авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 16 |

«О.Ф.Гребенников, Г.В.Тихомирова ОСНОВЫ ЗАПИСИ И ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ...»

-- [ Страница 3 ] --

Следовательно, подобрав соответствующим образом последовательные звенья системы, можно исключить влияние на выходной сигнал фазовых искажений. В частности, подобным образом устраняется кома оптической системы, когда последовательно соединяются два оптических звена с положительной и отрицательной комой.

Поскольку АЧХ описываются четными функциями, а ФЧХ нечетными, то значения как АЧХ, так и ФЧХ для отрицательных частот не несут в себе дополнительной информации. Поэтому их часто изображают только для положительных частот. Кроме того, при выполнении условия (2.16) нормирования импульсной реакции значение АЧХ для нулевой частоты всегда равно единице:

К(0)=F о (x)exp(-i20x)dx=F о (x)dx=1.

- Когда импульсная реакция F o (x) является нечетной функцией (см.рис.2.10,в), выполнение условия нормирования (2.16) невозможно. В данном частном случае K(0)=F o (x)exp(-i20x)dx=F o (x)dx=0, - что и имеет место при магнитной записи сигналов.

Из приведенных примеров следует, что амплитуда гармонического сигнала на выходе системы или ее звена равна произведению амплитуды входного сигнала на значение АЧХ для заданной частоты. В частном случае, если на вход подана гармоника с амплитудой, равной единице, то значение АЧХ равно амплитуде гармоники на выходе системы. Данный принцип используется для экспериментального нахождения АЧХ системы или ее звена.

Если система состоит из нескольких звеньев А, В, С (см.рис.2.8), то, как было показано, импульсная реакция системы равна свертке импульсных реакций составляющих ее звеньев. Поскольку частотные характеристики являются преобразованиями Фурье импульсных реакций, то, на основании теоремы свертки, можно написать, что частотная характеристика системы равна:

К(f) = K A (f)K B (f)K C (f), где K A (f), K B (f), K C (f) - частотные характеристики звеньев А, В и С соответственно. Следовательно, частотная характеристика системы равна произведению частотных характеристик составляющих ее звеньев.

В дальнейшем, при общем анализе преобразования сигналов, сделаем допущение о том, что импульсные реакции всех звеньев систем описываются четными действительными функциями. При рассмотрении же некоторых конкретных систем записи, в которых фазовые соотношения оказывают существенное влияние на выходной сигнал, используем для анализа методы, рассмотренные в приведенных выше примерах.

Поскольку при сделанном допущении амплитудно-частотная характеристика равна частотной характеристике, то для упрощения изложения будем ее называть просто частотной характеристикой и обозначать K(f). В тех же случаях, когда имеем дело с модулем частотной характеристики, будем ее обозначать как и ранее K(f).

Причем, если частотная характеристика является функцией пространственных частот, то будем ее называть пространственной частотной характеристикой (ПЧХ), а если временных частот - то временной частотной характеристикой (ВЧХ).

Следует отметить, что в ряде случаев, даже когда импульсная реакция является четной действительной функцией, все же в выходном сигнале появляются фазовые искажения. Это имеет место тогда, когда частотная характеристика в некоторых областях частот имеет отрицательные значения. На данных частотах происходит сдвиг фаз соответствующих гармоник на, что вызывает реверсирование контраста воспроизводимой гармоники. В тех участках, где должны быть максимумы функции, имеют место минимумы, и наоборот. Абсолютное же значение амплитуды гармоники на выходе системы не зависит от знака частотной характеристики. Вследствие того, что нас интересует в первую очередь амплитудная частотная характеристика, при построении графика частотной характеристики часто принимается во внимание модуль функции К(f).

П р и м е р 2.9. Имп ульсная реакция системы имеет форму прямоугольника (рис.2.13,а) с основанием а и описывается ф ункцией F o (x )=(1/a)rect(x /a), а на вход подан гармонически изменяющийся сигнал F в х (x)=A о +Acos2f о x.

Найти выходной сигнал, если f o =1,5/a.

Частотная характеристика системы равна (рис.2.13,б) K(f)=sincfa.

Следовательно F в ы х (x)=A о +K(f о )Acos2f о x=A o +Asinc[a(1,5/a)]cos[2(1,5/a)x]= = A o +Asinc(1,5)cos(3x/a).

Поскольку sinc(1,5)=-0,212, то F в ы х (x)=A о -0,212Acos(3х/а).

Таким образом, выходной сигнал сдвин ут по фазе на по сравнению с входным сигналом. Это показано на рис.2.13,в, где сплошной линией изображен входной сигнал, а штриховой линией - выходной сигнал.

На графике модуля ф ункции K(f), т.е.АЧХ, часто отрицательные ветви показывают положительными, изображенными сплошными (как показано на рис.2.13,г) или штриховыми линиями.

Имп ульсную реакцию, подобную изображенной на рис.2.13,а, имее т фотографический объектив при значительной расфокусировке. В изображении решеток, образованном таким объективом, легко можно наблюдать реверсирование контраста. Кроме того, подобную импульсн ую реакцию имеет щелевая диафрагма в системе фотографической записи звука и магнитная головка (щелевые потери) в системах магнитной записи сигналов.

Рис.2.13. Графики импульсной реакции (а), частотной характеристики (б,г) системы и входного и выходного гармонического сигнала (в) (к примеру 2.9) При анализе преобразований сигнала в системе ЗТВ требуется выразить как импульсную реакцию, так и соответствующую ей частотную характеристику функциями, удобными для математических операций. Однако не всегда удается найти аналитические выражения для описания указанных характеристик.

Часто их находят экспериментальным путем. В этом случае полученные кривые аппроксимируют наиболее близкими функциями, удобными для вычислений. В Приложении приведены преобразования Фурье элементарных функций, наиболее часто встречающихся при анализе преобразований сигналов при их записи на носителе. Иногда функции, приведенные в таблицах преобразований Фурье, не позволяют достаточно точно аппроксимировать импульсные реакции анализируемых систем. В этом случае путем представления импульсной реакции в виде свертки, суммы или произведения элементарных функций, преобразования Фурье которых известны, возможно найти частотную характеристику для систем, имеющих импульсную реакцию практически любой формы П р и м е р 2.10. Имп ульсная реакция F о (х’) имеет вид кривой, близкой к трапеции, показанной сплошными линиями на рис.2.14,а. Найти частотную характеристику системы.

Рис.2.14. Импульсная реакция системы и ее частотная характеристика (к пример у 2.10) Опишем трапецию как свертку дв ух прямо угольников АВСD и АNЕF, показанных на рис.14,а штриховыми линиями. Для выполнения условия нормирования (2.16) импульсной реакции, площадь трапеции и площади обоих прямоугольников должны быть равны единице. При выполнении этого условия функция, описывающая импульсн ую реакцию, будет равна свертке:

F о (x)=[2/(a 1 +a 2 )]rect[2x/(a 1 +a 2 )][2/(a 1 -a 2 )]rect[2x/(a 1 a 2 )], где а 1 и а 2 - длина оснований трапеции.

В Приложении находим, что преобразование Ф урье от сворачиваемых функций, описывающих прямо угольники ABCD и ANEF, соответственно равны: sinc[f(a 1 +a 2 )/2] и sinc[f(a 1 -a 2 )/2]. На основе теоремы свертки можем написать, что частотная характеристика системы равна произведению преобразований Фурье от сворачиваемых ф ункций:

K(f)=sinc[f(a 1 +a 2 )/2]sinc[f(a 1 -a 2 )/2].

Полученное выражение описывает частотную характеристику (рис.2.14,б), которая близка к той, которая имеет место при сдвиге изображения во время записи, а также в киносъемочном аппарате при временных преобразованиях изображения.

Поставленн ую в данном примере задач у можно решить также представив трапецеидальную имп ульсную реакцию в виде разности дв ух тре угольников A 1 MD 1 и B 1 MC 1 (см.рис.2.14,а).

П р и м е р 2.11. Имп ульсная реакция F o (x) имеет вид кривой, близкой к участку косинусо иды, показанному сплошной линией на рис.2.15,а.

Протяженность участка косинусоиды вдоль оси х равна ее одному периоду а.

Найти частотн ую характеристику системы.

Рис.2.15. Имп ульсная реакция системы и ее частотная характеристика (к пример у 2.11) Имп ульсная реакция может быть представлена произведением косинусоиды 1+cos2x/a на прямоугольную ф ун кцию rect(x/a) (показана на рис.2.15,а штрих-пунктирной линией):

F о (x )=c(1+cos2x/a)rect(x/a), где с - нормировочный коэффициент. В соответствии с формулой (2.16) имеем:

a/ с(1+cos2x/a)rect(x/a)dx=c(1+cos2x/a)dx=1.

- -a/ Решая данное уравнение относительно с, находим с=1/а.

Следовательно F o (x)=(1/a)(1+cos2x /a)rect(x/a).

Поскольку (1+cos2x/a)[(f)+0,5(f-1/a)+0,5(f+1/a)] и (1/a)rect(x/a)sincfa, то в соответствии с обратной теоремой свертки имеем:

K(f)=sincfa[(f)+0,5(f-1/a)+0,5(f+1/a)]= =sincfa+0,5sinca(f-1/a)+ 0,5sinca(f+1/a).

График ф ункции показан на рис.2.15,б.

Анализ преобразований сигнала в системе ЗТВ более удобно проводить не в сигнальной, а в спектральной области, поскольку, как уже указывалось, трудоемкая операция свертки сигнала с импульсными реакциями заменяется на более простую операцию перемножения частотных характеристик и спектров сигнала. Кроме того, как это будет ясно из дальнейшего изложения материала, многие преобразования сигналов более наглядны, когда они проводятся в спектральной области. Для общего анализа систем ЗТВ желательно иметь удобную для представления ее звеньев аппроксимацию частотных характеристик. В качестве такой аппроксимации наиболее подходит экспоненциальная функция (рис.2.16):

K(f)=exp[-m(f/N) n ], (2.33) где m, N, n - постоянные для данной системы или ее звена параметры.

Рис.2.16. Графики функций, аппроксимир ующих частотную характеристику Значение N определяет разрешающую способность, т.е.

