авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||

«ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА ПРОБЛЕМНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС МОСКВА 2011 ББК Ж УДК Рецензенты: ...»

-- [ Страница 6 ] --

P( X ) = P( X ) = P( X ) = P( X ).

4. Средним значением или математическим ожиданием непрерыв ной случайной величины Х называется значение интеграла:

+ xf ( x)dx.

M ( x) = Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется значение интеграла:

+ + ( x M ( X )) f ( x)dx = x f ( x)dx (M ( X )).

D ( X ) = M ( X M ( X )) 2 = 2 2 Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной вели чины Х называется величина:

( Х ) = D( X ).

Модой непрерывной случайной величины М 0 ( Х ) называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.

Медианой непрерывной случайной величины Me( X ) называется такое ее значение, при котором выполняется равенство P( X Me) = P( X Me) = 12.

184 Информатика и математика Пример. Непрерывная случайная величина Х задана функцией рас пределения:

если х 1, 0, F ( x) = ( х 2 + х 2), если 1 х 4, 1, если х 4.

Необходимо найти плотность распределения f (x), математическое ожидание М ( Х ) и дисперсию D( X ) непрерывной случайной величины, оп ределить вероятности попадания в интервалы:

P(2 X 12), P( X 3), P( X 0).

Решение. Плотность распределения равна производной функции рас пределения, т.е.:

если х 1, 0, f ( x) = F ( x) = (2 x + 1), если 1 x 4, 0, если х 4.

Математическое ожидание и дисперсию вычислим, разбивая интервал интегрирования в соответствии с интервалами задания плотности распре деления:

+ + 1 M ( X ) = x f ( x)dx = x 0dx + x (2 x + 1)dx + x 0dx = 0 + 1 1 x3 x 1 64 16 1 2 1 + (2 x + x)dx + 0 = 2 + = 2 + + =.

18 1 18 3 2 1 18 3 2 18 3 2 + + 1 x f ( x)dx (M ( X )) = x 0dx + x (2 x + 1)dx + x 2 0dx D( X ) = 2 2 1 121 1 x 4 x 3 11 = 0 + (2 x 3 + x 2 )dx + 0 = 2 + = 16 18 3 1 4 18 1 1 256 64 1 2 1 121 33 121 =.

= 2 + + = 18 4 3 18 4 3 16 4 16 11 Тогда среднее квадратическое отклонение ( X ) = D( X ) =.

= 16 Определим вероятности попадания случайной величины Х в интервал, до страивая при необходимости интервал до стандартного вида с двумя границами:

1 ( 2 2 + 2 2) = 1 =, P (2 X 12) = P (2 X 12) = F (12) F (2) = 18 1 10 =, P ( X 3) = P ( X 3) = F (3) F () = (32 + 3 2) 0 = 18 18 2. План-конспект лекционного курса P ( X 0) = P (0 X +) = P (0 X +) = F (+) F (0) = 1 (2 0 2 + 2 =.

+ 0 2) = 1 + 18 Некоторые виды распределения дискретных случайных величин.

Распределения Бернулли, Пуассона и геометрическое распределение 1. Биномиальное распределение (распределение Бернулли).

Рассмотрим схему, состоящую из n независимых повторных испыта ний Бернулли. Некоторое событие A появляется в каждом отдельном опы те с вероятностью p и не появляется с вероятностью q = 1 p. Случайная величина X – число появлений события A в серии опытов. Тогда X рас пределена по биномиальному закону и подчиняется формуле Бернулли:

P( X = k ) = C n p k q n k.

k Для биномиального закона M ( X ) = np, D( X ) = npq, ( X ) = npq.

Пример. Игральная кость брошена два раза. Составить закон распре деления числа выпадений цифры 5. Показать, что M ( X ) = np. Найти P( X 0,5).

Решение. Рассмотрим серию из двух одинаковых независимых опытов:

выбрасывание игральной кости. При каждом броске событие A – появление цифры 5 – встречается с вероятностью. Обозначим случайную величину X – число выпадений цифры 5 в серии опытов. Тогда случайная величина X распределена по биномиальному закону, ее возможные значения – 0,1,2.

5 P ( X = 0) = p1 = C 2 p 0 q 2 = =, 6 2! 1 5 P ( X = 1) = p 2 = C 2 p 1 q 1 = =, 1!1! 6 6 1 P ( X = 2) = p 3 = C p q = =.

2 2 6 Получим закон распределения случайной величины X :

0 1 X 25 10 P 36 36 Найдем числовые характеристики случайной величины X :

25 10 1 12 M ( X ) = xi pi = 0 + 1 + 2 = =.

36 36 36 36 i = С другой стороны, np = 2 =, что и подтверждает формулу M ( X ) = np.

10 1 Определим вероятность P(X 0,5) = P(X =1 или X = 2) = P(X =1) + P(X = 2) = + =.

36 36 186 Информатика и математика 2. Распределение Пуассона.

Если в схеме повторных испытаний Бернулли n велико ( n ), а p мал ( p 0 ) (обычно np 10 ), то имеет место асимптотическая формула e a a m Пуассона Pn (m), где a = np – параметр распределения Пуассона.

m!

Иногда в задачах сообщается заранее, что дискретная случайная вели чина X распределена по закону Пуассона. Это означает, что дискретная случайная величина принимает только целые значения 0, 1, 2,… и подчи няется закону Пуассона:

a k a e. (3) P( X = k ) = k!

Для дискретной случайной величины подчиняющейся закону Пуассо на, M ( X ) = a, D( X ) = a, ( X ) = a.

Пример. Завод изготавливает 5000 доброкачественных изделий и от правляет их потребителю. Вероятность порчи изделий в пути 0,002. Найти дисперсию числа испорченных изделий у потребителя. Какова вероятность того, что испорченных изделий будет меньше трех?

Решение. Обозначим X – число испорченных изделий, полученных от завода-изготовителя в партии из 5000 изделий ( n = 5000 ). Тогда случайная величина X дискретна и (теоретически) может принять любое целое зна чение от 0, 1, 2,… до 5000.

Проверка на качество каждого изделия приводит нас к схеме Бернул ли. Для каждого отдельного изделия вероятность быть испорченным в пу ти p = 0,002 и остаться качественным q = 1 p = 0,998. В силу того, что n ве лико, а p мало, получаем, что случайная величина X подчиняется закону Пуассона (3) с параметром a = np = 5000 0,002 = 10, тогда ее закон распреде 10 k ления имеет вид P( X = k ) = e, а ряд распределения имеет вид:

k!

X k 0 1 2 … … P … … 10 10 10 k e 10e 50e 10 10 e e k! 5000!

Дисперсия числа испорченных изделий D( X ) = a = 10, и количество ис порченных изделий вероятнее всего принадлежит интервалу (0;

20).

Вероятность того, что испорченных изделий будет больше двух, нахо дим с помощью противоположного события по формуле:

P ( X 3) = P( X = 0 или X = 1 или X = 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) = = e 10 + 10e 10 + 50e 10 = 61e 10 = 61 0,00004 = 0,00244.

3. Геометрическое распределение.

Рассмотрим неограниченные испытания Бернулли. Обозначим X – порядковый номер испытания, в котором событие А впервые наступило.

Вероятность наступления и ненаступления события А в каждом отдельном 2. План-конспект лекционного курса опыте равна соответственно p и q. Тогда закон распределения дискретной случайной величины называется геометрическим распределением и имеет вид:

(k = 1,2,3,...).

P ( X = k ) = q k 1 p Числовые характеристики геометрического распределения:

q 1 q (X ) =.

M (X ) =, D( X ) = 2, p p p Пример. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероят ность попадания при одном выстреле равна 0,7. Построить ряд распреде ления для числа выстрелов. Найти основные числовые характеристики.

Определить вероятность того, что прозвучит не менее трех выстрелов.

Решение. Рассмотрим серию выстрелов (их число теоретически неог раниченно), при каждом отдельном выстреле событие А – поражение ми шени происходит с вероятностью p = 0,7 и не происходит с вероятностью q = 1 p = 0,3. Обозначим X –число прозвучавших выстрелов. Очевидно, что X принимает значения 1, 2 и т.д., случайная величина X распределена по геометрическому закону: P( X = k ) = q k 1 p = (0,3) k 1 0,7 ( k = 1,2,3,...).

Тогда P ( X = 1) = (0,3) 0 0,7 = 0,7, P ( X = 2) = (0,3)1 0,7 = 0,21, P ( X = k ) = (0,3) k 1 0,7,..., P ( X = 3) = (0,3) 2 0,7 = 0,063,...

а ряд распределения имеет вид:

… … 2 3k X 0,7 0,21 0, … … (0,3) k 1 0, P Основные числовые характеристики будут равны 0,3 3 0,3 30 30 (X ) = M (X ) = =, D( X ) = = =,.

