(х2 – 4) / (x2+x – 2)].

Решение:

1. Подставим точку х=–2 в функцию, получим 2 lim x 2 [(х – 4) / (x + x – 2)] = (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).

2. Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда lim x [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] lim x 2 [(х – 2) (x+2)] / [(x–1) (x + 2)] = (–2 – 2)/(–2–1)= = –4/–3= 4/3.

Пример 2. lim x [(х2 – 4) / (x2+x – 2)].

Решение:

2 lim x [(х – 4) / (x +x – 2)] = (/). Чтобы раскрыть эту неопределен ность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя х в старшей сте пени, т.е. х2, получим:

2 2 2 2 2 lim x [(х – 4) / (x +x – 2)] = lim x [(х (1 – 4/х ) / (x (1+1/x – 2/x )] = = 1/1=1, так как lim x 4/х2 = 4 / = 0.

lim x 1/х = 1/=0 и lim x 2/х = 2/=0.

Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.

Первый замечательный предел lim x 0 sinx/х = 1, он раскрывает неоп ределенность (0/0).

Второй замечательный предел lim x 0 (1+1/х)х =, где =2, 7 … иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основа ние логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: logx = lnx и назы вается натуральным логарифмом.

Пример. 3. Найти lim x 0 (sin3x)/х = (0/0).

Решение: lim x 0 (3sin3x) / (3х) = 3 lim x 0 (sin3x) / (3х) = 31 = 3.

166 Информатика и математика 2. Пусть функция у= f(х) определена в точке х0 и некоторой ее окрест ности, придадим точке х0 приращение х и получим точку х0+х, значение функции в этой точке – f(х0+х). Разность значений f (х0+х) – f(х0) назы вается приращением функции, обозначается приращение функции f или у, т.е. f=f(х0+х) – f(х0).

Производная функция у = f(х) в точке х0 определяется как предел от ношения приращения функции у к приращению аргумента х, при стрем лении х к нулю. f `(x0) = lim x х (f/x). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремится к нулю (приращение функ ции f0).

Производная имеет смысл скорости изменения какого-либо показате ля. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f(x)dx, где f(x) – производная функция f(x), а dx – число, равное приращению не зависимой переменной (аргумента) х.

Для вычисления производной выведены правила нахождения произ водной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имею щая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она назы вается дифференцируемой в интервале.

Правила дифференцирования функций Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x).

2. (U(x)V(x))` = U`(x)V`(x) + V`(x)U`(x).

3. (CU(x))` = CU`(x), C – const.

4. (U(x) / V(x))` = [U`(x)V(x) – V`(x)U(x)]/ V2(x).

Таблица производных:

1. C` = 0, C – const.

2. x` = 1.

(x)` = x – 1, Є R.

3.

(ax)` = ax lnа, a0, a1.

4.

5. (ln x)` = 1/x.

6. (sin x)` = cos x.

7. (cos x)` = – sin x.

(tg x)` = 1/(cos x)2.

8.

(ctg x)` = – 1/(sin x)2.

9.

10. (arcsin x)` = 1/ 1 x 2.

11. (arccos x)` = – 1/ 1 x 2.

12. (arctg x)` = 1/(1 + x2).

13. (arcctg x)` = – 1/(1 + x2).

2. План-конспект лекционного курса Правила для нахождения дифференциала можно написать самим, ум ножив соответствующее правило взятия производной на dx.

Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.

Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x2, если х = 1, х = 0,1.

Решение: f(х) = х2, f(х+х) = (х+х)2.

Найдем приращение функции:

f = f(x+x) – f(x) = (x+x)2 – x2 = x2+2xx+x2 – x2 = 2xx + x2.

Подставив значения х=1 и х= 0,1, получим:

f = 210,1 + (0,1)2 = 0,2+0,01 = 0,21.

Пример 2. Найти производную функции f(x) = x2, в произвольной точ ке х по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.

Решение: (х2)` = limx 0 f / х.

Из первого примера f = 2xx+x2, подставив, получим:

(x2)`= limx 0 f / х= limx 0 (2x x+x2)/x= limx 0 [x (2х + х)]/ x=2x.

Пример 3. Найти производную от функции у=3х4 – 2х2 + 1.

Решение: у` = 34х3 – 22х + 0 = 12х3 – 4х.

Пример 4. Найти производную от функции у = x2х.

Решение: у` = (x2)`х + x2(х)` = 2x х + x2 х ln.

y` = 2xx + x2x.

ln = log = 1.