максимальную пространственную частоту, которую система способна записать и воспроизвести. Ранее было показано, что частотная характеристика определяет амплитуду гармонического сигнала на выходе системы, если на вход был подан гармонический сигнал с амплитудой, равной единице. В каждом звене имеется источник шума. Этот шум смешивается с сигналом и система, строго говоря, становится недетерминированной. Если уровень выходного сигнала соизмерим с уровнем шумовых процессов, то обнаружить сигнал на выходе системы будет затруднительно. Последнее имеет место тогда, когда fN. Следовательно, можем написать (рис.2.16,а) K(N)==exp(-m), откуда m=ln(1/).

(2.34) Значение в звеньях системы ЗТВ лежит в пределах от 0,01 до 0,05.

Для нахождения показателя степени n введем понятие критическая частота f е, при которой значение K(f е ) равно е - 1.

Следовательно, K(f e )=exp[-m(f e /N) n ]=exp(-1).

Из этого выражения находим n=lnm/ln(N/f e ).

(2.35) Значение n определяет форму частотной характеристики, как это показано на рис.2.16,б, где принято, что значения m и N для всех приведенных частотных характеристик неизменны.

Формула (2.33) удобна в том отношении, что она учитывает основные параметры системы. Параметр m зависит от отношения сигнал/шум, значение N определяется полосой пропускания системы, а параметр n выбирается в зависимости от формы аппроксимируемой частотной характеристики.

Для некоторых значений n имеются табличные преобразования Фурье функции (2.33), позволяющие находить импульсную реакцию системы или ее звена. При n форма частотной характеристики приближается к прямоугольнику с основанием 2N. Следовательно, F о (x)=2Nsinc2хN.

При n= F о (x)=2(m/N)[(m/N) 2 +4(x) 2 ] - 1.

Если n=2, то функция K(f)=exp[-m(f/N) 2 ] описывает кривую Гаусса;

ее преобразование Фурье также является функцией Гаусса F o (x)=(/m) 1 / 2 Nexp[-(xN) 2 /m].

При =0,04 m=ln(1/0,04)3,14= и выражение для частотной характеристики принимает вид K(f)=exp[-(f/N) 2 ], (2.36) а для импульсной реакции F o (x)=Nexp[-(xN) 2 ].

(2.37) Аппроксимации (2.36) и (2.37) достаточно точно отражают частотные характеристики и импульсные реакции многих звеньев систем ЗТВ и, кроме того, очень удобны для математических преобразований. В дальнейшем мы часто их будем использовать при общем анализе систем и их звеньев.

П р и м е р 2.12. Найти аппроксимирующ ую ф ункцию для частотной характеристики, полученной экспериментально (сплошная линия на рис.2.17), считая, что =0,025.

Из рис.2.17 имеем:

N=88мм -1 ;

f е =50 мм -1.

По формулам (2.34) и (2.35) определяем m=ln(1/0,025)=3,7;

n=ln3,7/ln(88/50)=2,3.

Следовательно:

K(f)=exp[-3,7/(f/88) 2, 3 ].

Рис.2.17. Частотная характеристика и ее аппроксимация (к примеру 2.12) Конечно, аппроксимация как импульсных реакций, так и частотных характеристик дает приближенный результат и используется лишь при общем анализе систем или при предварительных расчетах. Окончательный точный результат достигается либо в том случае, когда имеются аналитически найденные функции, описывающие частотные характеристики и импульсные реакции, либо при использовании численных методов и применении вычислительной техники.

Рассмотренные преобразования одномерных сигналов в системе ЗТВ и в ее звеньях часто оказываются пригодными для анализа преобразования двумерных и многомерных сигналов изображения при их записи вдоль двух или трех измерений носителя. Далее будет показано, что трудоемкие и громоздкие двумерные и особенно трехмерные преобразования часто удается свести к одномерным.

2.4. МАГНИТНАЯ ЗАПИСЬ СИГНАЛОВ В основе магнитной записи электрических сигналов лежит способность ферромагнитных материалов намагничиваться и сохранять это состояние длительное время. В зависимости от направления действия записывающего магнитного поля на рабочий слой магнитного носителя записи установлены понятия продольной и перпендикулярной магнитной записи. Продольная запись осуществляется при действии записывающего магнитного поля вдоль движущегося магнитного носителя, а перпендикулярная запись - при действии магнитного поля перпендикулярно поверхности магнитного носителя. Практическое применение получила в основном продольная магнитная запись сигналов, свойства которой и являются предметом рассмотрения в настоящем разделе.

Рис.2.18. Запись и воспроизведение сигнала на магнитной ленте Рис.2.19. Воспроизведение гармонического сигнала системой магнитной записи Магнитная запись электрических сигналов на магнитную ленту осуществляется при помощи записывающей кольцевой магнитной головки 1 (рис.2.18). Последняя представляет собой магнитопровод с зазором (щелью) и обмоткой, через которую проходит ток записываемого сигнала. При этом в области зазора возникает магнитное поле, намагничивающее рабочий слой магнитной ленты 3.

Во время записи магнитная лента перемещается относительно записывающей головки в направлении стрелки со скоростью V, осуществляя развертку сигнала по носителю.

Положим, что на вход системы магнитной записи подан гармонически изменяющийся с частотой сигнал (ток записи) с амплитудой, равной единице:

F в х (t)=1+sin2t.

После развертки по носителю этот сигнал описывается функцией пространственной координаты x (рис.2.19,а):

F в х (x)=1+sin2fx.

Изменение намагниченности рабочего слоя магнитной ленты вдоль оси x в идеальном случае также будет гармоническим. Из намагниченной ленты во внешнее пространство выйдет магнитный поток (рис.2.19,б) F ф (x)=c 1 (1+sin1fx), где с 1 - величина магнитного потока, вызываемая единицей тока записи.

Магнитная головка воспроизведения 2 (см.рис.2.18) устроена аналогично головке записи. Во время движения магнитной ленты перед зазором головки воспроизведения проходят участки ленты с различной намагниченностью. Магнитные силовые линии замыкаются магнитопроводом, вследствие чего магнитный поток в нем будет изменяться пропорционально изменению намагниченности рабочего слоя магнитной ленты. Изменяющийся магнитный поток наводит в обмотке головки воспроизведения ЭДС, которая по закону электромагнитной индукции равна F в ы х (t)=-qdF r (t)/dt или F в ы х (x)=-qdF r (x)/dx, (2.38) где q - число витков обмотки головки воспроизведения, F r (x) магнитный поток в сердечнике головки, который в идеальном случае прямо пропорционален магнитному потоку F ф (x), т.е.

F r (x)=c 1 c 2 (1+sin2fx), причем с 2 - коэффициент пропорциональности. Подставив значение F r (x) в формулу (2.38) и выполнив дифференцирование, находим, что F в ы х (x)=-2c 1 c 2 qfcos2fx=-cfcos2fx, где с - постоянный коэффициент.

Из полученного выражения следует, что в результате дифференцирующего действия индукционной магнитной головки воспроизведения постоянная составляющая сигнала исчезла (рис.2.19,в), воспроизведенный сигнал получил фазовый сдвиг на /2, а амплитуда сигнала стала пропорциональна его частоте.

Поскольку, как было рассмотрено ранее (см.раздел 2.3), частотная характеристика показывает амплитуду гармонического сигнала на выходе системы, если на вход системы была подана гармоника с амплитудой, равной единице, то ПЧХ идеальной системы магнитной записи определяется выражением K и д (f)=cf (2.39) и имеет вид прямой, проходящей через начало координат.

В реальных системах магнитной записи на выходной сигнал оказывают существенное влияние ширина h (см.рис.2.18) зазора магнитной головки, толщина a рабочего слоя магнитной ленты и неизбежный зазор d между головкой и лентой. Эти факторы снижают амплитуду выходного гармонического сигнала (показано на рис.2. штриховыми линиями) и называются щелевыми, слойными и контактными потерями. Рассмотрим, как они влияют на ПЧХ системы магнитной записи.

ПЧХ K щ (f) щелевых потерь находится из выражения K щ (f)=sincfh.

(2.40) ПЧХ K с л (f) слойных и ПЧХ K к (f) контактных потерь определяют формулы K с л (f)=[1-exp(-2af)]/(2af) (2.41) и K к (f)=exp(-2df).

(2.42) Итоговая ПЧХ находится перемножением ПЧХ идеальной системы магнитной записи и ПЧХ указанных звеньев системы:

K м (f)=K и д (f)K щ (f)K с л (f)K к (f).

(2.43) П р и м е р 2.13. Ширина зазора магнитной головки равна h=0,005 мм, толщина рабочего слоя магнитной ленты а=0,01 мм, зазор между головкой и лентой составляет d=0,001 мм. Найти ПЧХ щелевых, слойных, контактных потерь и ПЧХ системы воспроизведения магнитной записи, если коэффициент пропорциональности с в формуле (2.39) равен 0,1.

Частотные характеристики идеальной системы, щелевых, слойных и контактных потерь находим по формулам (2.39), (2.40), (2.41) и (2.42):

K и д (f)=0,1f;

K щ (f)=sinc0,005f;

K с л (f)=[1-exp(-20,01f)]/(20,01f);

K к (f)=exp(-20,001f).

На рис.2.20 показаны графики найденных ПЧХ, а также итоговой ПЧХ K м (f), полученной путем перемножения ПЧХ согласно формуле (2.43).

Теперь решим ту же задачу в общем случае. Аппроксимируем импульсную реакцию, обусловленн ую щелевыми, контактными и слойными потерями, ф ункцией F o (x)=Nexp[-(x N) 2 ].

Рис.2.20. ПЧХ системы воспроизведения магнитной записи Импульсн ую реакцию на выходе магнитной головки воспроизведения находим дифференцированием ф ункции F o (x):

F o м (x)=-2Nxexp[-(xN) 2 ].

Синус-преобразование и косин ус-преобразование Ф урье этой ф ункции равны K s (f)=-fexp[-(0,25/)(f/N) 2 ] и K c (f)=0.

Найдем теперь АЧХ и ФЧХ системы:

K м (f)=[K с 2 (f)+K s 2 (f)] 1 / 2 = fexp[-(0,25/)(f/N) 2 ] и -/2 при f (f)=arctg[K s (f)/K c (f)]= /2 при f0.

- Если принять N=200 мм, то графики АЧХ и ФЧХ буд ут иметь вид, показанный в нижней части рис.2.20.

