авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 16 |

«О.Ф.Гребенников, Г.В.Тихомирова ОСНОВЫ ЗАПИСИ И ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ...»

-- [ Страница 4 ] --

В отличие от системы с АИМ, в системе с ШИМ для записи требуются лишь два состояния носителя: “есть импульс” - “нет импульса”. Вследствие этого в системах с ШИМ могут быть использованы не только фотографические и магнитные носители, но и так называемые оптические и магнитооптические носители, о которых подробно будет рассказано ниже. Кроме того, поскольку нелинейность носителя записи не оказывает влияния на воспроизводимый сигнал, то динамический диапазон воспроизводимого сигнала в системе с ШИМ легко может быть расширен. Что, однако, требует увеличения расхода носителя записи.

Запись с ШИМ получила некоторое распространение при видеозаписи.

В рассмотренных выше способах записи значение сигнала в каждой точке носителя определяется физическим состоянием носителя (коэффициент пропускания фотографического носителя, намагниченность магнитного носителя и т.п.). Вследствие этого на конечный результат неизбежно оказывают влияние недостаточная линейность носителя и шумовые процессы, возникающие в нем, а также фильтрующее действие звеньев системы ЗТВ. Полностью устранить влияние этих явлений на конечный результат возможно в том случае, если записывать на носителе не физическую величину сигнала, а его цифровое значение в каждой точке отсчета. Если система воспроизведет без ошибок все последовательные цифровые значения сигнала, то при определенных условиях по этим значениям можно воспроизвести без каких-либо изменений сигнал, поданный на вход системы ЗТВ. Данная задача решается при дискретной цифровой записи сигналов.

Цифровая запись сигнала осуществляется в результате дискретизации сигнала, квантования, кодирования и укладки на носителе. После фильтрации входного сигнала во входном фильтре Ф 1 (см.рис.2.42,а), полностью подавляющем в спектре сигнала все частоты, большие половины частоты дискретизации, исходный сигнал F и (t) подвергается дискретизации в дискретизаторе Д, а затем - квантованию. Квантование - это преобразование дискретных значений сигнала в целые числа, т.е. округление значений сигнала до ближайших целых чисел. На рис.2.44 показано квантование дискретизированного с шагом Т* сигнала на 8 уровней. При этом исходная функция F и (t) преобразуется в последовательность чисел: 5, 7, 6, 4,.... Идея цифровой записи заключается в том, чтобы записывать на носителе именно эти цифровые значения в закодированном виде. При воспроизведении же осуществляется обратное преобразование закодированных цифровых значений в физические. Вполне понятно, что при этом устраняются нелинейные и шумовые искажения, а также фильтрация пространственных частот в звеньях системы ЗТВ.

Рис.2.44. Дискретизация и квантование сигнала При использовании широко распространенного десятиричного кода, содержащего десять символов - 0, 1, 2,...9, можно осуществить квантование на десять уровней. Для увеличения количества уровней квантования необходимо увеличить количество разрядов кодирования, т.е. количество символов, обозначающих каждое значение сигнала. Если количество разрядов принять равным двум, то можно записать 100 значений сигнала: 00, 01, 02,...99. При трех разрядах кодирования можно записать 1000 значений сигнала - 000, 001, 002,...999. В общем случае количество уровней квантования при десятиричном кодировании равно L=10 n ’, где n - количество разрядов кодирования.

Использование десятиричного кода вызывает существенные неудобства при записи и воспроизведении, связанные с трудностью как записи, так и считывания десяти различных символов.

Вследствие этого в системах цифровой записи, как правило, используют двоичный код, содержащий лишь два символа - “да”...

“нет”;

“+”... “-”;

“1”... “0” и т.п. При двоичном кодировании количество уровней квантования будет равно L=2 n ’.

(2.71) Например, если n=3, то L=2 3 =8. Значения сигнала, равные 0, 1, 2,...7, могут быть переданы следующими сочетаниями символов “0” и “1”:

0 ------------------------ 0 0 0 Передача сигнала, изображенного на рис.2.44, возможна при записи на носителе следующих символов: 011, 101, 010, 001,...

Символы, используемые для записи, могут иметь различную форму или величину. Например, два импульса противоположной полярности (рис.2.45,а), разной величины (рис.2.45,б), наличие и отсутствие импульса (рис.2.45,в) и т.п. Для записи кода производят его укладку на носителе, как показано на рис.2.46. Комбинация символов, обозначающих одно значение сигнала, называется кодовым словом, которое в рассматриваемом случае состоит из трех символов. Укладка одного кодового слова определяет шаг укладки Х* одного значения сигнала на носителе. Он зависит от количества разрядов кодирования n и шага укладки х* каждого символа, т.е.

Х*=nx*.

(2.72) Рис.2.45. Импульсы, нес ущие информацию о двоичном коде На рис.2.46 носитель условно разделен на ячейки длиной х*.

Символы укладываются в середине ячеек. Шаг укладки х* символов может быть принят таким же, как и шаг плотной укладки при дискретной записи с АИМ, т.е. 2/N. Однако поскольку при цифровой записи требуется осуществить запись всего лишь двух значений сигнала, то допустимо некоторое наложение импульсных реакций друг на друга. Достаточно уверенно можно различить на выходе наличие импульса “0” и “1” даже в том случае, если шаг укладки х* принять равным 1/N. В этом случае шаг укладки кодового слова будет равен Х*=n/N.

(2.73) Рис.2.46. Продольная укладка символов двоичного кода Таким образом, в системе цифровой записи после дискретизатора Д (см.рис.2.42) сигнал поступает в устройство квантования, а затем в устройство кодирования, которые обозначим соответственно Кв и Кд. Только после этих устройств закодированный звуковой сигнал подается в устройство анализирующей укладки У А. После записи, тиражирования и воспроизведения в устройстве ЗТВ сигнал поступает в устройство синтезирующей укладки У с, в котором вновь преобразуется в сигнал времени. Этот сигнал подвергается декодированию и преобразованию в сигнал с амплитудно импульсной модуляцией. Данные операции выполняются в устройствах, которые обозначим соответственно Дк и Ам. После данных устройств сигнал подается в выходной фильтр Ф 2. Таким образом, последовательность звеньев системы цифровой записи сигналов имеет вид Ф 1 Д КвКдУ А ЗТВУ С ДкАмФ Комплекс устройств Ф 1, Д, Кв, Кд, У А принято называть аналого цифровым преобразователем (АЦП), комплекс же устройств У с, Дк, Ам, Ф 2 - цифроаналоговым преобразователем (ЦАП). В данных обозначениях система цифровой записи может быть представлена эквивалентной схемой:

входной сигналАЦПЗТВЦАПвыходной сигнал.

В отличие от рассмотренных ранее систем аналоговой и дискретной записи сигналов, при цифровой записи, в принципе, устройство ЗТВ не вносит какой-либо потери информации. Потеря информации может быть вызвана случайными процессами, при которых выпадают или неправильно воспроизводятся отдельные символы на выходе системы ЗТВ. Для исправления возможных ошибок сигнал подвергается дополнительному специальному кодированию и электронной обработке сигнала на выходе.

Значительная потеря информации и появление искажений могут быть обусловлены в основном устройствами электронной обработки сигнала в устройствах АЦП и ЦАП, главным образом во входном и выходном фильтрах Ф 1 и Ф 2.

В рассмотренном выше примере с трехразрядным кодированием система способна воспроизвести только лишь 8 уровней сигнала.

Конечно, при таком малом количестве уровней сигнала качество воспроизводимого сигнала будет невысоким. Кроме того, на воспроизводимый сигнал будет наложен так называемый шум квантования. Будем считать, что отношение сигнал/шум равно количеству воспроизводимых уровней сигнала L. При 8 уровнях сигнала имеем D=20lg8=18 дБ.

Максимальный динамический диапазон, обеспечиваемый системой цифровой записи, примем равным отношению сигнал/шум (см.стр.61) D=20lgL=20lg2 n =6n.

(2.74) Из выражения (2.74) следует, что при цифровой записи возможно обеспечить практически любой динамический диапазон воспроизводимого сигнала, в том числе не достижимый при аналоговой записи. Для обеспечения динамического диапазона дБ необходимо иметь 20 разрядов кодирования. Однако в системах цифровой записи звука обычно ограничиваются 16 или 18 разрядами кодирования, а цифровой записи видеосигнала - 8 или 10 разрядами кодирования. Например, в системах с 16 разрядами кодирования количество уровней квантования достигает L=2 1 6 =65536. Вполне понятно, что при таком большом количестве уровней обеспечивается высокая точность восстановления сигнала, а шумы квантования практически отсутствуют.

Рис.2.47. Параллельная укладка символов двоичного кода Для повышения плотности записи было предложено вместо продольной укладки символов, показаной на рис.2.46, использовать параллельную укладку. В последней символы одного кодового слова укладываются в одном ряду, перпендикулярном направлению перемещения носителя. На рис.2.47 показана параллельная укладка символов при трех разрядах кодирования. При параллельной укладке продольная плотность записи увеличивается по сравнению с продольной в n раз. Однако параллельная укладка, хотя и сокращает необходимую скорость перемещения носителя, но требует введения многоканальной системы записи (на каждый символ свой канал) и, кроме того, вызывает необходимость точного расположения считывающих элементов относительно каждой строки записи при воспроизведении сигнала. Вследствие указанных причин параллельная укладка не получила широкого распространения в системах цифровой записи сигналов аудиовизуальной информации (хотя и используется в вычислительной технике). Для увеличения поверхностной плотности записи обычно применяют поперечно строчную, наклонно-строчную или спиральную укладки символов.

Записываемый в системах цифровой записи сигнал оценивают скоростью цифрового потока С, равной произведению количества разрядов кодирования n (в битах) на частоту д дискретизации:

C=n д бит/с.

(2.75) Цифровой поток звукового сигнала достигает 1Мбит/с, видеосигнала существующего стандарта - 260Мбит/с, а видеосигнала телевидения высокой четкости - 1,5Гбит/с. Это очень большие цифровые потоки, которые затрудняют создание систем цифровой записи аудиовизуальной информации.

Следует отметить, что требуемый расход носителя в системах цифровой записи сигналов значительно выше, чем в системах записи с АИМ и тем более чем в системах аналоговой записи сигналов.

Например, если при записи с АИМ и плотной укладке символов с шагом X*=2/N не представляет труда обеспечить динамаческий диапазон 48дБ, то для обеспечения такого же динамического диапазона в системе цифровой записи потребуется восемь разрядов кодирования (n=8). Шаг укладки при этом оставит X*=8/N, а расход носителя при прочих равных условиях возрастает по сравнению с системой записи с АИМ в 4 раза, а по сравнению с аналоговой записью - примерно в 10 раз.