0,7 7 49 49 (0,7) Вероятность того, что прозвучит не менее трех выстрелов:

P( X 3) = 1 P( X 3) = 1 ( P( X = 1) + P( X = 2)) = 1 (0,7 + 0,21) = 0,09.

Нормальное распределение непрерывной случайной величины (распределение Гаусса) Распределение непрерывной случайной величины X называется нор ( х а ) 1 мальным, если плотность вероятности имеет вид: f ( x) = е 2, а, где – параметры нормального распределения, а = М ( Х ), = ( Х ) = D( X ).

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (или кривой Гаусса).

Свойства кривой f (x) :

• функция определена и положительна на всей числовой прямой;

188 Информатика и математика • ось ОХ является асимптотой графика и lim f ( x) = 0 ;

x ± • функция возрастает при x a, убывает при x a, точка x = a яв ляется точкой максимума функции;

• график функции симметричен относительно прямой x = a ;

• точки x = a ± являются точками перегиба функции.

Функция распределения для нормального закона имеет вид:

(t a ) x 1 e dt.

F ( x) = 2 2 Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (;

), находится по формуле:

a a P ( X ) =, t х 1 e где значения функции Лапласа ( x) = dt.

2 Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной нормально распределенной величины X от своего математического ожи дания M ( X ) = a меньше положительного числа, равна:

P ( X a ) = 2, и, в частности, при a = 0 справедливо равенство:

P ( X ) = 2.

Числовые характеристики нормального распределения: математиче ское ожидание M ( X ) = a, дисперсия D( X ) = 2, среднее квадратическое отклонение ( X ) =, мода Mo = a, медиана Me = a.

Для нормального распределения выполняется «Правило трех сигм»:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная ве личина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е.:

P( X a 3 ) 1 или P( X a 3 ) 0.

Пример. Аппарат штампует корпус для настенных часов. Контролиру ется случайная величина X – диаметр корпуса, которая распределена нор мально с математическим ожиданием (проектный диаметр), равным 50 см, и средним квадратическим отклонением 2 см. Записать функцию плотно сти вероятности распределения, построить ее график и определить вероят ность того, что случайная величина X примет значение из интервала (47;

54).

Решение. Итак, для нормально распределенной случайной величины X – диаметр корпуса часов, M ( X ) = a = 50, ( X ) = = 2, тогда плотность 2. План-конспект лекционного курса нормального распределения с параметрами a = 50, = 2 примет вид:

( x 50 ) 1.

f ( x) = e 2 Вероятность попадания случайной величины X в интервал (47;

54) :

54 50 47 = (2) (1,5).

P (47 X 54) = 2 По таблице значений функции Лапласа находим (2) = 0,4772, (1,5) = 0,4332, учитывая, что функция Лапласа является не четной, т.е. (1,5) = (1,5) = 0,4332, получаем P(47 X 54) = 0,4772 (0,4332) = 0,9104.

Подробнее см.: 1.

ТЕМА 14 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные вопросы темы 1. Генеральная совокупность.

2. Выборочное исследование.

3. Статистические гипотезы.

1. В юридической практике важную роль играет математическая ста тистика, умение правильно обрабатывать информацию, сделать достовер ный вывод или прогноз на основании имеющегося статистического мате риала. Ценность специалиста юриспруденции существенно возрастет, если он умеет делать это.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной со вокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объек тов в рассматриваемой совокупности.

Виды выборки: повторная – каждый отобранный объект перед выбо ром следующего возвращается в генеральную совокупность;

бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Замечание. Для того чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о поведении интересующего нас признака генеральной со вокупности, нужно, чтобы выборка правильно представляла пропорции ге неральной совокупности, т.е. была репрезентативной (представительной).

Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие вы полняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объ екта вероятность попасть в выборку одинакова.

Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке k n значение х1 п1 раз, х2 – п2 раз, …, хk – пk раз, причем = n, где п – объем k i = 190 Информатика и математика выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х1, х2,…, хk называют вариантами, а п1, п2,…, пk – частотами. Если разделить каждую ni частоту на объем выборки, то получим относительные частоты wi =.

n Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом:

x1 x2 … xi xk n1 n2 … ni nk w1 w2 … wi wk Пример. При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1. Составим вариационный ряд: 0,1,2,3,4,5.

Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:

2 3 0 1 xi 5 3 3 6 ni 0,25 0,15 0, 0,15 0,3 0, wi Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную выборку. Для ее получения интер вал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h, а затем находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Составленная по этим результатам таблица называется группи рованным статистическим рядом:

Номера интервалов 1 2 … k Границы (a, a + h) (a + h, a + 2h) … (b – h, интервалов b) Сумма частот вариант, попавших в n1 n2 … nk интервал Полигон и гистограмма Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – по лигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами 2. План-конспект лекционного курса (x1, n1), (x2, n2),…, (xk, nk), где xi откладываются на оси абсцисс, а ni – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (ni), а относи тельные (wi) частоты, то получим полигон относительных частот. По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую функцию, относительную частоту события X x.

2. Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X x. Таким образом:

nx, F * ( x) = n где пх – число вариант, меньших х;

п – объем выборки.

Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, най денной опытным путем, функцию распределения F(x) генеральной сово купности называют теоретической функцией распределения. F(x) опреде ляет вероятность события X x, а F*(x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по вероятности к F(x).

Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:

• 0 F*(x) 1;

• F*(x) – неубывающая функция;

• если х1 – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х х1;

если хк – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х хк.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гис тограмма, т.е. ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, осно ваниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – от резки длиной ni /h (гистограмма частот) или wi /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объ ему выборки, во втором – единице (см. рис. 14).

ni h Рис. 14. Гистограмма частот Характеристики генеральной совокупности. Выборочные средняя и дисперсия Для оценки математического ожидания исследуемой случайной вели х1 х2 х чины генеральной совокупности служит выборочное среднее. Для оценки рассеяния значений генеральной совокупности служат выборочные дис 192 Информатика и математика персия и среднее квадратическое отклонение, а также исправленная дис персия и исправленное среднее квадратическое отклонение.

Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:

k n x х + х 2 +... + х п n1 x1 + n2 x 2 +... + nk x k i i, хВ = 1 = = i = п n n где xi – варианты, ni – частоты.

Выборочной дисперсией называется n k ( xi x B ) 2 n (x xB ) i i, DB = = i =1 i = n n а выборочным средним квадратическим отклонением В = DB.

Справедлива также следующая формула для вычисления выборочной дисперсии:

D = x 2 (x ) 2.

Пример 1. Найдем числовые характеристики выборки, заданной ста тистическим рядом:

2 5 7 xi 3 8 7 ni 2 3 + 58 + 7 7 + 8 2 4 3 + 25 8 + 49 7 + 64 хВ = = 5,55;

DB = 5,55 2 = 3,3475;

20 B = 3,3475 = 1,83.

Другими характеристиками вариационного ряда являются:

• мода М0 – варианта, имеющая наибольшую частоту (в предыду щем примере М0 = 5);

• медиана те – варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно ( n = x k + x k + 2k + 1 ), то me = xk+1, а при четном n =2k те =. В частности, 5+ в примере 1 me = = 6.

Получив статистические оценки параметров распределения (выбороч ное среднее, выборочную дисперсию и т.д.), нужно убедиться, что они в достаточной степени служат приближением соответствующих характери стик генеральной совокупности. Определим требования, которые должны при этом выполняться.

Пусть * – статистическая оценка неизвестного параметра теорети ческого распределения. Извлечем из генеральной совокупности несколько выборок одного и того же объема п и вычислим для каждой из них оценку параметра : 1, *,..., *. Тогда оценку * можно рассматривать как слу * 2 k 2. План-конспект лекционного курса чайную величину, принимающую возможные значения 1, *,..., *. Если * 2 k * математическое ожидание не равно оцениваемому параметру, мы будем получать при вычислении оценок систематические ошибки одного знака (с избытком, если М( *), и с недостатком, если М(*) ). Следователь но, необходимым условием отсутствия систематических ошибок является требование М(*) =.

Статистическая оценка * называется несмещенной, если ее матема тическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки: М(*) =.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Однако несмещенность не является достаточным условием хорошего приближения к истинному значению оцениваемого параметра. Если при этом возможные значения * могут значительно отклоняться от среднего значения, т.е. дисперсия * велика, то значение, найденное по данным од ной выборки, может значительно отличаться от оцениваемого параметра.

Следовательно, требуется наложить ограничения на дисперсию.

Статистическая оценка называется эффективной, если она при задан ном объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оцен кам предъявляется еще и требование состоятельности.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при п стремится по вероятности к оцениваемому параметру (если эта оценка не смещенная, то она будет состоятельной, если при п ее дисперсия стре мится к 0).