Пример 5. У = х/(х2+1). Найти у`.

Решение:

у` = [1(х2+1) – х2х] / (х2+1)2 = [х2+1 – 2х2] / (x2 +1)2 = (1–x2) / (x2+1)2.

Производные от сложных функций Формула для нахождения производной от сложной функции такова:

[f ((х))]` = f`((x)) `(x).

Например: у = (1-х2)3;

у`= 3(1 –х2)2 (–2х) или у = sin2х;

у` = 2sinx cosx.

Пример 6. Найти dy, если у = sin 3х.

Решение: dy = у`dx = (sin3x)` dx = (cos3x) 3dx = 3 cos3x dx.

Пример 7. Найти dy, если у = 2х^2.

Решение: dy = y`dx = (2x^2)` dx = 2x^2 ln22xdx.

3. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интер вале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие F ` (x)=f(x).

Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х2 для любых х Є (–, ).

Действительно, F`(x) = 2x = f(x).

F1(x) = x2 + 2 также является первообразной для f(x) = 2x, F2(x) = x2 – первообразная той же функции f(x) = 2x.

168 Информатика и математика Теорема. Если F1(x) и F2(x) первообразные для функции f(x) на неко тором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:

F2(x) = F1(x) + C.

Или можно сказать так: две первообразные для одной и той же функ ции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где – знак интеграла;

f(x) – подынтегральная функция;

f(x)dx – подынтегральное выражение. Таким образом:

f(x)dx = F(x) + C, где F(x) – некоторая первообразная для f(x);

С – произвольная посто янная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции на зывается интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтеграль ной функции:

f(x)dx)` = f(x).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтеграль ному выражению:

d( f(x)dx) = f(x)dx.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого:

d(F(x)) = F(x) + C.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

kf ( x)dx = k f ( x)dx, где k – число.

5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

(f(x) +(x))dx = f(x)dx + (x)dx.

Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу неопределенных интегралов, которая приводится ниже:

1. х dx = [x+1 / ( +1)] +C, –1, Є R.

2. dx/x = lnx+C.

3. ax = (ax/ln a)+C, exdx = ex+C.

4. sinx dx = –cosx + C.

5. cosx dx = sinx + C.

6. dx/(cosx)2 = tgx + C.

2. План-конспект лекционного курса 7. dx/(sinx)2 = –ctgx + C.


8. dx / а 2 х 2 = (arcsin x/a) + C.

9. dx / а 2 х 2 = (–arccos x/a) + C.

dx / (a2 +x2 )= 1/a arctg x/a + C.

10.

dx / (a2 +x2 )= – 1/a arcctg x/a + C.

11.

dx /( a2 –x2 )= 1/2a ln (x+a)/(x–a) + C.

12.

13. dx / а 2 + х 2 = ln x+ а 2 + х 2 + C.

Пример 1. Вычислить (2х2 -3 x -1)dx.

Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегра лов и первой табличной формулой:

2 2 1/2 2 3/ (2х –3 x –1)dx = 2 х dx – 3 х dx – dx=2(x /2) – 3[(х 2)/3] – x + C = x2 – 2 x 3 – x +C.

2х –1/2dx – ln х – 4cosx + C = Пример 2. (2/ x –1/х + 4sinx)dx = = 2[(x1/2 2)/1] – ln x – 4 cosx +C = 4 x –-lnx– 4cosx + C.

Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки (метод замены переменной), метод интегрирования по частям.

Определенный интеграл, формула Ньютона–Лейбница Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим хi = xi – xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сi найдем значение функции f(Ci), составим произведения f(C1)x1, f(C2)x2, …, f(Ci)xi, …, f(Cn)xn, рассмотрим сумму этих произведений:

n f(C1)x1 + f(C2)x2 + … + f(Ci)xi + … + f(Cn)xn = f(Ci)xi.

i = Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п частей, так и от выбора точек С1, С2, …, Сп на каждом элементарном отрезке разбиения.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в].

Пусть п=3, тогда а = х0, х1, х2, х3=в.

С1,С2,С3 – точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.

S1 = f1(C1) x1 – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, х1 = х1–х0;

170 Информатика и математика S2 = f2(C2) x2 – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения, х2 = х2–х1;

S3 = f3(C3) x3 – площадь прямоугольника, построенного на третьем отрезке разбиения, х3 = х3–х2;

S = S1 + S2 +S3 = f1 (C1)x1 + f2 (C2)x2 + f3 (C3)x3 = f(Ci)xi.

i = Геометрический смысл интегральной суммы – это площадь ступенча той фигуры, составленной из прямоугольников.

Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max хi, где i=1,2,…, п.

Пусть предел интегральной суммы f(Ci)xi при стремлении max хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется оп ределенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в] и обозначается b b n f ( x)dx, т.е fn x)dx = lim f(Сi)xi при max xi 0.

( a a i = Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

Некоторые свойства определенного интеграла 1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения пе ременной интегрирования, т.е.:

b b b f ( z)dz f ( x)dx = f (t )dt = и т.д.

a a a b f ( x)dx 2. есть число.

a b a f ( x)dx, аb.

3. f ( x)dx = – a b 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

b b mf ( x)dx f ( x)dx, =m a a где m – const.

5. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:

b b b ( f ( x) + ( x))dx = f ( x)dx + ( x)dx.

a a a 6. Если отрезок интегрирования разбит на части (a c b), то инте грал на всем отрезке равен сумме интегралов на каждой из частей:

b c b f ( x)dx f ( x) + c f ( x)dx.

= a a 2. План-конспект лекционного курса Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, кото рые подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на [а;

b]:

b f ( x)dx = F(b) – F(a), a где F(x) – некоторая первообразная для функции f(x).

Например: x 2 dx – вычислить.

Находим первообразную для функции х2, она равна x3/3 + С, произ вольную постоянную С приравняем к нулю. Подставим в первообразную х3/3 вначале значение верхнего предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.

x dx = 1/3 – 0/3 = 1/3.

Подробнее см.: 1.

ТЕМА 12 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КОМБИНАТОРИКА Основные вопросы темы 1. Метод математической индукции.

2. Размещения, перестановки, сочетания.

Математика строит модели целых классов. При построении модели идут в ход понятия, аксиомы, процессы идеализации, обобщения и абст ракции, а также интуиция. Доказательство цементирует элементы воедино.

1. Метод математической индукции является одним из наиболее универсальных методов математических доказательств. Суть его заключа ется в следующем. Допустим, мы хотим доказать, что некоторое утвер ждение справедливо при любых значениях натурального числа п, содер жащегося в формулировке этого утверждения. Например, что для любого натурального п справедливо следующее равенство:

n( n + 1). (1) 1 + 2 + 3 +... + n = Легко проверить, что эта формула дает правильный результат при n = 1, 2, 3, 4. Но невозможно ее проверить для всех значений п, так как множе ство натуральных чисел бесконечно! Как же доказать, что утверждение верно для любых п, не проверяя этого непосредственно? Оказывается, что достаточно:

а) проверить данное утверждение при п = 1;

б) предположив, что оно верно при п = k, доказать, что оно верно при n = k + 1. В этом и заключается метод математической индукции.

172 Информатика и математика 1(1 + 1) В рассматриваемом примере формула (1) при n = 1 дает 1 =, т.е.

что сумма из одного слагаемого 1 равна единице. Таким образом, при п = формула верна. Теперь предположим, что она верна при n = k, тогда спра ведливо равенство:

k (k + 1).

1 + 2 + 3 +... + k = Докажем, что формула (1) верна при п = k + 1, т.е.:

(k + 1)(k + 2).

1 + 2 + 3 +... + k + (k + 1) = Действительно, используя допущение, получаем k (k + 1) (k + 1)(k + 2), 1 + 2 + 3 +... + k + (k + 1) = + (k + 1) = 2 что и требовалось доказать.

Правила произведения и суммы Правило сложения. Пусть из пункта А в пункт В можно добраться са молетом, поездом и автобусом, причем между этими пунктами существу ют 2 авиамаршрута, 1 – железнодорожный и 3 – автобусных. Следователь но, общее число маршрутов между пунктами А и В равно 2 + 1 + 3 = 6.

Обобщая этот пример, можно сформулировать правило сложения. Если выбор каждого из объектов a, (i = 1,2,…, k) можно выполнить ni, способа ми, то выбор «или а1 или а2,… или аk» можно произвести n=ni способами.

Правило умножения. Сколькими различными способами можно рас пределить четыре шара по двум лункам, в которые помещается ровно один шар. Очевидно, первую лунку можно заполнить четырьмя способами, так как при выборе первой лунки имеется четыре шара. Вторую лунку можно заполнить тремя шарами, так как после заполнения первой лунки осталось три шара. Заметим, что с каждым из четырех способов заполнения первой лунки может совпасть любой из трех способов заполнения второй. Поэто му общее число способов распределения двух лунок равно 4x3 = 12.