Повышенный расход носителя, а следовательно, и высокие скорости его передвижения при записи и воспроизведении долгое время являлись препятствием к широкому распространению цифровой записи сигналов в аудиовизуальной технике. Решение задачи сокращения расхода носителя при цифровой записи звука искали в двух направлениях. Первое - это повышение информационной и поверхностной плотности записи, что является предметом изучения в дальнейших разделах книги. Второе - это цифровая (компьютерная) обработка сигнала, в результате которой полезный цифровой поток, подаваемый в устройство записи, может быть значительно сокращен.

Компьютерная обработка сигнала позволяет решить очень трудно осуществимую в системах аналоговой записи сигналов задачу устранение статистической и психофизиологической избыточности сигналов изображения и звука. Выполняется эта процедура после первичного кодирования в устройствах, называемых кодерами источника. Избыточность сигналов устраняется в результате компьютерной обработки и приводят к сжатию (компрессии) сигнала.

При воспроизведении сигнал восстанавливается таким образом, что слушатель или зритель не замечает последствий его сжатия перед записью. Компрессированием удается значительно сократить полный цифровой поток (в некоторых системах в десятки раз).

Компьютерной обработкой возможно также осуществить фильтрацию нижних частот на входе и выходе системы, близкую к той, которую обеспечивает идеальный аналоговый фильтр нижних частот. Реализация последнего, как было показано в разделе 2.5, вызывает определенные трудности.

Действие цифрового фильтра основано на предварительной дискретизации исходного сигнала с частотой, в два или несколько раз большей требуемой минимальной частоты дискретизации. Как было показано ранее, для записи и воспроизведения звукового сигнала с частотой ma x требуемая минимальная частота дискретизации составляет д =2 ma x, а соответствующий ей шаг дискретизации - Т*=1/ д. В цифровом же фильтре предполагается частота предварительной дискретизации 2 д, 3 д или 4 д. После цифровой обработки, перед записью на носителе, выполняется передискретизация сигнала, в результате которой частота дискретизации снижается до д.

Положим, что предварительная дискретизация осуществляется с частотой 2 д и шагом дискретизации Т*/2. На входе системы обычный аналоговый фильтр Ф 1 (см.рис.2.42,а) имеет частотную характеристику К 1 (), равную единице в пределах частот до ma x, и плавный спад до частоты не более 2 д - ma x (рис.2.48,а). Такой фильтр не воздействует на сигнал в пределах полезных частот (до ma x ), а плавный спад частотной характеристики выше этих частот устраняет затруднения в реализации аналогового фильтра. Исходный сигнал F и (t) с выхода аналогового фильтра Ф 1 поступает в дискретизатор Д, где подвергается предварительной дискретизации с частотой 2 д. В результате в спектральном пространстве, кроме основного, возникают смещенные спектры, отстоящие друг от друга на интервалах, равных 2 д.

Рис.2.48. ВЧХ фильтра Ф 1 (а) и спектр (б) дискретизированного сигнала На рис.2.48,б показан спектр S 1 *() единичного импульса, поданного на вход системы. Как следует из этого рисунка, смещенные спектры частично перекрывают основной, но не входят в пределы полезных частот записываемого сигнала.

Дискретизированный в устройстве Д сигнал F*(t) подвергается квантованию и кодированию, после чего происходит его цифровая обработка. Она заключается в осуществлении процесса свертки цифрового сигнала с цифровой импульсной реакцией F* о (t) своеобразного цифрового фильтра нижних частот. Эта цифровая импульсная реакция образована путем дискретизации функции отсчетов F о (t)=(1/T*)sinc(t/T*) с частотой 2 д и шагом дискретизации Т*/2 (рис.2.49,а). Дискретизированная функция отсчетов определяется произведением функции отсчетов на дискретизирующую функцию:

F* о (t)=(1/T*)sinc(t/T*)(t-nT*/2)T*/2.

(2.76) n= Преобразование Фурье этой функции, т.е. ВЧХ цифрового фильтра, находим сверткой преобразований Фурье от сомножителей:

K*()=rect(T*)(-2n/T*)=rect[(-2n/T*)T*].

(2.77) n=- n= График ВЧХ цифрового фильтра показан на рис.2.49,б.

Рис.2.49. Цифровая имп ульсная реакция (а) и ВЧХ (б) цифрового фильтра Указанный процесс свертки временных сигналов возможен, поскольку цифровой сигнал и цифровая импульсная реакция введены в оперативную память компьютера и в определенном временном промежутке распространяются как в положительном, так и в отрицательном направлениях вдоль оси времени.

Спектр сигнала на выходе цифрового фильтра будет равен произведению спектра S 1 *() дискретизированного сигнала (рис.2.48,б) на частотную характеристику К*() цифрового фильтра (рис.2.49,б):

S 2 *()=S 1 *()K*().

Очевидно, что при принятых параметрах системы график спектра S 2 *() не будет отличаться от графика функции К*(), как это показано на рис.2.49,б. Перекрытие спектров будет полностью устранено.

Сигнал после подобной обработки может быть подан в устройство ЗТВ, однако потребует увеличения полосы пропускания в два раза.

Чтобы этого избежать, после цифровой фильтрации осуществляется передискретизация сигнала. Она заключается в том, что в дискретном сигнале все четные (или, наоборот, нечетные) импульсы устраняются (рис.2.50,а). При этом шаг дискретизации увеличивается до Т* (рис.2.50,б), а частота дискретизации сокращается до д. Также сокращаются до д интервалы между смещенными спектрами (рис.2.50,в). Однако они, вплотную приближаясь к основному спектру, не перекрывают его. После передискретизации сигнал подается в устройство ЗТВ.

Рис.2.50. Передискретизация сигнала и его спектр Обработка сигнала на выходе системы заключается в передискретизации, в результате которой частота дискретизации вновь удваивается добавлением промежуточных импульсов между каждой парой соседних основных импульсов. Величина этих импульсов находится интерполяцией значений соседних воспроизводимых системой импульсов. Такая интерполяция осуществляется сверткой цифрового сигнала, полученного на выходе устройства ЗТВ, с цифровой импульсной реакцией, определяемой формулой (2.75). В процессе свертки производится не только интерполяция, но и одновременно передискретизация сигнала.

В результате передискретизации смещенные спектры S 3 () вновь удаляются от основного на интервалы, равные 2 д (рис.2.51,а). Для полного устранения смещенных спектров на выходе системы применен аналоговый фильтр Ф2, имеющий частотную характеристику К 2 (), подобную частотной характеристике фильтра Ф 1 (рис.2.48,а). В результате на выходе получают сигнал, спектр которого показан на рис.2.51,б. В этом сигнале полностью отсутствуют искажения, вызванные его дискретизацией, и в то же время в пределах полезных частот ВЧХ всей системы абсолютно “плоская”.

Рис.2.51. Фильтрация сигнала на выходе системы Цифровая запись звукового и видеосигнала в настоящее время получает все большее распространение и постепенно вытесняет аналоговую запись. Ее достоинствами являются: возможность получения широкого динамического диапазона и многократной перезаписи сигнала без ухудшения качества воспроизводимого сигнала, полное отсутствие модуляционных шумов и шумов носителя, возможность цифровой обработки сигнала.

Кроме систем фотографической и магнитной цифровой записи сигналов аудиовизуальной информации, разработаны и получили широкое распространение новые системы оптической и магнитооптической записи сигналов.

3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА ПРИ ЕГО ЗАПИСИ ВДОЛЬ ДВУХ ИЗМЕРЕНИЙ НОСИТЕЛЯ 3.1. ДВУМЕРНАЯ РАЗВЕРТКА СИГНАЛА В разд. 2 были рассмотрены преобразования сигнала информации в устройствах, относящихся к 1- и 2-му классам системы ЗТВ (см.рис.1.3), при его записи в направлении длины носителя х. В действительности при записи любого, даже одномерного, сигнала его преобразования происходят по всем трем (х,у,z) измерениям носителя. Однако преобразования одномерного сигнала по осям у и z удобно приводить к оси х, в направлении которой ведется запись информации. Так, в магнитной записи слойные потери, происходящие в глубине рабочего слоя, приводились к координате х носителя. Аналогично при фотографической записи сигналов рассеяние света в эмульсии (по оси z) обычно приводят к координатам х и у.

Однако при изучении ряда систем записи даже одномерных сигналов необходимо анализировать преобразования сигнала вдоль двух, а иногда и трех измерений носителя. К подобным системам, в частности, относится система записи звука на фонограмме переменной ширины или система оптической (лазерной) записи звука и видеосигнала. В фотоаппаратах и киносъемочных аппаратах изображение, как правило, разворачивается по двум измерениям носителя (х,у), к которым и приводят все преобразования сигнала. В системах же записи цветной фотографии Г.Липпмана и в трехмерной голографии информация записывается вдоль всех трех измерений носителя.

Для записи изображения (или любого другого двумерного сигнала) вдоль двух измерений носителя его необходимо совместить с носителем, т.е. осуществить двумерную развертку сигнала по поверхности носителя. Положим, что рассматриваемая система предназначена для получения и демонстрации на экране слайдов.

Пусть объектом является плоский черно-белый транспарант (рис.3.1) и распределение яркости в нем определяет функция F в х (х,у), где х,у - пространственные координаты в плоскости транспаранта.

Фотографический объектив 2 образует в плоскости фотопленки изображение объекта, осуществляя развертку изображения по поверхности носителя записи. При этом пространственные координаты х,у преобразуются в координаты х,у в плоскости фотопленки в соответствии с формулами х=х с ;

у=у с, где с - линейное увеличение фотографического объектива.

Рис.3.1. Развертка изображения в фотоаппарате Условно считаем, что в результате развертки произошли лишь преобразования координат без преобразования функции (которая является безразмерной величиной, выраженной в относительных единицах), описывающей объект. Это означает, что в плоскости фотопленки образована точная копия транспаранта, приведенная к поверхности фотопленки в масштабе с и перевернутая (поскольку линейное увеличение объектива отрицательно). В результате такого “чистого” преобразования координат получаем функцию F в х (x,y), которая описывает “идеальное” изображение, совмещенное с фотопленкой.

После записи, тиражирования и необходимых преобразований получаем слайд, на котором записано изображение, определяемое новой функцией: F в ы х (x,y). Аргументы функции остались неизменными, поскольку мы считаем, что масштаб изображения в процессе его преобразований не изменился. Функция F в ых (x,y) выражает распределение коэффициента пропускания в изображении, записанном на слайде, т.е. эта функция описывает выходной сигнал.

