авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

А. Л. Магазинников, В. А.

Мухачёв

ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ

МЕХАНИКУ

Учебное пособие

Томск

«Эль Контент»

2012

УДК 530.145.6(075.8)

ББК 22.314я73

М123

Рецензенты:

Войцеховская О. К., проф. кафедры квантовой электроники и фотоники Томского государственного университета;

Шандаров С. М., проф. кафедры электронных приборов ТУСУРа.

Магазинников А. Л.

М123 Введение в квантовую механику : учебное пособие / А. Л. Магазинни ков, В. А. Мухачёв. — Томск : Эль Контент, 2012. — 112 с.

ISBN 978-5-4332-0046-3 Учебное пособие посвящено основным законам квантовой механики.

Приведены многочисленные примеры, разъясняющие подходы к их реше нию. Последняя глава содержит варианты контрольной работы по кванто вой механике.

Для студентов и преподавателей высших технических учебных заведений.

УДК 530.145.6(075.8) ББК 22.314я © Магазинников А. Л., ISBN 978-5-4332-0046- © Мухачёв В. А., © Оформление.

ООО «Эль Контент», ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 1 Истоки квантовой механики 1.1 Волновая природа света............................ 1.2 Квантовая природа света........................... 1.3 Волновая природа материи. Корпускулярно-волновой дуализм.... 1.4 Квантовая теория атома............................ 1.5 Волна де Бройля волна вероятности.................... 1.6 Основные положения матричной механики Гейзенберга........ 1.7 Соотношения неопределённостей Гейзенберга.............. 1.8 Энергия основного состояния атома водорода.............. 1.9 Примеры решения задач............................ 1.10 Задачи для самостоятельного решения.

.................. 2 Квантовая механика Шр дингера e 2.1 Уравнение Шрёдингера............................ 2.2 Физический смысл -функции........................ 2.3 Движение свободной частицы........................ 2.4 Квантование энергии частицы в одномерной потенциальной яме.. 2.5 Туннельный эффект.............................. 2.6 Холодная эмиссия электронов........................ 2.7 Квантовый гармонический осциллятор................... 2.8 Операторы — аппарат квантовой механики................. 2.9 Средние значения................................ 2.10 Примеры решения задач............................ 2.11 Задачи для самостоятельного решения................... 3 Атом водорода в квантовой механике 3.1 Энергия и координата электрона в атоме................. 3.2 Классические представления об орбитальных магнитном и механическом моментах электрона.................... 3.3 Момент импульса электрона в атоме.................... 3.3.1 Проекция момента импульса.................... 3.3.2 Модуль момента импульса...................... 3.4 Магнитный момент электрона в атоме................... 3.5 Спин электрона................................. 3.6 Принцип тождественности одинаковых частиц. Принцип запрета (Паули)...................................... 4 Оглавление 3.7 Распределение электронов по энергетическим уровням атома..... 3.7.1 Периодическая система элементов Менделеева......... 3.8 Полные механический и магнитный моменты электрона........ 3.9 Механический и магнитный моменты атомов............... 3.10 Спектр атома водорода. Правило отбора при внутриатомных переходах 3.11 Тонкая структура уровней водородоподобных атомов.......... 3.12 Постоянная тонкой структуры........................ 3.13 Эффект Зеемана................................. 3.13.1 Нормальный эффект Зеемана.................... 3.13.2 Аномальный эффект Зеемана.................... 3.14 Примеры решения задач............................ 3.15 Задачи для самостоятельного решения................... 4 Контрольная работа Заключение Литература Ответы к задачам для самостоятельного решения Приложение А Глоссарий Предметный указатель ВВЕДЕНИЕ Квантовая механика — один из интереснейших, но и трудных разделов физики.

Необычность законов квантовой механики, противоречащих часто так называемо му «здравому смыслу», насыщенность и сложность математики делают этот раздел физики трудным для усвоения, особенно для студентов тех специальностей, где квантовая механика не является профилирующим предметом.

Задача настоящего методического пособия — показать историю возникновения квантовой механики и дать понятие об основных идеях и законах квантовой меха ники без излишнего увлечения математическим аппаратом.

Соглашения, принятые в книге Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пикто граммы и специальное выделение важной информации.

.................................................................

Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.

.................................................................

.................................................................

Эта пиктограмма означает внимание. Здесь выделена важная ин формация, требующая акцента на ней. Автор здесь может поде литься с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых ошибок.

.................................................................

.................................................................

Эта пиктограмма означает цитату.

.................................................................

.................................................................

В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные све дения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь читателю лучше понять основные идеи.

.................................................................

6 Введение..................................................

Пример Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести прак тический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в тео ретическом материале.

.................................................................................

..................................................

Выводы Эта пиктограмма означает выводы. Здесь автор подводит итоги, обобщает из ложенный материал или проводит анализ.

.................................................................................

Глава ИСТОКИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1.1 Волновая природа света В XVIII столетии физики почти единодушно придерживались ньютоновской корпускулярной теории, согласно которой свет состоит из комбинаций очень ма леньких частиц, вылетающих из источника света. Волновая теория Гюйгенса (1690 г.) имела лишь нескольких сторонников. Однако положение в корне изме нилось к началу XIX века, когда благодаря открытию Юнга выяснилось, что при определённых условиях два световых луча могут взаимно ослаблять друг дру га — явление совершенно необъяснимое с точки зрения корпускулярной теории.

Дальнейшие исследования Юнга и Френеля неопровержимо подтвердили волно вую концепцию Гюйгенса, поскольку явление интерференции нельзя объяснить иначе как с помощью волновой теории.

В интерференционном опыте Юнга пучок света освещает две очень узкие па раллельные щели в непрозрачной диафрагме. Из этих двух щелей диафрагмы на экран падают две сферические когерентные волны. Эти волны накладываются одна на другую и усиливают друг друга в случае, если их гребни совпадают. Если же гребни одной волны попадают на впадины другой, то волны гасят друг друга. На экране возникает эквидистантная система светлых и тёмных полос.

Аналогичная дифракционная картина получается и при прохождении света че рез одну щель. Это происходит вследствие взаимной интерференции между эле ментарными волнами Гюйгенса, исходящими из различных точек щели.

Тот факт, что вид дифракционной картины существенно зависит от длины волны света, позволяет использовать интерференционные явления для нужд спек трального анализа (например, дифракционные решётки). Чтобы дифракционная картина стала доступной наблюдению, необходимо, чтобы ширина щели (или ще лей) была соизмерима с длиной волны света. Поэтому, если мы хотим наблюдать интерференцию в рентгеновских лучах, нужно взять дифракционные решётки с по стоянной порядка единиц ангстрем. В кристаллах межатомные расстояния как раз 8 Глава 1. Истоки квантовой механики имеют нужный порядок величины. И действительно, прохождение пучка рент геновских лучей сквозь кристалл сопровождается интерференцией. Это явление, следуя Вульфу-Брэггу (1913 г.), можно истолковать как интерференцию между отдельными лучами, отразившимися от различных плоскостей кристаллической решетки.

Интерференция рентгеновских лучей является мощным орудием исследования структуры кристаллов (Лауэ, 1912 г.). Можно использовать и кристаллические по рошки (Дебай-Шерер, 1915 г.). В этом случае интерференционные картины будут иметь вид колец, расположенных вокруг первоначального направления пучка.

..................................................

Выводы Таким образом, волновая природа света прекрасно объясняла известные явле ния и прекрасно зарекомендовала себя в науке и технике.

.................................................................................

1.2 Квантовая природа света Несмотря на огромный успех классических представлений в объяснении яв лений интерференции, эти представления оказались бессильными при попытках объяснить процессы поглощения и излучения света.

..................................................

Пример Вспомним, например, экспериментальный факт, что излучение водородного атома имеет вид последовательности резко выраженных спектральных линий.

В атоме водорода имеется лишь один вращающийся вокруг ядра электрон. По за конам электродинамики, такой электрон будет непрерывно излучать, и стало быть, терять энергию. Поэтому в процессе движения он должен приближаться к ядру и, в конце концов, упасть на него. При этом частота его вращения вокруг ядра должна плавно изменяться из-за энергетических потерь. Но спектр водорода про должает состоять из дискретных линий. Понять этот факт с классических позиций совершенно невозможно.

.................................................................................

Не понятна с классической точки зрения и стабильность атомов. Следует учесть ещё, что каждый атом газа согласно кинетической теории испытывает порядка 1010 соударений в секунду. Неизбежным следствием любого соударения между двумя атомами было бы полное изменение основных частот электронов. Однако атомы тем не менее излучают те же спектральные линии и до и после соударения.

Классическая механика и классическая статистика неспособны объяснить зако ны теплового излучения. Как «акт отчаяния» для объяснения законов излучения 1.2 Квантовая природа света М. Планк (1900 г.) выдвинул гипотезу: «излучение и поглощение энергии материей происходит не непрерывно, а отдельными порциями — квантами энергии h (здесь h — постоянная Планка, — частота излучения).