Запишем теперь правило умножения в общем виде. Если выбор каж дого из k объектов ai(i= 1,2,…, k) можно осуществить ni способами, то вы бор «и а1 и а2,…, и ак» можно произвести n=n1n2 …nk способами.

2. Исследуя множества, относящиеся к юридическим проблемным си туациям, юристу исключительно важно знать свойства пространства вари антов, определяющих ситуацию, т.е. с помощью методов комбинаторики оценивать число размещений, сочетаний и перестановок.

Пусть имеется множество, состоящее из n различных элементов. Пе рестановками называются различные всех элементов исходного множест ва, отличающиеся один от другого порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов равно:

Pn = n!

2. План-конспект лекционного курса Пример 1. Сколькими способами можно составить расписание вызова подозреваемых на один день из четырех человек: Э(Эдуард), М(Максим), И(Игорь), Ф(Федор) ?

Решение. Исходное множество состоит из четырех различных элемен тов: Э, М, И, Ф, n = 4. Различного вида составленное расписание – комби нация из всех четырех имен, например – ЭМИФ, ЭФИМ,…, отличаются комбинации одна от другой только порядком следования элементов. Сле довательно, их число – число перестановок из 4: Р4=4!=1234=24.

Сочетаниями из n элементов исходного множества по m элементов, называются комбинации, содержащие m элементов исходного множества, отличающиеся одна от другой составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m элементов равно:

n!

.

Сn = m m!(n m)!

Пример 2. Сколькими способами можно отправить трех оперативни ков на выезд из группы, состоящей из семи человек: Афанасьев (А), Бори сова (Б), Воронов (В), Демина (Д), Исаев (И), Котова (К), Синицын (С)?

Решение. Исходное множество состоит из семи различных элементов: А, Б, В, Д, И, К, С. Группа на выезд – комбинация, состоящая из трех элементов исходного множества, например – АБД, ВДК, …, отличаются комбинации одна от другой составляющими их элементами. Следовательно, их число – 1 2 3 4 5 6 7! 7!

число сочетаний из 7 по 3: С73 = = 35.

= = 3!(7 3)! 3!4! 1 2 3 1 2 3 Размещениями из n элементов исходного множества по m элементов называются комбинации, содержащие m элементов исходного множества, отличающиеся одна от другой порядком следования элементов и их соста вом. Число размещений из n элементов по m элементов равно:

n!

.

An = m (n m)!

Пример 2. Сколькими способами можно составить трехзначное число из нечетных цифр, если все цифры разные?

Решение. Исходное множество состоит из пяти различных элементов:

1, 3, 5, 7, 9. Трехзначные числа из этих цифр – комбинации, состоящие из трех элементов исходного множества, например – 135, 153, 137,…, отли чаются комбинации одна от другой и порядком следования элементов, и составом. Следовательно, их число – число размещений из 5 по 3:


5! 5!

А5 = = = 3 4 5 = 60.

(5 3)! 2!

Указанные комбинации называются выборками без повторения, так как составляются из различных элементов. Встречаются выборки с повто рениями.

174 Информатика и математика Число размещений с повторениями из n элементов по m элементов равно nm.

Пример 3. Сколько возможных исходов при выбрасывании трех монет?

Решение. Исходное множество (результат выпадения одной монеты) состоит из двух различных элементов: О (орел) и Р (решка), n = 2. Так как выбрасываются три монеты, то выборочные комбинации содержат три элемента и число повторений одного элемента в выборке может быть до трех раз, m = 3. Число различных исходов при бросании трех монет равно 23 = 8 :

= {OOO, OOP, OPO, OPP, POO, POP, PPO, PPP}.

Если объект А может быть выбран m A способами, объект B – mB спо собами, то пара ( A, B) может быть выбрана m A mB способами.

Пример 4. В группе 10 юношей и 8 девушек. Для участия в КВН необ ходимо выбрать трех юношей и двух девушек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Трех из десяти юношей можно выбрать C10 способами. Двух из восьми девушек можно выбрать C 82 способами. Следовательно, команду 10! 8!

КВН можно создать C10 C82 = = 3360 способами.

3!7! 2!6!

Подробнее см.: 1.

ТЕМА 13 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ Основные вопросы темы 1. События и операции над ними.