Выборочное среднее является не только несмещенной, но и состоя тельной оценкой математического ожидания. В отличие от выборочного среднего выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Можно предложить другую оценку дисперсии – исправленную дисперсию s, вычисляемую по формуле:

k n (x xB ) i i n.

s2 = DB = i = n 1 n Такая оценка будет являться несмещенной. Ей соответствует исправ ленное среднее квадратическое отклонение k n (x xB ) i i.

s = s2 = i = n 3. При обработке статистического материала всегда возникает вопрос:

насколько точно полученные результаты отражают реальную ситуацию?

Поскольку статистическому обследованию подвергается не вся со вокупность объектов (генеральная совокупность), а только ее часть (вы 194 Информатика и математика борка), то любое суждение о генеральной совокупности, сделанное на ос новании выборки, является приближенным, или, лучше сказать, предполо жительным. Такие предположения называются статистическими гипоте зами.

Поставленный выше вопрос можно сформулировать так: насколько можно доверять статистической гипотезе? Покажем, какой ответ на этот вопрос содержится в теории вероятностей.

Пример. В городском управлении внутренних дел обработали данные о карманных кражах в общественном транспорте в течение года. Среднее число краж составило 12,1 в день. В то же время среднее число краж за но ябрь оказалось 11,9 при среднем квадратическом отклонении S = 0,64.

Можно ли считать, что данные за ноябрь занижены по сравнению с дан ными за год?

Пусть гипотеза состоит в том, что разница между средними несущест венна, т.е. она зависит в основном от каких-то случайных факторов, влия нием которых можно пренебречь. Влияние этих факторов мы оценим ве личиной 5%. По-другому можно сказать, что уровень нашего доверия к гипотезе составляет 95%. Пользуясь терминологией теории вероятностей, мы скажем, что доверительная вероятность р равна 0,95.

Нам нужно сравнить отклонение средних а = 12,1 – 11,9 = 0,2 с так на зываемым критическим отклонением k, которое находят из равенства:

St p, Ф (t ) =, k= n p где Ф, как и выше, – функция Лапласа. В нашем примере = 0,475, п – число наблюдений в ноябре – равно числу дней, т.е. п = 30.

Как видно из таблицы, Ф(2) = 0,4772 0,475, следовательно, прибли женно можно считать, что t = 2.

Так как S = 0,64, n = 30 = 5,48, то 0,64 = 0,23.

k= 5, Критическое отклонение получилось больше, чем отклонение средних – 0,2. Следовательно, гипотеза принимается, т.е. при уровне доверия 95% данные за ноябрь можно считать незаниженными.

Примечание. Если число наблюдений п меньше 30, то вместо функции Лапласа Ф пользуются другой функцией, которая дает более точные ре зультаты.

Подробнее см.: 1.

ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Основные вопросы темы 1. Алгебра высказываний. Формулы.

2. План-конспект лекционного курса 2. Формулы логики предикатов.

Важную роль при исследовании юридических проблемных ситуаций играет алгебра логики, где применимы методы многозначной и двухзнач ной логики, а также мощный аппарат математической логики.

1. Основным объектом изучения алгебры высказываний, алгебры ло гики или Булевой алгебры являются высказывания.

Будем понимать под высказыванием такое утверждение, о котором можно сказать: истинно оно или ложно. Когда суждение, являющееся со держанием какого-либо высказывания, истинно, то и высказывание истин но, и наоборот, если суждение ложно, то и высказывание ложно. В тради ционном исчислении высказываний исследуются высказывания, которые или истинны или ложны, и ни одно высказывание не может быть истин ным и ложным одновременно.

Например:

• 20 5;

• Москва – столица России;

• Берлин – один из крупнейших городов Франции;

• Сколько Вам лет? – это не высказывание.

Любое высказывание будем рассматривать с точки зрения их истин ности или ложности (их логического значения).

В логике высказываний применяется искусственный язык, с помо щью которого обозначаются высказывания, формулируются законы логи ки данной дисциплины и частные правила действий с высказываниями.

Каждое высказывание мы будем обозначать заглавными латинскими бук вами, и определим формальные правила обращения с высказываниями.

Считая, что если А = 0, то высказывание ложно, и наоборот. Однознач ность построения формул и определения порядка действий будем дости гать использованием скобок () – это технические знаки.

Высказывание, обозначенное с помощью одной какой-либо буквы латинского алфавита, будем называть элементарным или атомарным вы сказыванием. Оно рассматривается как неразложимая единица, т.е. ника кое другое высказывание не входит в него в качестве его части.

Единственное свойство элементарного высказывания, изучаемое в алгебре логики, – это его истинностное значение. Никакого другого кон кретного содержания элементарное высказывание не имеет.

Заметим, что выражения типа: «В том году был хороший урожай хле бов» и «Целое число n является простым» не могут считаться высказыва ниями, поскольку о них нельзя сказать, истинны они или ложны.

196 Информатика и математика Из элементарных высказываний можно составить сложные высказы вания с помощью логических операций. Все операции в логике высказы ваний описываются только таблицей истинности.

Функция f ( x1,..., xn ) называется n–местной булевой функцией, если каждая переменная принимает только два значения 0 или 1 и функция принимает значения в этом же множестве {0;

1}.

1. Отрицание Для логической операции «отрицание» таблица истинности выглядит следующим образом:

А А 0 1 Иллюстрацией отрицания в естественном языке служит частица «не»

или слова «неверно, что».

Покажем, что А = А :

А А А 0 1 1 0 2. Конъюнкция Введем еще одну логическую операцию, определив ее словесно сле дующим образом. Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и толь ко тогда, когда оба высказывания истинны. Эта логическая операция на зывается еще логическим умножением, или логическим минимумом.

Выпишем таблицу истинности для конъюнкции:

А& В А В 0 0 0 1 1 0 1 1 Свойства конъюнкции:

А &1 = А ;

А& А = 0;

А&0 = 0 ;

А& А = А.

В естественном языке эта операция чаще всего интерпретирует ся союзом «и».

3. Дизъюнкция Еще одной из логических операций является операция дизъюнкции.

Дизъюнкция двух элементарных высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из элементарных высказываний. Обо 2. План-конспект лекционного курса значается эта операция знаком и иногда называется логическим сложе нием или логическим максимумом. Таблица истинности дизъюнкции вы глядит так:

А B А B 0 0 0 1 1 0 1 1 Укажем свойства этой операции:

А А =1;

А 1 = 1;

А 0 = A ;

А А = А.

4. Импликация A1 A2... An истинна, если Ai истинно Следующая логическая операция, которую мы рассмотрим, – это опе рация импликации. Импликация ложна тогда и только тогда, когда А – ис тинно, а B – ложно.

A B А B 0 0 0 1 1 0 1 1 Это выражение читается так: если А, то B. В таком виде часто фор мулируются математические теоремы. Если теорема сформулирована как нибудь иначе, то ее можно перефразировать в указанном виде, не теряя сущности.

В математических терминах импликация еще обозначается фразами:

B – следствие А ;

А – достаточное условие B.

Импликацию тоже можно выразить через &,,¬ A B = A& B = A B.

5. Эквивалентность Она истинна только тогда, когда значения А и B совпадают. Эту операцию еще иногда называют логическим равенством:

А B А B 0 0 198 Информатика и математика 0 1 1 0 1 1 В математических терминах эта операция интерпретируется в каче стве фраз «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно». Такая форма тоже очень часто используется в формулировке теорем. Эквива лентность представляется в виде:

А B = ( А В ) & ( B A), т.е. из А следует B и из B следует А.

Алфавитом называется любой непустой набор символов. Элементы этого набора называются символами алфавита.

Словом в алфавите G называется произвольная конечная (возможно пустая) последовательность символов из G. Фиксируем некоторый конеч ный или счетный алфавит переменных X = ( x1, x2,...).

Формула алгебры логики определяется следующим образом (индук тивное определение):

• любая логическая переменная есть формула;

• если А – формула, то ( А) – формула (допустимы технические сим волы);

• если А и B – формулы, то А, B, A & B, A B, A B, A B, A B, A / B – тоже формулы (допустимы все логические связки);

• других формул нет.

Подформулой формулы А называется любое подслово слова А, кото рое само является формулой.

Для сокращения записи формул обычно принимаются следующие со глашения:

• если часть формулы заключена в скобки, то сначала производится действие в скобках;

• если над частью формулы стоит знак отрицания, то он заменяет со бой скобки, в которые заключена эта часть формулы.

Принят следующий порядок выполнения операций:

• отрицание;

• конъюнкция;

• дизъюнкция;

• импликация и эквивалентность в порядке их записи.

Формула называется тождественно истинной или тавтологией, если она реализует функцию «тождественная единица», и тождественно лож ной, если 0.