При диапроекции вновь осуществляется преобразование координат х,у, принадлежащих поверхности слайда, в пространственные координаты х,у в плоскости экрана. Эту операцию выполняет проекционный объектив, образующий на экране изображение, определяемое функцией F в ы х (x,y). Преобразование координат при проекции:

х=х п ;

у=у п, где п - линейное увеличение проекционного объектива.

Во время фотографирования и проекции фотографический и проекционный объективы преобразуют не только аргументы функции, описывающей входной и выходной сигналы, но и сами функции. Однако, как было условлено ранее, считаем, что такое преобразование функций происходит после анализирующей развертки сигнала на входе системы и до синтезирующей развертки на выходе системы.

Таким образом, преобразования сигнала в системе можно представить эквивалентной схемой, показанной на рис.3.2.

Устройства и осуществляют анализирующую и РА РС синтезирующую развертки на входе и выходе системы. Устройство же ЗТВ служит для записи, тиражирования и воспроизведения сигнала информации.

Рис.3.2. Эквивалентная схема преобразования изображения в процессе записи и воспроизведения слайда Основной задачей настоящего раздела является изучение преобразований сигнала вдоль двух (х,у) измерений носителя в системах ЗТВ, относящихся к классам 3, 4, 5 (см.рис.1.4), т.е.

нахождение функции F в ых (x,y) по заданной функции F вх (x,y).

3.2. ФУНКЦИИ РАССЕЯНИЯ ТОЧКИ, ЛИНИИ И КРАЯ Функция рассеяния точки (ФРТ) определяет распределение освещенности, яркости или коэффициента пропускания в изображении светящейся точки. ФРТ является импульсной реакцией системы.

Положим, что на вход системы был подан бесконечно малый в пространстве импульс (светящаяся точка), описываемый двумерной дельта-функцией:

F в х (x,y)=(x-x 1,y-y 1 ), (3.1) где x 1 и y 1 - координаты импульса на входе системы.

Свяжем, как и ранее (см.раздел 2.1), входной и выходной сигналы соотношением F в ых (x,y)=F в х (x,y), (3.2) где... - математический оператор, который показывает, как надо подействовать на входную двумерную функцию, чтобы получить выходную двумерную функцию.

В общем случае выходной сигнал зависит от положения импульса на входе системы, поэтому при подаче на вход системы импульса, описываемого выражением (3.1), на выходе будем иметь F в ых (x,y;

x 1,y 1 )=F т (x,y;

x 1,y 1 )=(x-x 1,у y 1 ), (3.3) где F т (x,y;

x 1,y 1 ) - функция рассеяния точки.

Будем считать, что система ЗТВ линейна. Тогда она должна удовлетворять условию суперпозиции (см.раздел 2.1):

а m F в х m (x,y)=a m F в х m (x,y).

(3.4) m m Разложим условно произвольный входной сигнал на отдельные импульсы, отстоящие друг от друга на предельно малых расстояниях вдоль оси 0х и вдоль оси 0у, тогда входной сигнал приближенно можно описать функцией F в х (x,y)F в х (n,k)(x-n,y-k).

(3.5) n k Следовательно, на основе равенства (3.2) имеем F в ых (x,y)F в х (n,k)(x-n,y-k), n k а в соответствии с выражениями (3.4) и (3.3) получим F в ых (x,y)F вх (n,k)(x-n,y-k)= n k =F вх (n,k)F т (x,y;

n,k).

n k Полагая =dx 1 ;

=dy 1 ;

n=x 1 ;

k=y 1 и устремив n и k к, переходим от сумм к двойному интегралу суперпозиции:

F в ых (x,y)=F в х (x 1,y 1 )F т (x,y;

x 1,y 1 )dx 1 dy 1. (3.6) Если изображение точечного источника на выходе системы меняет только свое положение по мере того, как этот источник пробегает поле предметов, но не изменяет своей формы, то считается, что система, формирующая или преобразующая изображение, пространственно инвариантна, или изопланарна.

Для пространственно инвариантной системы справедливо равенство F т (x,y;

x 1,y 1 )=F т (x-x 1,y-y 1 ).

(3.7) На основе выражений (3.6) и (3.7) имеем F в ых (x,y)=F в х (x 1,y 1 )F т (x-x 1,y y 1 )dx 1 dy 1. (3.8) Данное выражение является двумерной сверткой входной функции с ФРТ. Она может быть записана также в виде F в ых (x,y)=F т (x 1,y 1 )F в х (x-x 1,y y 1 )dx 1 dy 1 (3.9) или в компактной форме:

F в ых (x,y)=F в х (x,y)F т (x,y).

Таким образом, при двумерной развертке в линейной и пространственно инвариантной системе выходной сигнал определяется двумерной сверткой функции, описывающей входной сигнал, с функцией рассеяния точки.

Если система состоит из ряда последовательно соединенных линейных и пространственно инвариантных звеньев А, В, С, то импульсная реакция системы, т.е. ФРТ, равна двумерной свертке ФРТ составляющих ее звеньев:

F т (x,y)=F т А (x,y)F т в (x,y)F т с (x,y), (3.10) где F т А (x,y), F т в (x,y), F т с (x,y) - ФРТ звеньев А, В, С соответственно.

ФРТ, как и любая другая импульсная реакция, нормируется наложением условия F т (x,y)dxdy=1.

(3.11) Поскольку ФРТ является функцией двух аргументов, ее графически представляют аксонометрической проекцией в трехмерном пространстве (рис.3.3).

Рис.3.3. График ф ункции рассеяния точки Формулы (3.6), (3.8), (3.9) позволяют найти выходной сигнал в любой линейной детерминированной системе ЗТВ. Однако двумерные преобразования, особенно двумерная свертка, чрезвычайно трудоемки и не удобны для практического использования. Они вынуждают изыскивать пути перехода от двумерных к одномерным вычислениям. Оказывается, во многих случаях эта задача разрешима.

ФРТ часто обладают круговой симметрией или являются функциями с разделяющимися переменными. Если ФРТ обладает круговой симметрией, то можно написать F т (x,y)=F т о (r), (3.12) где r - радиус-вектор в полярной системе координат, определяемый выражением r=(x 2 +y 2 ) 1 / 2. В данном случае свойства системы в плоскости x0y одинаковы для всех направлений, т.е. система является изотропной. Изотропны почти все носители записи, дифракционно ограниченные оптические системы с круглым зрачком и др.

Для ФРТ с разделяющимися переменными можно написать F т (x,y)=F т х (x)F т у (y).

(3.13) Если ФРТ обладают круговой симметрией или являются функциями с разделяющимися переменными, то для анализа систем допустимо вместо двумерных ФРТ использовать одномерные функции рассеяния линии или края.

Функция рассеяния линии (ФРЛ) F л (x) описывает распределение освещенности, яркости или коэффициента пропускания в изображении светящейся линии.

Положим, что входное изображение линии совпадает с осью 0у (рис.3.4,а), т.е.

F в х (x,y)=(x).

Определим распределение освещенности в выходном изображении (рис.3.4,б) вдоль оси 0х (у=0).

Рис.3.4. Графики функции, описывающей входное изображение светящейся линии (а), и ф ункции рассеяния линии (б,в) В соответствии с формулой (3.9) имеем F в ых (x,0)=F л (x)=F т (x 1,y 1 )(x x 1 )dx 1 dy 1 =F т (x,y 1 )dy 1.

- Заменив обозначение переменной интегрирования y 1 =y, получим F л (x)=F т (x,y)dy.

(3.14) Если входное изображение линии совпадает с осью х, то F л (y)=F т (x,y)dx.

(3.15) Представим выражение (3.11) в виде [ F т (x,y)dy]dx=1.

- Подставив в это выражение значение интеграла из формулы (3.14), получим F л (x)dx=1.

(3.16) Следовательно, если ФРТ нормирована, то и ФРЛ также нормирована наложением условия (3.16).

Нахождение ФРЛ в значительной степени облегчается, когда ФРТ является функцией с разделяющимися переменными. Подставив значение F т (x,y) из формулы (3.13) в выражения (3.14) и (3.15), имеем F л (x)=F т х (x)F т у (y)dy=F тх (x)F т у (y)dy - и F л (y)=F т х (x)F т у (y)dx=F ту (y)F т х (x)dx.

- При выполнении условия нормирования ФРТ интегралы F т у (y)dy и F т х (x)dx - равны единице, поэтому F т (x,y)=F т х (x)F т у (y)=F л (x)F л (y).

(3.17) Следовательно, ФРТ с разделяющимися переменными равна произведению ФРЛ, расположенных вдоль оси х и оси у. При нахождении ФРЛ всегда следует попытаться выразить ФРТ в виде функции с разделяющимися переменными.

П р и м е р 3.1. ФРТ обладает круговой симметрией и выражена ф ункцией F т о (r)=N 2 exp[-(rN) 2 ]. Найти ФРЛ.

Заданную ФРТ в прямоугольной системе координат можно выразить в виде функции с разделяющимися переменными, поскольку r 2 =x 2 + y 2 :

F т (x,y)=Nexp[-(xN) 2 ]Nexp[-(yN) 2 ].

Следовательно, согласно (3.17) имеем:

F л (x)=Nexp[-(xN) 2 ] и F л (y)=Nexp[-(yN) 2 ].

П р и м е р 3.2. ФРТ обладает круговой симметрией и выражена ф ункцией (рис.3.5,а) F т о (r)=(1/R 2 )circ(r/R). Найти ФРЛ.

Заданную ф ункцию выразить в виде ф ункции с разделяющимися переменными невозможно. Поэтому представим ее в прямо угольной системе координат в виде (рис.3.5,б) F т (x,y)=(1/R 2 )rect[0,5y/(R 2 -x 2 ) 1 / 2 ] при хR, 0 в остальных случаях.

Подставим данное значение ФРТ в формулу (3.14):

(R2 -x’ 2)1/ 2 2 2 1/ ]dy=(1/R 2 ) d y’ = F л (x )=(1/R )rect[y/2(R -x ) -( R 2 -x ’ 2 ) 1 / R( x’ /R) =(1/R 2 ) dy.

- R ( x ’ / R) Выполнив интегрирование, получим (рис.3.5,в) F л (x)=(2/R)(x/R).

Аналогично находим F л (y)=(2/R)(y/R).

Рис.3.5. Ф ункция рассеяния точки (а), функция рассеяния точки в плане (б) и ф ункция рассеяния линии (в) (к примеру 3.2) П р и м е р 3.3. ФРТ задана равенством F т (x, y)=(1/ab)rect[(x /a),(y/b)]. Найти ФРЛ.