В 1905 г. Эйнштейн пошёл дальше Планка. В соответствии с гипотезой све товых квантов (фотонов), выдвинутой Эйнштейном, свет состоит из квантов (кор пускул), несущих энергию h и летящих в пространстве, подобно дробинкам, со скоростью света. На первый взгляд эта гипотеза может показаться слишком смелой, однако существует целый ряд экспериментов, которые нельзя объяснить с волно вой точки зрения, но которые сразу же становятся понятными с позиций гипотезы световых квантов. Кратко вспомним эти эксперименты.

.................................................................

Самый прямой путь превращения световой энергии в механиче скую реализуется в фотоэлектрическом эффекте (Г.Герц, 1887 г.).

.................................................................

Если коротковолновый (ультрафиолетовый) свет падает в условиях вакуума на поверхность металла, тотчас же обнаруживается, что металл заряжается по ложительно. Это означает, что поверхность отдаёт отрицательный электрический заряд, т. е. испускает электроны. Используя тормозящее электрическое поле, мож но определить скорость электронов. Тщательные измерения показали, что скорость испускаемых электронов не зависит от интенсивности падающего света;

с увели чением интенсивности возрастает лишь число вылетающих электронов, причём возрастает пропорционально интенсивности (закон Столетова).

Что касается скорости фотоэлектронов, то она зависит только от частоты света ;

кинетическая энергия электронов Eк определяется соотношением Eк = h A, (1.1) где A — работа выхода электрона, константа, характеризующая металл.

С точки зрения гипотезы световых квантов оба эти обстоятельства понятны.

Каждый световой квант, попадая в металл и взаимодействуя с одним из электронов, передаёт ему всю свою энергию и выбивает его из металла. Однако прежде чем вырваться из металла, электрон теряет часть энергии, равную работе выхода (A).

Число выбитых электронов пропорционально числу падающих световых квантов, т. е. интенсивности света.

.................................................................

Наиболее впечатляющим фактом в пользу корпускулярной приро ды света является эффект Комптона.

.................................................................

Исследуя рассеяние рентгеновских лучей на парафине, Комптон обнаружил (1922 г.), что лучи, рассеянные на разные углы, обладают большей длиной волны, чем исходное излучение. С позиций волновой теории это явление необъяснимо.

Обрабатывая результаты измерений, Комптон получил эмпирическую формулу:

= 2,4 1012 (1 cos ) (м), (1.2) 10 Глава 1. Истоки квантовой механики где — исходная длина волны, — длина волны рассеянного света, — угол рассе яния.

Однако с корпускулярной точки зрения этот результат вполне понятен (Комп тон, Дебай, 1923 г.). Они рассмотрели упругое столкновение двух частиц — светово го кванта (фотона) и электрона — как упругое столкновение двух бильярдных шаров разных масс. Как известно из классической механики, при упругом столкновении выполняются законы сохранения энергии и импульса (закон сохранения импульса иллюстрирует рис. 1.1). Поскольку фотон летит со скоростью света, необходимо записывать эти законы в релятивистской форме:

hc hc h = hk + pe, k + mc2 = + E, (1.3) где hc/ — энергия фотона до столкновения;

hc/ — энергия этого же фотона по сле столкновения;

mc2 — энергия покоя электрона;

E — полная энергия электрона, E = c p2 + m2 c2 ;

h — импульс фотона до столкновения;

hk — импульс фотона по k e сле столкновения;

pe — импульс электрона (такой электрон называют электроном — волновой вектор, модуль которого равен 2/.

отдачи);

k Рис. 1.1 – Схема, поясняющая закон сохранения импульса в эффекте Комптона ( — угол рассеяния электрона отдачи) Решив систему уравнений (1.3), Комптон получил:

2h = (1 cos ), (1.4) mc где 2h/(mc) = 2 3,14 1,05 1034 /(9,1 1031 3 108 ) = 2,4 1012 (м), что полностью совпало с экспериментом (формула (1.2)). Дальнейшие исследования с применени ем камеры Вильсона подтвердили справедливость формулы (1.4).

..................................................

Выводы Таким образом, комптоновское рассеяние представляет собой пример процес са, в котором свет ведёт себя как частица с вполне определённой энергией и им пульсом. С другой стороны, явление интерференции совершенно несовместимо с корпускулярными представлениями о свете. Казалось, что устранение этого про тиворечия лежит за пределами человеческих возможностей.

.................................................................................

1.3 Волновая природа материи. Корпускулярно-волновой дуализм 1.3 Волновая природа материи.

Корпускулярно-волновой дуализм Под давлением изложенных выше и ряда других фактов пришлось признать, что свет (электромагнитные волны) обладает корпускулярно-волновым дуализмом (двойственностью). Природа оказалась богаче человеческого воображения.

Эта дилемма приобрела ещё более острый характер, когда де Бройль (1924 г.) выдвинул гипотезу, что корпускулярно-волновой дуализм распространяется и на вещество. По де Бройлю, с частицей вещества связана волна материи, причём соот ветствие между корпускулярными и волновыми аспектами вновь устанавливается соотношением E = h.

Далее, из теории относительности следует, что энергия и импульс представ ляют родственные друг другу величины (импульс — это пространственная часть релятивистского четырёхмерного вектора, временная часть которого есть энергия).

Отсюда де Бройль получил выражение для импульса:

h p=. (1.5) Итак, частицу с импульсом p и энергией E, движущуюся в направлении оси x, нужно ассоциировать с бесконечно протяжённой волной (x, t) = Aei(tkx).

Групповая скорость этой волны совпадает со скоростью движения частицы.

Ввиду смелости и необычности гипотезы де Бройля о волновой природе ве щества сразу же возникает вопрос: как проверить гипотезу экспериментально?

В 1927 году Дэвиссон и Джермер наблюдали дифракцию электронных волн на атомной решётке кристаллического никеля, в точном соответствии с дифракцией рентгеновских лучей в кристалле. В том же году Дж. П. Томсон и др. наблюдали при прохождении электронов сквозь тонкие плёнки (металлические, слюдяные) ди фракционную картину точно такого же вида, что и рентгеновские дифракционные кольца Дебая–Шерера. Более того, проведённые расчёты полностью подтверждают формулу де Бройля (1.5). Например, вычисленная по формуле (1.5) длина волны при ускоряющем напряжении U = 54 В равна:

6,62 h Бр = = = 1,67 A.

2 1,6 10 19 9,1 1031 2emU Длина волны, вычисленная по формуле Вульфа—Брэгга для дифракции рентге новских лучей на пространственной решётке (при известной величине постоянной кристаллической решётки никеля d):

2d sin = m, где — угол скольжения, = 1,65 A.

Совпадение оказалось настолько разительным, что эти опыты следует признать блестящим подтверждением гипотезы де Бройля.

12 Глава 1. Истоки квантовой механики.................................................................

Важным и впечатляющим было экспериментальное доказательство (Штерн и др., 1932 г.), что отражённые молекулярные пучки (H2, He) от поверхности кристаллов тоже обнаруживают дифракцион ную картину.

.................................................................

Итак, корпускулярно-волновым дуализмом обладают не только электромагнит ное волны, но и любые частицы материи. Как следует понимать это свойство материи?

.................................................................

Корпускулярно-волновой дуализм следует понимать как потенци альную способность микрочастиц проявлять различные свои свой ства в зависимости от условий наблюдения. Природа (частицы) от вечает на те вопросы, которые перед ней ставят.

.................................................................

1.4 Квантовая теория атома Квантовая гипотеза Планка в своей первоначальной форме утверждала, что каждой спектральной линии соответствует гармонический осциллятор с опреде лённой частотой, который, в отличие от классической теории, может поглотить или испустить не произвольную порцию энергии h, а только целое число элемен тарных порций h. Нильс Бор (1913 г.) отказался от представления, что электроны ведут себя как осцилляторы, т. е. связаны квазиупругими силами. По Бору, атом ни в коей мере не похож на классическую механическую систему, которая может поглощать энергию сколь угодно малыми порциями.

.................................................................

Из факта существования узких спектральных линий поглощения и излучения, а также из гипотезы световых квантов Эйнштейна следует вывод, что атом может находиться только в определённых дискретных стационарных состояниях с энергией E1, E2, E3...

.................................................................

Таким образом, атом может поглощать лишь излучение таких частот, для которых h равно как раз такой энергии, которая нужна для перевода атома из одного стационарного состояния в другое, более высокое. Поэтому линии излучения определяются уравнениями:

E2 E1 = h21 ;

E3 E2 = h32 ;

E3 E1 = h31..., где E1 — энергия самого низкого состояния, которое характерно для атома в отсут ствие каких-либо возбуждающих влияний (рис. 1.2).

В общем случае линии излучения определяются уравнением:

En Ek = hnk, когда энергия состояния En Ek.

1.4 Квантовая теория атома Рис. 1.2 – Возможные переходы атома из стационарных состояний 1, 2, 3,.................................................................

Прямым подтверждением этой теории служит комбинационный принцип Ритца:

41 = 32 + 21 + 43 = 31 + 43 = 42 + 21.

.................................................................