2. План-конспект лекционного курса Пусть логические формулы составлены из простейших высказываний.

Если на любом наборе значений простых высказываний значения А и В совпадают, то А и В называются тождественными.

Пример. Составим таблицу истинности следующей формулы:

( X Y ) & (Y Z ) :

(X Y ) (Y Z ) ( X Y ) & (Y Z ) X Y Z 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 Всякий раз, вводя логическую операцию, учитываем их свойства:

A & A = 0 – закон исключенного противоречия;

A A = 1 – закон исключенного третьего;

законы идемпотентности:

A& A = A, A A = A;

законы отрицания:

A& B = A B, A B = A& B ;

закон навешивания двойного отрицания:

A= A;

закон контрапозиции:

A B = B A.

Теперь выпишем законы Булевой алгебры:

Коммутативный закон Ассоциативный закон ( X Y ) Z = X (Y Z ) X Y =Y X ( X & Y ) & Z = X & (Y & Z ) X &Y = Y & X Дистрибутивный закон Законы поглощения X & (Y Z ) = ( X & Y ) ( X & Z ) X & (Y X ) = X X (Y & Z ) = ( X Y ) & ( X Z ) X (Y & X ) = X Выпишем приведенные ранее выражения операций через &,,¬ ( ) A B = ( A B ) & ( B A) = ( A & B ) A & B A B == A & B = A B 200 Информатика и математика ( )( ) A B == A & B A & B.

Методы упрощения логических выражений. Методы решения логических задач Рассмотрим пример решения логической задачи.

Пример 1. После обсуждения состава участников экспедиции решено, что должны выполняться два условия:

1. Если поедет Арбузов, то должны ехать Брюквин или Вишневский.

2. Если поедут Арбузов и Вишневский, то поедет Брюквин.

Составить логическую формулу принятия решения в символической форме, упростить полученную формулу и сформулировать по ней новое условие формирования экспедиции.

Введем переменные и соответствующие им элементарные высказыва ния.

A – поедет Арбузов;

Б – поедет Брюквин;

В – поедет Вишневский.

Тогда выработанные условия формирования экспедиции будут выгля деть следующим образом:

1. A (Б В ).

2. ( A & Б ) В.

Составим общую формулу и упростим выражение:

( A (Б В )) & (( A & Б ) В ) = (А Б В ) & (А & В Б ) = (А Б В ) & (А В Б ) = (А Б )& (В В ) = (А Б ) = А Б.

т.е. если поедет Арбузов, то поедет Брюквин.

Пример 2. По подозрению в совершенном преступлении задержаны Браун, Джон и Смит. Один из них – уважаемый в городе старик, второй – чиновник, а третий – известный мошенник. В ходе следствия старик гово рил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом лгал.

Вот что они говорили:

Браун: Я совершил это. Джон не виноват (Б&¬Д);

Джон: Браун не виноват. Преступник Смит (¬Б&С);

Смит: Я не виноват. Виноват Браун (¬С&Б).

Опишем эти высказывания формально:

Б – преступление совершил Браун;

Д – преступление совершил Джон;

С – преступление совершил Смит.

Тогда их слова описываются следующими выражениями:

Браун: Б & Д ;

2. План-конспект лекционного курса Джон: Б & C ;

Смит: С & Б.

Так как по условиям задачи две из этих & ложны и одна истинна, то L = (Б & Д ) (Б & C ) (С & Б ).

Составим таблицу истинности:

№ Б&Д Д С Б &C С&Б Б L 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 1 0 3 0 1 0 0 0 0 4 0 1 1 0 1 0 5 1 0 0 1 0 1 6 1 0 1 1 0 0 7 1 1 0 0 0 1 8 1 1 1 0 0 0 1. Исключим из рассмотрения те наборы, на которых L = 0 (по усло вию задачи одна из & – истинна, следовательно, L = 1 ), 1, 3, 8.

2. Исключим случай 5, так как в нем две & истинны, что противоре чит условию задачи.

3. В случаях 4, 6, 7 у нас в начальном наборе две 1, т.е. 2 преступни ка, а по условию задачи он один.

Остается только случай 2, т.е. преступник Смит и оба его высказыва ния ложны.

С & Б = 0, следовательно, Б – ложно и С – истинно;

Б & C = 1 = 1 – Джон – уважаемый старик.

Остается, что Браун – чиновник, и поскольку Б – ложно, то Д – ис тинно.

Пользуясь законами и тождествами Булевой алгебры, можно упро щать логические выражения.

Равносильные преобразования формул Используя равносильности, можно часть формулы или всю формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул назы ваются равносильными. (Аналог тождественным преобразованиям в ариф метике, алгебре и тригонометрии.) Равносильные преобразования используются для доказательства рав носильностей, приведения формул к заданному виду, упрощения формул.

Формула А считается проще равносильной ей формулы В, если она содержит меньше букв, меньше логических операций. При этом обычно 202 Информатика и математика операции эквивалентность и импликация заменяются операциями дизъ юнкция и конъюнкция, а отрицание относят к элементарным высказываниям.

Для удобства использования и ссылок при проведении равносильных преобразований перечень наиболее часто употребляемых равносильностей (законов логических операций над высказываниями) можно свести в еди ную таблицу, в которой рассмотренные выше равносильности даны в сквозной нумерации.

При проведении равносильных преобразований каждый шаг основы вается на использовании того или иного закона. Номер соответствующей формулы (из общей таблицы) мы будем указывать над знаком равносиль ности, предшествующим очередному шагу.

Рассмотрим ряд примеров равносильных преобразований.

Пример 1. Доказать равносильность x y x y x y.

19 18 6 x y ( x y ) ( y x ) ( x y ) ( y x ) ( x y ) y ( x y ) x 15 10 x y x x y y y x x y 0 0 y x x y y x x y x y.

Пример 2. Упростить формулу ( x y x y ) y A.

18 1 8 П A ( x y x y ) y ( x y x y ) y ( x y ) y y.

Предикаты В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности.

Ни структура высказываний, ни тем более их содержание не затраги ваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Например, в рассуждении: «Всякий ромб – параллелограмм;

АВСD – ромб;

следовательно, АВСD – параллелограмм» – посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний и с точ ки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.

В связи с этим возникает необходимость в расширении логики выска зываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать структуру тех высказываний, которые в рам ках логики высказываний рассматриваются как элементарные.

Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленя ет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

2. План-конспект лекционного курса Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании;

предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании «7 – простое число», «7» – субъект, «про стое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 пере менной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х – простое число». При одних значениях х (например, х=13, х=17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (напри мер, х=10, х=18) эта форма дает ложные высказывания.

Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающую значения из множества {1;

0}. Здесь предикат становится функцией субъекта и выража ет свойство субъекта.

Дадим несколько определений, относящихся к предикатам.

Одноместным предикатом Р(x) называется произвольная функция переменного x, определенная на множестве M и принимающая значение из множества {1;

0}.

Множество М, на котором определен предикат Р(x), называется обла стью определения предиката Р(x).

Множество всех элементов x M, при которых предикат принимает значения «истина» (1), называется множеством (областью) истинности предиката Р(x), т.е. множество истинности предиката Р(х) – это множест во I p = {x : x M, P( x) = 1}, или иначе: M [P ], или так: M [P(x)]. Так, например, x x предикат Р(x) – «x – простое число» определен на множестве N, а множе ство истинности IP для него есть множество всех простых чисел.

Предикат Q(x) – «sinx=0» определен на множестве R, а его множест вом истинности является I Q = {k, k Z }.

Предикат F(x) – «диагонали параллелограмма x взаимно перпендику лярны» определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Из приведенных примеров видим, что одноместные предикаты вы ражают свойства предметов (субъектов).

Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождест венно истинным, если его множество истинности совпадает с областью определения, т. е. Ip=M.

Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождест венно ложным, если его множество истинности является пустым множест вом, т.е. Ip=0.

204 Информатика и математика Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются от ношения между предметами.

Примером бинарного отношения, т.е. отношения между двумя пред метами, является отношение «меньше». Пусть это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно может быть охарактеризовано высказыва тельной формой «хy», где x, y Z, т.е. является функцией двух перемен ных Р(х,y), определенной на множестве упорядоченных пар целых чисел ZхZ=Z2 c множеством значений {1;

0}.

Двухместным предикатом Р(x,y) называется функция двух перемен ных x и y, определенная на множестве М=М1хМ2 и принимающая значения из множества {1;

0}.

В числе примеров двухместных предикатов можно назвать такие пре дикаты:

• Q(x, y) – «x=y» – предикат равенства, определенный на множестве RхR=R2;

• F(x,y) – «х параллелен y»;

• «прямая х параллельна прямой y», определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Совершенно аналогично вводится понятие трехместного предиката.