Выразим ФРТ в виде F т (x,y)=(1/а)rect(x/а)(1/b)rect(y/b). В соответствии с формулой (3.17) имеем F л (x)=(1/a)rect(x/a) и F л (y)=(1/b)rect(y/b).

Результаты примеров 3.1 - 3.3 будут полезны при анализе систем записи звука, систем, содержащих растры и матрицы ПЗС.

По заданной ФРТ принципиально всегда можно найти ФРЛ.

Однако для решения многих практических задач, встречающихся при анализе систем ЗТВ, более важно определить ФРТ по заданной ФРЛ, поскольку последнюю найти экспериментально значительно легче, чем ФРТ. Общего решения интегральных уравнений (3.14) и (3.15) для нахождения F т (x,y) нет. Однако, как было показано, если ФРТ является функцией с разделяющимися переменными, то для нахождения ФРТ достаточно перемножить ФРЛ, найденные для осей 0х и 0у. Решение уравнений (3.14) и (3.15) найдено также для систем с ФРТ, обладающей круговой симметрией.

Для изотропных систем на основе равенств (3.12) и (3.14) можем написать F т о (r)dy, F л (x)= (3.18) где r=(x 2 +y 2 ) 1 / 2. Для решения уравнения (3.18) относительно F т о (r), т.е. для нахождения ФРТ по заданной ФРЛ, вводят вспомогательную функцию r=(x 2 +y 2 ) 1 / 2.

(x)=F л (r)dy при (3.19) Тогда ФРТ определяется выражением F т о (r)=-[1/(2r)]d(r)/dr. (3.20) П р и м е р 3.4. ФРЛ определяет равенство (см.пример 3.2) F л (x)=(2/R)( x/R).

Найти ФРТ, которая обладает круговой симметрией.

Подставим значение F л (x) в формулу (3.19) и, учитывая, что r 2 =x 2 + y 2, получим (x)= (2/R)(r/R)d y=(2/R 2 )(R 2 -r 2 ) 1 / 2 dу= - =(2/R )(R 2 -x 2 -y 2 ) 1 / 2 dy.

2 2 Обозначим R -x =a, тогда (x)=(2/R )(a 2 -y 2 ) 1 / 2 dy при ya и 0 в остальных случаях.

Следовательно, можно написать a а 2 2 2 1 /2 2 (x)=(2/R )(a -y ) d y=(2/R )[(1/2)y(a y 2 ) 1 / 2 +a 2 arcsin(y/a)] = -а -a =(1/R 2 )(R 2 -x 2 ) при х R и 0 в остальных случаях.

Подставив данное выражение в формулу (3.20), получим F т о (r)=-(1/2r)d[(1/R 2 )(R 2 -r 2 )]/dr=1/R 2 при rR и 0 в остальных случаях. Окончательно имеем F т о (r)=(1/R 2 )circ(r/R).

Известен и другой п уть нахождения ФРТ по заданной ФРЛ если ФРТ имеет круговую симметрию. Этот п уть основан на преобразовании Ганкеля и будет рассмотрен ниже.

Поскольку в системах, имеющих ФРТ с разделяющимися переменными или обладающих круговой симметрией, ФРТ и ФРЛ однозначно связаны друг с другом, то для оценки подобных систем вполне допустимо использовать одномерные ФРЛ.

Если входное изображение описывается функцией только одного аргумента F в х (x) (это может быть изображение края светящейся полуплоскости, светящейся полосы, решетки и т.п.), то в соответствии с выражением (3.9) имеем F в ых (x,y)=F в х (x-x 1 )F т (x 1,y 1 )dx 1 dy 1.

На основании равенства (3.14) можем написать F в ых (x)=F л (x 1 )F в х (x-x 1 )dx (3.21) или F в ых (x)=F в х (x 1 )F л (x-x 1 )dx 1 =F в х (x)F л (x).

(3.22) Следовательно, изображение на выходе системы определяется одномерной сверткой функции, описывающей входной сигнал, с ФРЛ. Поэтому при анализе преобразований в двумерной системе одномерных сигналов ФРЛ выполняет роль импульсной реакции.

Рассуждая аналогично изложенному выше, можно утверждать, что ФРЛ системы, состоящей из звеньев А, В, С, равна:

F л (x)=F л А (x)F л в (x)F л с (x), где F л А (x), F л в (x), F лс (x) - ФРЛ звеньев А, В, С соответственно.

Методика анализа одномерных преобразований в двумерных системах аналогична рассмотренным в разделе 2.2.

Функция рассеяния края (ФРК) F к (x) описывает распределение яркости, освещенности или коэффициента пропускания в изображении края светящейся полуплоскости. Если изображение края полуплоскости совпадает с осью у (рис.3.6,а), то F в х (x)=1(x).

В соответствии с выражением (3.22) имеем F в ых (x)=F к (x)=1(x 1 )F л (x-x 1 )dx или F к (x)=F л (x-x 1 )dx 1.

(3.23) o Из построения на рис.3.6,б следует, что значение ФРК в точке х равно площади, ограниченной ФРЛ от х 1 =0 до х 1 = (заштрихована на рисунке). Следовательно, по мере увеличения х значение ФРК стремится к единице (рис.3.6,в). При х=0 значение ФРК равно 0,5.

Рис.3.6. Графики функции, описывающей входное изображение края светящейся полуплоскости (а,б) и функции рассеяния края (в) ФРК определяет характер перехода от светлых к темным деталям изображения, т.е. его резкость. Чем больше крутизна ФРК, тем более резким является изображение. В фотографии ФРК определяется характером изменения плотности на границе темных и светлых участков и называется пограничной кривой. Формула (3.23) позволяет найти ФРК по любой заданной ФРЛ. Однако во многих случаях ставится обратная задача - найти ФРЛ по заданной ФРК, поскольку экспериментально найти ФРК легче, чем ФРЛ. Решим данную задачу.

Найдем ФРК, используя формулу (3.21):

x’ F л (x 1 )dx 1.

F к (x)=F л (x 1 )1(x-x 1 )dx 1 = (3.24) - Интеграл в правой части равенства (3.24) является интегралом с переменным верхним пределом, поэтому в соответствии с теоремой Лейбница - Ньютона можем написать x’ F л (x)dx=dF л (x 1 )dx 1.

Откуда F л (x)=dF к (x)/dx.

(3.25) Следовательно, ФРЛ является первой производной от ФРК.

Функция рассеяния линии, как правило, является четной, что облегчает нахождение функции рассеяния края. Действительно, ФРК имеет в точке F к (0)=0,5 (показана кружком на рис.3.6,в) центр симметрии, относительно которого она является нечетной функцией.

Поэтому при вычислениях достаточно определить значения ФРК либо только для отрицательных переменных х, либо только для положительных значений того же аргумента. Положим, что находим значения ФРК только для отрицательных значений х. Тогда на основе формулы (3.24) имеем х’ F л (x 1 )dx F к (x)= при х0, (3.26) причем индекс “минус” обозначает, что значения F к (x) имеют место только для х0. Поскольку функция F к (x) относительно центра симметрии нечетная, то для положительных значений х имеем F к + (x)=1-F к - (-x) при х (3.27) Итоговое значение ФРК равно F к (x)=F к - (x)1(-x)+F к + (x)1(x ).

(3.28) Аналогично и при нахождении ФРЛ по заданной ФРК достаточно выполнить дифференцирование согласно выражению (3.25) только для положительных или только отрицательных значений х.

П р и м е р 3.5. ФРЛ задана выражением F л (x )=(2/R)(x /R) (см.пример 3.2). Найти ФРК.

Согласно формуле (3.24) можем написать x x F К (x)=(2/R)(x 1 /R)dx 1 =(2/R 2 )(R 2 -x 2 ) 1 / 2 dx.

.

- -R Выполнив интегрирование, находим 1/2+(1/R 2 )[x(R 2 -x 2 ) 1 / 2 +R 2 arcsin(x/R)] при xR F к (x)= 1 при xR 0 при x -R Пример 3.6. ФРЛ задана выражением F л (x)=0,5aexp(-ax) (см.пример 2.5). Найти ФРК.

По формуле (3.26) для х 0 находим x’ F к - (x)=0,5aexp(ax)dx = 0,5exp(ax)1(-x).

Согласно (3.27) имеем F к + (x)=1-0,5exp(-ax )1(x).

Следовательно, F к (x)= [0,5exp(ax)]1(-x)+[1-0,5exp(-ax)]1(x ).

П р и м е р 3.7. ФРК, найденная экспериментальным п утем (рис.3.7,а), аппроксимирована выражением F к (x)=0,5+(1/)arctg(x/a). Найти ФРЛ.

По формуле (3.25) имеем F л (x)=d[0,5+(1/)arctg(x/a)]/dx.

Выполнив дифференцирование, находим (рис.3.7,б) F л (x)=a/[(a 2 +x 2 )].

Рис.3.7. Функции рассеяния края и линии (к примеру 3.7) В системах ЗТВ часто имеются звенья, образующие изображения полос постоянной яркости. Это имеет место, в частности, в системах фотографической записи звука, в системах с линзовыми растрами и др. Входной сигнал в данных устройствах описывается функцией F в х (x)=rect(x/a), где а - ширина полосы. Согласно формуле (3.21) выходной сигнал будет равен x’+a/ F в ых (x)=F л (x 1 )rect[(x-x 1 )/a]dx 1 = F л (x)dx.

(3.29) - x’-a/ Представим выражение (3.29) так:

x+a/2 x-a/ F л (x 1 )dx 1 - F в ых (x) = F л (x 1 )dx 1.

(3.30) - Из сопоставления выражений (3.24) и (3.30) находим, что оба интеграла в правой части равенства (3.30) равны значениям ФРК в точках x+a/2 и x-a/2. Следовательно, можно написать F в ых (x) = F к (x+a/2) - F к (x-a/2).

(3.31) Полученное выражение позволяет довольно просто графоаналитическим методом находить распределение освещенности или яркости в изображениях полос различной ширины по известной ФРК.

П р и м е р 3.8. Найти распределение освещенности в изображении светящейся полосы постоянной яркости шириной а=10 мкм (показана на рис.3,8,б штриховой линией), если ФРК имеет вид, показанный на рис.3.8,а.

Найдем освещенность в точке с координатой x=2 мкм. На основе равенства (3.31) имеем F в ы х (2 мкм)= F к (2+5)-F к (2-5)= F к (7 мкм)-F к (-3 мкм).

Значения F к (x) находим из графика на рис.3.8,а:

F в ы х (2 мкм)=0,87-0,30=0,57.

В середине полосы x=0, следовательно, F в ы х (0)= F к (5 мкм)-F к (-5 мкм)=0,82-0,18=0,64.