Этот принцип был найден Ритцем за 8 лет до теории Бора из анализа спектро скопических данных, накопившихся к тому времени, и является эксперименталь ным фактом.

Другое непосредственное подтверждение боровской теории дискретных атом ных уровней энергии дал опыт Франка и Герца (1914 г.). Суть опыта заключалась в бомбардировке ускоренными электронами атомов ртути. Измерялся ток электро нов I в зависимости от ускоряющего напряжения U, а следовательно, и от энергии электронов (рис. 1.3). Столкновения электронов с атомами могут быть упругими и неупругими. При упругих столкновениях внутреннее состояние атомов не изме няется: например, масса атома ртути (Hg) примерно в 400000 раз больше массы электрона. Электрон отражается от атома Hg как от массивной стенки, поэтому потерей электроном энергии можно пренебречь. Электроны при упругих столкно вениях только изменяют направления движения.

Рис. 1.3 – Зависимость тока электронов от ускоряющего напряжения в опыте с атомами ртути 14 Глава 1. Истоки квантовой механики Положение изменяется, когда энергия электрона достигает значения E1 = 4,9 эВ.

Атомы ртути, как и любые другие атомы, обладают дискретными уровнями энер гии. Для атомов Hg разность энергии между уровнем валентных электронов и бли жайшим свободным уровнем составляет 4,9 эВ. Электроны с энергией E 4,9 эВ возбудить атомы не могут. Возбуждение атома, т. е. переход электрона на более высокий энергетический уровень, происходит лишь тогда, когда атому передаётся энергия, равная разности этих уровней. Эта энергия называется энергией возбужде ния. При возбуждении атома происходит неупругое столкновение, при этом элек трон отдаёт свою энергию атому и теряет скорость, ток уменьшается (рис. 1.3).

Максимум при E = 9,8 эВ говорит о том, что электрон с такой энергией может возбудить два атома ртути.

В опыте Франка подтверждается и правило частот. При возвращении возбуж дённого атома в стационарное состояние атом излучает квант электромагнитного излучения, длина волны которого определяется из равенства hc/ = eU, следова тельно:

hc 6,62 1034 3 = = = 253,3 нм.

1,6 1019 4, eU Эксперимент показал = 253,7 нм. Совпадение более чем убедительное.

1.5 Волна де Бройля волна вероятности Итак, изложенные факты недвусмысленно указывают, что не только свет, но и электроны, и частицы материи вообще в одних процессах ведут себя как волны, а в других — как обычные корпускулы. Как совместить эти два противоречащих друг другу аспекта?

Общепринятая в настоящее время точка зрения была предложена Борном (1926 г.). С этих позиций весь ход событий в физической системе определяется вероятностными законами: тому или иному положению частицы в пространстве соответствует некоторая вероятность, определяемая волной де Бройля.

.................................................................

Таким образом, механический процесс сопряжён с волновым про цессом — процессом распространения вероятностной волны.

.................................................................

Эта волна подчиняется уравнению Шрёдингера, значение которого состоит в том, что оно определяет вероятность любого варианта хода событий в механи ческом процессе. Если, к примеру, в какой-то точке пространства волна вероятно сти имеет нулевую амплитуду, это означает, что вероятность обнаружить электрон в этой точке исчезающее мала.

Физическое обоснование этой гипотезы вытекает из рассмотрения процессов рассеяния с двух точек зрения — корпускулярной и волновой. Рассеяние света на небольших пылинках и на молекулах (молекулярное рассеяние света) хорошо раз работано с классических позиций уже давно.

Если применить к этому явлению концепцию световых квантов, то становится ясным, что число квантов в той или иной точке следует считать пропорциональ 1.6 Основные положения матричной механики Гейзенберга ным интенсивности света, как её определяет классическая волновая теория. В этом смысле вполне естественной кажется попытка рассчитать рассеяние электронов на атомах с помощью волновой механики. При этом исходный электронный пучок ас социируется с соответствующей волной де Бройля. Исходя из оптической аналогии квадрат амплитуды этой волны может быть истолкован как плотность потока или, иначе говоря, число рассеянных электронов.

Когда были проделаны соответствующие вычисления (Вентцель, Гордон), ока залось, что для рассеяния на ядре получается как раз формула Резерфорда. В даль нейшем были проделаны аналогичные расчёты и для многих других процессов рас сеяния. Полученные результаты хорошо согласуются с опытом (Борн, Бёте, Мотт, Месси). Это даёт все основания верить в правильность принципа, связывающего квадрат амплитуды волны с числом частиц (иначе говоря, с вероятностью).

Итак, возникла острая необходимость в теории, позволяющей описывать атом ные явления и учитывающей два основных фактора, резко отличающихся от клас сической механики. Первый фактор — это корпускулярно-волновой дуализм;

вто рой — дискретность значений динамических переменных (энергии, мощности, им пульса и т. д.).

1.6 Основные положения матричной механики Гейзенберга.................................................................

В 1925–1926 гг. в физике произошёл «прорыв», ознаменовав шийся созданием и утверждением квантовой механики (работы В. Гейзенберга и Э. Шрёдингера).

.................................................................

В течение нескольких лет была завершена разработка математического аппа рата новой теории, выяснена её физическая структура и решено большое число конкретных задач атомной физики. Помимо Гейзенберга и Шрёдингера в решении этой грандиозной задачи, изменившей взгляды физиков на природу, участвовали также П. Дирак, М. Борн, В. Паули, П. Иордан, Н. Бор. Вне этого основного (узко го) круга имён остались многие выдающиеся учёные, чьи работы, высказывания и замечания имели неоценимое значение для построения новой теории.

.................................................................

Главная трудность в создании новой теории — корпускулярно волновой дуализм частиц материи.

.................................................................

Пытаясь объяснить то или иное явление с помощью наглядной картины, апел лирующей не к разуму (т. е. математическому и логическому анализу), а к вооб ражению, мы обречены пользоваться словами обычного языка. Наш язык — это слепок с обыденного опыта человека;

он никогда не сможет выйти за пределы этого опыта.

16 Глава 1. Истоки квантовой механики Классическая физика как раз и ограничивается рассмотрением явлений, кото рые имеют в языке адекватный словесный эквивалент. Так, в результате анализа движений, доступных прямому наблюдению, она научилась сводить все процес сы такого рода к двум элементарным явлениям — движению частиц и распростра нению волн. Не существует другого способа наглядно описать движение. Даже в области атомных масштабов, где классическая физика терпит крах, мы всё же вынуждены пользоваться классическими образами.

Хронологически первым в создании «взрывной» теории был 24-летний В. Гейзенберг (1925 г.). Он опирался только на корпускулярные свойства частиц.

Идеи де Бройля ещё не были знакомы большинству учёных и не были доказаны экспериментально. Гейзенберг полагал, что такие величины, как точное положение электрона в атоме, не наблюдаемы. Теория Бора была непоследовательна именно по той причине, что она оперировала понятием «электронная орбита». На самом деле, его необходимо исключить, ограничив теорию соотношениями, в которые входят только наблюдаемые величины. К последним относятся: энергетические уровни стационарных состояний, а также амплитуды перехода из одного такого состояния в другое.

.................................................................

Гейзенберг писал: «...представляется разумным полностью и сра зу оставить надежду на наблюдение ненаблюдаемых величин (та ких как положение или время обращения электрона), принять, что частичное согласие известных квантовых правил с опытом осно вано в большей или меньшей степени на удаче, и попытаться сформулировать квантовотеоретическую механику, в которую, как и в классическую механику, входят только соотношения меж ду наблюдаемыми величинами».

.................................................................

Гейзенбергу удалось получить систему алгебраических уравнений, в которую входят только амплитуды квантовых переходов в осцилляторе, а ненаблюдаемые величины отсутствовали.

В начале лета 1925 г. Гейзенберг передал свою работу Борну, который по нял важность развиваемых в ней идей и немедленно отправил статью в журнал.

В отсутствие Гейзенберга, продолжившего лечение на морском побережье, Борн привлёк к работе другого своего ученика П. Иордана. В их совместной работе бы ло показано, что систему уравнений Гейзенберга для амплитуд перехода удобно писать на давно известном математикам языке матриц. В классической физике частица характеризуется динамическими переменными (координата, скорость, им пульс и т. д.). Согласно Гейзенбергу каждую из таких величин надо заменить мат рицей. В конце 1925 г. появилась статья, подписанная тремя авторами: Борном, Гейзенбергом и Иорданом, в которой было завершено построение математического фундамента новой квантовой теории в её матричной версии.

..................................................

Выводы Ещё раз следует отметить, что у Гейзенберга вообще не говорится о каком-либо движении электрона. Движения в прежнем смысле не существует. Матрицы опи 1.7 Соотношения неопределённостей Гейзенберга сывают просто изменение состояния системы. Поэтому спорные вопросы об устой чивости атома, о вращении электрона вокруг ядра отпадают сами собой. Вместо орбиты в механике Гейзенберга электрон характеризуется набором или таблицей отдельных чисел, наподобие координат на географической карте. Вычисления но сили крайне абстрактный характер. Лишь в конце вычислений вся математическая схема давала правильный результат.