Приведем пример трехместного предиката (функции трех переменных):

S(x,y,z) – «x+y=z». Подстановка в него х=3 превращает его в двухместный предикат: S(y,z) – «3+y=z», а подстановка х=3, z=2 – в одноместный пре дикат S(y) – «3+y=2». Подстановка же S(2,3,5) превращает его в истинное высказывание, а S(1,7,4)– в ложное.

Аналогично определяется и n-местный предикат (функция n перемен ных). Пример п-местного предиката:

R(x1, x2,…,xn): a1 x1+…+anxn=0, который, как видим, представляет собой алгебраическое уравнение с n неизвестными.

При n=0 будем иметь нульместный предикат – это логическая (про позициональная) переменная, принимающая значения из множества {1;

0}.

Логические операции над предикатами Предикаты так же, как высказывания, могут принимать два значения:

«истина» (1) и «ложь» (0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний, в результате чего из элементарных предикатов формируют ся сложные предикаты (как и в логике высказываний, где из элементарных высказываний формировались сложные, составные). Рассмотрим примене ние операций логики высказываний к предикатам на примерах одномест ных предикатов. Эти операции в логике предикатов сохраняют тот же смысл, который был им присвоен в логике высказываний.

Пусть на некотором множестве M определены два предиката P(x) и Q(x).

2. План-конспект лекционного курса Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый (слож ный) предикат P( x) Q( x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях x M, при которых каждый из предикатов принима ет значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинности предиката P( x) Q( x) является об щая часть области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. пересечение I P I Q.

Так, например, для предикатов P(x): «x – четное число» и Q(x): «x кратно 3» конъюнкцией P( x) Q( x) является предикат «x – четное число и x кратно 2», т.е. предикат «x делится на 6».

Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P( x) Q( x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех зна чениях x M, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Ясно, что областью истинности предиката P( x) Q( x) является объе динение области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. I P I Q.

Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат P(x) или P(x), который принимает значение «истина» при всех значениях x M, при ко торых предикат P(x) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях x M, при которых предикат P(x) принимает значение «истина».

Очевидно, что I P = I P, т.е. множество истинности предиката P(x) яв ляется дополнением к множеству IP.

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P( x) Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях x M, при которых одновременно P(x) принимает значение «истина», а Q(x) – значение «ложь», и принимает значение “истина» во всех остальных случаях.

Поскольку при каждом фиксированном x M справедлива равносиль ность P( x) Q( x) P( x) Q( x), то I P Q = I P I Q.

Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P( x) Q( x), который обращается в «истину» при всех тех и только тех x M, при которых P(x) и Q(x) обращаются оба в истинные или оба в лож ные высказывания.

Для его множества истинности имеем: I P Q = I P I Q I P I Q.

206 Информатика и математика Кванторы Рассмотрим операции, преобразующие предикаты в высказывания.

Пусть имеется предикат Р(х), определенный на множестве М. Если «а» – некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает этот предикат в высказывание Р(а). Такое вы сказывание называют единичным. Например, r(x): «х – четное число» – предикат, а r (6) – истинное высказывание, r (3) – ложное высказывание.

Это же относится и к n-местным предикатам: если вместо всех пред метных переменных хi, i= 1, n подставить их значения, то получим выска зывание.

Наряду с образованием из предикатов высказываний в результате та ких подстановок в логике предикатов рассматриваются еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание. Эти опера ции называются операциями квантификации (или просто квантификацией, или связыванием кванторами, или навешиванием кванторов). При этом рассматриваются, соответственно, два типа так называемых кванторов.

Квантор всеобщности. Пусть Р(х) – предикат, определенный на мно жестве М. Под выражением xP(x) понимают высказывание истинное, ко гда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное в про тивном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: «Для всякого х Р(х) истинно».

Символ называют квантором всеобщности (общности). Перемен ную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различ ные значения из М), в высказывании же xP(x) х называют связанной квантором всеобщности.

Квантор существования. Пусть P(x) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением xP(x) понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент x M, для которого P(x) ис тинно, и ложным – в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: «Существует x, при котором P(x) истинно». Символ называют квантором существо вания. В высказывании xP(x) переменная x связана этим квантором (на нее навешен квантор).

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам.

Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат P(x,y).

Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ста вит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат xP( x, y ) (или одноместный предикат xP( x, y ) ), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут уже к высказываниям сле дующих видов: yxP( x, y ), yxP( x, y ), yxP( x, y ), yxP( x, y ).

2. План-конспект лекционного курса Рассмотрим предикат P(x), определенный на множестве M={a1,…,an}, содержащем конечное число элементов. Если предикат P(x) является тож дественно-истинным, то истинными будут высказывания P(a1),P(a2),…,P(an). При этом истинными будут высказывания xP(x) и конъюнкция P(a1 ) P (a 2 )... P (a n ).

Если же хотя бы для одного элемента a k M P(ak) окажется ложным, n то ложными будут высказывание xP(x) и конъюнкция P (ai ). Следова i = n тельно, справедлива равносильность xP( x) P(a1 ) P(a2 )... P(an ) = P(ai ).

i = Численные кванторы. В математике часто встречаются выражения вида: «по меньшей мере n» («хотя бы n»), «не более чем n», «n и только n»

(«ровно n»), где n – натуральное число.

Эти выражения, называемые численными кванторами, имеют чисто логический смысл;

они могут быть заменены равнозначными выражения ми, не содержащими числительных и состоящими только из логических терминов и знака или ~, означающего тождество (совпадение) объектов.

Пусть n=1. Предложение «По меньшей мере один объект обладает свойством P» имеет тот же смысл, что и предложение «Существует объект, обладающий свойством P», т.е. x( P( x)). (*) Предложение «не более чем один объект обладает свойством P» рав нозначно предложению «если есть объекты, обладающие свойством P, то они совпадают», т.е. xy ( P( x) P( y ) x y ) (**). Предложение «один и только один объект обладает свойством P» равнозначно конъюнкции вы шеуказанных предложений (*) и (**).

Отрицание предложений с кванторами. Условимся отрицание пред ложения x( P( x)) записывать как x( P( x)), а отрицание предложения x( P( x)) – как x( P ( x)). Очевидно, что предложение x( P( x)) имеет тот же смысл, а следовательно, то же значение истинности, что и предложение x( P( x)), а предложение x( P ( x)) – тот же смысл, что x( P( x)). Иначе говоря, x( P( x)) равносильно x( P( x)) ;

x( P ( x)) равносильно x( P( x)).

Кванторы общности и существования называют двойственными отно сительно один другого. Выясним теперь, как строить отрицание предложе ния, начинающегося с нескольких кванторов, например, такого:

xyz ( P( x, y, z )).

Последовательно применяя сформулированное выше правило, полу чим: xyz ( P( x, y, z )) равносильно x(yz ( P( x, y, z )), что равносильно xy (z ( P( x, y, z ))), что равносильно xyz ( P ( x, y, z )).

208 Информатика и математика 2. В логике предикатов будем пользоваться следующей символикой:

1. Символы p, q, r, … – переменные высказывания, принимающие два значения: 1 – истина, 0 – ложь.

2. Предметные переменные – x, y, z, …, которые пробегают значения из некоторого множества М;

x0, y0, z0 – предметные константы, т.е. значения предметных пере менных.

3. P(·), Q(·), F(·), … – одноместные предикатные переменные;

Q(·,·,…,·), R(·,·, …,·) – n-местные предикатные переменные.

P0(·), Q0(·,·, …,·) – символы постоянных предикатов.

4. Символы логических операций:,,,.


5. Символы кванторных операций: x, x.

6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.

Определение формулы логики предикатов.

1. Каждое высказывание, как переменное, так и постоянное, является формулой (элементарной).

2. Если F(·,·, …,·) – n-местная предикатная переменная или постоян ный предикат, а x1, x2,…, xn– предметные переменные или предметные по стоянные (не обязательно все различные), то F(x1, x2,…, xn) есть формула.

Такая формула называется элементарной, в ней предметные переменные являются свободными, не связанными кванторами.

3. Если А и В – формулы, причем такие, что одна и та же предметная переменная не является в одной из них связанной, а в другой – свободной, то слова A B, A B, A B есть формулы. В этих формулах те переменные, которые в исходных формулах были свободны, являются свободными, а те, которые были связанными, являются связанными.

4. Если А – формула, то A – формула, и характер предметных пере менных при переходе от формулы А к формуле A не меняется.

5. Если А(х) – формула, в которую предметная переменная х входит свободно, то слова xA(x) и xA(x) являются формулами, причем предмет ная переменная входит в них связанно.

6. Всякое слово, отличное от тех, которые названы формулами в пунктах 1 – 5, не является формулой.