Из рис.2.20 следует, что ПЧХ процесса воспроизведения, в отличие от ранее рассмотренных случаев, имеет форму частотной характеристики полосового фильтра, подавляющего не только высокие, но и низкие частоты. В отличие от ПЧХ процесса воспроизведения, ПЧХ процесса записи не имеет спада на низких частотах. Она достаточно равномерна с некоторым спадом в области высоких частот, обусловленным частичным размагничиванием в процессе записи сигналов с длиной волны, соизмеримой с шириной щели в магнитной головке. Такое размагничивание происходит из-за быстрого изменения тока записи, когда уже намагниченные участки еще не вышли из области рассеяния магнитного поля головки.

Обычно ширину зазора в головке записи принимают несколько меньшей ширины зазора головки воспроизведения. Вследствие этого в пределах рабочего диапазона записываемых частот ПЧХ процесса записи достаточно равномерна и форму ПЧХ всей системы магнитной записи определяет в основном ПЧХ процесса воспроизведения.

Максимальная длина волны, которую система способна воспроизвести, т.е минимальная пространственная частота воспроизводимого сигнала, зависит от длины контакта (см.рис.2.18) магнитной ленты и головки. Если длина волны превышает длину контакта, то магнитные силовые линии замыкаются в пространстве, не вызывая появления выходного сигнала в обмотке магнитной головки. Поэтому минимальная воспроизводимая частота равна 1/. Максимальная же воспроизводимая пространственная частота не превышает величины 1/h. Длина контакта обычно составляет 3-5 мм, а минимальная ширина h зазора головки достигает 1 мкм. Следовательно, отношение максимальной к минимальной частоте, которое возможно записать, будет равно ma x /h mi n =(3 5)/0,001=3000-5000. Подобное ограничение частотного диапазона вполне допустимо при записи звукового сигнала, но вызывает затруднения при записи широкополосного видеосигнала.

ПЧХ системы магнитной записи должна быть достаточно равномерной или “плоской” в пределах рабочего диапазона пространственных частот. В противном случае говорят о частотных искажениях. Из рис.2.20 следует, что ПЧХ системы магнитной записи имеет очень неравномерную форму. Корректировку формы ПЧХ системы магнитной записи осуществляют выбором формы ВЧХ усилителей записи и воспроизведения таким образом, чтобы они имели подъем в области низких и высоких частот. Если ВЧХ усилителя воспроизведения, приведенную к пространственным частотам, описывает функция K у с (f), которая имеет вид, показанный на рис.2.21,а, то итоговая ПЧХ K(f) системы магнитной записи равна K мс (f)=K м (f)K у с (f), и имеет вид, показанный на рис.2.21,б.

Рис.2.21. ПЧХ систем магнитной записи Поскольку на нулевой частоте ПЧХ системы магнитной записи равна нулю, а не единице, как ранее, то выразить ее в относительных единицах (от 0 до 1) затруднительно. Вследствие этого принято выражать ПЧХ в децибелах. Наиболее удобно выражать ПЧХ магнитной записи в соответствии с формулой [K мс (f)] д б =20lg[K м с (f)/], где - уровень шума в системе. Если приняты меры по линеаризации передаточной характеристики системы магнитной записи путем высокочастотного подмагничивания (см.раздел 2.1), то динамический диапазон воспроизводимого сигнала достигает 60- дБ.

Таким образом, преобразования сигнала при прямой продольной магнитной записи сигнала на магнитной ленте аналогичны рассмотренным в разделах 2.2 и 2.3. Импульсная реакция процесса записи подобна изображенной на рис. 2.10,а, а частотная характеристика имеет вид, схожий с показанным на рис.2.17. Однако в процессе воспроизведения сигнала индукционной магнитной головкой в результате ее дифференцирующего действия импульсная реакция приобретает форму, изображенную на рис.2.10,в, а ПЧХ на нулевой частоте обращается в нуль. В результате оказывается невозможным воспроизведение постоянной составляющей сигнала.

Кроме того, возникает ограничение частотного диапазона не только в области высоких, но и низких частот. Эти особенности в некоторых случаях вызывают затруднения в применении систем магнитной записи, однако могут быть устранены, если перейти от прямой к модуляционной магнитной записи сигналов.

Модуляционная аналоговая запись основана на предварительном модулировании записываемым сигналом несущей частоты по амплитуде или по частоте. Более распространена в системах записи информации частотная модуляция, однако амплитудная модуляция позволяет более простыми методами объяснить свойства и возможности систем модуляционной аналоговой записи сигналов.

Вследствие этого рассмотрим вначале запись сигналов с амплитудной модуляцией.

Амплитудная модуляция возможна с подавлением и без подавления несущей частоты. Будем считать, что модуляция осуществляется без подавления несущей. В данном случае к входному сигналу F в х (x) (рис.2.22,а) добавляется постоянная составляющая А. Ее величина должна быть равна или превышать максимальное отрицательное значение входного сигнала. В результате в сигнале будут отсутствовать отрицательные значения (рис.2.22,б). Несущую частоту f н принимают несколько большей максимальной частоты f ma x, которую содержит спектр входного сигнала. Амплитудно модулированный сигнал опишет функция F а м (x)=[A+F в х (x)]cos2f н x=Аcos2f н x+F вх (x)cos2f н x, (2.44) график которой показан на рис.2.22,в. Из рисунка следует, что амплитудно-модулированный сигнал содержит только переменную составляющую, независимо от того, имел ли постоянную составляющую входной сигнал. Вследствие этого амплитудно модулированный сигнал может быть записан на магнитной ленте и воспроизведен без каких-либо потерь.

Рис.2.22. Преобразования сигнала при амплитудной и частотной модуляции Найдем спектр S а м (f) амплитудно-модулированного сигнала.

Поскольку второе слагаемое в правой части равенства (2.44) представляет собой произведение двух функций, то его преобразование Фурье равно свертке преобразований Фурье от сомножителей:

S а м (f)=А0,5[(f-f н )+(f+f н )]+0,5[(f-f н )+(f+f н )]S вх (f)= =А0,5[(f-f н )+(f+f н )]+0,5[S в х (f-f н )+S в х (f+f н )], (2.45) где S вх (f)F в х (x).

Из полученного выражения следует, что в результате амплитудной модуляции спектр сигнала (рис.2.23,а) трансформировался в две составляющие, которые повторяют спектр входного сигнала, но разнесены относительно начала координат на интервалы, равные несущей частоте f н (рис.2.23,б).

Рис.2.23. Спектр сигнала (а) и спектр этого же сигнала после амплитудной модуляции (б) Если теперь расположить спектр модулированного сигнала в пределах ПЧХ системы магнитной записи (показана штриховой линией на рис.2.23,б), то этот сигнал, несущий информацию как о постоянной, так и о переменной составляющей входного сигнала, будет не только записан на магнитной ленте, но и воспроизведен.

После воспроизведения сигнала с магнитной ленты он подвергается демодуляции, которая в упрощенном виде может быть представлена в виде двух процессов: детектирования при помощи детектора выпрямителя и фильтрации нижних частот. Детектор-выпрямитель выпрямляет модулированный сигнал, устраняя в нем отрицательные полупериоды. Выходной фильтр нижних частот подавляет все частоты, равные несущей частоте и большие ее.

Для того, чтобы составляющие спектров (см.рис.2.23,б) не перекрывали бы друг друга, входной сигнал должен быть пропущен через входной фильтр нижних частот, полностью подавляющий в его спектре все частоты, большие f н.

Таким образом, магнитная запись сигнала с амплитудной модуляцией позволяет записывать не только переменную, но и постоянную составляющую сигнала.

Как следует из рис.2.23,б, для записи модулированного сигнала при прочих равных условиях требуется более чем в два раза увеличить полосу пропускания системы записи. Сократить требуемую полосу пропускания при амплитудной модуляции можно следующим образом. Так как для любого реального сигнала спектр является четной функцией частоты, то и разнесенные составляющие спектра будут симметричны относительно частот f н и -f н (см.рис.2.23,б). Следовательно, две верхние боковые полосы частот (заштрихованные на рис.2.23,б) или две нижние боковые полосы частот содержат всю информацию о записываемом сигнале.

Вследствие этого, если перед записью будут отфильтрованы верхние боковые полосы частот, то требуемая полоса пропускания системы записи уменьшится почти в два раза, но после демодуляции сигнала на выходе системы вся информация о записанном сигнале будет восстановлена. Такой способ модуляции называется однополосной амплитудной модуляцией.

Частотная модуляция в отличие от амплитудной, заключается в модулировании несущего колебания входным сигналом не по амплитуде, а по частоте (рис.2.22,г). Как и при амплитудной модуляции, несущая частота f н должна превышать максимальную частоту f m ax в спектре записываемого сигнала. Постоянной составляющей соответствует определенная постоянная частота модулированного сигнала. Поскольку информацию о записанном сигнале несет не уровень записи, а его частота, то нелинейность и шумы системы записи оказывают значительно меньшее влияние на воспроизводимый сигнал, чем при прямой записи или при записи с амплитудной модуляцией.

Пределы, в которых изменяется частота несущей при ее модуляции сигналом, выбираются произвольно и называются полосой девиации или качания частоты, которую обозначим 2f н. На рис.2.24 показан спектр S в х (f) сигнала и спектр S ч м (f) частотно модулированного сигнала. Здесь же показана полоса девиации и условно изображен сигнал F в х (x), модулирующий несущую.

Минимальное значение модулированной частоты равно f н -f н, а максимальное f н +f н. Казалось бы, что полоса девиации и определяет требуемую полосу пропускания системы записи, но это не так. При частотной модуляции в отличие от амплитудной, где имеется лишь одна пара боковых полос, возникает бесконечное количество боковых полос, которые несут информацию о записываемом сигнале. Однако амплитуды боковых полос очень быстро убывают, вследствие этого считается, что ширину спектра частотно-модулированного сигнала достаточно ограничить полосой f ч м =2(f ma x +f н ).

(2.46) Рис.2.24. Спектр частотно-модулированного сигнала Отношение f н /f ma x = (2.47) называется индексом модуляции. Если 1, то говорят об узкополосной частотной модуляции, если 1, то - о широкополосной частотной модуляции. Понятно, что с увеличением должна увеличиваться точность передачи сигнала, т.е. отношение сигнал/шум. Приближенно можно считать, что отношение сигнал/шум по сравнению с прямой записью или с записью с амплитудной модуляцией возрастает в n=1, (2.48) раза.