.................................................................................

1.7 Соотношения неопределённостей Гейзенберга Именно потому, что матричная механика сложна математически и физически весьма абстрактна, современная квантовая механика включает в себя, главным образом, волновую механику Шрёдингера (об этом речь пойдёт в следующей гла ве). Но обязательной составляющей квантовой механики являются соотношения неопределённостей Гейзенберга.

Мы уже отмечали ранее, что все процессы можно интерпретировать либо в тер минах корпускул, либо в терминах волн. Но, с другой стороны, не в наших силах доказать, что в каком-то конкретном случае мы имеем дело именно с волной, а не с частицей или наоборот. Мы никогда не можем определить одновременно именно те свойства объекта, которые лишь в своей совокупности позволяют сделать вы бор между двумя представлениями. Поэтому можно утверждать, что к волновому и корпускулярному описанию следует относиться как к равноправным и дополня ющим друг друга точкам зрения на один и тот же объективный процесс — процесс, который лишь в каких-то предельных случаях допускает адекватную наглядную интерпретацию.

Статья Гейзенберга «О наглядном содержании квантовотеоретической кинема тики и механики» была напечатана в мае 1927 г. Основное утверждение Гейзенбер га состояло в том, что невозможно измерить одновременно положение и скорость частицы в пространстве. Чем точнее определяется координата, тем больше неопре делённость в значении скорости и связанного с нею импульса. Гейзенберг писал:

«мы не можем интерпретировать процессы в атомарной области так же, как про цессы большого масштаба. Если же мы пользуемся привычными понятиями, то их применимость ограничивается так называемыми соотношениями неопределённо стей».

Анализируя известные экспериментальные факты и различные мысленные экс перименты, Гейзенберг доказал, что произведение неопределённости координаты (например, вдоль оси x) на неопределённость проекции импульса (на эту же ось) не может быть меньше h/2:

h h h x px, y py, z pz. (1.6) 2 2 18 Глава 1. Истоки квантовой механики.................................................................

Стоящая в правой части h/2 — меньшая из возможных значений h), поэтому соотношение неопределённостей звучит так:

(h/2, h, произведение неопределённостей значений двух сопряжённых пе ременных не может быть по порядку величины меньше постоян ной Планка.

.................................................................

.................................................................

Сопряжёнными называются переменные, произведение которых имеет размерность h (Джс).

.................................................................

Кроме (1.6), наиболее важными соотношениями являются:

h E t, (1.7) h Lx, (1.8) x где E — неопределённость энергии, t — неопределённость времени, Lx — неопре делённость проекции момента импульса на ось x, x — неопределённость угла поворота относительно x.

..................................................

Пример Для примера рассмотрим один из мысленных экспериментов Гейзенберга. Что бы определить положение электрона, нужно осветить его светом, причём с возмож но меньшей длиной волны. Но чем меньше, тем больший импульс у фотонов, которыми освещается электрон. Единственная возможность уменьшить передавае мый электрону импульс — ослабить интенсивность света настолько, чтобы с элек троном взаимодействовал только один фотон. Тогда переданный электрону импульс будет равен импульсу самого фотона pф = h/.

К имеющейся неопределённости импульса электрона добавится импульс фо тона, и неопределённость импульса электрона будет px h/. Неопределённость координаты электрона, определяемая этим фотоном, окажется равной фотона.

Тогда:

h x px, или x px h.

.................................................................................

Рассмотрим вывод соотношения неопределённостей, основанный на явлении дифракции частиц (электронов, фотонов и т. д.), наблюдаемом экспериментально.

Пусть на пути пучка микрочастиц (фотонов или электронов) поставили экран с узкой щелью шириной b (рис. 1.4).

1.7 Соотношения неопределённостей Гейзенберга Рис. 1.4 – К выводу соотношения неопределённостей при дифракции микрочастиц на щели Ось X перпендикулярна начальному направлению движения частиц. Из волно вой оптики мы знаем, что условием 1-го дифракционного минимума будет:

b sin =. (1.9) Неопределённость координаты частицы x = b. Длина волны летящих частиц:

h = Бр =. (1.10) p Вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица бу дет двигаться в пределах угла 2 (остальными максимумами можно пренебречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределённость:

px p sin. (1.11) Из (1.9) выразим sin и подставим в (1.11):

px p = p.

x b Следовательно, x px p. Подставив сюда из (1.10), получим:

x px h.

..................................................

Выводы Итак, всякое изменение местоположения приводит к неопределённости в зна чении импульса, а всякое измерение момента времени — к неопределённости в зна чении энергии. Столь же справедливы и обратные утверждения.

.................................................................................

Соотношения неопределённостей являются полезным рабочим инструментом квантовой теории, позволяющим довольно простым путём получать важные коли чественные ценки, например оценить энергию основного состояния атома водорода.

20 Глава 1. Истоки квантовой механики Соотношение неопределённостей было использовано в 1935 г. японским фи зиком Юкавой для объяснения механизма действия ядерных сил. В основе теории лежало предположение о наличии частицы — переносчика взаимодействия между нуклонами ядра (-мезона), количественные характеристики которого были вы числены именно на основании соотношения неопределённостей, и в 1949 г. эта частица была обнаружена экспериментально.

1.8 Энергия основного состояния атома водорода Воспользуемся известным классическим выражением для полной энергии за ряженной частицы, движущейся в кулоновском поле (теория Бора):

p2 e E=, (1.12) 2m 40 r где m и e — соответственно масса и заряд электрона.

Будем рассматривать величины p и r как неопределённости соответственно импульса и координаты электрона. Положим pr = h. Выразим отсюда r и подставим в (1.12):

p2 e2 p E=. (1.13) 2m 40 h Функция (1.13) имеет минимум при некотором значении p = p1, обозначим соответствующее значение энергии через E1. Величину E1 можно рассматривать как оценку энергии основного состояния атома водорода, а величину r1 = h/p1 — как оценку линейных размеров атома (в теории Бора это радиус первой орбиты).

Приравняв к нулю производную d E(p)/dp = 0, получим (p1 /m) (e2 /(40 h))= 0.

Следовательно:

me p1 =. (1.14) 40 h Тогда:

h 40 h r1 = =. (1.15) me p Подставив (1.14) и (1.15) в (1.12), получим:

me E1 =. (1.16) 322 2 h Расчёт по формулам (1.15) и (1.16) даёт соответственно r1 = 53 пм, E1 = = 13,6 эВ.

Оценки (1.15) и (1.16) полностью совпадают с результатами строгой теории.

Конечно, к такому совпадению надо относиться в известной мере как к случай ному успеху. Всерьёз здесь следует рассматривать лишь порядок величин (в этом и состоит суть оценки).

Именно соотношение неопределённостей позволило ответить на так давно му чавший Резерфорда вопрос: «Почему электрон не падает на ядро атома?» По клас сической теории вращающийся вокруг ядра электрон должен излучать энергию 1.9 Примеры решения задач (электромагнитные волны) и, следовательно, «упасть» на ядро. Но этого не про исходит, атомы стабильны. Дело в том, что диаметр ядра d1 1015 м, а диаметр атома d2 1010 м. Таков же порядок неопределённости координаты электрона в атоме и в ядре. В соответствии с соотношением x px h/2 уменьшение неопределённости координаты в 105 раз (d2 /d1 105 ) должно привести к такому же увеличению импульса электрона. Но закон сохранения момента импульса говорит, что без внешнего воздействия этого произойти не может. В природе «вдавливание»

электронов в ядра происходит только в нейтронных звёздах под действием мощных гравитационных сил.

Соотношение неопределённостей позволило объяснить природу туннельного эффекта. О нём будет рассказано в главе 2.

1.9 Примеры решения задач...........................................

Пример 1. Под некоторым углом к первоначальному пучку рентгеновских лучей длиной волны = 0,10 A комптоновское смещение оказалось равным 0,024 A. Найти угол и величину энергии Eк, переданной электрону отдачи.

Решение:

Запишем формулу Комптона:

= c (1 cos ), (1.17) =, (1.18) где — длина волны фотона после рассеяния;

при рассеянии на электроне c = = 2,4 пм = 2,4 1012 м.

Из формулы (1.18) следует:

= + = 10 1012 + 2,4 1012 = 12,4 1012 м.

Преобразуем формулу (1.17):

= c c cos, c cos = c, c cos = =1, c c 2,4 cos = 1 = 0;

2,4 Если cos = 0, = 90°.

22 Глава 1. Истоки квантовой механики Из закона сохранения энергии следует:

Eк = Eф Eф, где Eф — энергия фотона после рассеяния.

hc hc Eк = = hc ( ) = hc.

2,4 Eк = 6,6 1034 3,0 108 = 0,10 1010 12,4 = 3,8 1015 Дж = 24 кэВ.

.................................................................................

...........................................

Пример 1. Вычислить импульс комптоновского электрона отдачи, если известно, что фо тон, первоначальная длина волны которого равна = 5,0 пм, рассеялся под углом = 90°.