Например, если Р(х) и Q(x,y) – одноместный и двухместный предика ты, а q, r – переменные высказывания, то формулами будут, например, слова (выражения):

q, P( x), P( x) Q( x 0, y ), xP( x) xQ( x, y ), (Q( x, y ) q) r.

Не является формулой, например, слово: xQ( x, y ) P( x). Здесь нару шено условие п. 3, так как в формулу xQ( x, y ) переменная х входит свя занно, а в формулу Р(х) переменная х входит свободно.

2. План-конспект лекционного курса Из определения формулы логики предикатов ясно, что всякая форму ла алгебры высказываний является формулой логики предикатов.

Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значе ний трех видов переменных: 1) значений входящих в формулу переменных высказываний;

2) значений свободных предметных переменных из множе ства М;

3) значений предикатных переменных.

При конкретных значениях каждого из трех видов переменных фор мула логики предикатов становится высказыванием, имеющим истинное или ложное значение.

В качестве примера рассмотрим формулу yz ( P( x, y) P( y, z )), в ко торой двухместный предикат Р(x, y) определен на множестве MM, где M={0,1,2,…,n,…}, т.е. MM=NN.

В формулу входят переменный предикат P(x,y), предметные перемен ные x,y,z, две из которых y и z – связанные кванторами, а x – свободная.

Возьмем за конкретное значение предиката P(x,y) фиксированный предикат P0(x,y): «xy», а свободной переменной х придадим значение 0 x 0 = 5 M. Тогда при значениях y, меньших x =5, предикат P (x,y) прини мает значение «ложь», а импликация P( x, y ) P( y, z ) при всех z M при нимает значение «истина», т.е. высказывание yz ( P 0 ( x, y ) P 0 ( y, z )) имеет значение «истина».

Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными на области М, если они принимают одинаковые логические значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М.

Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными, если они равносильны на всякой области.

Ясно, что все равносильности алгебры высказываний будут верны, ес ли в них вместо переменных высказываний подставить формулы логики предикатов. Но, кроме того, имеют место равносильности самой логики предикатов. Рассмотрим основные из этих равносильностей.

Пусть А(х) и В(х) – переменные предикаты, а С – переменное выска зывание (или формула, не содержащая х). Тогда имеют место равносиль ности:

1. xA( x) x A( x).

2. xA( x) x A( x).

3. xA( x) x A( x).

4. xA( x) x A( x).

5. xA( x) xB( x) x[ A( x) B( x)].

6. C xB( x) x[C B( x)].

7. C xB( x) x[C B( x)].

8. C xB( x) x[C B( x)].

210 Информатика и математика 9. x[ B( x) C ] xB( x) C.

10. x[ A( x) B( x)] xA( x) xB( x).

11. x[C B( x)] C xB( x).

12. x[C B( x)] C xB( x).

13. xA( x) yB( y ) xy[ A( x) B( y )].

14. x[C B( x)] C xB( x).

15. x[ B( x) C ] xB( x) C.

Равносильность 1 означает тот простой факт, что если не для всех х истинно А(х), то существует х, при котором будет истиной A(x).

Равносильность 2 означает тот факт, что если не существует х, при ко тором истинно А(х), то для всех х будет истиной A(x).

Равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей 1 и 2, соответ ственно, если от обеих их частей взять отрицания и воспользоваться зако ном двойного отрицания.

Подробнее см.: 1, 4.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Информатика является молодой быстроразвивающейся отраслью нау ки и индустрии. Продукты и услуги информатики широко используются в юриспруденции.

Все это показывает, насколько важно современному юристу знать ос новы информатики и уметь использовать ее достижения в своей профес сиональной деятельности.

ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Дубинина Н.М., Казанцева С.Я. Информатика и математика для юристов:

Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2011.

2. Егоров А.В, Котов Э.М. Информационные системы в юриспруденции: Учеб ник для вузов. – М.: Феникс, 2008.

3. Информатика: практикум по работе на компьютере / Под ред. Н.В. Макарова. – М.: Финансы и статистика, 2008.

4. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М.:

Изд-во МГУ, 2007.

5. Мельников В.П. Информационная безопасность и защита информации. – М.:

ACADEMIA, 2007.

6. Попов А.М., Сотников В.Н., Нагаева Е.И. Информатика и математика для юристов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009.

3. КОНСУЛЬТАЦИОННЫЙ КУРС Авторы-составители: канд. физ.-мат. наук, проф. О.Ю. Худякова, канд. техн. наук, доц. В.А. Бужинский ВВЕДЕНИЕ Для консультационного курса по дисциплине «Информатика и мате матика» отобран комплекс вопросов, вызывающих у студентов особый практический интерес при изучении курса, а также наиболее сложные для самостоятельного изучения.

1 ЧЕМ ИНТРАНЕТ ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ ИНТЕРНЕТА?

Компьютерные вычислительные сети принято делить на глобальные и локальные. Самый яркий пример глобальной сети – Интернет.

Локальная вычислительная сеть – это связанные между собой в еди ную информационную систему персональные компьютеры, принтеры, факсы, серверы и другое телекоммуникационное оборудование. Сеть дает возможность отдельным сотрудникам организации взаимодействовать ме жду собой и обращаться к совместно используемым ресурсам;

позволяет им получать доступ к данным, хранящимся на персональных компьютерах как в удаленных офисах, так и соседних ПК. Кроме того, правильная орга низация ЛВС обеспечивает информационную безопасность (исключает не санкционированный доступ к информационным блокам).

С помощью современного оборудования можно передавать большие информационные потоки данных не только по проводным линиям, но и по радиоканалу, что увеличивает эффективность и гибкость создаваемых ло кальных и корпоративных сетей связи.

Локальная сеть организации (предприятия), основанная на примене нии семейства протоколов TCP/IP и использовании для передачи и ото бражения информации протокола HTTP, называется Интранет (англ.

Intranet;

нередко также употребляется термин «интрасеть») – в отличие от Интернета, это внутренняя частная сеть организации. Как правило, Интра нет – это Интернет в миниатюре, который построен на использовании про токолов ТСР/IP для обмена и совместного использования некоторой части информации внутри этой организации. Основанный на базовых протоко лах HTTP и HTTPS и организованный по принципу клиент-сервер, интра нет-сайт доступен с любого компьютера локальной сети через браузер.

212 Информатика и математика 2 МОЖНО ЛИ НАЗВАТЬ ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫМ ПРОГРАММНЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ?

Все программное обеспечение делится на три больших класса: сис темное, инструментальное и прикладное.

Системное программное обеспечение – это совокупность программ и программных комплексов для обеспечения работы компьютера и сетей ЭВМ. К нему относятся операционные системы и оболочки, программы диагностики работоспособности компьютера, обслуживания сети, дисков, архивирования данных, антивирусные и другие.

Инструментальное программное обеспечение – это совокупность про грамм и программных комплексов для разработки, отладки и внедрения создаваемых программных продуктов. В эту группу входят трансляторы с различных алгоритмических языков, осуществляющие перевод текста про граммы на машинный язык;

отладчики, с помощью которых обнаружива ются и устраняются ошибки, допущенные при написании программ;

свя зывающие редакторы, позволяющие объединить отдельные части про грамм в единое целое;

интегрированные среды разработчиков, объеди няющие перечисленные компоненты в единую удобную для разработки программ систему.

Прикладное программное обеспечение – комплекс взаимосвязанных программ для решения задач в конкретной предметной области. К разно видностям прикладных программ относятся: текстовые, графические ре дакторы, электронные таблицы, базы данных, системы документооборота, бухгалтерские и финансовые программы и другие.

Следовательно, к системному программному обеспечению из предло женных вариантов программных продуктов относятся операционные сис темы.

3 ДЛЯ ЧЕГО НУЖНЫ ЯЗЫКИ HTML И JAVA?

В последнее время высока популярность WWW-программирования.

Языки WWW-программирования обладают рядом свойств, которые позво ляют использовать их на платформе, специализированной для работы в ка честве сервера. Чаще всего это интерпретаторы (такие как Perl, PHP) по зволяющие использовать их на стороне сервера, или языки поддерживае мые клиентом (браузеры) – HTML, XML, Java, JavaScript, или специальные модули (plug-in), расширяющие клиента – Flash.


Проблемно-ориентированные языки позволяют быстро и эффективно писать программы для решения задач определенного класса. Управляющие конструкции и структуры данных в проблемно-ориентированных языках адекватно отражают характеристики той предметной области, для решения задач которой эти языки применяются. Примерами широко известных 3. Консультационный курс проблемно-ориентированных языков и классов решаемых ими задач могут служить:

• HTML – логическая разметка и структурирование текстов;

• TEX и LATEX – подготовка печатных документов;

• SQL – язык управления данными в реляционных СУБД;

• JPSS – язык имитационного моделирования.