Подобным образом определяется освещенность в точках с другими координатами и строится график ф ункции F в ы х (x) (показан сплошной линией на рис.3.8,б).

Рис.3.8. Графики распределения освещенности в изображениях края светящейся полуп лоскости и полосы постоянной яркости (к примеру 3.8) Таким образом, если система ЗТВ изотропна или ее ФРТ является функцией с разделяющимися переменными, то она полностью характеризуется не только ФРТ, но и ФРЛ и ФРК.

3.3. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА В разд. 2 было показано, что свойства линейной инвариантной к сдвигу системы могут быть оценены не только импульсной реакцией, но и частотной характеристикой. Поскольку импульсной реакцией системы, предназначенной для записи сигнала вдоль двух измерений носителя, является двумерная ФРТ, то пространственную частотную характеристику (ПЧХ) системы описывает также функция двух переменных - пространственных частот f х и f у вдоль осей 0х и 0у:

K(f x,f y ).

Функция К(f х,f у ) находится двумерным преобразованием Фурье импульсной реакции, т.е. ФРТ:

K(f x,f y )=F т (x,y)exp[-i2(f x x+f y y)]dxdy.

(3.32) Если входной сигнал описывает функция F в х (x,y), то его спектр определяется двумерным преобразованием Фурье этой функции:

S в х (f x,f y )=F в х (x,y)exp[-i2(f х x+f у y)]dxdy.

(3.33) На основе теоремы двумерной свертки и выражения (3.8) находим, что спектр выходного сигнала равен S в ых (f х,f н )=S в х (f х,f у )K(f х,f у ). (3.34) Выходной сигнал определяет обратное двумерное преобразование Фурье функции S в ы х (f х,f у ):

F в ых (x,y)=S в ых (f х,f у )exp[i2(f х x+f у y)]df x df y.

На основе теоремы двумерной свертки и выражения (3.10) можем также написать K(f х,f у )=K A (f х,f у )K в (f х,f у )K с (f х,f у ), где K A (f х,f у ), K в (f х,f у ), K с (f х,f у ) - ПЧХ звеньев А, В, С, составляющих систему ЗТВ. Данные функции являются преобразованиями Фурье от ФРТ перечисленных звеньев.

Нахождение ПЧХ по заданной ФРТ облегчается, когда ФРТ является функцией с разделяющимися переменными или обладает круговой симметрией.

На основе равенств (3.32) и (3.13) для ФРТ с разделяющимися переменными можем написать K(f x,f y )=F т х (x)F т у (y)exp[-i2(f х x+f у y)]dxdy= =F т х (x)exp(-i2f х x)dxF т у (y)exp(-i2f у y)dy - или K(f x,f y ) = K х (f х )K у (f у ). (3.35) Здесь K x (f x ) и K y (f y ) - ПЧХ вдоль осей 0f x и 0f y. Следовательно, процесс нахождения ПЧХ в этом случае упрощается заменой двумерного преобразования Фурье одномерными преобразованиями, а ПЧХ, так же как и ФРТ, выражается функцией с разделяющимися переменными.

П р и м е р 3.9. ФРТ задана выражением F т (x, y)=(1/аб)rect[(x /a),(y/б)]. Найти ПЧХ.

Представим ФРТ в виде F т (x,y)= (1/a)rect(x/a)(1/ б)rect(y/б).

Произведя одномерные преобразования Ф урье сомножителей, находим K(f х,f у )=sinc(f х a)sinc(f у б)= K x (f x )K y (f y ).

В тех случаях, когда ФРТ имеет круговую симметрию, то ее Фурье-преобразование, т.е. ПЧХ, также имеет круговую симметрию.

Для нахождения ПЧХ в данном случае перейдем к системе полярных координат как в плоскости x0y, так и в плоскости f x 0f y, воспользовавшись следующими общеизвестными формулами:

r=(x 2 +y 2 ) 1 / 2 ;

x=rcos ;

y=rsin ;

(3.36) 2 2 1/ =(f x +f y ) ;

f x =cos;

f y =sin, где r и - радиусы-векторы, а и - полярные углы в плоскостях x0y и f х 0f у соответственно.

Переходя в формуле (3.32) к новым переменным, перепишем ее в виде K о (,)=rF т о (r)exp[-i2(coscos+sinsin)]drd= о о =rF т о (r)drexp[-i2rcos(-)]d.

(3.37) о о Известно, что (1/2)exp[-iacos(-)d=J о (a), (3.38) о где J о (a) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

На основе равенств (3.37) и (3.38) можем написать rF т о (r)J о (2r)dr.

K о ()= (3.39) о Полученное выражение представляет собой преобразование Ганкеля нулевого порядка функции F т о (r). Его называют также преобразованием Фурье-Бесселя. Обратное преобразование Ганкеля F т о (r)=2K о ()J о (2r)d (3.40) о позволяет найти ФРТ по заданному значению функции, описываюшей ПЧХ системы.

Преобразование Ганкеля - частный случай двумерного преобразования Фурье, поэтому, когда ФРТ обладает круговой симметрией, преобразование Фурье даст тот же результат, что и преобразование Ганкеля. Следовательно, если рассматривать сечение функции К(f x,fy) плоскостью, проходящей через ось 0f x (f y =0), то из формул (3.36) следует, что =f x. Для данного случая, очевидно, и K(f х,0)=K о (f х ) (рис.3.9).

На основе равенства (3.32) имеем K(f х,0)=F т (x,y)exp[-i2(f х x+0y)]dxdy= =F т о (r)exp(-i2f х x)dxdy.

Рис.3.9. ПЧХ в прямоугольной и полярной системах координат Учитывая же формулу (3.18), получим K(f x,0)=K о (f x )=F л (x)exp(-i2f х x)dx.

(3.41) Правая часть данного равенства является одномерным преобразованием Фурье функции рассеяния линии F л (x). Поэтому если система изотропна, то одномерное преобразование Фурье ФРЛ равно преобразованию Ганкеля ФРТ. Следовательно, изотропные системы полностью характеризуются не только одномерными ФРЛ, но и одномерными ПЧХ, которые находятся путем одномерного преобразования Фурье ФРЛ:

K(f)=F л (x)exp(-i2fx)dx, (3.42) где f - пространственная частота вдоль осей f х, f у или любой другой оси, проходящей через начало координат.

На основе изложенного приходим к выводу о том, что если система изотропна, то функции, выражающие ПЧХ и ФРТ в полярной системе координат, однозначно связаны между собой преобразованием Ганкеля. Функция же, описывающая сечение ПЧХ плоскостью, проходящей через начало прямоугольной системы координат, и ФРЛ однозначно связаны между собой одномерным преобразованием Фурье. Для нахождения ПЧХ изотропных систем может быть использован любой из двух указанных видов преобразований. Данное свойство изотропных систем дает второй путь нахождения ФРТ по заданной ФРЛ (первый путь рассмотрен в разделе 3.2). Действительно, найдя одномерным преобразованием ФРЛ сечение ПЧХ K(f) и заменив в полученной функции переменную f на радиус-вектор, находим ПЧХ в полярной системе координат K o (). Обратным преобразованием Ганкеля получаем ФРТ F т о (r).

П р и м е р 3.10. ФРТ в изотропной системе равна F т о (r)=N 2 exp[-(rN) 2 ].

Найти ПЧХ.

Преобразование Ганкеля дает результа т K o ()=exp[-(/N) 2 ].

Данный результат может быть получен и другим путем. Представим исходн ую ф ункци ю в виде ф ункции с разделяющимися переменными в прямоугольной системе координат:

F т (x,y)=Nexp[-(xN) 2 ]Nexp[-(yN) 2 ].

Каждый из сомножителей в правой части равенства равен ФРЛ вдоль осей x и y, т.е. F л (x)=Nexp[-(xN) 2 ] и F л (y)=Nexp[-(yN) 2 ] (см.раздел 3.2). Одномерное преобразование Фурье любой из этих функций дает K(f)=exp[-(f/N) 2 ]. Произведя замен у переменной f=, получаем K o ()=exp[-(/N) 2 ].

П р и м е р 3.11. ФРЛ в изотропной системе определяется выражением F л (x )= (2/R)(x/R) (см.примеры 3.2 и 3.4). Найти ПЧХ и ФРТ.

Одномерным преобразованием Ф урье ф ункции F л (x) находим K(f)=2J 1 (Rf)/Rf, где J 1 (Rf) - ф ункция Бесселя первого рода первого порядка. Произведя замену переменных f=, получаем K o ()=2J 1 (R)/R.

ФРТ находим обратным преобразованием Ганкеля ф ункции K о ():

F т о (r)=(1/R 2 )circ(r/R).

Таким образом, в тех случаях, когда ФРТ обладает круговой симметрией или выражается функцией с разделяющимися переменными, одномерные ПЧХ полностью содержат информацию о свойствах системы ЗТВ и ее звеньев. При решении практических задач обычно используют одномерные ФРЛ, ФРК и ПЧХ.

Преобразования сигнала в спектральной области в данном случае аналогичны рассмотренным в разделе 2.

ПЧХ не всегда могут быть найдены аналитическим методом.

Тогда их определяют экспериментально. Рассмотрим один из наиболее распространенных в оптике, фотографии и кинематографии методов экспериментального нахождения ПЧХ.

Положим, на вход системы подано изображение решетки (миры) с гармонически изменяющейся освещенностью (рис.3.10):

F в х (x)=А о +Аcos2fx.

Выходной сигнал опишет функция F в ых (x)=A о +AK(f)cos2fx.

(3.43) Для оценки периодических сигналов, воспроизводимых оптическими и фотографическими системами, введено понятие модуляция или глубина модуляции Т, равная отношению амплитуды переменной составляющей к постоянной составляющей сигнала.

Значение Т иногда называют контрастом изображения и находят из выражения Т=(F ma x -F m i n )/(F ma x +F mi n ), (3.44) где F ma x и F mi n - максимальная и минимальная освещенности в изображении решетки.

На основе рис.3.10 для входного изображения можно написать:

F в х ma x =A o +A;

F вх mi n =A o -A.

Следовательно, глубина модуляции входного изображения T в х =(A о +A- A о +A)/(A о +A+ A о -A)=A/A о.

(3.45) Аналогично модуляция изображения на выходе системы T в ых (f)=(F в ых ma x -F в ых mi n )/(F в ы х ma x +F в ы х mi n ).

Рис.3.10. Графики функций, описывающих входной и выходной гармонические сигналы Подставив значения F в ы х ma x =А o +АК(f) и F в ы х mi n =A o -AK(f), находим T в ых (f)=[A о +AK(f)-A о +AK(f)]/[A о +AK(f)+A о -AK(f)]=AK(f)/A о.