Решение:

Проиллюстрируем графически закон сохранения импульса (рис. 1.5).

Рис. 1. Из рисунка 1.5 следует: pe = p2 + (p )2.

ф ф Импульс фотона до рассеяния: pф = h/, после рассеяния: p = h/.

ф Из формулы Комптона:

= c (1 cos ) = 2,4 1012 (1 cos 90°) = 2,4 пм;

= + = 5,0 + 2,4 = 7,4 пм = 7,4 1012 м.

1.9 Примеры решения задач Тогда pe = h (1/2 ) + (1/( )2 ) = 6,6 1034 (1/(52 1024 ))+(1/(7,42 1024 )) = = 6,6 1034 0,24 1012 = 1,6 1022 Н с.

.................................................................................

...........................................

Пример 1. Протон с кинетической энергией Eк = 1,0 кэВ упруго рассеялся на угол = 90° ядром атома гелия, находившимся первоначально в покое. Определить дебройлев скую длину волны рассеянного протона вдали от атома.

Решение:

Длина волны де Бройля равна:

h =, (1.19) p Бр p где p — импульс протона после рассеяния.

p Кинетическая энергия протона Eк = mp v2 /2, отсюда скорость протона: vp = p = 2Eк /mp = 2 1,6 1016 /(1,67 1027 ) = 4,4 105 м/с. Эта скорость vp c, поэто му нужно использовать нерелятивистскую формулу для импульса:

pp = 2mp Eк. (1.20) При решении этой задачи нельзя воспользоваться формулой Комптона, по скольку рассеяние частицы (не фотона!) на другой частице не является эффектом Комптона. Но закон сохранения импульса справедлив всегда:

p pp = p + p.

Рис. 1. Из рисунка 1.6 следует: p = p2 p2. (1.21) p p 24 Глава 1. Истоки квантовой механики Здесь pa — импульс ядра гелия (-частицы).

Из рисунка 1.6:

pp p =. (1.22) cos Импульс протона до рассеяния вычислим по формуле (1.20):

кг м pp = 2 1,67 1027 1,6 1016 = 7,3 1022.

с Используя формулу Eк = p2 /(2m), запишем закон сохранения энергии:

p p2 p p p = +, 2mp 2m 2mp p p2 p p p p = +, 2mp 2 4mp cos2 2mp С учётом (1.21):

p p = + p2 p2, p2 4 cos p p p p 2p2 = + p2.

4 cos p С учётом (1.22):

p2 p2 5p p p p 2p2 = + =.

2 2 4 cos p 4 cos cos Отсюда: 8 cos2 = 5, cos2 = 0,625.

Подставим в (1.21):

p2 p = p p2 = pp 1, 2 cos p p cos кг м p = 7,3 1022 1 = 5,7 1022.

p 0,625 с Теперь, по формуле (1.19), вычисляем длину волны де Бройля:

6,6 = = 1,2 1012 м = 1,2 пм.

5,7 Бр.................................................................................

...........................................

Пример 1. При каком значении скорости v дебройлевская длина волны микрочастицы равна её комптоновской длине волны?

1.9 Примеры решения задач Решение:

Длина волны де Бройля равна:

h Бр =. (1.23) p Комптоновская длина волны:

h c =. (1.24) mc Рассмотрим два случая.

• Нерелятивистский случай.

Импульс микрочастицы p = mv. Имеем:

h h =.

mv mc Получаем v = c. Но для частиц, имеющих массу покоя (энергию покоя), такое равенство невозможно, должно быть v c.

• Релятивистский случай.

Приравняв правые части равенств (1.23) и (1.24), получаем:

p = mc. (1.25) Релятивистская формула, связывающая полную энергию частицы и её им пульс:

E = c p2 + m2 c2. (1.26) Преобразуем формулу (1.26):

E = p2 + m2 c2, c 1 E p= m2 c2 = E m2 c4. (1.27) c2 c Приравняем правые части равенств (1.25) и (1.27):

1 mc = E m2 c4.

c E2 m2 c4 = m2 c4, E2 = 2m2 c4, m2 c4 2v2 2v = 2m2 c4, 1=2 = 1.

, c2 c v c 26 Глава 1. Истоки квантовой механики Таким образом:

c v = = 0,707c.

.................................................................................

...........................................

Пример 1. При каком значении кинетической энергии дебройлевская длина волны элек трона равна его комптоновской длине волны?

Решение:

Длина волны де Бройля равна:

h Бр =. (1.28) p Комптоновская длина волны:

h c =. (1.29) mc Приравняв правые части равенств (1.28) и (1.29), получаем:

p = mc. (1.30) Здесь следует рассматривать релятивистский случай.

Полная энергия электрона:

E = c p2 + m 2 c2, Eк + E0 = c p2 + m2 c2.

Преобразуем:

Eк + E0 + 2Eк E0 = c2 p2 + m2 c4.

2 Энергия покоя E0 = mc2, следовательно, E0 = m2 c4.

Тогда:

Eк + 2Eк E0 = c2 p2.

С учётом выражения (1.30) получаем:

Eк + 2Eк E0 = m2 c4.

Таким образом, получаем квадратное уравнение:

Eк + 2Eк E0 E0 = 0.

2 Корни уравнения:

2E0 ± 4E0 + 4E0 2E0 ± 2E0 2 Eк = =.

2 1.9 Примеры решения задач Eк 0 всегда, поэтому:

Eк = E0 ( 2 1) = 0,41E0.

Энергия покоя электрона:

9,1 1031 9 E0 = mc2 = = 0,51 МэВ.

1,6 Следовательно, Eк = 0,41 0,51 = 0,21 МэВ.

.................................................................................

...........................................

Пример 1. Определить длину волны релятивистских электронов, подлетающих к аноду рентгеновской трубки, если известно, что длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равна 0,10 A.

Решение:

Длина волны электронов — это длина волны де Бройля:

h Бр =. (1.31) p Итак, нужно найти импульс электронов.

Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра соответствует мак симальной энергии бомбардирующих анод электронов:

hc 6,6 1034 3,0 = 2,0 1014 Дж = 0,12 МэВ.

Eк = = 0,10 Энергия покоя электрона E0 = 0,51 МэВ;

порядок величины Eк такой же. Сле довательно, необходимо записать релятивистскую взаимосвязь между импульсом и кинетической энергией частицы:

pc = Eк (Eк + 2mc2 ), p= Eк (Eк + 2mc2 ).

c Подставив в выражение (1.31), получим искомую длину волны:

hc Бр =, Eк (Eк + 2mc2 ) 6,6 1034 3,0 Бр = = 2,0 1014 (2,0 1014 + 2 9,1 1031 9,0 1016 ) = 3,3 1012 м = 3,3 пм.

.................................................................................

28 Глава 1. Истоки квантовой механики...........................................

Пример 1. Электрон, движущийся со скоростью v = 6,0 106 м/с, попадает в продоль ное электрическое поле напряжённостью E = 5,0 В/см. Какое расстояние должен пролететь электрон в таком поле, чтобы его длина волны стала = 1,0 A?

Решение:

Чтобы дебройлевская длина волны электрона стала равной 1, кинетическая энергия электрона должна быть:

h h Бр = 2 =,, Бр 2mEк 2mEк откуда:

(6,6 1034 ) h = 2,4 1017 Дж.

Eк = = 2 9,1 1031 (1,0 1010 ) 2m2Бр Электрон уже имеет кинетическую энергию:

mv2 9,1 1031 (6,0 106 ) = 1,6 1017 Дж.

Eк = = 2 Недостающую энергию электрон получит за счёт работы ускоряющего элек трического поля:

E = e = e E l, откуда:

Eк (2,4 1,6) 1017 0,77 l= = = = 0,096 м = 9,6 cм.

1,6 1019 500 8,0 eE.................................................................................

...........................................

Пример 1. Положение центра тяжести шарика массой m = 1 мг может быть установле но с точностью до r = 2 мкм. Имеет ли в этом случае практическое значение соотношение неопределённостей при вычислении скорости шарика?

Решение:

Воспользуемся соотношением неопределённостей в виде:

x px h, x mvx h.

Примем x = r. Тогда:

1,05 h м = 5 1023.

vx = m r 1 106 2 106 с 1.9 Примеры решения задач Понятно, что измерение скорости с такой точностью невозможно, поэтому в данном случае соотношение неопределённостей не имеет практического значения.

.................................................................................

...........................................

Пример 1. Чтобы установить принадлежность электрона к данному атому, положение его должно быть определено с точностью до 108 см. Сравнить получающуюся при этом неопределённость в скорости электрона с величиной самой скорости на пер вой боровской орбите.

Решение:

Соотношение неопределённостей:

x m vx h.


Отсюда:

1,05 h м vx = = 1,2 106.

m x 9,1 1031 1010 с Скорость электрона на первой боровской орбите найдём из условия стационар ности:

mvr1 = h, 1,05 h м v= = = 2,2 106.

mr1 9,1 1031 0,53 1010 с Радиус первой боровской орбиты r1 = 0,53 A = 0,53 1010 м.