Сокращения требуемой полосы пропускания при частотной модуляции можно добиться некоторым подавлением верхней боковой полосы. Однако в отличие от амплитудной модуляции подавить можно, и то лишь частично, спектр модулированного сигнала сверху до значений частоты f н +(1...3)f н (на рис.2.24 заштриховано).

При записи модулированных сигналов возможно частотное уплотнение, т.е. запись вдоль одного измерения носителя двух или нескольких одномерных сигналов. Положим, что записываются два сигнала со спектрами S в х 1 (f) и S в х 2 (f) (рис.2.25,а). Если один сигнал модулирует несущую с частотой f н1 =f ma x 1, а второй - несущую с частотой f н2 =f ma x 2 +2f ma x 1, где f ma x 1 и f ma x 2 -максимальные частоты в спектрах S в х 1 (f) и S в х 2 (f), то спектры будут разнесены в частотном пространстве так, как показано на рис.2.25,б. Следовательно, оба сигнала будут записаны на одном носителе, но требуемая полоса пропускания системы записи должна быть значительно расширена по сравнению с прямой записью каждого из этих сигналов. После воспроизведения сигналы разделяются и демодулируются.

Рис.2.25. Спектры входных сигналов и спектр частотно уплотненногоамплитудно-модулированного сигнала Рис.2.26. Ограничение уровня частотно-модулированного сигнала Запись сигналов с частотной модуляцией получила широкое применение в видеотехнике, поскольку, в отличие от систем с амплитудной модуляцией, менее чувствительна к паразитной амплитудной модуляции, возникающей в результате случайного изменения зазора между головкой и лентой, что имеет место при очень больших скоростях развертки (во много раз больших, чем при записи звука), возможных случайных смещениях головки воспроизведения относительно дорожки записи и т.п. Для уменьшения влияния нелинейности и паразитной амплитудной модуляции при частотной модуляции значительно ограничивают уровень сигнала (рис.2.26). Обычно при записи частотно модулированных сигналов высокочастотное подмагничивание не используют.

Методом частотного уплотнения во многих видеомагнитофонах осуществляется запись звукового сигнала и сигнала изображения на одной дорожке.

5 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА ПРИ ЕГО ДИСКРЕТИЗАЦИИ Как уже было рассмотрено, дискретизация является вынужденной операцией при записи многомерного сигнала визуальной информации. Она также необходима при цифровой записи одномерных, в частности звуковых и видеосигналов. В известных системах сигнал подвергается дискретизации по переменным x, y, t,, x о и др. Однако преобразования любого сигнала во всех случаях имеют много общего и базируются на теории дискретизации, в развитие которой внес существенный вклад профессор Н.К.Игнатьев.

Основные закономерности преобразования сигналов при дискретизации рассмотрим на примере дискретизации одномерного исходного сигнала F и (x), развернутого вдоль оси х носителя (рис.2.27,а). Анализирующую дискретизацию осуществляет дискретизирующая функция F д (x)=(x-nХ*)Х*, (2.49) n= показанная на рис.2.27,б. Она состоит из последовательности дельта-функций, отстоящих друг от друга на интервалах Х*, называемых шагом дискретизации. Частота дискретизации при этом будет равна f д =1/Х*.

(2.50) Рис.2.27. Дискретизация исходного сигнала F и (x’) Процесс анализирующей дискретизации, т.е. превращение непрерывной функции F и (x) в последовательность ее значений, взятых через интервалы Х*, может быть описан перемножением исходной функции на дискретизирующую функцию:

F*(x)=F и (x)F д (x)=F и (x)(х-nХ*)Х*.

n= В результате получаем дискретизированную функцию F (x), показанную на рис.2.27,в, которая состоит из последовательности импульсов с различной амплитудой.

Конечно, в результате анализирующей дискретизации частично потеряна информация, содержавшаяся в исходном сигнале, и возможно появление искажений в воспроизводимом сигнале.

Интуитивно понятно, что потерю информации и проявление искажений можно снизить уменьшением шага дискретизации, т.е.

увеличением ее частоты. Однако увеличение частоты дискретизации вызывает повышенный расход носителя записи. Рассмотрим, как найти минимально допустимую частоту дискретизации, а также при каких условиях возможно воспроизвести сигнал после его дискретизации без каких-либо искажений.

Анализ преобразований сигнала в процессе дискретизации удобно провести в спектральной области. Поскольку функция F (x) равна произведению функций F и (x) и F д (x), то в соответствии с обратной теоремой свертки ее спектр S (f) равен свертке преобразований Фурье функций F и (x) и F д (x). Преобразование Фурье функции F и (x) обозначим S и (f). Преобразование Фурье дискретизирующей функции равно S д (f)=(f-n/Х*)=(f- nf д ).

n=- n= Произведем свертку функций S и (f) и S д (f):

S*(f)=S и (f 1 )(f-f 1 -nf д )df 1.

- n= Учитывая свойства дельта-функции, после интегрирования находим, что спектр сигнала после его дискретизации стал равен S*(f)=S и (f-nf д ).

(2.51) n= Выражение (2.51) показывает, что в результате дискретизации в спектральном пространстве, кроме спектра S и (f) исходного сигнала, появилось бесчисленное множество смещенных спектров (рис.2.28), которые полностью повторяют спектр исходного сигнала и отстоят от него на интервалах, кратных частоте дискретизации f д :

f д,2f д,3f д,...nf д,... Смещенные спектры, естественно, приводят к искажению дискретизированного сигнала.

Рис.2.28. Спектры исходного (а) и дискретизированного (б) сигналов Рассмотрим, возможно ли восстановить дискретизированный сигнал без каких-либо искажений. Из рис.2.28 следует, что искажения могут быть вызваны двумя причинами: первая причина это частичное проникновение смещенных спектров в пределы основного спектра и вторая - это наличие смещенных спектров.

Первая причина может быть устранена либо ограничением по частоте спектра исходного сигнала, либо увеличением частоты дискретизации. Положим, что спектр исходного сигнала не содержит частот, больших f m ax (рис.2.29,а). Тогда приняв частоту дискретизации f д =2f ma x (рис.2.29,б), мы разнесем в спектральном пространстве смещенные спектры и они не будут перекрывать основной спектр сигнала.

Вторую причину можно устранить, применив на выходе системы идеальный фильтр нижних частот, полностью подавляющий частоты, большие f ma x =f д /2. Считаем, что идеальный фильтр нижних частот имеет частотную характеристику, равную единице для всех частот от 0 до f д /2 (показана штриховой линией на рис.2.29,б). В результате на выходе системы будет получен сигнал, спектр которого не отличается от спектра исходного сигнала (рис.2.29,в).

Следовательно, в выходном сигнале будут полностью отсутствовать какие либо искажения, вызванные его дискретизацией.

Рис.2.29. Воспроизведение неискаженного спектра исходного сигнала На основе изложенного приходим к теореме В.А.Котельникова:

любую функцию, состоящую из частот от 0 до f ma x, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через интервалы Х*=0,5/f ma x.

Непременным условием точного восстановления исходной функции является применение на выходе системы идеального фильтра нижних частот со срезом частотной характеристики на частоте f ma x =f д /2.

Теорема В.А.Котельникова является фундаментальной для теории передачи и записи сигналов. В зарубежной (а иногда и в отечественной) технической литературе эту знаменитую теорему иногда называют теоремой Уиттекера, теоремой Найквиста, теоремой отсчетов и др. В дальнейшем мы будем называть ее так же, как ее называют отечественные ученые - теоремой Котельникова.

Таким образом, дискретизация не вызывает искажений сигнала, если спектр исходного сигнала ограничен по частоте, т.е. пропущен через специальный фильтр, а на выходе системы осуществляется эффективная фильтрация нижних частот. Для облегчения анализа преобразований сигнала при его дискретизации Н.К.Игнатьевым предложена эквивалентная схема (рис.2.30,а), в которой процесс фильтрации и дискретизации условно разделен. Входной сигнал F в х (x) поступает в фильтр Ф 1, который имеет импульсную реакцию F o 1 (x). Считаем, что фильтр Ф 1 идеален и полностью подавляет в спектре сигнала F вх (x) все частоты, большие f ma x. На выходе фильтра Ф 1 имеем исходный сигнал F и (x) с ограниченным спектром. Этот сигнал поступает в устройство Д, которое назовем дискретизатором. Он характеризуется дискретизирующей функцией F д (x). Дискретизатор осуществляет дискретизацию с шагом Х*=0,5/f ma x и частотой f д =2f ma x. На выходе дискретизатора получаем дискретизированный сигнал F*(x), который поступает в выходной фильтр Ф 2. Считаем, что фильтр Ф 2 имеет импульсную реакцию F о 2 (x), так же, как и фильтр Ф 1, идеален и полностью подавляет все частоты, большие f ma x. На выходе фильтра Ф 2 имеем выходной сигнал F в ых (x), который, согласно теореме Котельникова, не отличается от исходного - F и (x).

Рис.2.30. Эквивалентная схема преобразований сигнала при его дискретизации Преобразования сигнала, согласно эквивалентной схеме, показаны на рис.2.30,б и описываются следующими выражениями:

фильтр Ф 1 - F и (x)=F в х (x)F о 1 (x);

дискретизатор Д - F*(x)=F и (x)F д (x);

фильтр Ф 2 - F в ы х (x)=F*(x)F о 2 (x).

На рис.2.30,в показаны преобразования спектра сигнала в рассматриваемой системе. Они могут быть представлены равенствами:

фильтр Ф 1 - S и (f)=S в х (f)K 1 (f);

дискретизатор Д - S*(f)=S и (f)S д (f);

фильтр Ф 2 - S в ы х (f)=S*(f)K 2 (f), где K 1 (f) и K 2 (f) - частотные характеристики фильтров Ф 1 и Ф 2.

Таким образом, анализирующую дискретизацию в системе Ф 1 - Д - Ф 2 осуществляет дискретизатор Д, а синтезирующую дискретизацию - фильтр Ф 2, который дискретный сигнал вновь превращает в непрерывный.

Фильтры Ф 1 и Ф 2 выполняют важнейшую роль в процессе дискретизации сигналов, оказывая существенное влияние на количество информации, передаваемой системой ЗТВ, а также на возможность появления искажений, вызванных дискретизацией.