(3.46) Отношение Т в ы х (f)/T в х называют коэффициентом передачи модуляции (или коэффициентом передачи контраста).

Разделив выражения (3.46) на (3.45), имеем T в ых (f)/T в х =K(f). (3.47) Отсюда следует, что значение ПЧХ для заданной частоты равно коэффициенту передачи модуляции в изображении решетки той же частоты. В частном случае, когда A=A o, то Т в х =1 и К(f)=T в ых (f).

Зависимость коэффициента передачи модуляции от пространственной частоты является амплитудно-частотной характеристикой. Ее часто называют частотно-контрастной, контрастно-частотной характеристикой или функцией передачи модуляции. Поскольку в системах ЗТВ имеют место преобразования сигналов как в пространстве, так и во времени, то в данной книге предпочтение отдано термину пространственная частотная характеристика (в отличие от временной частотной характеристики (ВЧХ)).

Если нам известна функция К(f), т.е. ПЧХ системы, то по формуле (3.43) находим распределение освещенности в изображении решетки с гармонически изменяющейся яркостью. Однако можно решить и обратную задачу. Измерив контраст Т в ых в изображении решетки и зная контраст Т в х самой решетки, по формуле (3.47) определяют значение К(f) для заданной пространственной частоты f. Проведя замеры для решеток различной пространственной частоты, строят график функции К(f).


Рассмотренный путь экспериментального нахождения ПЧХ затруднен сложностью изготовления испытательных решеток (мир) с гармоническим законом распределения яркости. Поэтому в оптике, фотографии и кинематографии получил широкое распространение метод экспериментального нахождения ПЧХ с использованием решеток с П-образным распределением яркости (или коэффициента пропускания), которые изготовить значительно легче, чем с гармоническим распределением яркости.

Положим, что на входе системы имеем изображение решетки с П-образным распределением яркости. Причем ширина полос постоянной яркости равна половине периода решетки (рис.3.11). Как и прежде считаем, что А о - постоянная составляющая освещенности, А - амплитуда переменной составляющей освещенности, f - частота изображения решетки.

Представим периодическую функцию F в х (x), описывающую входное изображение решетки, суммой ряда Фурье:

F в х (x)=A о +(4A/)[cos2fx-(1/3)cos23fx+(1/5)cos25fx-...].

(3.48) Рис.3.11. Графики функций, описывающих входное и выходное изображения решетки с П-образным распределением яркости На выходе системы изображение будет определяться функцией F в ых (x), которая, как и входная функция, является периодической, но не гармонической. Если нам известна ПЧХ системы, т.е. функция K(f), то на основе формулы (3.43) можно написать, что выходное изображение выражает сумма ряда:

F в ых (x)=A о +(4A/)K(f)cos2fx-[K(3f)/3]cos23fx+ +[K(5f)/5]cos25fx-....

(3.49) Глубина модуляции во входном изображении, как и прежде, равна Т в х =A/A о. Для нахождения глубины модуляции в выходном изображении необходимо определить максимальные и минимальные значения функции F в ых (x). Вполне понятно, что они будут иметь место тогда, когда все косинусы в формуле (3.49) одновременно будут равны 1 и -1, т.е.

F в ых ma x =A o +(4A/)[K(f)-(1/3)K(3f)+(1/5)K(5f)-...];

F в ых mi n =A o -(4A/)[K(f)-(1/3)K(3f)+(1/5)K(5f)-...].

Подставив эти значения в формулу (3.44) и произведя несложные преобразования, получим T в ых (f)=(4A/A о )[K(f)-(1/3)K(3f)+(1/5)K(f)-...].

Следовательно, в соответствии с выражением (3.47) коэффициент передачи модуляции K п р (f) для П-образной миры будет равен K пр (f)=T в ы х (f)/T в х =(4/)[K(f)-(1/3)K(3f)+(1/5)K(5f)-...].

Решая данное равенство относительно K(f), находим K(f)=(/4)K п р (f)+(1/3)K(3f)-(1/5)K(5f)+....

(3.50) Если частота равна 3f, то K(3f)=(/4)K пр (3f)+(1/3)K(9f)-(1/5)K(15f)....

Подставив это и таким же образом найденные значения K(5f), K(7f),...в формулу (3.50), получим K(f)=(/4)[K п р (f)+(1/3)K п р (3f)-(1/5)K п р (5f)+(1/7)K пр (7f)+ +(1/11)K пр (11f)-(1/13)K п р (13f)-(1/15)K пр (15f)-(1/17)K п р (17f)+ +(1/19)K пр (19f)+...]. (3.51) Данное выражение принято называть формулой Кольтмана. Она показывает, что, экспериментально определив функцию K п р (f) для решеток с П-образным распределением яркости, методом пересчета по формуле (3.51) можно найти ПЧХ системы, т.е. функцию K(f).

П р и м е р 3.12. Из экспериментально найденной кривой K п р (f), которая показана на рис.3.12 штриховой линией, найти ПЧХ системы.

Определим K(f) для частоты f=20 мм - 1. Из рисунка находим K п р (20)=0,98;

K п р (320)=K п р (60)=0,76;

K п р (520)=K п р (100)=0,33;

K п р (720)=K п р (140)=0,08.

Подставив эти значения в форм улу (3.51), имеем K(20)=(3,14/4)[0,98+(1/3)0,76-(1/5)0,33+ (1/7)0,08]=0,93.

Аналогичным образом находятся значения K(f) и для других частот f и строится график пространственной частотной характеристики (показан на рис.3.12 сплошной линией).

Рис.3.12. К нахождению ПЧХ по формуле Кольтмана (к примеру 3.12) Возможно также экспериментальное нахождение ПЧХ косвенным путем. Если известна ФРК, то по ней находят ФРЛ, а затем преобразованием Фурье определяют ПЧХ.

Поскольку ФРТ, ФРЛ, ФРК и ПЧХ в изотропных системах взаимосвязаны, то система ЗТВ и ее звенья полностью характеризуются любым из этих параметров. Поэтому принципиально безразлично, какой из них выбран для анализа.

Однако обычно предпочтение отдают ПЧХ, так как итоговая частотная характеристика системы, составленной из последовательности звеньев, находится более простой операцией перемножения ПЧХ звеньев, чем сверткой их ФРТ или ФРЛ.

Аналогично во многих случаях удобнее находить выходной сигнал путем перемножения спектра входного сигнала с ПЧХ системы, а не сверткой его с ФРЛ или ФРТ.

3.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ Оптические устройства являются непременным звеном в системах записи изображений, фотографической записи звука и в системах оптической и магнитооптической записи звуковых и видеосигналов.

Во всех этих устройствах оптические системы образуют действительные изображения.

Рис.3.13. Образование изображений двух светящихся точек объекта Оптические системы образуют в пространстве изображений трехмерную световую модель объекта, которая при определенных условиях воспринимается наблюдателем как действительный объект.

Рассмотрим простейший случай, когда объектом являются две произвольно расположенные в пространстве объектов светящиеся точки А и А 1 (рис.3.13). От обеих точек расходятся сферические световые волны, частично охватываемые зрачком объектива 1. После преобразования в объективе образуются сходящиеся фронты световых волн, которые сходятся в точках А и А 1, являющихся изображением точек А и А 1.

Эти световые волны за точками А и А 1 вновь становятся расходящимися и принципиально не отличаются от световых волн, исходящих из точек А и А 1 объекта. Отличие заключается лишь в том, что фронт световых волн теперь ограничен апертурой объектива. Однако будем считать, что объектив 1 имеет достаточно большую апертуру.

Поместим за точками А и А 1 наблюдателя 2. Рассматривая изображения светящихся точек, наблюдатель воспримет их как действительные светящиеся точки А и А 1. Иными словами, если наблюдатель пользуется только своим зрительным анализатором, то он не сможет определить, находятся ли в точках А и А светящиеся точки объекта или их изображения.

Переходя к более сложным представлениям, будем считать, что оптическая система изображает трехмерный предмет 3 (рис.3.14).

Рассуждая аналогично предыдущему, можно показать, что объектив 1 образует трехмерную световую модель 4 предмета 3. Если наблюдатель 2 будет рассматривать световую модель объекта, то при определенных условиях он воспримет ее в трехмерном пространстве, как и сам объект. Отличие будет заключаться в том, что если световая модель образована в уменьшенном виде,то она будет сжата вдоль оптической оси объектива (поскольку продольное увеличение равно квадрату линейного увеличения), и, наоборот, при изображении объекта в увеличенном виде - она будет растянута вдоль оси объектива. Только при линейном увеличении, близком к единице, световая модель будет в точности подобна объекту.

Рис.3.14. Образование световой модели объекта Световая модель, образованная оптической системой, может служить объектом для любой другой оптической системы, в том числе и оптической системы глаза наблюдателя. При рассматривании световой модели зрительный анализатор воспримет ее, как и сам трехмерный объект, поскольку при наблюдении световой модели в полной совокупности действуют все три фактора бинокулярного зрения - аккомодация, конвергенция и диспаратность изображений на сетчатках глаз наблюдателя. Для записи трехмерной световой модели на носителе используются особые приемы, которые будут рассмотрены в разд. 9.

В широко распространенных системах ЗТВ осуществляется запись не световых моделей, а изображений, которые образуют оптические системы в плоскости носителя записи или на поверхности датчиков, преобразующих световой сигнал в электрический сигнал, пригодный для записи на носителе.

Поместим в пространстве изображений плоский экран или светочувствительный материал (показан на рис.3.13 и 3. штриховыми линиями). Если в первом случае (рис.3.13) плоскость экрана проходит через точку А, то на нем будет резко изображена только точка А, точка же А 1 будет изображена нерезко, в виде светового кружка диаметром d. Рассматривая экран, наблюдатель воспримет изображение точки А, как и саму точку А, однако он не сможет определить, где находится (перед или за точкой А) точка А 1.

Кроме того, и ее изображение не соответствует самой точке А 1, поскольку на экране мы имеем не точку, а пятно рассеяния.

Аналогично и во втором случае (рис.3.14) при расположении экрана в сечении световой модели только контур объекта будет изображен резко, все же остальные его участки окажутся нерезкими.

Если это изображение записать на светочувствительном материале, то на фотографии будет отсутствовать информация о том, выпуклую или вогнутую форму имел объект в действительности. Только на основе опыта наблюдатель может восстановить, какую же форму имел объект съемки.