Получаем:

v 1,2 = = 0,55 = 55%.

2,2 v Такая погрешность вполне допустима при оценках какой-либо величины в пер вом приближении, т. е. по порядку величины.

.................................................................................

30 Глава 1. Истоки квантовой механики...........................................

Пример 1. Сравнить дебройлевскую длину волны протона, ускоренного разностью потен циалов U = 109 В, с величиной неопределённости его координаты, соответствую щей неточности импульса px /p = 0,1%.

Решение:

Скорость протона, имеющего кинетическую энергию Eк = 109 эВ, близка к ско рости света, поэтому следует пользоваться релятивистскими формулами.

Оценим неопределённость координаты протона x:

x px = h, h h x = = 3.

px 10 p Релятивистское выражение для импульса:

p= Eк (Eк + 2mp c2 ).

c Следовательно:

hc x =, 103 Eк (Eк + 2mp c2 ) 1,05 1034 3 108 x = = 1,6 1019 109 (1,6 1019 109 + 2 1,67 1027 9 1016 ) = 1,2 1013 м.

Длина волны де Бройля:

h x 103 = 1,9 1017 м.

Бр = = p.................................................................................

...........................................

Пример 1. Электрон локализован в области размером d = 2 A. Оценить кинетическую энергию этого электрона, при которой относительная неопределённость энергии = 0,5.

Решение:

Оценим неопределённость проекции импульса px :

x px = h, 1.9 Примеры решения задач h px =.

x Учитывая, что x = d, получим:

h px =. (1.32) d Мы знаем, что p Eк =, (1.33) 2m т. е. связь между Eк и p нелинейная. Поэтому формула Eк = p2 /(2m) является неверной.

Найдём полный дифференциал от выражения (1.33):

2p dp p dp dEк = =, 2m m pp Eк =.

m Известно, что = Eк /Eк, поэтому:

p p 2m 2p 2h = = =, m p2 dp p откуда p = 2h/(d ). Окончательно:

4h2 2h Eк = =. (1.34) d 2 2 2m m d 2 Произведём расчёт:

2 (1,05 1034 ) Eк = = 15 эВ.

9,1 1031 (2 1010 )2 0,52 1,6 Примечание. Если требуется найти минимальное значение энергии, то прини мается Eк min = Eк, т. е. Eк /Eк = 1 ( = 1). Расчёт производится по формуле (1.34).

.................................................................................

...........................................

Пример 1. Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимально возмож ную полную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное (наиболее вероятное) расстояние электрона от ядра.

Решение:

Оценим минимальную энергию Emin электрона в атоме водорода. Положим x px = h, x = r = r, где r — радиус орбиты электрона, px = p. Тогда:

r p = h, 32 Глава 1. Истоки квантовой механики h p=. (1.35) r Полная энергия электрона:

p2 k e E = Eк + En =.

2m r Подставим выражение (1.35):

h2 ke E=. (1.36) 2mr2 r Здесь k = 1/(40 ) = 9 109 Нм2 /Кл2, e — заряд электрона.

Для нахождения минимального значения энергии продифференцируем (1.36) по радиусу и получившееся выражение приравняем к нулю:

k e h dE = 3 + 2, dr mr r k e h + 2 = 0, mrвер rвер 1,1 h rвер = = = ke2 m 9 109 2,56 1038 9,1 = 5,25 1011 м 0,53 1010 м = 0,53 A.

Итак, эффективное (наиболее вероятное) расстояние электрона от ядра rвер = = 0,525 A.

Минимальная полная энергия электрона:

k e h Emin = = 2mrвер rвер 1,1 1068 9 109 2,56 = = 2 9,1 1031 (0,525)2 1020 0,525 = 21,5 1019 43,5 1019 = 22,0 1019 Дж 13,7 эВ.

По теории Бора E1 = 13,6 эВ. Неплохое совпадение.

.................................................................................

1.10 Задачи для самостоятельного решения 1.1 Найти длину волны де Бройля протона, прошедшего ускоряющую раз ность потенциалов U:

а) 1,00 кВ;

б) 1,00 МВ.

1.10 Задачи для самостоятельного решения 1.2 В телевизионной трубке проекционного типа электроны разгоняются до скорости 1,00 108 м/с. Определить длину волны катодных лучей.

1.3 Предположим, что в опыте по дифракции электронов на двух одинаковых щелях счётчик электронов расположен в точке, куда обе волны приходят в одной и той же фазе. Какова скорость счёта от двух щелей, если каждая из них в отдель ности обеспечивает 100 отсчётов в секунду?

1.4 Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетиче ский пучок электронов (Eк = 10 эВ) падает на щель шириной a. Можно считать, что если электрон прошёл через щель, то его координата известна с неопределён ностью x = a. Оценить получаемую при этом относительную неопределённость импульса px /p электрона в двух случаях:

1) a = 10 нм;

2) a = 0,10 нм.

1.5 Принимая, что неопределенность в импульсе достигает = 24% вели чины импульса, вычислить, какую кинетическую энергию может иметь микро частица массой m = 1,67 1027 кг, локализованная в пространстве с точностью x = 1,94 108 см. Правую часть соотношения неопределённостей принять равной h.

Глава КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ШРEДИНГЕРА 2.1 Уравнение Шрёдингера.................................................................

Развивая идеи де Бройля о волновых свойствах вещества, Шрёдин гер нашел свое знаменитое уравнение и создал теорию, которая называется сейчас «квантовой механикой».

.................................................................

Отличие уравнения Шрёдингера от волны де Бройля состояло в том, что оно описывало поведение частицы во внешнем силовом поле. Теория Шрёдингера — феноменологическая теория, т. е. не фундаментальная и не отвечает на некоторые вопросы «Почему именно так?». В настоящее время есть точная теория атом ных и молекулярных явлений — квантовая электродинамика, разработанная в 40-е и 50-е годы прошлого века Глэшоу, Фейнманом и Швингером. Теория Шрёдин гера — первое приближение к квантовой электродинамике, она значительно проще и верно описывает основные свойства атомов и молекул.

Теория Шрёдингера основана на некоторых допущениях, главные из которых:

1) Частицы не рождаются и не исчезают;

в любом физическом процессе чис ло частиц данного типа остается неизменным. Следовательно, теория не пригодна для описания ядерных процессов.

2) Скорость частиц много меньше скорости света, т. е. теория Шрёдингера — нерелятивистская теория. (Релятивистский вариант уравнения Шрёдингера был получен П. Дираком в 1927 г.) 2.2 Физический смысл -функции.................................................................

Уравнение Шрёдингера — основное уравнение квантовой механи ки (аналог второго закона Ньютона в классической механике).

Это общее уравнение, пригодное для решения всех задач (с ука занными выше ограничениями).

.................................................................

Нестационарное уравнение Шрёдингера имеет вид:

h2 2, + U = ih (2.1) 2m t 2 2 где 2 = + + — оператор Лапласа;

U(x, y, z, t) — функция координат и вре x2 y2 z мени, имеющая смысл эффективного потенциала внешнего силового поля, в ко тором движется частица;

i = 1 — мнимая единица, ее присутствие говорит о том, что (2.1) — волновое уравнение;

(x, y, z, t) — пси-функция, функция характеризу ющая состояние микрочастицы. Решая уравнение Шрёдингера, находят именно -функцию, а уж из нее, воздействуя соответствующими операторами, находят динамические параметры частицы (импульс, момент импульса и т. д.).

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то потенциал не зависит от времени и функция U имеет смысл потенциальной энергии взаи модействия силового поля и частицы. В этом случае -функция распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой — только от времени:

E (x, y, z, t) = 1 (x, y, z)ei h t, (2.2) где E — полная энергия частицы.

Подставим (2.2) в (2.1):

h2 i( E )t 2 E E E i( )t i( )t e h 1 + U1 e h = ih1 e h (i ) ;

2m h учитывая, что (i2 = 1), получим:

h2 1 + U1 = E1. (2.3) 2m Это стационарное уравнение Шрёдингера. Поскольку в дальнейшем мы будем пользоваться только им, запишем его в более традиционной форме, учтя, что :

2m 2 + 2 (E U) = 0. (2.4) h 2.2 Физический смысл -функции Сам Шрёдингер пытался описать частицу как суперпозицию нескольких волн — волновой пакет. Но это неверно: волновой пакет довольно быстро расплывается, а частица живет долго. Правильный физический смысл -функции дал М. Борн в 1926 г.

36 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера Вероятностное толкование волновой функции проглядывает в следующем рас суждении. При дифракции света различные точки экрана освещены по разному:

интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. Ес ли смотреть на свет как на поток частиц, то перераспределение интенсивности — это разная вероятность попадания фотонов в разные точки экрана: чем больше интенсивность света, тем большая вероятность прилёта сюда фотона. Поскольку интенсивность прямо пропорциональна квадрату амплитуды, то ясна взаимосвязь между вероятностью и квадратом амплитуды световой волны. Рассмотрим более строго эти представления.