Лучшие результаты дают идеальные фильтры, частотная характеристика которых описывается функциями K 1 (f)=K 2 (f)=rect(fХ*)=rect(f/f д ).

(2.52) Импульсные реакции фильтров находим обратным преобразованием Фурье функций (2.52):

F o 1 (x)=F o 2 (x)=(1/Х*)sinc(x/Х*).

(2.53) Следовательно, исходный сигнал будет равен свертке:

F и (x)=F o 1 (x)F в х (x)=(1/Х*)F в х (x 1 )sinc[(x x 1 )/Х*]dx 1.

После выполнения данной операции функция F и (x) уже не содержит частот, больших f ma x =0,5/Х*, и поэтому может быть дискретизирована с шагом дискретизации Х*=0,5/f ma x =1/f д :

F*(x)=F и (x)F д (x)=F и (x)(x-nХ*)Х*.

n= На выходе системы применен фильтр Ф 2, имеющий такую же импульсную реакцию, как и фильтр Ф 1. Его действие на сигнал F*(x) находим сверткой:

F в ы х (x)=F*(x)F o 2 (x)= =F и (x 1 )(x 1 -nХ*)Х*(1/Х*)sinc[(x x 1 )/Х*]dx 1.

- n= После интегрирования имеем F в ы х (x)=F и (nХ*)sinc[(x-nХ*)/Х*].

(2.54) n= Согласно теореме Котельникова, если функция F и (x) не содержит частот, больших f ma x =0,5/Х*, а на выходе системы применен идеальный фильтр нижних частот, то F в ы х (x)=F и (x).

Приняв F в ых (x)=F и (x)=F(x), на основе равенства (2.54) можем написать F(x)=F(nХ*)sinc[(x-nХ*)/Х*] при f ma x 0,5/Х*.

(2.55) n= Данное выражение называется рядом Котельникова и показывает, что если функция F(x) не содержит частот, больших 0,5/Х*, то она может быть представлена суммой ряда (2.55).

Физический смысл теоремы Котельникова заключается в том, что входной сигнал перед дискретизацией подвергается эффективной фильтрации при помощи фильтра Ф 1, который как бы сглаживает его форму (см.рис.2.30,б). Это и позволяет по отдельным значениям плавно изменяющегося сигнала, взятым через определенные интервалы, методом интерполяции находить промежуточные его значения. Подобную интерполяцию выполняет идеальный фильтр Ф на выходе системы. Рассмотрим этот процесс несколько подробнее.

На рис.2.31 показан график импульсной реакции F o (x)=sinc(x/Х*) (2.56) идеального фильтра (нормировочный множитель 1/Х* опущен).

Исследование функции sinc(x/Х*) показывает, что она имеет главный максимум F(0)=1 при х=0 и значения, равные нулю при аргументе кратном, т.е. при х=Х*,2Х*,3Х*,...nХ*,....

Между этими значениями имеют место вторичные максимумы и минимумы функции. С увеличением х функция sinc(x/Х*) осциллирует с постепенным уменьшением амплитуды. Наибольшее отрицательное значение (-0,217) функция имеет при х=1,43Х*.

Рис.2.31. График ф ункции F(x)=sinc(x/X*) На рис.2.32 показан процесс восстановления функции F и (x) по дискретным значениям, поданным на вход фильтра Ф 2. Считаем, что отклик фильтра Ф 2 на каждый n-ный импульс, поданный на его вход, определяется выражением F о n (x)=F и (nХ*)F о (x-nХ*)=F и (nХ*)sinc[(x-nХ*)/Х*].

(2.57) Причем все отклики от бесчисленного количества значений функции F и (x), поданных на вход фильтра Ф 2, суммируются:

F в ы х (x)=F и (nХ*)sinc[(x-nХ*)/Х*].

(2.58) n= Так как функция F и (x) не содержит частот, больших 0,5/Х*, то из сопоставления выражений (2.55) и (2.58) следует:

F в ы х (x)=F и (x), т.е. в результате суммирования согласно выражению (2.58) получаем исходную функцию F и (x).

Из анализа рис.2.32 и выражений (2.57) и (2.58) можно заключить, что значение функции F о (x-nХ*) только в рассматриваемой точке с координатой х=nХ* равно единице [поскольку F о (nХ*-nХ*)=1], а во всех остальных точках отсчетов значения функции равны нулю.

Аналогичная картина наблюдается и в других точках отсчетов.

Поэтому во всех точках отсчетов будут восстановлены точные значения функции F и (x). Что же касается промежуточных значений функции F и (x), которые, казалось бы, утеряны в процессе дискретизации, то они восстановлены в результате суммирования откликов фильтра на соседние с рассматриваемой точкой импульсные реакции. Поскольку восстановление исходной функции по отдельным отсчетам дискретизированного сигнала осуществляет функция sinc(x/Х*), то ее в литературе иногда называют функцией отсчетов.

Рис.2.32. Иллюстрация процесса восстановления исходного сигнала идеальным фильтром Ф Проведенный анализ показывает, что существенную роль в точном воспроизведении сигнала после его дискретизации выполняют фильтры Ф 1 и Ф 2 на входе и выходе системы. Однако реализация идеальных фильтров в чистом виде затруднена. При записи сигнала на фотографическом материале импульсную реакцию определяет распределение вдоль оси х интенсивности, освещенности, яркости или коэффициента пропускания, которые являются неотрицательными величинами. Поэтому реализовать импульсную реакцию идеального фильтра, содержащую отрицательные ветви, в фотографических системах невозможно. В тех случаях, когда на входе или выходе системы действительно необходимо иметь идеальный фильтр нижних частот, его действие можно лишь имитировать, применяя особые приемы, о которых будет рассказано дальше.

В устройствах преобразования электрических сигналов, а также в системах записи электрического сигнала на магнитном носителе реализовать отрицательные значения импульсной реакции идеального фильтра не представляет труда. В данном случае возникают другие трудности, связанные с тем, что указанные сигналы описываются функцией не пространственных координат, а времени. Поэтому импульсная реакция может возникнуть лишь после того, как поступит в систему входной импульс. Однако импульсная реакция (см.рис.2.31) идеального фильтра простирается как в пространстве, так и во времени от - до +. Если считать, что входной импульс появился в начале координат, то отрицательные значения времени - это “прошлое”, а положительные - это “будущее”. Следовательно, существовать импульсная реакция может только при положительных значениях аргумента t. Поэтому в данных системах возможно реализовать только “усеченную” импульсную реакцию идеального фильтра.

П р и м е р 2.14. Найти АЧХ и ФЧХ фильтров нижних частот, если импульсная реакция описывается функцией F о (t)=(2/T*)sinc(t/T*)1(t), показанной на рис.2.33,а. Причем Т* - шаг дискретизации во времени.

Представим ф ункцию F o (t)=(2/T*)sinc(t/T*)1(t) четной и нечетной составляющими (см.пример 2.4):

F o + (t)=(1/T*)sinc(t/T*) и F o (t)=(1/T*)sinc(t/T*)1(t)-(1/T*)sinc(t/T*)1(-t).

Косинус-преобразование Ф урье от четной ф ункции равно K c ()=rect(T*), а синус-преобразование от нечетной функции K s ()=-(1/)ln(+0,5/T*)/(-0,5/T*), где - временная частота. Амплитудно-частотная характеристика находится из выражения {1+[(1/)ln(+0,5/T*)/(-0,5/T*)] 2 } 1 / 2 2 1/ K()= [K c ()+K s ()] = при0,5/Т* (1/)ln(+0,5/T*)/(-0,5/T*) при0,5/Т*, а фазочастотная - из выражения arctg[(1/)ln(+0,5/T*)/(-0,5/T*)] при0,5/Т* ()=arct g[K s ()/K c ()]=/2 при 0,5/Т* -/2 при 0,5/Т* Обе характеристики показаны на рис.2.33,б. Штриховыми линиями на рисунке показана частотная характеристика идеального фильтра.

Рис.2.33. Временные имп ульсные реакции и временные частотные характеристики Из анализа рассмотренного примера можно сделать вывод о том, что если импульсная реакция “усечена”, то АЧХ системы значительно отличается от частотной характеристики идеального фильтра. Она не обеспечивает полного подавления частот, больших половины частоты дискретизации, т.е. 0,5/Т*. Кроме того, АЧХ имеет “выбросы” с разрывом функции в области частот 0,5/Т*.

ФЧХ же имеет криволинейную форму, поэтому на выходе системы в сигнале возникнут искажения.

Если осуществить сдвиг центра симметрии функции F o (t) относительно момента подачи входного импульса на величину Т* (рис.2.33,в), то, как следует из рис.2.33,г, форма АЧХ приблизится к форме частотной характеристики идеального фильтра, а ФЧХ несколько “спрямится”. По мере увеличения сдвига импульсной реакции форма АЧХ будет все более приближаться к форме частотной характеристики идеального фильтра, а ФЧХ - к прямой линии.

В электротехнике и радиотехнике существуют и другие пути реализации фильтров, действие которых близко к действию идеального фильтра нижних частот. Однако реализация подобных фильтров вызывает определенные технические трудности.

Воспроизведение сигнала, свободного от искажений, вызванных его дискретизацией, возможно и в том случае, когда фильтры на входе и выходе системы имеют частотные характеристики, значительно отличающиеся от частотной характеристики идеального фильтра. Положим, например, что частотная характеристика фильтров Ф 1 и Ф 2 имеет треугольную форму и описывается выражением K 1 (f)=K 2 (f)=(2fT*).

(2.59) Данные фильтры полностью подавляют частоты, большие половины частоты дискретизации f д /2=0,5/T*.

Импульсную реакцию фильтров находим обратным преобразованием Фурье функции (2.59):

F o 1 (x)=F o 2 (x)=(0,5/T*)sinc 2 (0,5x/T*).

Эти импульсные реакции не имеют отрицательных значений, поэтому вполне реализуемы в оптических и фотографических системах. В частности, подобную частотную характеристику и импульсную реакцию имеет дифракционно ограниченный фотографический объектив с прямоугольным зрачком.