2. Определение вероятности, операции с вероятностями.

3. Случайные величины и закон распределения вероятности.

4. Числовые характеристики случайной величины.

1. Методы теории вероятностей и математической статистики позво ляют конструировать данные и производить описание моделей юридиче ских ситуаций. Например, в процессе следствия юридическая проблемная ситуация может быть представлена в виде группы случайных событий, где выделяется событие с максимальной вероятностью и предпринимаются дополнительные следственные действия для принятия или отказа от вы двинутой гипотезы (модели). Формула Байеса позволяет уточнить вероят ности гипотез по результатам следственного эксперимента.

Под опытом в теории вероятностей понимается набор определенных условий, который можно воспроизвести сколь угодно много раз. Любой факт, который наступает в результате опыта, называется событием. Собы тия обозначаются буквами латинского алфавита A, B, C, D, E, F,… 2. План-конспект лекционного курса Пространством элементарных событий называется непустое множе ство = {}, элементами которого служат все возможные взаимоисклю чающие один другой неразложимые исходы опыта, которые называются элементарными событиями и обозначаются. Любое случайное событие А, связанное с опытом, является подмножеством, А. Событие назы вается:

• случайным, если оно может наступить или не наступить в резуль тате данного опыта;

• невозможным, если в результате данного опыта оно произойти не может, А = ;

• достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта, А =.

Суммой двух событий A и B называется событие C, заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий A и B, и обозначается C=A+B.

Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в совместном появлении (одновременно или последовательно одно за другим) событий A и B, и обозначается C=AB.

Пример. Опыт – бросание игральной кости. События:

A = «выпадение 6 очков»;

B= «выпадение 3 очков»;

C= «выпадение четного числа очков»;

D= «выпадение числа очков не меньше 1»;

E= «выпадение 8 очков».

A, B, C – случайные события;

D – достоверное;

E – невозможное события.

Поскольку в теории вероятностей рассматриваются только случайные события, то слово «случайное» опускают и говорят просто «событие».

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например, появление того или иного числа очков при брошенной игральной кости яв ляется равновозможным.

Каждое событие, которое может наступить в испытании, называется элементарным исходом (в предыдущем примере A, B – элементарные собы тия;

C, D – составные события, состоящие из нескольких элементарных).

2. Вероятностью события A (обозначается P(A)) называется количе ственная характеристика возможности наступления этого события. В каче стве единицы измерения вероятности естественно принять вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события – нулевой (например, в предыдущем примере P(E)=0, P(D)=1). Для произвольного случайного события P( A) [0;

1] и вычисляется обычно по формуле непо средственного подсчета вероятности:

176 Информатика и математика m, P ( A) = n где n – общее число равновозможных элементарных исходов опыта;

m – число элементарных равновозможных исходов опыта, благоприятных наступлению события A.

Пример. Монету бросают два раза. Определить вероятность событий:

A = «ровно два раза выпал орел», B = «хотя бы раз выпал орел», C = «ни разу не выпал орел».

Решение: Рассмотрим множество всех возможных исходов опыта = {OO, OP, PO, PP}. Значит, общее число возможных исходов n=4. Опреде лим события, благоприятные наступлению A, B, C:

A = {OO}, B = {OO, OP, PO}, C = {PP}.

Тогда по формуле непосредственного подсчета вероятности:

1 3, P( B) =, P(C ) =.

P( A) = 4 4 События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Теорема 1 (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несо вместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.:

P( A + B) = P( A) + P( B), если A и B – несовместные события.

Теорема 2 (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух произ вольных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е.:

P( A + B) = P( A) + P( B) P( AB).

Говорят, что события А1, А2,..., Аn образуют полную группу, если они не совместны, а их сумма – достоверное событие, т.е. P( A1 + A2 +... + An ) = 1.

Противоположными называются два события, образующие полную груп пу. Вероятность противоположного события (обозначается А ) находится по формуле: P( A ) = 1 P( A).

Условная вероятность. Полная вероятность. Формула Байеса Событие A называется независимым от события B,если вероятность события A не зависит от того, произошло или не произошло событие B.

Вероятность события A, вычисленная при условии, что произошло событие B, причем P( B) 0, называется условной вероятностью события A, обозна чается P( A / B), находится в изменившихся условиях опыта и равна P( AB).

P( A / B) = P( B) Теорема 3 (произведения вероятностей). Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е.:

P( AB ) = P( A) P( B ), если A и B – независимые события.