К любой волновой функции предъявляется ряд требований — они должны удо влетворять так называемым стандартным условиям:

1) -функция должна быть однозначной, непрерывной, гладкой и конечной (за исключением, может быть, отдельных точек);

2) -функция должна иметь непрерывную и конечную производную.

Есть и еще одно требование — чисто физическое — условие нормировки:

3) если частица существует, то вероятность ее нахождения в объеме от до + должна быть равна единице:


dP = 1;

= 1 или dV = 1, (2.5) где P — вероятность нахождения частицы, — комплексно сопряженная функция. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом объеме dV : dP = 2 dV отсюда:

dP 2 =. (2.6) dV.................................................................

Квадрат модуля -функции есть плотность вероятности нахож дения частицы в каком-либо месте пространства (вероятность на хождения частицы в единице объема пространства).

.................................................................

Из смысла -функции следует, что квантовая механика имеет статистический (вероятностный) характер. (Кстати — в матричной механике то же самое: интенсив ность спектральных линий пропорциональна вероятности соответствующих пере ходов электронов в атоме.) С вероятностным толкованием законов микромира не соглашался Эйнштейн: «Я не могу допустить, что Господь Бог играет в кости». Из вестна многолетняя полемика по этому вопросу между А. Эйнштейном и Н. Бором.

Квантовая механика дает совершенно особую концепцию движения — не по траекториям. Движение по траектории делает возможным однозначное предсказа ние будущего по прошедшему.

.................................................................

В квантовой механике предсказание носит вероятностный характер.

.................................................................

2.3 Движение свободной частицы Основная задача квантовой механики состоит не в точном предсказании со бытий, а в определении вероятностей этих событий. По значениям вероятностей согласно определённым правилам можно найти средние случайных значений фи зических величин, которые и доступны эксперименту.

Вернемся еще раз к дифракции световых волн. Когерентные волны, склады ваясь, могут взаимно погашаться, когда они в противофазе. Но вероятности попа дания электрона в ту или иную точку экрана погашаться не могут: вероятность — величина положительная (изменяется от 0 до 1). Точно так же при дифракции света погашаются не интенсивности света (интенсивность — энергия, переносимая волной через единицу площади за единицу времени, величина положительная), складываются или вычитаются только напряжённости электромагнитных полей, т. е. амплитуды колебаний. Аналогично у электронов — погашаются амплитуды ве роятностей нахождения в какой-либо точке пространства. Только амплитуды, а не вероятности могут обладать волновыми свойствами.

Теперь можно ответить на вопрос, что колеблется при движении микрочасти цы? Амплитуда вероятности ее нахождения в данной точке пространства. Волна де Бройля — волна вероятности. Волновое уравнение Шрёдингера описывает поведе ние в пространстве и времени вероятности нахождения частицы.

На фундаментальном уровне частицы материи имеют двойственную природу, а переход из одного состояния в другое носит вероятностный характер и происхо дит скачками. В классической механике статистические закономерности проявля ются лишь для большой совокупности частиц. В квантовой механике в поведении отдельной частицы уже проявляется элемент случайности.

.................................................................

«В квантовой механике понятие вероятности есть понятие пер вичное, оно играет фундаментальную роль» (В. А. Фок).

.................................................................

2.3 Движение свободной частицы Рассмотрим свободное движение частицы. При этом её полная энергия E будет совпадать с кинетической Eк, а скорость = const. Направим ось X вдоль вектора v v. Запишем стационарное уравнение Шрёдингера:

d 2 2m + 2 Eк = 0. (2.7) dx2 h Уравнение (2.7) имеет решение:

i i (x) = A exp ( 2mEк x) + B exp ( 2mEк x), h h где A и B — некоторые константы. Тогда решение нестационарного уравнения Шрё дингера (2.1) получится в форме:

2mEк Eк +B expi( t + 2mEк x).

Eк i( t (x, t) = A exp x) (2.8) h h h h 38 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера Решение (2.8) представляет собой суперпозицию двух плоских монохромати ческих волн одинаковой частоты = Eк /h. Одна из волн распространяется в по ложительном направлении оси X с амплитудой A, другая — в противоположном направлении с амплитудой B. Плоская монохроматическая волна описывается вы ражением A exp[i(t±kx)], следовательно, для свободной частицы волновое число k = 2mEк /h. Таким образом, свободная частица в квантовой механике — это плос кая монохроматическая волна де Бройля.

Выберем для простоты одну из волн (2.8), например первую, распространяю щуюся в положительном направлении оси X. Имеем:

2 = = 2mEк Eк Eк A expi( t 2mEк x)= A2.

i( t = A exp x) h h h h 2.4 Квантование энергии частицы в одномерной потенциальной яме Из уравнения Шрёдингера и условий, налагаемых на -функцию, непосред ственно вытекают правила квантования энергии. Квантовые условия Бора являются гениальной, но догадкой, причем удовлетворяющей не во всех случаях. Великое открытие Шрёдингера состояло в том, что если принять волновые представления о веществе, а это доказано экспериментом, то получается естественный и общий способ квантования.

.................................................................

В уравнение Шрёдингера в качестве параметра входит полная энергия частицы E. В теории дифференциальных уравнений до казывается, что уравнения подобного типа (комплексные) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях x параметра E, а лишь при некоторых, называемых соб ственными.

.................................................................

.................................................................

Функция, соответствующая собственному значению параметра, называется собственной функцией.

.................................................................

Нахождение собственных значений представляет весьма трудоёмкую задачу.

Мы рассмотрим самый простой пример: найдем собственные значения и соот ветствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предполагается, что частица может дви гаться только вдоль оси X.

Случай 1. Движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками (рис. 2.1, a).

Потенциальная энергия U частицы имеет следующий вид:

U(x) = 0 при 0 x l, 2.4 Квантование энергии частицы в одномерной потенциальной яме Рис. 2.1 – a — потенциальная яма с бесконечно высокими стенками, б — квантование энергии частицы U(x) при x 0 и x l.

Используем стационарное уравнение Шрёдингера (2.4). Поскольку зависит только от x, то:

d 2 2m + 2 (E U) = 0. (2.9) dx2 h Вероятность обнаружить частицу за пределами потенциальной ямы (где U ) равна нулю, следовательно, там и = 0. Из условий непрерывности и глад кости волновой функции следует, что и на границах ямы:

(0) = (l) = 0. (2.10) Итак, частица может находиться только внутри ямы, где U = 0, следователь но, (2.9) будет:

d 2 2m + 2 E = 0. (2.11) dx2 h Введём обозначение:

2m k 2 = 2 E, (2.12) h где k — волновое число волны де Бройля для частицы, находящейся внутри потен циальной ямы. Получаем хорошо известное уравнение:

d + k 2 = 0. (2.13) dx Запишем периодическое решение этого уравнения:

(x) = A sin kx + B cos kx, (2.14) где A и B — постоянные. Поскольку (0) = 0 (условие (2.10)), то B = 0. При x = l (l) = 0, 0 = A sin kl, здесь A 0, l 0 и k нельзя положить равным нулю, т. к.

(см. (2.11)) ни одна из величин, входящих в выражение для k, не может быть равной нулю (E 0, т. к. минимум есть энергия покоя частицы). Таким образом, 40 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера число k принимает лишь определённые дискретные значения kn, удовлетворяющие условию kn l = n, отсюда:

n kn =, где n = 1, 2, 3... (2.15) l Условие (2.15) имеет простой физический смысл. Так как kn = 2/n, где n — длина волны де Бройля для частицы в яме, то условие (2.15) означает, что 2 n 2l = или n =, n l n т. е. на длине бесконечно глубокой потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля.

Теперь можно получить собственные значения энергии частицы. Из (2.12):

2 h2 k 2 h En = En = n. (2.16) 2ml 2m Мы видим, что энергия частицы квантуется, т. е. может принимать только неко торые дискретные значения, соответствующие n = 1, 2, 3,... Спектр энергии в яме показан на рисунке 2.1, б.

Существует общая теорема квантовой механики, в которой доказывается, что энергия всегда квантуется у частиц, которые не могут уходить на бесконечность, т. е. заперты в каком-то объеме;

и не квантуется у частиц, которые могут уходить на бесконечность. У свободных частиц (у частиц вне ямы) энергия не квантуется.

Разница в значениях энергии между соседними уровнями сильно зависит от размера ямы, т. е. пространства, где заперта частица:

2 h2 2 2 h E = En+1 En = (n + 1 + 2n n2 ) = (2n + 1).

2ml2 2ml Например, для электрона в электронно-лучевой трубке (l 10 см) E 1016 n (эВ) — квантование энергии совершенно не ощутимо. В то же время для электрона внутри атома (l 108 см) E 60 n (эВ) — не учитывать такую разницу нельзя.

l Амплитуду волновой функции (A) найдем из условия нормировки: 2 dx = 1.

l nx l A2 sin2 ( ) dx = 1, A2 = 1, A=.

l 2 l Итак, собственное значение волновой функции:

n (x) = sin ( x). (2.17) l l На рисунке 2.2 показаны графики зависимостей (x) и (x).