Java – объектно-ориентированный язык программирования, разрабо танный компанией Sun Microsystems. Программы на Java транслируются в некоторую промежуточную форму (байт-код) небольшого размера, выпол няемую виртуальной машиной Java (JVM). Программы на Java, в силу сво его малого размера и возможности исполнения на любом устройстве, для которого существует соответствующая виртуальная машина, широко ис пользуются разработчиками игр для сотовых телефонов.

Pascal – язык программирования, первоначально предназначенный для обучения, в дальнейшем использовался для разработки прикладных программ.

Delphi – система разработки программного обеспечения, в состав ко торой входит компилятор языка Object Pascal.

C++ – объектно-ориентированный язык программирования, исполь зующийся для разработки прикладных программных систем.

ПОЧЕМУ В НАЗВАНИЯХ ПРИКЛАДНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОДУКТОВ ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ СИМВОЛ ©?

Знак охраны авторского права используется с именем физического или юридического лица, которому принадлежат авторские права. Также может быть указан объект защиты авторского права. Указывается год пуб ликации или диапазон дат.

Знак охраны авторского права не создает дополнительных прав. Он только уведомляет, что авторские права принадлежат указанному физиче скому или юридическому лицу.

Отсутствие знака не означает что произведение не защищено автор скими правами, так как авторское право возникает в момент создания про изведения и для защиты авторских прав не требуется регистрация произве дения или соблюдение каких-либо иных формальностей.

Наличие или отсутствие знака охраны авторского права не влияет на лицензирование произведения в России. Но в странах, присоединившихся только к Всемирной конвенции об авторском праве, наличие знака являет ся определяющим для предоставления защиты авторских прав в соответст вии с п. 1 ст. III указанной конвенции в редакции 24 июля 1971 г.

Для признания и осуществления авторского права на программы для ЭВМ не требуется ее регистрация в какой-либо организации. Авторское 214 Информатика и математика право на программы для ЭВМ возникает автоматически при их создании.

Для оповещения о своих правах разработчик программы может, начиная с первого выпуска в свет программы, использовать знак охраны авторского права, состоящий из трех элементов:

• символа ©;

• наименования (имени) правообладателя;

• года первого выпуска программы в свет.

Например, знак охраны авторских прав на текстовый редактор Microsoft Office Word 2007 выглядит следующим образом:

© Корпорация Microsoft, 1993–2007.

КАКИЕ СПРАВОЧНО-ПРАВОВЫЕ СИСТЕМЫ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ СЕГОДНЯ?

Справочно-правовые системы (информационно-правовые системы) – особый класс компьютерных баз данных, содержащих тексты указов, по становлений и решений различных государственных органов. Кроме нор мативных документов, они также содержат консультации специалистов по праву, бухгалтерскому и налоговому учету, судебные решения, типовые формы деловых документов и др.

На сегодняшний день в России и СНГ существует множество спра вочно-правовых систем. К государственным системам относятся:

Информационно-поисковая система «Закон» – база законодатель • ства Государственной Думы РФ;

Научно-технический центр правовой информации «Система» – • эталонный банк правовых актов высших органов государственной власти;

Информационно-правовая система «Законодательство России» – • ГСРПА России;

БД НЦПИ Минюста России;

• БД Министерства иностранных дел России.

• К наиболее часто используемым на сегодня коммерческим системам относятся:

Законпрост;

• Право.ру;

• ГАРАНТ;

• Консультант Плюс;

• Lexpro;

• Кодекс;

• Главбух;

• Референт.

• 3. Консультационный курс ЧТО ТАКОЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И КАКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ ПРОИЗВОДЯТ?

Множество R действительных чисел ограничено тем, что квадратные корни можно извлекать только из положительных чисел. Это создает большие неудобства при решении, например, алгебраических уравнений.

Поэтому поле действительных чисел было расширено добавлением нового элемента i = – 1, который называется мнимой единицей. Мнимая единица не является действительным числом, но на нее распространили все алгеб раические свойства действительных чисел. В результате появились новые элементы, которые записывают в виде a + bi и называют комплексными числами. Если b = 0, то комплексное число является действительным. По этому действительные числа составляют часть комплексных чисел. По оп ределению i 2 = 1. Комплексные числа можно складывать и умножать:

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i ;

(a + bi )(c + di ) = (ac bd ) + (ad + bc)i.

Для каждого комплексного числа можно найти обратное:

2 3i 2 3i 1 = = =i 2 + 3i (2 + 3i )(2 3i) 4 + 9 + 0i 13 Операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются аксиомам, поэтому комплексное число образует поле. Открытие комплекс ных чисел позволило решить проблему алгебраических уравнений. Глав ный результат сформулирован в основной теореме алгебры:

Всякое алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффи циентами имеет ровно n комплексных корней (теорема К.Гаусса).

Иоганн Бернулли и Леонард Эйлер открыли формулу e i = cos + i sin, из которой при = следует e i = 1, что связывает мнимую единицу i с числами e, и 1.

Каждое комплексное число геометрически представляет собой на плоскости точки с координатами (a, b) a + bi.

КАК ПОНИМАТЬ СЛОВОСОЧЕТАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ?

Рассмотрим пример. Между ростом и весом человека существует оп ределенная зависимость. Однако много людей с одинаковым ростом име ют разный вес. Такая зависимость не является функциональной, поскольку для функций каждому х соответствует единственное значение у.

Можно предположить, что вес зависит не только от роста, но и от раз мера талии и прочих параметров, но она является очень сложной и пока никем не обнаружена. Можно считать, что вес человека зависит от ряда случайных величин, среди которых рост является одной из основных. Эту 216 Информатика и математика зависимость описывают с помощью понятия вероятности. Зависимости та кого рода называются стохастическими, вероятностными или статистиче скими. Важнейшим видом здесь является корреляционная зависимость.

Рассмотрим в качестве примера вес и рост двадцати курсантов школы МВД (см. табл. 1.).

Таблица Рост и вес курсантов школы МВД Номер 1 2 3 4 5 6 7 8 9 курсанта Рост (см) 178 170 181 173 169 178 177 165 187 Вес (кг) 72 65 92 75 68 79 78 67 80 Номер 11 12 13 14 15 16 17 18 19 курсанта Рост (см) 159 182 178 173 176 173 198 187 191 Вес (кг) 56 82 77 63 80 65 85 89 87 Изобразим точки графически, откладывая по оси абсцисс – рост кур сантов, по оси ординат – их вес (рис.1.).

Рис.1. Корреляционная зависимость между ростом и весом курсанта.

Точки лежат внутри некоторой области, или «облака». Заметно, что облако вытянуто вдоль какой – то наклонной прямой. Это означает, что Х и Y хорошо коррелированы, т.е. при увеличении роста вес, как правило, тоже увеличивается. Соединим точки отрезками, получим эмпирическую ломаную регрессии. При большем числе измерений эта ломаная больше похожа на прямую.

Прямая, к которой стремится ломаная, называется регрессией. Она является наилучшим решением задачи построения прямой, относительно которой сумма квадратов вертикальных отклонений экспериментальных точек будет наименьшей. Это задача метода наименьших квадратов.

3. Консультационный курс Уравнение искомой прямой имеет вид:

, где Здесь – средние значения роста, веса и их попарных произве дений, – дисперсия роста.

Подставим в формулы, получим:

Получим уравнение прямой:

.

Это эмпирическое уравнение регрессии.

Величина r, определяемая по формуле:

, называется коэффициентом корреляции.

Здесь,,,.

Отсюда.

Свойства коэффициента корреляции:

1..

2. Если величины Х и Y независимы, то коэффициент корреляции равен нулю.

3. Если Х и Y связаны линейной зависимостью, то r = 1 или r = – 1, и наоборот.

При совместном изучении двух случайных величин Х и Y прежде всего находят величину коэффициента корреляции, и если он оказывается близким к единице, то имеет смысл описывать корреляционную связь.

218 Информатика и математика В ЧЕМ ОТЛИЧИЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ОТ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ?

Непараметрические методы в математической статистике – методы непосредственной оценки теоретического распределения вероятностей и тех или иных его общих свойств (симметрии и т.п.) по результатам наблю дений. Название непараметрические методы подчеркивает их отличие от классических (параметрических) методов, в которых предполагается, что неизвестное теоретическое распределение принадлежит какому-либо се мейству, зависящему от конечного числа параметров (например, семейству нормальных распределений), и которые позволяют по результатам наблю дений оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять те или иные гипотезы относительно их значений. Разработка непараметриче ских методов является в значительной степени заслугой советских ученых.

В качестве примера непараметрического метода можно привести най денный А. Н. Колмогоровым способ проверки согласованности теоретиче ских и эмпирических распределений (так называемый критерий Колмого рова). Пусть результаты n независимых наблюдений некоторой величины имеют функцию распределения F (x) и пусть Fn (x) обозначает эмпириче скую функцию распределения, построенную по этим n наблюдениям, a Dn – наибольшее по абсолютной величине значение разности Fn (x) – F (x).