Хотя объектив на экране образует резкое изображение только одной, вполне определенной плоскости предметов, наблюдатель воспринимает резкими изображения и объектов, смещенных относительно этой плоскости. Последнее объясняется тем, что некоторую небольшую нерезкость изображения наблюдатель не замечает. Поэтому для заданного фокусного расстояния и относительного отверстия объектива существует вполне определенная глубина резко изображаемого пространства.

Если снимок объекта рассматривать одним глазом, находящимся на месте, где был расположен центр выходного зрачка объектива при съемке, то наблюдатель воспримет изображение примерно так же, как и сам объект, однако полной аналогии не будет, поскольку при воспроизведении изображения трехмерного объекта наблюдатель воспримет его в плоскости, на которую аккомодирован глаз.


Вследствие этого наблюдатель легко может обнаружить, что он рассматривает не объект, а его изображение.

Еще более существенна разница в том случае, когда наблюдатель рассматривает изображение двумя глазами, так как при этом на плоскость изображения глаза не только аккомодированы, но и конвергированы, а на сетчатках глаз образуются практически одинаковые изображения, т.е. диспаратность изображений отсутствует.

Несмотря на то, что запись плоского изображения не решает полностью проблемы воспроизведения зрительной информации, она получила широкое распространение в фотографии, кинематографе, телевидении. Кроме того, плоское изображение оптические системы образуют при фотографической записи звука, в системах оптической (лазерной) и магнитооптической записи звука и видеосигнала.

Следует напомнить, что в плоском изображении, хотя и потеряна информация о третьем измерении объекта, но изображение несет в себе информацию о спектре излучения объекта и его движении.

Изображение, образованное объективом, описывает в общем случае функция F(x,y,,t). Причем воспроизводимый спектр излучения объекта и его движение в изображении, образованном оптической системой, не подвергаются заметным искажениям. Однако, как было показано выше, записать четырехмерное изображение вдоль двух измерений носителя (фотопленки) без его дискретизации, по крайней мере по двум аргументам, невозможно. Поэтому в данном разделе при анализе преобразований сигнала в оптических системах будем считать, что объектом является плоский черно-белый транспарант, изображение которого оптическая система образует в плоскости изображений.

В современных системах ЗТВ, наряду с традиционными, часто применяются когерентные оптические системы, в которых источником света являются лазеры. Они используются, в частности, в приборах оптической и магнитооптической записи сигналов, в устройствах записи видеосигнала на кинопленке, в факсимильных системах и принтерах, в голографии. Из специальных разделов курсов физики и оптики известно, что образование изображения в когерентном и некогерентном свете существенно отличается друг от друга. Рассмотрим эти различия.

Световую волну в комплексной форме можно записать в виде U(t)=U о exp[i(2t+)], где U о - амплитуда, - временная частота световых волн, начальная фаза. Данное выражение перепишем следующим образом:

U(t)=Fexp(i2t).

Здесь F - комплексная амплитуда, объединяющая амплитуду U o и начальную фазу световой волны:

F=U o exp(i).

Интенсивность F световой волны (яркость, освещенность) пропорциональна квадрату модуля комплексной амплитуды:

F=cF 2, где с - постоянный коэффициент.

При когерентном освещении изменения комплексной амплитуды светового поля во всех точках объекта происходят одновременно. В этом случае абсолютные фазы поля в двух произвольных точках будут меняться одинаково и их относительная разность фаз будет сохраняться. Такое освещение является пространственно когерентным. Если же комплексные амплитуды поля во всех точках плоскости предметов изменяются статистически независимо друг от друга, то освещение объекта является пространственно некогерентным.

Когда предмет освещается пространственно когерентным излучением, импульсные реакции от различных точек объекта в плоскости изображения меняются одновременно и, следовательно, их комплексные амплитуды складываются. Поэтому когерентная система образования изображения оказывается линейной в отношении комплексной амплитуды. При освещении предмета некогерентным источником импульсные реакции в плоскости изображения изменяются по статистически независимым законам.

Следовательно, должны складываться не амплитуды, а мощности светового излучения, т.е. интенсивности. Так как интенсивность импульсной реакции пропорциональна интенсивности (яркости) светящейся точки объекта, некогерентная оптическая система линейно отображает интенсивность. Причем интенсивность некогерентной импульсной реакции пропорциональна квадрату модуля когерентного импульсного отклика системы.

Таким образом, как к когерентной, так и к некогерентной оптической системе применим принцип суперпозиции. Однако в первом случае необходимо оперировать с комплексными амплитудами светового поля в плоскости изображения, а во втором с интенсивностями (или освещенностями) изображения.

Пусть когерентную импульсную реакцию, т.е. ФРТ, описывает функция F т (x,y). Тогда, считая систему линейной по отношению к комплексной амплитуде и инвариантной к сдвигу, выходной сигнал будет определять двумерная свертка F в ых (x,y)=F т (x,y)F в х (x,y).

(3.52) Все три функции, входящие в формулу (3.52) и обозначенные жирными символами, показывают распределение комплексных амплитуд вдоль осей х и у в выходном изображении, в изображении светящейся точки и во входном изображении соответственно.

Поскольку все носители записи или приемники изображения, включая зрительный анализатор, усредняют во времени световые колебания и воспринимают не распределение амплитуд, а распределение интенсивности, пропорциональной квадрату модуля амплитуды, то выходное изображение опишет соотношение F в ых (x,y)=cF вы х (x,y) 2 =сF т (x,y)F в х (x,y) 2, (3.53) где с - постоянный нормировочный коэффициент.

Теперь будем считать оптическую систему некогерентной. Пусть ее импульсную реакцию, т.е. ФРТ, описывает функция F т (x,y).

Считая систему линейной по отношению к интенсивности и пространственно инвариантной, можем написать F в ых (x,y)=F т (x,y)F в х (x,y).

(3.54) Здесь все три функции показывают распределение интенсивности в выходном изображении, в изображении светящейся точки и во входном изображении соответственно. Поскольку и при некогерентном освещении справедливы равенства F т (x,y)=c 1 F т (x,y) 2, (3.55) F в х (x,y)=c 2 F в х (x,y) 2, (3.56) то на основе выражения (3.54) получаем F в ых (x,y)=c 1 F т (x,y) 2 c 2 F в х (x,y) 2.

(3.57) Сопоставление выражений (3.53) и (3.57) показывает, что одна и та же оптическая система при освещении объекта когерентным и некогерентным источниками образует отличающиеся друг от друга изображения.

Проведем теперь сопоставление когерентной и некогерентной систем в спектральной области. Когерентная частотная характеристика K(f x,f y ) находится двумерным преобразованием Фурье когерентной импульсной реакции:

K(f x,f y )F т (x,y).

(3.58) Аналогично частотная характеристика K(f x,f y ) некогерентной оптической системы равна двумерному преобразованию Фурье ФРТ:

K(f x,f y )F т (x,y).

(3.59) С учетом выражения (3.55) имеем K(f x,f y )c 1 F т (x,y) 2.

(3.60) На основе теоремы автокорреляции (см.Приложение) и имея в виду формулы (3.58) и (3.60), можем написать K(f x,f y )=K(,)K(+f x,+f y )dd/K(,) dd. (3.61) - Интеграл в знаменателе осуществляет нормирование частотной характеристики, в результате которого, как и ранее, K(0,0)=1.

Заменой переменных =+f х /2, =+f у / приходим к симметричному выражению _ K(f x,f y )=K(-f x /2, f y /2)K(+f x /2,+f y /2)dd/K(,) 2 dd, (3.62) - более удобному для вычислений.

Выражение (3.62) определяет основную связь между свойствами когерентных и некогерентных систем.

Спектр по амплитуде входного сигнала определяется двумерным преобразованием Фурье S в х (f х,f у )F в х (x,y).

(3.63) На основе выражений (3.53), (3.57) и (3.63) с использованием теоремы свертки и теоремы автокорреляции находим, что спектр по интенсивности выходного сигнала в некогерентной системе равен:

S в ых (f х,f у )=[K(f х,f у )K(f х,f у )][S в х (f х,f у )S в х (f х,f у )], (3.64) а в когерентной системе S в ых (f х,f у )=[K(f х,f у )S в х (f х,f у )][K(f х,f у )S в х (f х,f у )].

(3.65) (Символ обозначает операцию автокорреляции). Выражения (3.64) и (3.65) показывают разницу в спектрах интенсивности на выходе системы в случаях когерентной и некогерентной оптических систем.

Импульсная реакция, т.е. ФРТ, и частотная характеристика оптических систем зависят в основном от аберраций и явления дифракции на зрачках оптических систем. Оптическая система называется дифракционно ограниченной, если она преобразует расходящуюся сферическую световую волну, исходящую из точечного источника, в новую идеальную сферическую волну, которая сходится в точке, лежащей в плоскости изображения. В реальных оптических системах это свойство имеет место для конечной области в плоскости предметов.

Если в действительности фронт волны от точечного источника после выходного зрачка оптической системы значительно отличается от идеальной сферической волны, то система имеет аберрации.

Причем величина интервала между реальной световой волной на выходе оптической системы и идеальной сферической поверхностью, отсчитанная по нормали к сферической поверхности, называется волновой аберрацией. При небольшой величине волновых аберраций, не превышающей четверти длины волны, систему можно рассматривать как дифракционно ограниченную. В этом случае говорят, что она удовлетворяет критерию Рэлея.

Для дифракционно ограниченных систем ФРТ и ПЧХ определяются только дифракцией света на зрачках и зависят от формы, размера и положения зрачка относительно плоскости изображения. Наиболее легко находится частотная характеристика дифракционно ограниченных когерентных систем. Для этого вводится так называемая функция зрачка Р(х о,у о ), равная единице в пределах зрачка оптической системы и равная нулю вне этих пределов;

х о и у о - пространственные координаты в плоскости зрачка.

Частотная характеристика когерентной оптической системы определяется выражением:

K(f х,f у )=P(Sf х,Sf у ), (3.66) где - длина волны света, S - расстояние от зрачка до плоскости изображения.

В системах ЗТВ наиболее распространены оптические системы с прямоугольным и круглым зрачком. Если размеры прямоугольного зрачка равны AB, то Р(х о,у о )=rect(x о /A)rect(y о /B) и K(f x,f y )=rect[(Sf x )/A]rect[(Sf y )/B].

(3.67) График функции показан на рис.3.15,а.

Рис.3.15. Частотные характеристики дифракционно ограниченных когерентных систем в случае прямоугольного (а) и кр углого (б) зрачков оптической системы При диаметре круглого зрачка, равном D, в полярной системе координат функция зрачка имеет вид P o (r o )=circ[(2r o )/D], где r o =(x o 2 +y o 2 ) 1 / 2. Следовательно, K о ()=circ[(2S)/D].