2. План-конспект лекционного курса Теорема 4 (произведения вероятностей). Вероятность произведения произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло, т.е.:

P( AB) = P( A) P( B / A) или P( AB) = P( B) P( A / B).

Используя теоремы 3, 4, можно рассмотреть другие определения независимости событий, которые являются эквивалентными: событие А называется независимым от события B, если:

1) P( A) = P( A / B) ;

2) P( AB) = P( B) P( A / B) ;

3) P( A / B ) = P( A / B ).

Событие A называется зависимым от события B, если P( A) P( A / B).

Пример. В урне находятся пять белых и семь черных шаров. Произ вольным образом извлекаются два шара. Определить вероятность того, что 1) оба шара – белые, 2) хотя бы один шар – белый.

Решение. Обозначим событие A= «оба шара – белые», разобьем его на элементарные события:

B= «первый вынимаемый шар – белый», C= «второй вынимаемый шар – белый». Событие A наступит только в том случае, если произойдут одно за другим события B и C, значит, оно является их произведением:

А = В С и P( A) = P( B C ). События C и B являются зависимыми, поэтому применима теорема 4: P( B C ) = P( B) P(C / B).

До извлечения первого шара в урне находится всего 12 шаров, среди которых пять белых, поэтому P( B ) =, после наступления события B ус ловия изменятся, в урне будет находиться 11 шаров, среди которых четыре белых, поэтому P(C / B) =. Следовательно, вероятность того, что в ре зультате опыта будут извлечены из урны два белых шара, равна 54.

P ( A) = P ( B ) P (C / B) = = 12 11 Обозначим событие D= «хотя бы один шар – белый» и разобьем его на более мелкие, несовместные события: A= «оба вынимаемых шара – бе лые», F= «первый вынимаемый шар – белый, а второй – черный», G= «первый вынимаемый шар – черный, а второй – белый». Тогда:

D = A + F + G, P( D) = P( A + F + G ) = P( A) + P( F ) + P(G ) по теореме 1. Ис пользуем обозначения для событий B и C, тогда В = «первый вынимаемый шар – черный», С = «второй вынимаемый шар – черный». Очевидно, что события F и G представимы в виде F = B C, G = B C. При этом 57, P ( F ) = P ( B C ) = P ( B ) P (C / B ) = = 12 11 178 Информатика и математика 75. Следовательно, вероятность то P (G ) = P ( B C ) = P ( B ) P ( C / B ) = = 12 11 го, что в результате опыта будет извлечен хотя бы один белый шар, равна 5 35 35.

P ( D ) = P ( A) + P ( F ) + P (G ) = + + = 33 132 132 Теорема 5 (формула полной вероятности). Если событие A может произойти вместе с одним из событий H 1, H 2,..., H n – образующих полную группу событий, называемых гипотезами, то вероятность события A вы n числяется по формуле полной вероятности P( A) = P( H i ) P( A / H i ).

i = Пример. Продукция трех фабрик ювелирных изделий поступает на продажу в магазин. Вероятность брака на первой фабрике равна 0,2, на второй и третьей фабриках – 0,1. Какова вероятность покупки одного не бракованного изделия в магазине, если 30% всей продукции в магазине изготовлено на первой фабрике, 50% – на второй, 20% – на третьей?

Решение. Обозначим событие А = «купленное изделие не имеет бра ка». Рассмотрим гипотезы: H 1 = «купленное изделие изготовлено на пер вой фабрике», H 2 = «купленное изделие изготовлено на второй фабрике», H 3 = «купленное изделие изготовлено на третьей фабрике».

Гипотезы H 1, H 2, H 3 являются несовместными событиями, а их сумма – достоверное событие, следовательно, они образуют полную группу собы 30% тий, их вероятности равны P( H 1 ) = = 0,3;

P ( H 2 ) = 0,5;

P ( H 3 ) = 0,2.

100% Проверка: P( H 1 ) + P( H 2 ) + P( H 3 ) = 1.

После наступления каждого из событий H 1, H 2, H 3 определяем вероят ность наступления события А, т.е. P( A / H i ). Событие «изделие не имеет брака, если оно изготовлено на первой фабрике» является противополож ным событию «изделие первой фабрики с браком», вероятность которого известна по условию задачи и равна 0,2, значит, P( A / H 1 ) = 1 0,2 = 0,8. Ана логично P( A / H 2 ) = 1 0,1 = 0,9;

P( A / H 3 ) = 0,9. Тогда по теореме 5 вероятность покупки в магазине одного небракованного изделия равна P ( A) = 0,3 0,8 + 0,5 0,9 + 0,2 0,9 = 0,87.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности яв ляется так называемая теорема гипотез или формула Байеса.