На рис.2.34 в левой части показаны преобразования спектра S вх (f) входного сигнала в системе с идеальным фильтром, а в правой части - преобразования спектра того же сигнала в системе с фильтром, имеющим частотную характеристику треугольной формы, описываемую функцией (2.59). На рис.2.34,а показаны спектры S вх (f) входного сигнала, частотные характеристики K 1 (f) фильтров Ф 1 на входе системы, а также спектры S и (f) исходного сигнала, равные произведению S в х (f)K 1 (f). На рис.2.34,б представлены спектры S*(f) дискретизированного сигнала, полученные сверткой спектров исходного сигнала и дискретизирующей функции. На том же рисунке изображены частотные характеристики K 2 (f) фильтров Ф 2 на выходе системы. Наконец, на рис.2.34,в даны спектры выходных сигналов S в ых (f), найденные перемножением S*(f) и K 2 (f).


Рис.2.34. Преобразования спектра сигнала в системах с идеальным и реальным фильтрами нижних частот Из анализа рис.2.34 следует, что в обоих рассмотренных случаях смещенные спектры не проникают в основной спектр исходного сигнала, а на выходе систем полностью подавлены все смещенные спектры. Следовательно, искажений, вызванных дискретизацией, как в системе с идеальным, так и в системе с реальным фильтром быть не должно. Однако в системе с реальным фильтром в значительной степени подавлены не только вредные частоты, большие f д /2, но и полезные частоты, меньшие половины частоты дискретизации. Это приводит к дополнительной потере информации. Информационная емкость рассмотренной системы с реальным фильтром более чем в два раза меньше, чем в системе с идеальным фильтром. На основе изложенного можно заключить, что система способна воспроизвести неискаженный сигнал после его дискретизации при использовании реальных фильтров нижних частот на входе и выходе системы, которые, однако, должны полностью подавить все частоты, большие половины частоты дискретизации;

при этом произойдет потеря информации в полезной полосе частот, поэтому точного восстановления исходного сигнала не будет.

В реальных системах с дискретизацией сигнала во многих случаях фильтры на входе и выходе значительно отличаются от идеальных и даже не подавляют полностью частоты, большие половины частоты дискретизации, поэтому в выходном сигнале обычно присутствуют искажения, вызванные дискретизацией сигналов.

Анализ искажений, вызванных дискретизацией сигнала информации, проведем в спектральной области. Как было показано, искажения могут возникнуть, во-первых, вследствие частичного проникновения в пределы основного спектра составляющих смещенных спектров, а во-вторых, в результате наличия в спектре выходного сигнала составляющих смещенных спектров. Физическая природа этих искажений и их проявления принципиально отличаются друг от друга. Вследствие этого рассмотрим вначале систему, в которой на входе применен реальный, а на выходе идеальный фильтр нижних частот, а затем наоборот, систему, в которой на входе применен идеальный, а на выходе реальный фильтр нижних частот.

Рис.2.35. Спектры исходного (а), дискретизированного (б) и выходного (в) сигналов Будем считать, что фильтр Ф 1 на входе системы не обеспечивает полного подавления частот, больших половины частоты дискретизации f д, и спектр исходного сигнала S и (f) имеет вид, представленный на рис.2.35,а. В результате дискретизации в спектре S*(f) дискретизированного сигнала возникли смещенные спектры, которые частично проникли в пределы основного спектра (заштриховано на рис.2.35,б). Штриховой линией на рисунке показана частотная характеристика идеального фильтра Ф 2 на выходе системы. В результате воздействия данного фильтра на выходе имеем сигнал, спектр которого S в ых (f) показан на рис.2.35,в.

Сопоставление рис.2.35,в с рис.2.35,а показывает, что в спектре выходного сигнала возникли ложные составляющие с частотой ниже f д /2. Эти составляющие и являются причиной появления искажений, которые назовем искажениями первого рода. Искажения первого рода возникают в результате неудовлетворительной фильтрации сигнала на входе системы.

Наиболее характерным проявлением искажений первого рода в кинематографе, при дискретизации изображения во времени, является стробоскопический эффект (стробэффект), когда колеса телег или гусеницы тракторов движутся не в ту сторону или с измененной скоростью. В видеосистемах, при дискретизации изображения по пространственной координате, искажения первого рода проявляются в виде муарэффекта, когда на экране кинескопа периодические структуры (например, клетчатый или полосатый костюм актера) изменяют свою пространственную частоту. Наиболее неприятны искажения первого рода при дискретизации звукового сигнала (в системах цифровой записи звука). Они проявляются в трансформации высоких звуковых частот в более низкие. Искажения первого рода возникают на входе системы ЗТВ и не могут быть устранены в последующих звеньях системы.

П р и м е р 2.15. На вход системы подан сигнал F в х (x)=1+cos2f o x.

Фильтр Ф 1 пропускает все частоты, т.е. его частотная характеристика K 1 (f)=1, фильтр Ф 2 идеален и имеет частотную характеристику K 2 (f)=rect(fT)=rect(f/24), частота дискретизации f д = 1/Х* = 24 мм 1. Найти выходной сигнал, если 1) f o =6 мм 1, 2) f o =18 мм 1.

На рис.2.36,а показаны спектры входного сигнала. Поскольку фильтр Ф имеет частотн ую характеристику, равную единице для всех частот, то он не оказывает влияния на спектр входного сигнала. Поэтому спектр исходного сигнала будет равен спектру входного сигнала:

S в х (f)=S и (f)=(f)+0,5[(f-f o )+(f+ f o )].

На рис.2.36,б изображены спектры дискретизированных сигналов, причем сплошными стрелками показаны основные, а контурными стрелками смещенные спектры. На этом же рисунке штриховыми линиями показаны частотные характеристики выходных фильтров Ф 2. Поскольку частота f о = мм 1 сигнала в первом варианте примера не превышает половины частоты дискретизации f д /2=12 мм 1, то его спектр находится в пределах частотной характеристики фильтра Ф 2. На выходе имеем спектр сигнала, не отличающийся от спектра исходного сигнала (рис.2.36,в). Другое дело во втором варианте примера. Из рис.2.36,б следует, что в пределах частотной характеристики фильтра Ф 2 находятся лишь составляющие двух смещенных спектров. Поэтому на выходе получа ем спектр сигнала, имеющего частоту f=f д -f о =24-18=6 мм 1. Таким образом, хотя на вход были поданы гармонические сигналы с различной частотой, но на выходе получены сигналы, не отличающиеся др уг от друга:

F в ы х (x)=1+cos26x.

На рис.2.36,г проиллюстрированы преобразования сигналов согласно дв ум рассмотренным вариантам не в спектральной, а в сигнальной области.

Штриховыми линиями показаны входные, а сплошными линиями - выходные сигналы.

Рис.2.36. Спектры гармонических сигналов П р и м е р 2.16. Найти сигнал на выходе рассмотренной в примере 2. системы, если входные гармонические сигналы сдвин уты вдоль оси х вправо на величину х с д в =1/48 мм.

Исходные сигналы теперь описывает ф ункция F и (x)=1+cos[2f о (x x с д в )], а их спектр S и (f)={(f)+0,5[(f-f о )+(f+f o )]}exp(-i2fx с д в ) получил линейный фазовый сдвиг (f)=-2fx с д в, показанный на рис.2.36,б тонкими прямыми линиями. В исходном сигнале для составляющей спектра 0,5(f-f o ) имеет место отрицательный, а для составляющей спектра 0,5(f+f o ) положительный сдвиг. В спектре выходного сигнала для первого варианта (f о =6 мм 1 ) данное соотношение не изменилось. Однако во втором варианте (f о =18 мм 1 ) ложные составляющие смещенных спектров пришли в пределы частотной характеристики фильтра Ф 2 со сдвигами фаз противоположной полярности. Составляющая 0,5(f-6) получила положительный, а составляющая 0,5(f+6) - отрицательный сдвиг фазы. Спектр выходного сигнала будет иметь вид F(f)={(f)+0,5[(f-6)+(f+6)]}exp(i2fx с д в ) В результате на выходе получаем отличающиеся друг от др уга сигналы:

для первого варианта F в ы х (x)=1+cos[26(x -x с д в )], для второго варианта F в ы х (x)=1+cos[26(x +x с д в )].

Следовательно, на выходе системы во втором варианте мы получили сигнал, который отличается от входного не только частотой, но и направлением сдвига.

На рис.2.36,д показаны преобразования сигналов для рассмотренных вариантов в сигнальной области.

Примеры 2.15 и 2.16 вскрывают физический смысл искажений первого рода, проявляющихся в кинематографе и телевидении в виде стробоскопического и муарэффектов.

Количественную оценку искажениям первого рода дает коэффициент искажений и, равный отношению энергии ложных колебаний в спектре выходного сигнала к общей энергии колебаний в спектре исходного сигнала. Ложные составляющие возникают за счет не подавленных фильтром Ф 1 в спектре входного сигнала колебаний с частотой, большей f д /2. Все эти составляющие в результате возникновения смещенных спектров проникают в пределы частотной характеристики идеального фильтра Ф 2 и являются причиной появления искажений первого рода. Поэтому количественно энергия ложных колебаний в спектре выходного сигнала равна энергии колебаний с частотой, большей f д /2, в спектре исходного сигнала и мы можем написать:

-fд/2 и =S и (f) df+S и (f) 2 df/S и (f) 2 df.

- fд/2 Или fд/2 fд/2 S и (f) df-S и (f) df/S и (f) 2 df=1 2 и = S и (f) 2 df/S и (f) 2 df.

- - f д/ 2 - -fд/2 В примере 2.15 коэффициент искажений равен нулю для первого варианта и 0,33 для второго варианта. Действительно, в первом варианте каких-либо искажений в выходном сигнале нет. Во втором же варианте полностью потеряна информация только для переменной составляющей сигнала. Если исключить в исходном сигнале постоянную составляющую, т.е. принять, что F и (x)=cos2f о x и S и (f)=0,5[(f-f о )+(f+f o )], то при f о f д /2=12мм - 1 коэффициент искажений будет равен единице. На выходе будет получена только ложная информация. На основе этого можно заключить, что в спектре исходного сигнала все частоты, большие f д /2, не несут в себе информацию, которую можно получить на выходе системы при дискретизации сигнала с частотой f д.

Приведенная выше формула для нахождения коэффициента искажений позволяет найти значение этого коэффициента для каждого конкретного сигнала. Для практического использования гораздо важнее знать коэффициент искажений, который оценивает систему ЗТВ. Для решения данной задачи примем предельный случай, когда на вход системы подан импульс, описываемый дельта функцией. Ее спектр равен единице для всех частот, поэтому спектр S и (f) исходного сигнала будет равен частотной характеристике K 1 (f) фильтра на входе системы. Следовательно, коэффициент искажений fд/2 K 1 (f) 2 df/K 1 (f) 2 df.