(3.68) Причем =(f x 2 +f y 2 ) 1 / 2. График функции K о () показан на рис.3.15,б.

Для некогерентной системы на основе выражения (3.62), заменив функцию K(f x,f y ) на функцию P(Sf x,Sf y ) согласно формуле (3.66) и приняв =х о, =у о, имеем K(f x,f y )=P(x o -Sf x /2,y o -Sf y /2) P(x o +Sf x /2,y o +Sf y /2)dx o dy o /P(x o,y o )dx o dy o.

(3.69) В знаменателе Р 2 заменено на Р в силу того, что функция Р равна или единице или нулю.

Рис.3.16. ПЧХ дифракционно ограниченной некогерентной оптической системы с прямо угольным зрачком (в) и построения для ее нахождения (а,б) Выражение (3.69) допускает довольно простую геометрическую интерпретацию. Пусть, например, зрачок имеет прямоугольную форму (рис.3.16,а). Числитель дроби в правой части равенства (3.69) представляет собой область перекрытия двух смещенных функций зрачка (заштрихована на рис.3.16,б), центр одной из которых лежит в точке с координатами (Sf x /2,Sf y /2), а центр другой - в диаметрально противоположной точке с координатами (-Sf x /2, Sf y /2). Поскольку функция зрачка равна единице в пределах зрачка и нулю вне этих пределов, то значение числителя дроби для заданных значений f x и f y равно площади (f x,f y ) заштрихованного на рис.3.16,б участка. Знаменатель дроби в правой части равенства (3.69) равен площади зрачка з р, Следовательно, K(f x,f y )=(f x,f y )/ з р. (3.70) Из построения на рис.3.16,б находим (f x,f y )=AB(f x S/A)(f y S/B) и з р =AB, где А и В - стороны зрачка.

Подставляя полученные значения (f x,f y ) и з р в формулу (3.70), имеем K(f x,f y )=(f x S/A)(f y S/B).

(3.71) Если объектив строит изображение удаленных объектов, то оно находится в его фокальной плоскости. Тогда S равно фокусному расстоянию объектива, а отношения A/S и B/S являются относительными отверстиями х и у в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. В этом случае формула (3.71) принимает вид K(f x,f y )=(f x / x )(f y / y ).

(3.72) (График функции показан на рис.3.16,в). Аналогично на основе формулы (3.67) для когерентной системы имеем K(f x,f y )=rect(f x / x )rect(f y / y ).

Предельные частоты, выше которых K(f x,f y )=0, для некогерентной системы определяются выражениями:

f x пр е д = x / и f y п р е д = y /, а для когерентной f х пр е д =0,5 х / и f у п р е д =0,5 у /.

Определим теперь ПЧХ некогерентной оптической системы с круглым зрачком диаметром D. Поскольку в данном случае ПЧХ будет обладать круговой симметрией, то достаточно ограничиться определением ПЧХ вдоль одной из осей, проходящих через начало координат. Как и прежде, частоту обозначим радиусом-вектором, равным =(f x 2 +f y 2 ) 1 / 2. Площадь половины области перекрытия смещенных функций зрачка может быть найдена как разность площадей сектора и треугольника ОАВ (рис.3.17,а):

о ()/2=D 2 /8-[(1/2)(S/2)]AB=(D 2 /8)2arccos(S/D) -(S/2)[D 2 /4-(S/2) 2 ] 1 / 2.

Откуда о ()=(D 2 /2)arccos(S/D)-(SD/2)[1-(S/D 2 )] 1 / 2.

Эти равенства справедливы при D/S. Площадь зрачка равна зр =D 2 /4.

Поскольку (f х,f у )= о (), а K(f х,f у )=K о (), то в соответствии с формулой (3.70) можем написать: K о ()= о ()/ з р. Подставляя в это равенство значения о () и з р, имеем:

K o ()=(2/){arccos(S/D)-(S/D)[1-(S/D) 2 ] 1 / 2 } при S/D.

(3.73) Рис.3.17. ПЧХ дифракционно ограниченной некогерентной оптической системы с кр углым зрачком (б) и построение для ее нахождения (а) При образовании изображений удаленных объектов отношение D/S равно относительному отверстию объектива и формула приобретает вид K o ()=(2/)arccos(/)-(/)[1-(/) 2 ] 1 / 2 при /.

(3.74) График функции показан на рис.3.17,б.

Поскольку ПЧХ системы с объективом, имеющим круглый зрачок, обладает круговой симметрией, то, как было показано выше, сечение функции K о () плоскостью, проходящей через начало координат, дает одномерную ПЧХ К(f), равную преобразованию Фурье ФРЛ. Следовательно, считая, что =f, а К о ()=К(f), можем на основе формулы (3.74) написать K(f)=(2/)arccos(f/)-(f/)[1-(f/) 2 ] 1 / 2 при f/.

(3.75) Аналогично для когерентной системы с круглым зрачком на основе формулы (3.68) имеем:

K(f)=circ(f/).

(3.76) Предельная частота f п р е д, при которой частотные характеристики обращаются в нуль, для некогерентной системы равна f п р е д =/, а для когерентной - f пр е д =0,5/. Следовательно, как при прямоугольном, так и при круглом зрачке оптической системы, при прочих равных условиях, разрешающая способность некогерентной системы оказывается в два раза выше, чем когерентной. Однако, как будет показано ниже, это вовсе не означает, что некогерентная система всегда обеспечивает лучшее качество воспроизводимого изображения.

Рассмотренные методы нахождения частотных характеристик дифракционно ограниченных когерентных и некогерентных оптических систем показывают, что частотные характеристики всегда действительны, неотрицательны и равны нулю выше определенного значения частот f х и f у.

Зная ПЧХ дифракционно ограниченных оптических систем, можно вычислить их ФРТ, ФРЛ и ФРК, а также найти выходное изображение по заданному входному, используя изложенные выше приемы.

Пример 3.13. Найти ф ункцию рассеяния точки в когерентной и некогерентной оптических системах с прямо угольными зрачками размерами АВ и относительными отверстиями x =А/S и y =B/S.

В некогерентной оптической системе ПЧХ описывается ф ункцией (3.71) с разделяющимися переменными. Одномерными обратными преобразованиями Ф урье сомножителей находим ФРТ системы:

F т (x,y)=(A/S)sinc 2 (x A/S)(B/S)sinc 2 (yB/S)= =( х /)sinc 2 (x х /)( у /)sinc 2 (y у /).

(3.77) В когерентной оптической системе частотная характеристика определяется выражением (3.67), являющимся также ф ункцией с разделяющимися переменными. Выполнив обратные одномерные преобразования Фурье сомножителей, находим имп ульсную реакцию системы:

F т (x,y)=(A/L)sinc(x A/S)(B/S)sinc(yB/S)= =( х /)sinc(x х /)( у /)sinc(y у /).

(3.78) ФРТ когерентной системы находим согласно формулам (3.53) и (3.55):

F т (x,y)= c 1 F т (x,y) 2.

Приняв нормировочный коэффициент с 1 равным 2 /( x y ),находим, что ФРТ когерентной и некогерентной систем равны др уг другу. Сечение ФРТ плоскостью, проходящей через ось Оу, показано на рис.3.18,а.

Рис.3.18. ФРТ дифракционно ограниченных систем с прямоугольным (а) и круглым (б) зрачками П р и м е р 3.14. Найти ф ункцию рассеяния точки в когерентной и некогерентной оптических системах с круглым зрачком диаметром D и относительным отверстием =D/S.

Как в когерентной, так и в некогерентной оптических системах частотные характеристики обладают круговой симметрией. Следовательно, и импульсные реакции обеих систем также обладают круговой симметрией, поэтому для их нахождения следует применить обратное преобразование Ганкеля.

В некогерентной системе обратным преобразованием Ганкеля ф ункций (3.73) и (3.74) находим F т о (r)=[cJ 1 (Dr/S)/(Dr/S)] 2 =[cJ 1 (r/)/(r/)] 2, (3.79) где с - коэффициент, который часто принимают равным дв ум, тогда F т о (0)=1.

На рис.3.18,б показан график ф ункции F т о (r). Из рисунка следует, что в центре изображения имеется светлый кр ужок диаметром 2,44(/), окруженный чередующимися темными и светлыми кольцами. Центральное светлое пятно в изображении точки называют диском Эри, который впервые вывел формулу (3.79).

В когерентной системе обратное преобразование Ганкеля ф ункции (3.68) дает F т о (r)=c 1 [J 1 (Dr/S)/(Dr/S)]=c 1 [J 1 (r/)/(r/)].

(3.80) Ф ункцию рассеяния точки, т.е. распределение интенсивности в изображении светящейся точки, находим как F т о (r)=F т о (r) 2. Если принять, что с=с 1, то окажется, что ФРТ в обеих рассмотренных системах полностью совпадают.

Из примеров 3.13 и 3.14 следует, что функция рассеяния точки, т.е. распределение интенсивности (освещенности) в изображении светящейся точки, при прямоугольном и круглом зрачках оптической системы оказывается одинаковой при использовании как когерентного, так и некогерентного источников. Очевидно, и при любой другой форме зрачков ФРТ оптических систем будут одинаковыми. Однако это не означает того, что и изображения объектов не будут отличаться друг от друга. Рассмотрим этот вопрос на примере образования изображений простейших объектов.

П р и м е р 3.15. Найти ф ункцию рассеяния линии в оптических системах с прямоугольным зрачком и относительными отверстиями x и y.

Из формул (3.77) и (3.78) следует, что ФРТ некогерентной системы и импульсная реакция когерентной системы описываются ф ункциями с разделяющимися переменными. Следовательно, ФРЛ в некогерентной системе будут равны сомножителям, т.е.

F л (x )= ( х /)sinc 2 (x х /) и F л (y)= ( у /)sinc 2 (y у /).

(3.81) Аналогично в когерентной системе F л (x)=c 1 sinc(x х /) и F л (y)=c 2 sinc(y у /).

ФРЛ в данном случае равна F л (x)=F л (x) 2 и F л (y)= F л (y) 2.

Если принять с 1 =( х /) 1 / 2 и c 2 =( у /) 1 / 2, то ФРЛ в обоих случаях будут совершенно одинаковыми и имеют вид, подобный ФРТ (см.рис.3.18,а).

Пример 3.16. Найти ф ункцию рассеяния линии в когерентной и некогерентной оптических системах с круглым зрачком диаметром D и относительным отверстием =D/S.

Выше было показано, что решение поставленной задачи возможно двумя путями: по заданной ФРТ с использованием выражения (3.18) и обратным одномерным преобразованием Ф урье сечения ПЧХ.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 16 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.