Теорема 6 (формула Байеса). Пусть имеется полная группа несовмест ных событий H 1, H 2,..., H n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно P ( H 1 ), P ( H 2 ),..., P( H n ). Произведен опыт, в результате которого наблюдалось появление некоторого события А. Тогда условная вероятность гипотезы H i при условии, что А наступило, находится по формуле:

2. План-конспект лекционного курса P( H i ) P( A / H i ), P( H i / A) = P( A) где P( A) – полная вероятность события A.

Пример. Из 18 стрелков пятеро попадают в мишень в 80% случаев, семеро – промахиваются в 30% случаев, четверо попадают с вероятностью 0,6, двое – промахиваются с вероятностью 0,5. Произвольно взятый стре лок промахнулся. К какой из четырех групп он принадлежит вероятнее всего?

Решение. Рассматриваемый опыт – выстрел произвольно взятого стрелка. Гипотезы:

H 1 – стрелок взят из первой группы;

H 2 – стрелок взят из второй группы;

H 3 – стрелок взят из третьей группы;

H 4 – стрелок взят из четвер той группы. Тогда вероятность принадлежности произвольного стрелка какой-либо группе равна:

5 7 4 P( H 1 ) = = 0,278;

P ( H 2 ) = = 0,389;

P ( H 3 ) = = 0,222;

P ( H 4 ) = = 0,111.

18 18 18 Проверка правильности выдвижения гипотез: P(H1 ) + P(H 2 ) + P(H 3 ) + P(H 4 ) = 1.

Обозначим событие A – промах стрелка. Тогда, по условию, вероят ность попадания произвольного спортсмена, принадлежащего конкретной группе стрелков, равна:

100% 80% 30% P( A / H 1 ) = = 0,2;

P ( A / H 2 ) = = 0,3;

100% 100% P ( A / H 3 ) = 1 0,6 = 0,4;

P ( A / H 4 ) = 0,5.

По формуле полной вероятности:

P ( A) = 0,278 0,2 + 0,389 0,3 + 0,222 0,4 + 0,111 0,5 = 0,3166.

А вероятность того, что произвольно взятый стрелок промахнулся, для каждой группы спортсменов равна по формуле Байеса:

0,278 0,2 0,389 0, P( H 1 / A) = = 0,176;

P( H 2 / A) = = 0,369;

0, 0, 0,222 0,4 0,111 0, P( H 3 / A) = = 0,280;

P( H 4 / A) = = 0,175.

0, 0, Судя по (наибольшей) величине полученной вероятности, промах нувшийся стрелок принадлежит второй группе спортсменов.

3. Величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, называется случайной величиной. Случайные величины обычно обозначают X, Y, Z,U,... Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется величина, множество значений которой конечно или счетно. Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между возможными зна 180 Информатика и математика чениями случайной величины хi и вероятностями pi = P ( X = xi ), с которы ми она принимает эти значения. Закон распределения дискретной случай ной величины может быть представлен в виде ряда распределения:

x1 x2 xn X … p p1 p2 pn … При этом выполняется равенство:

n p = 1.

i i = Функцией распределения случайной величины X называется:

F ( x) = P ( X x).

Если дискретные значения случайной величины расположены в по рядке возрастания х1, х 2,..., х n, то F(x) можно задать в виде:

если x x1, 0, если x1 x x 2, p1, F ( x) = p1 + p 2, если x 2 x x3, (2)......................................

p1 + p 2 +... + p n 1, если x n 1 x x n, если x x n.

1, Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

• функция F(x) определена на всей числовой оси, кусочно-постоянна (ступенчатая) и имеет конечное число точек разрыва первого рода;

• функция F(x) является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. при x1 x2 F ( x1 ) F ( x 2 ) ;

• lim F ( x) = 0, lim F ( x) = 1.

x x Математическим ожиданием случайной величины X называют ее среднее значение и обозначают M ( X ). Для дискретной случайной величи ны математическое ожидание находится по формуле:

n M ( X ) = xi pi.

i = M ( X ) характеризует центр распределения случайной величины. К ха рактеристикам рассеяния отдельных значений случайной величины отно сительно центра относятся дисперсия и среднее квадратическое отклоне ние.