Случайная величина имеет в случае непрерывности F (x) функцию распределения Kn (x), не зависящую от F (x) и стремящуюся при безгра ничном возрастании n к пределу Отсюда при достаточно больших n для вероятности pn,x. Неравенства получается приближенное выражение pn,x = 1 – К (). (1) Функция К () табулирована. Ее значения для некоторых приведены в табл. 2.

Таблица Значения функции К () 0,57 0,71 0,83 1,02 1,36 1, К () 0,10 0,30 0,50 0,75 0,95 0, Равенство (1) следующим образом используется для проверки гипоте зы о том, что наблюдаемая случайная величина имеет функцию распреде ления F (x): сначала по результатам наблюдений находят значение величи ны Dn, а затем по формуле (1) вычисляют вероятность получения отклоне ния Fn от F, большего или равного наблюдаемому. Если указанная вероят 3. Консультационный курс ность достаточно мала, то в соответствии с общими принципами проверки статистических гипотез проверяемую гипотезу отвергают. В противном случае считают, что результаты опыта не противоречат проверяемой гипо тезе. Аналогично проверяется гипотеза о том, получены ли две независи мые выборки, объема n1 и n2 соответственно, из одной и той же генераль ной совокупности с непрерывным законом распределения. При этом вме сто формулы (1) пользуются тем, что вероятность неравенства как это было установлено Н. В. Смирновым, имеет пределом К (), здесь Dn1, n2 есть наибольшее по абсолютной величине значение разности Fn1 (х) – Fn2 (х).

Другим примером непараметрических методов могут служить методы проверки гипотезы о том, что теоретическое распределение принадлежит к семейству нормальных распределений. Отметим здесь лишь один из этих методов – так называемый метод выпрямленной диаграммы. Этот метод основывается на следующем замечании. Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а и, то где Ф-1 – функция, обратная нормальной:

Т.о., график функции у = Ф-1[F (x)] будет в этом случае прямой лини ей, а график функции у = Ф-1[Fn (x)] – ломаной линией, близкой к этой прямой. Степень близости и служит критерием для проверки гипотезы нормальности распределения F (x).

В ЧЕМ ОСОБЕННОСТИ МАЛОЙ ВЫБОРКИ?

Малые выборки, статистические выборки столь малого объема n, что к ним нельзя применить простые классические формулы, действующие лишь асимптотически при n. Особенности статистической оценки парамет ров по малой выборке легче всего понять на примере нормального распре деления (для которого малыми обычно считают выборки объема n 30).

Пусть необходимо оценить неизвестное среднее значение a выборки x1, x2,..., xn из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией s2. Обозначим,.

220 Информатика и математика Исходным пунктом при оценке a служит то обстоятельство, что рас пределение вероятностей величины не зависит от параметров а и s.

Вероятность w неравенства – tw t tw и равносильного ему неравенства (1) вычисляется при этом по формуле w= (2) где s (t, n – 1) есть плотность вероятности для так называемого рас пределения Стьюдента с n – 1 степенями свободы. Определяя для задан ных n и w (0 w 1) критическое значение параметра Стьюдента tw (по соответствующим таблицам), получают правило нахождения доверительных границ для величины а, имеющей значимости уровень w.

При больших n формула (2), связывающая w и tw, приближенно может быть заменена формулой (3) Эту формулу иногда неправильно применяют для определения tw при небольших n, что приводит к грубым ошибкам. Так, для w = 0,99 по фор муле (3) находим t0,99 = 2,58;

истинные значения t0,99 для малых n приведе ны в следующей таблице 3.

Таблица Значения параметра Стьюдента при малом объеме выборки n 2 3 4 5 10 20 t0,99 63,66 9,92 5,84 4,60 3,25 2,86 2, Если пользоваться формулой (3) при n = 5, то получится вывод, что неравенство выполняется с вероятностью 0,99. В действительности в случае пяти наблюдений вероятность этого неравенства равна лишь 0,94, а вероятно стью 0,99 обладает в соответствии с приведенной таблицей неравенство Разработаны также аналогичные методы оценки по малым выборкам па раметров многомерных распределений (например, коэффициента корреляции).

3. Консультационный курс КАК ОЦЕНИТЬ ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ?

Для определения пределов колеблемости, полученной по данным ма лой выборки средней величины и оценки достоверности различий сравни ваемых средних (относительных величин) используют таблицу критерия t (Стьюдента).

В графах таблицы помещены величины доверительного коэффициен та (t), показывающие, во сколько раз разность сравниваемых величин при данном малом числе наблюдений должна превышать свою среднюю ошиб ку для того, чтобы эта разность могла быть признана достоверной с дан ным уровнем вероятности, а результаты статистического исследования – достаточно надежными.

Значение коэффициента t Стьюдента зависит не только от вероятно сти (рt), но и от объема выборки (при n` = n-1). Ясно, что чем меньше вы борка, тем больше значение t.

Обращаться к таблице следует по графе 1, в которой указано число степеней свободы n` = n-1, т.е. числу проведенных наблюдений, умень шенному на единицу. Так, например, если после восьми испытаний дейст вия спинномозговой анестезии на уровень кровяного давления установле но, что средняя величина снижения кровяного давления составляла 5,75 мм при средней ошибке 0,65, то из таблицы t видно, что при n` = 8-1 = 7;

t =2,36. Это значит, что с вероятностью ошибки не более чем 5% можно ут верждать, что размеры снижения кровяного давления при спинномозговой анестезии находятся в пределах 5,75±(2,36 х 0,65), т.е. в пределах 5,75±1, или от 4,22 до 8,26 мм;

с вероятностью ошибки не более чем 1% можно ут верждать, что размеры снижения кровяного давления в результате спин номозговой анестезии составляют 5,75±(3,50 х 0,65) или от 3.48 до 8,02 мм.

Если оценивается достоверность разности коэффициентов или сред них, т.е., то n1 + n2 – 2.

Среднее падение артериального давления при спинномозговой ане стезии, а при эфирном наркозе ;

случайна ли разность средних или действительно эфирный наркоз вызывает меньшее падение артериального давления, чем спинномозговая анестезия?

Таблица Падение артериального давления в зависимости от вида обезболивания Падение артериального давления в мм Вид обезболивания во время опыта Спинномозговая анестезия (v1) 6 5 7 4 8 3 8 Эфирный наркоз (v2) 2 3 4 2 7 5 4 222 Информатика и математика Вычисления и mx для каждого ряда можно произвести обычным путем, но для упрощения расчетов можно использовать следующую фор мулу, удобную для применения при малых числах наблюдений:

.

Упрощение расчетов при использовании этой формулы достигается тем, что вместо вычисления и m ограничиваются определением для каждого ряда чисел, что значительно облегчает вычислительную работу (v – отдельные наблюдения, варианты). В данном примере:

v12= 62+52+72+42 +82 +52 =288, v22 = 22 +32 +42 + 22 +72+52 42 +32 =132,.

Подставив все эти значения в приведенную выше формулу, получим:

Оценивая t по данным таблицы Стьюдента, получаем, что при n` = +8-2=14 в графе этой таблицы стоит величина 2.14. Следовательно, для достоверности утверждения неслучайности различия величин и, с ве роятностью ошибки не более чем 0, 05 (не более чем 5%) достаточно, что бы t было не менее чем 2.14. В данном примере t =2,25. Значит, действие двух приведенных видов обезболивания на снижение кровяного давления действительно различно и это различие может считаться статистически доказанным.

Оценка достоверности интенсивных коэффициентов заболеваемости при наличии повторных заболеваний. Формула средней ошибки показателя пригодна для оценки показателей только в случаях так называемо го альтернативного варьирования, т.е. тогда, когда возможны только два исхода (умер или не умер, заболел данной болезнью или не заболел, при вить против данного заболевания или не привит и т.п.).

Однако характер распределения медико-биологических явлений не редко отличается от нормального. Проводя новые исследования, врач экспериментатор часто не знает, какому закону варьирования будут следо вать результаты, полученные в нескольких опытах, а относительно не большое число проведенных наблюдений не позволяет ему определить форму распределения. В этих случаях оценку достоверности следует про изводить с применением так называемых непараметрических критериев.

3. Консультационный курс ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА Проблемно-тематический комплекс Редактор М.В. Егорова Выпускающий редактор Т.А. Поверина Корректор Г.В. Платова Лицензия ИД № 00871 от 25.01.00. Подписано в печать 14.09. Формат 7090 1/16. Усл. печ. л. 13.0. Тираж 2000 экз. Изд. № Отпечатано в типографии МИЭП 105082, Москва, Рубцовская наб., д. 3, стр.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.