и= 1 (2.60) - f д/ 2 П р и м е р 2.17. Найти коэффициент искажений системы, если частотные характеристики фильтров Ф 1 на входе системы равны (рис.2.37): 1) K 1 (f)=(2f/f д );


2) K 1 (f)=(f/2f д ). На рис.2.37 показаны частотные характеристики фильтров Ф 1, а также штриховой линией показаны частотные характеристики идеальных фильтров Ф 2 на выходе системы.

Подставив значения K 1 (f) в формулу (2.60) и произведя вычисления, находим, что в первом случае и =0, а во втором - и =0,58.

Приведенный пример показывает, что искажения первого рода возможно устранить, обеспечив эффективную фильтрацию сигнала на входе системы. Однако, как об этом уже говорилось выше, при использовании реальных фильтров нижних частот в значительной степени подавляются и полезные частоты, меньшие f д /2. Из рассмотрения рис.2.37 можно заключить, что хотя во втором варианте и имеют место значительные искажения, но полезные частоты подавляются слабее, чем в первом варианте. Поскольку искажения первого рода проявляются сравнительно редко (при изображении в кинокадре вращающихся колес или на телеэкране периодических структур), то с ними обычно мирятся. Кинозрители и телезрители к этим искажениям уже привыкли и воспринимают их как неизбежное зло кинематографа или телевидения. Дело в том, что в современных кинематографе и телевидении, как об этом будет идти речь дальше, из экономических соображений частота дискретизации принята явно недостаточной. Поэтому излишняя фильтрация полезных частот на входе кинематографической системы приводит к заметному зрителю смазу изображений движущихся объектов, а на входе телевизионной системы - к снижению и так недостаточной четкости изображения. В разрабатываемых в настоящее время новых кинематографических и телевизионных системах частота дискретизации повышается. Поэтому, очевидно, встанет вопрос и об устранении искажений первого рода в данных системах. При цифровой записи звука искажения первого рода, как уже указывалось, совершенно недопустимы.

Рис.2.37. К нахождению коэффициента искажений (к примеру 2.17) Рассмотрим теперь случай, когда на входе системы применен идеальный фильтр, подавляющий все частоты, большие половины частоты дискретизации, а на выходе системы использован реальный фильтр, пропускающий частоты, большие половины частоты дискретизации. На рис.2.38,а показан спектр входного сигнала и штриховой линией частотная характеристика идеального фильтра Ф 1.

Вследствие удовлетворительной фильтрации нижних частот на входе системы в спектре дискретизированного сигнала (рис.2.38,б) смещенные спектры не проникают в пределы основного спектра и примыкают вплотную друг к другу. Однако фильтр Ф 2, частотная характеристика которого K 2 (f) показана на рисунке штриховой линией, пропускает частоты, большие f д /2. В результате в спектре выходного сигнала (рис.2.38,в) имеют место составляющие смещенных спектров, являющиеся причиной появления искажений, вызванных дискретизацией сигнала. Искажения, вызванные наличием в спектре выходного сигнала ложных составляющих с частотой, большей f д /2, назовем искажениями второго рода. Они возникают в результате неудовлетворительной фильтрации сигнала на выходе системы.

Рис.2.38. Спектры входного (а), дискретизированного (б) и выходного (в) сигналов Наиболее характерным проявлением искажений второго рода является дискретная структура выходного сигнала. При воспроизведении дискретизированного во времени изображения в кинематографе и телевидении могут стать заметными мелькания изображения. При дискретизации изображения в телевидении по пространственной координате воспроизводится растровая структура изображения. Дискретизация звукового сигнала может вызвать заметный слушателю звуковой фон с частотой дискретизации.

Спектр выходного сигнала определяется выражением S в ы х (f)=K 2 (f)S в х (f-nf д )K 1 (f-nf д ) (2.61) n= или S в ы х (f)=K 2 (f)S и (f-nf д ).

(2.62) n= Если на вход подан гармонический сигнал, спектр которого равен S в х (f)=S и (f)=(f)+0,5[(f-f o )+(f+f o )], то S в ых (f)={K 2 (nf д )(f-nf д )+K 2 (f о -nf д )0,5[(f-f о -nf д )+(f+f о -nf д )]}.

(2.63) n= Рис.2.39. Спектр дискретизированного гармонического сигнала На рис.2.39 изображен спектр выходного гармонического сигнала, подвергнутого дискретизации с частотой fд, и частотная характеристика реального фильтра Ф 2, пропускающего частоты, большие f д /2. Сплошными стрелками показан основной спектр сигнала, а контурными стрелками - смещенные спектры. Каждая пара дельта-функций, симметричных началу координат, представляет собой спектр косинусоиды определенной амплитуды и частоты.

Следовательно, на выходе системы, кроме основной гармоники, поданной на вход системы, возникает множество гармоник с частотами, большими f д /2, которых во входном сигнале не было. Эти гармоники и вызывают искажения второго рода.

Обратным преобразованием Фурье функции (2.63) находим сигнал на выходе системы, если на вход был подан сигнал F в х (x)=1+cos2f о x:

F в ы х (x)=[K 2 (nf д )cos2nf д x+K 2 (f о -nf д )cos2(f о -nf д )x].

(2.64) n =- Пример 2.18. Исходный сигнал описывает ф ункция F и (x )=1+cos2f о x. Найти выходной сигнал, если f о =6 мм -1, f д =24 мм -1, а импульсная реакция фильтра Ф 2 равна F о 2 (x)=48rect(48x ). Частотную характеристику фильтра Ф 2 находим преобразованием Фурье импульсной реакции: K 2 (f)=sinc(f/48).

Подставив значения K 2 (f), f о и f д в формул у (2.64), имеем F в ы х (x )=sinc(n24/48)cos2n24x+sinc[(6-n24)/48]cos2(6 n24)х.

n = Рис.2.40. Графики выходного сигнала Вычислив с умму ряда, находим, что выходной сигнал имеет вид, показанный на рис.2.40,а. На рис унке штриховой линией показан исходный сигнал. Из рисунка следует, что искажения второго рода проявляются не только в том, что значения ф ункции изменяются скачкообразно, но они даже прерываются вдоль оси х, особенно подчеркивая дискретность выходного сигнала. Подобные искажения имеют место в кинематографе при дискретизации изображения во времени, проявляясь, в частности, в заметном зрителю мелькании изображения. Так, как показано на рис.2.40,а, изменяется во времени освещенность киноэкрана при проекции кинофильма кинопроектором с однолопастным обтюратором. Прерывистость выходного сигнала особенно неприятна, поскольку она имеет место не только при воспроизведении переменной составляющей, но и при воспроизведении постоянной составляющей сигнала. Действительно, если принять F в х (x )=1, то F в ы х (x)=[sinc(n24/48)cos(2n24x)].

n = Вычисление с уммы ряда показывает, что выходной сигнал имеет вид, показанный на рис.2.40,б.

Из примера 2.18 следует, что наиболее неприятны искажения второго рода, проявляющиеся в прерывистости воспроизводимого сигнала. Поэтому при создании систем ЗТВ в первую очередь стремятся устранить этот вид искажений. Вполне понятно, что если устранить прерывистость в воспроизводимом постоянном сигнале, то она будет отсутствовать и при воспроизведении любого сигнала.

Рис.2.41. Спектр дискретизированного постоянного сигнала Спектр дискретизированного постоянного сигнала F вх (x)= равен S*(f)=(f-nf д ) n =- и показан на рис.2.41. Для устранения в воспроизводимом сигнале искажений необходимо, чтобы фильтр Ф 2 полностью подавил все смещенные спектры, показанные на рисунке контурными стрелками. Данная задача, в частности, разрешима когда частотную характеристику фильтра Ф 2 описывает функция K 2 (f)=sincf/f д, которая обращается в ноль при аргументе, равном и кратном, т.е.

при f=f д,2f д,..nf n,..., как показано на рис.2.41 штриховой линией.

Изображенную на рис.2.41 частотную характеристику имеет фильтр нижних частот с импульсной реакцией F о 2 (x)=f д rect(xf д ). Проведя вычисления, аналогичные изложенным в примере 2.18, находим, что гармонический сигнал на выходе системы теперь имеет вид, показанный на рис.2.40,в. Из рисунка следует, что сигнал уже не прерывается вдоль оси х, но все же изменяется скачкообразно. Это является проявлением искажений второго рода, возникших в результате того, что рассматриваемый фильтр хотя и подавил все частоты, кратные частоте дискретизации, но не устранил полностью все частоты, большие f д /2. Гармонический сигнал на выходе системы останется непрерывным гармоническим только в том случае, когда фильтр Ф2 на выходе системы полностью подавит все частоты,большие половины частоты дискретизации.

Устранение прерывистости выходного сигнала вдоль оси х возможно не только в том случае, когда импульсная реакция фильтра Ф 2 имеет прямоугольную форму. Покажем это на конкретном примере.

П р и м е р 2.19. Импульсная реакция фильтра Ф 2 имеет трапецеидальную форму. Его частотн ую характеристику описывает ф ункция (см.пример 2.10):

K 2 (f)=sinc[f(a 1 +a 2 )/2]sinc[f(a 1 -a 2 )/2]. Найти, при каких условиях фильтр полностью подавит частоту дискретизации f д и все высшие кратные ей частоты.

Поставленная задача может быть выполнена, когда 2/(а 1 +а 2 )=f д или 2/(а 1 -а 2 )=f д. Построив частотн ую характеристику фильтра, убеждаемся в том, что данный фильтр полностью подавляет все частоты, кратные f д.

Нахождение выходного сигнала в рассматриваемом случае, когда на входе применен идеальный фильтр, полностью подавляющий все частоты, большие половины частоты дискретизации, может быть значительно упрощено, если преобразования анализировать не в спектральной, а в сигнальной области. На основе выражений, приведенных выше, можем написать F в ы х (x)=F*(x)F о 2 (x)=[F и (x)F д (x)]F о2 (x)= =[F и (x)(x-nХ*)Х*]F о2 (x)= n= = F и (x 1 )(x 1 -nХ*)Х*F о 2 (x-x 1 )dx 1.

n=- Вычисление данного интеграла с учетом свойств дельта-функции приводит к результату:

F в ы х (x)=F и (nХ*)F о 2 (x-nХ*)Х*.