2. План-конспект лекционного курса Модой случайной величины X называется наиболее вероятное ее зна чение.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожи дание квадрата отклонения случайной величины X от своего математиче ского ожидания, т.е.:

D( X ) = M ( X M ( X ) ).

Для дискретной случайной величины наиболее удобная формула вы числения следующая:

n D ( X ) = xi2 p i (M ( X ) ).

i = Средним квадратическим отклонением случайной величины X назы вается величина:

( X ) = D( X ).

Пример. Дискретная случайная величина X задана в виде таблицы значений:

–3 –1 7 Х 0,2 0,3 0, p Найти значение вероятности p4 и записать закон распределения слу чайной величины. Составить функцию распределения случайной величины X, построить ее график, найти основные числовые характеристики. Вы числить вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем 3.

Решение. В таблице значений случайной величины отсутствует веро ятность принятия случайной величиной X значения 12. Найдем неизвест ную вероятность p 4 = P( X = 12), используя свойство вероятности (1):

p =1 p1 + p 2 + p3 + p 4 = 1 i i = p 4 = 1 ( p1 + p 2 + p3 ) = 1 (0,2 + 0,3 + 0,4) = 1 0,9 = 0,1.

Теперь можно составить закон распределения случайной величины X в виде ряда распределения:

–3 –1 7 X 0,2 0,3 0,4 0, P По формуле (2) составим функцию распределения X :

если х 3;

0, 0,2, если 3 x 1;

F ( x) = 0,5, если 1 x 7;

0,9, если 7 x 12;

1, если x 12.

182 Информатика и математика К основным числовым характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода. Найдем эти числовые характеристики:

M ( X ) = xi pi = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + x4 p4 = i = = (3) 0,2 + (1) 0,3 + 7 0,4 + 12 0,1 = 0,6 0,3 + 2,8 + 1,2 = 3,1.

Mo( X ) = 7, так как именно для этого значения случайной величины наибольшая вероятность.

D( X ) = xi2 pi (M ( X ) ) = (0,3) 2 0,2 + (1) 2 0,3 + 7 2 0,4 + 12 2 0,1 (3,1) 2 = i= = 0,018 + 0,3 + 19,6 + 14,4 9,61 = 24,708, ( X ) = D( X ) = 24,708 = 4,971.

Определим вероятность того, что случайная величина X примет зна чение меньше, чем 3, т.е. P( X 3). Так как случайная величина X дискрет на, принимает только значения {-3;

1;

7;

12}, а среди них только {–3;

1} меньше, чем 3, то P( X 3) = P( X = 3 или X = 1) = P( X = 3) + P( X = 1) = 0,2 + 0,3 = 0,5.

Случайная величина называется непрерывной, если существует неот рицательная функция f (x) такая, что при любых х функцию распределе ния случайной величины Х можно представить в виде:

x f (t )dt, F ( x) = P( X x) = x, t R.

Свойства функции распределения F (x) непрерывной случайной вели чины (н.с.в.):

• функция определена, непрерывна и кусочно F (x) дифференцируема на всей числовой прямой;

• функция F (x) является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. при x1 x2 выполняется F ( x1 ) F ( x2 ) ;

• значения функции принадлежат отрезку [0,1] 0 F ( x) 1 и lim F ( x) = 1.

lim F ( x) = 0, x x + Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х на зывается первая производная функции распределения:

f ( x) = F ( x).

Свойства плотности распределения:

• плотность распределения неотрицательна, т.е. f ( x) 0 ;

2. План-конспект лекционного курса • несобственный интеграл от плотности распределения по всей чи + f ( x)dx = словой прямой равен единице:

(геометрически это свойство означает, что площадь бесконечной фигуры, ограниченной плотностью распределения и осью ОХ, конечна и равна единице).

Непрерывная случайная величина считается заданной, если задана ее функция распределения или плотность распределения вероятностей. При этом функция распределения F (x) называется интегральным законом рас пределения, а плотность распределения f (x) – дифференциальным законом распределения.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения из ин тервала (, ), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), осью ОХ, прямыми х =, х =, и находится по формуле P( X ) = F ( ) F ( ) или P( X ) = f ( x)dx.

Так как вероятность принять конкретное значение для непрерывной слу чайной величины равна нулю – P( X = x0 ) = 0, то интервал для возможных зна чений непрерывной случайной величины Х может быть и замкнутым, т.е.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.