(2.65) n= П р и м е р 2.20. Исходный сигнал и параметры системы те же, что и в примере 2.18. Найти выходной сигнал с использованием формулы (2.65):

F в ы х (x )=[1+cos26n/24]rect[48(x-n/24)].

n= Вычисление с уммы дает тот же результат, как и в примере 2. (см.рис.2.40,а).

Количественно искажения второго рода, возникающие при воспроизведении конкретного сигнала, оцениваются коэффициентом искажений второго рода, равным отношению энергии вредных колебаний с частотой, большей f д /2, к общей энергии колебаний в спектре выходного сигнала:

fд/2 1-S в ых (f) 2 df/S в ых (f) 2 df.

и= (2.66) -fд/2 Коэффициент искажений второго рода системы находим, как и ранее, считая, что на вход подан импульс, имеющий спектр, равный единице для всех частот:

fд/2 1-K 2 (f) 2 df/K 2 (f) 2 df.

и= (2.67) -fд/2 В отличие от искажений первого рода, проявляющихся при воспроизведении только отдельных, характерных сигналов, искажения второго рода проявляются при любом воспроизводимом сигнале. Поэтому если с искажениями первого рода можно мириться, то искажения второго рода совершенно недопустимы. В то же время почти все существующие системы ЗТВ, в которых осуществляется дискретизация сигнала по временным или пространственным аргументам, имеют значительный коэффициент искажений второго рода. Однако зрители эти искажения почти не замечают. Последнее объясняется тем, что зрительный анализатор сам является фильтром как временных, так и пространственных частот, а слуховой анализатор является фильтром временных частот. Следовательно, фильтрующее действие системы ЗТВ дополняется фильтрующим действием зрительного или слухового анализаторов, а итоговая частотная характеристика на выходе системы равна произведению частотных характеристик фильтров на выходе системы ЗТВ и зрительного или слухового анализаторов.

Реализация современных систем кинематографа, телевидения, цифровой записи звука, основанных на дискретизации сигналов звука и изображения, в значительной степени облегчена благодаря фильтрации световых и звуковых сигналов нашими органами чувств.

Основные параметры систем ЗТВ устанавливаются в зависимости от свойств зрительного и слухового анализаторов человека. Их фильтрующее действие принципиально позволяет полностью устранить искажения второго рода даже без дополнительной потери информации в воспроизводимых сигналах звука и изображения.

2.6. ДИСКРЕТНАЯ ЦИФРОВАЯ ЗАПИСЬ СИГНАЛОВ Рассмотрим некоторые способы дискретной записи временных сигналов вдоль одного измерения носителя.

Дискретная запись сигнала - это запись последовательных значений сигнала, взятых через интервалы, равные шагу дискретизации. Дискретная запись получается в результате дискретизации сигнала и укладки его значений на носителе записи.

В результате укладки шаг дискретизации преобразуется в шаг укладки.

Дискретная запись сигнала основана на предварительной импульсной модуляции, при которой несущей служит последовательность импульсов, один из параметров которых изменяется в соответствии с изменением модулирующего воздействия. При амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) таким изменяемым параметром является амплитуда импульса, при широтно-импульсной модуляции (ШИМ) - ширина импульса. В системах с импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ) изменяемые параметры импульсов преобразуются в цифровые значения, записываемые на носитель в закодированном виде. Запись с ИКМ называют цифровой записью сигналов.

Шаг дискретизации Т* в системах с дискретной записью временного сигнала в соответствии с теоремой Котельникова выбирается исходя из требуемой максимальной частоты ma x в спектре сигнала, которую необходимо воспроизвести после записи, т.е.

Т*0,5/ ma x или ma x 0,5/Т*.

(2.68) Рис.2.42. Эквивалентная схема преобразования сигнала в системе записи с амплитудно-импульсной модуляцией На рис.2.42,а показана эквивалентная схема системы дискретной записи с АИМ. Для устранения возможности появления искажений первого рода на входе системы имеется фильтр Ф 1, который должен полностью подавить все частоты, большие половины частоты дискретизации д =1/Т*. Будем считать, что этот фильтр идеальный.

Если на вход системы подан сигнал F в х (t), то после фильтра Ф получаем исходный сигнал, равный свертке F и (t)=F вх (t)F 0 1 (t), где F 0 1 (t) - импульсная реакция фильтра Ф 1. Процесс дискретизации в дискретизаторе Д описывается произведением исходной функции F и (t) на дискретизирующую функцию F д (t), т.е.

F*(t)=F и (t)F д (t)=F и (t)(t-nT*)T*.

(2.69) n =- Дискретизированный сигнал в устройстве анализирующей укладки У А подвергается укладке на носителе. При укладке происходит преобразование координат в масштабе V, т.е. х=Vt, где V - скорость передвижения носителя относительно пишущего элемента. Шаг дискретизации T* преобразуется в шаг укладки X*=VT*. Уложенный на носитель сигнал описывается функцией F*(x)=F и (x)(x-nX*)X*.

(2.70) n= Затем сигнал подается в устройство ЗТВ, где происходит запись, тиражирование и воспроизведение сигнала. В результате получаем сигнал F 1 *(x)=F*(x 1 )F о (x-x 1 )dx 1, где F о (x) - импульсная реакция устройства ЗТВ (учитывающая и возможный сдвиг импульсов при их записи на непрерывно движущемся носителе). Подставив в это выражение функцию F*(x) из формулы (2.70) и выполнив интегрирование, находим F 1 *(x)=F и (nX*)F о (x-nX*)X*.

n= Из данного выражения следует, что на выходе устройства ЗТВ получена последовательность импульсных реакций с амплитудным множителем, равным дискретным значениям исходного сигнала. Эта последовательность импульсных реакций подается в устройство синтезирующей укладки У с, где происходит обратное преобразование координат х в аргументы t сигнала. Это преобразование осуществляется в масштабе 1/V. Наконец, сигнал поступает в выходной фильтр Ф 2, который полностью подавляет все частоты, большие половины частоты дискретизации, восстанавливая тем самым из дискретного непрерывный сигнал. Действие фильтра Ф описывает свертка F в ы х (t)=F 1 *(t)F о 2 (t), где F о2 (t) - импульсная реакция фильтра Ф 2.

Рассмотренные преобразования сигнала показаны на рис.2.42,б, а на рис.2.42,в изображены преобразования спектра импульса (дельта функции), поданного на вход системы. Поскольку спектр дельта функции равен единице для всех частот, то спектр S и () исходного сигнала равен частотной характеристике K 1 () фильтра Ф 1, который мы считаем идеальным. В результате дискретизации в устройстве Д возникают смещенные спектры, примыкающие к основному. В устройстве У А происходят преобразования временных частот в пространственные частоты f в масштабе 1/V. При этом основной и смещенные спектры не изменяют своей формы. Воздействие устройства ЗТВ на спектр сигнала S*(f) описывается произведением этого спектра на ПЧХ K(f) системы ЗТВ. Устройство ЗТВ несколько подавляет смещенные спектры, однако в общем случае они имеют место в спектре S* 1 (f) и могут служить причиной появления искажений второго рода. В устройстве У с происходит обратное преобразование частот. Воздействие фильтра Ф 2 на спектр S* 1 () описывается произведением этого спектра на частотную характеристику К 2 (). Если фильтр Ф 2 идеален, то он полностью подавляет смещенные спектры, не оказывая влияния на основной.

Шаг Т* дискретизации однозначно определяется требуемым частотным диапазоном воспроизводимого сигнала, однако шаг Х* укладки может быть выбран в достаточной степени произвольно.

Если мы примем, что укладка плотная, т.е. Х*=2/N, то соседние импульсные реакции на выходе системы ЗТВ будут расположены вплотную, перекрывая друг друга лишь на уровне шума. В этом случае соседние импульсные реакции не оказывают влияния друг на друга. Данное свойство системы записи сигналов с АИМ часто используется в информационно-измерительной технике. Однако, как будет показано в разделе 4, при записи звуковых и видеосигналов с АИМ расход носителя увеличивается в два с лишним раза по сравнению с аналоговой записью. Вследствие этого дискретная запись сигналов с АИМ используется в аудиовизуальной технике редко. Достаточно подробно данная запись рассмотрена вследствие того, что амплитудно-импульсные преобразования, аналогичные рассмотренным, имеют место и при дискретной записи с широтно импульсной и импульсно-кодовой модуляцией.

Дискретная запись с ШИМ основана на предварительной дискретизации сигнала с шагом Т*, определяемым выражением (2.68). Однако шаг укладки Х* устанавливают таким образом, чтобы в его пределах возможно было бы записать значение сигнала в данной точке отсчета в виде соответствующей ширины импульса.

Для этого перед записью каждый импульс, выражаемый дельта функцией с амплитудным множителем, соответствующим значению исходного сигнала в данной точке отсчета, преобразуется в прямоугольный импульс постоянной амплитуды, но переменной ширины, пропорциональной значению амплитудного множителя.

Если в результате дискретизации мы имеем сигнал (рис.2.43,а), описываемый выражением (2.70), то после его широтно-импульсной модуляции будем иметь последовательность не дельта-функций, а прямоугольных функций (рис.2.43,б). Данные преобразования производятся в электронной системе обработки электрического сигнала до его записи на носителе. Затем сигнал преобразуется в функцию пространственных координат и укладывается на носителе, как это показано на рис.2.43,в.

Рис.2.43. Запись сигнала с широтно-импульсной модуляцией Таким образом, в системах с дискретной записью с ШИМ после звена Д (см.рис.2.42,а) добавляется дополнительное звено, предназначенное для преобразования амплитудно-импульсного модулирования в широтно-импульсное. Только после этого звена сигнал поступает в устройство анализирующей укладки У А, а затем в устройство ЗТВ. В данном устройстве, как и ранее, происходит фильтрация сигнала по пространственным частотам, вследствие которой прямоугольные импульсы получают несколько сглаженный вид, как это показано штриховыми линиями на рис.2.43,в. После устройства ЗТВ сигнал поступает в устройство синтезирующей укладки У с (см.рис.2.42,а). Между устройствами У с и Ф 2 добавляется устройство, совершающее обратное преобразование широтно импульсной модуляции в амплитудно-импульсную.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 16 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.