2.4 Квантование энергии частицы в одномерной потенциальной яме Рис. 2.2 – a — зависимости (x) при различных значениях n, б — зависимости квадрата модуля 2 от x при тех же значениях n.................................................................

Видны следующие закономерности:

1) Число полуволн де Бройля равно n.

2) Поведение частицы в яме зависит от n: например, при n = частица наиболее вероятно будет находиться в середине ямы, но уже при n = 2 частица будет либо в левой, либо в правой половине ямы, а вероятность нахождения в сере дине ямы равна нулю.

.................................................................

С увеличением энергии (т. е. с ростом квантового числа n) максимумы рас пределения (x) располагаются всё ближе друг к другу. При очень больших n картина распределения (x) практически «сливается» и представляется рав номерным — частица начинает себя вести совсем «по-классически». При больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответство вать классическим результатам.

.................................................................

Следует обратить внимание на то, что минимальное значение энер гии частицы в яме не равно нулю. Квантовая частица не может лежать на дне ямы!

.................................................................

Ведь у частицы в яме ограничена область возможных значений её координаты, поэтому должен существовать разброс по импульсам, а значит, отлична от нуля и энергия. При n = 1 Emin = 2 h2 /(2ml2 ) 0.

Случай 2. Рассмотрим поведение частицы в потенциальной яме, в которой одна из стенок имеет конечную высоту (рис. 2.3). Потенциальная энергия частицы в яме:

U(x) при x 0, U(x) = 0 при 0 x l, U(x) = U0 при x l.

42 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера Рис. 2.3 – Потенциальная яма, одна из стенок которой имеет конечную высоту U Полная энергия частицы E 0, частица находится в яме (рис. 2.3). Как будет вести себя «классическая частица», т. е. с точки зрения классической физики?

На участке 0–l она движется с постоянной кинетической энергией и, следо вательно, с постоянной скоростью. При E U0 частица не может выйти из ямы, потому что вне ямы потенциальная энергия больше полной и кинетическая энер гия Eк должна бы иметь отрицательное значение, что невозможно. Подойдя к краю ямы, частица отражается и летит обратно, там снова отражается и т. д. Таким об разом, классическая частица не может быть вне ямы и с одинаковой вероятностью может быть найдена в любом месте внутри ямы.

Поведение квантовой частицы иное. -функция частицы должна быть непре рывной и гладкой. Поэтому -функция не может «оборваться» у правой стенки и должна продолжаться за ней. (Аналог: световая волна частично отражается, но частично преломляется, т. е. уходит внутрь II области.) Появляется вероятность об наружить частицу в области II, где U E. У левой стенки -функция должна быть равна нулю, т. к. там U(x) и частица туда попасть не может.

Рассмотрим точное решение задачи о движении частицы в одномерной потен циальной яме. Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид:

d 2 2m + 2 [E U(x)] = 0. (2.18) dx2 h Поскольку U(x) является ступенчатой функцией, то для решения область из менения x удобно разбить на два участка с постоянными значениями U (рис. 2.3) и получить решения для каждого участка в отдельности, а потом «сшить» их так, чтобы функция (x) была непрерывной и гладкой в точке x = l.

В области x 0 U(x), следовательно (x) = 0.

Снабдим решения на участке I индексом 1, а на участке II индексом 2.

Область I. При 0 x l потенциальная энергия U = 0 и уравнение Шрёдингера имеет вид:

d 2 + k 2 1 = 0, (2.19) dx где k 2 = 2mE/h2.

Решение уравнения (2.19) имеет вид:

1 (x) = A sin kx. (2.20) 2.5 Туннельный эффект Область II. При x l потенциальная энергия U(x) = U0. Уравнение Шрёдингера имеет вид:

d 2 2 2m + 2 (E U0 )2 = 0, (2.21) dx2 h где E U0.

Решение уравнения (2.21):

2m(U0 E) 2m(U0 E) 2 (x) = B exp x + C exp x.

h h Обозначим: k 2 = 2m(U0 E)/h2. Тогда:

2 (x) = Bekx + Cekx. (2.22) Из требования конечности -функции следует, что B = 0, поскольку экспонен та с положительным показателем соответствует непрерывному росту вероятности обнаружения частицы в области II c увеличением глубины проникновения x, что неприемлемо. Итак, 2 (x) = Cekx (2.23) — спадающая экспонента. Это означает, что частица может заходить в область, где E U0.

Таким образом, если одна из стенок ямы имеет конечную высоту, уравне ние (2.18) имеет решение:

0, если x 0, (x) = A sin kx, если 0 x l, Cekx, если x l.

Требование непрерывности и гладкости в точке x = l означает, что:

(l) = (l).

1 (l) = 2 (l), 1 Так же как в случае 1, спектр собственных значений энергии E оказывается дис кретным. Собственным значениям энергии En соответствуют некоторые состояния частицы, при этом каждое состояние характеризуется -функцией. Зависимости (x) и (x) для одного из состояний показаны на рис. 2.4.

В области 0 x l зависимости (x) и (x) носят волновой характер. При x l имеем экспоненциальное убывание этих зависимостей. Частица может оказаться в области II, где её полная энергия E U0.

2.5 Туннельный эффект Квантовая механика позволила предсказать так называемый «туннельный эф фект» — прохождение электронов сквозь узкий потенциальный барьер, «высота»

которого U больше энергии электрона E. Физика туннельного эффекта объясняется соотношением неопределённостей.

44 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера Рис. 2.4 – Зависимости (x) и (x) для одного из состояний частицы в потенциальной яме Рис. 2.5 – а — прямоугольный потенциальный барьер, б — волновая функция частицы (x) «Классическая частица», т. е. с точки зрения классической физики, не может выйти из ямы, потому что вне ямы потенциальная энергия больше полной энергии.

2.5 Туннельный эффект Подойдя к краю ямы, частица отражается и летит обратно, там снова отражается и т. д. «Классическая частица» не может быть вне такой ямы и с равной вероятно стью может быть найдена в любом месте внутри ямы.

Поведение квантовой частицы иное. В квантовой механике равенство E = Eк +U нельзя понимать как численное равенство. Кинетическая энергия Eк зависит от импульса, потенциальная U — от координат, и, в соответствии с соотношением неопределённостей, они не могут одновременно иметь точные значения. В кванто вой механике справедливо равенство:

E = Eк + U, (2.24) где скобки означают среднее значение соответствующей величины. Равенст во (2.24) допускает, что в некоторых точках пространства в какие-то моменты времени полная энергия может оказаться меньше U.

Если потенциальный барьер (область II) будет конечной ширины (рис. 2.5), то частица может оказаться за барьером.

.................................................................

Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер называется туннельным эффектом.

.................................................................

Соотношение неопределённостей позволяет понять причину проникновения частиц за барьер. Если под t в соотношении (1.7) понимать время взаимодействия частицы с барьером, то чем меньше ширина барьера d, тем меньше t, тем больше неопределённость энергии E. И как только E станет больше U E, частица сможет преодолеть барьер.

Рис. 2.6 – Потенциальный барьер произвольной формы Вероятность нахождения частицы пропорциональна 2. Поэтому коэффици ент прозрачности (проницаемости) барьера:

2d 2m (U0 E), D = = D0 exp(2kd) = D0 exp h 46 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера 2d D = D0 exp [ 2m(U0 E)]. (2.25) h Для барьера произвольной формы (рис. 2.6):

2 x D = D0 exp 2m[U(x) E] dx, (2.26) h x1 где D0 — постоянный коэффициент, близкий к единице.

Туннельный эффект иллюстрирует могущество квантовой теории: он был пред сказан на основе, казалось бы, формальных положений, стандартных условий, ко торым должна удовлетворять -функция.

Туннельный эффект был впервые использован в 1928 г. для объяснения распада ядер атомов (Г. Гамов) и для объяснения холодной эмиссии электронов из металла (Р. Фаулер, Л. Нордгейм). В полупроводниковой электронике широко используются туннельные диоды, в основе работы которых лежит туннельный эффект.

2.6 Холодная эмиссия электронов Рассмотрим более подробно явление туннельной эмиссии электронов из ме талла.

.................................................................

Выход электронов из металла, вызванный действием сил элек трического поля на свободные электроны в металле, называют холодной (или автоэлектронной) эмиссией.

.................................................................

В отсутствие внешнего электрического поля потенциальная энергия электрона представлена на рис. 2.7 ступенчатой линией AOBC. Начало координат O помещено на стенке металла. Внутри металла потенциальная энергия принята равной нулю, вне металла она постоянна и равна U0.

Рис. 2.7 – Распределение потенциальной энергии электрона вблизи поверхности металла в отсутствие (AOBC) и наличии (AOBM) внешнего электрического поля напряжённостью E 2.6 Холодная эмиссия электронов Если наложить внешнее электрическое поле E, направленное к металлу (т. е.

«минус» на металле), то в металл оно не проникнет, и потенциальная энергия электрона в металле будет по-прежнему равна нулю. Вне металла к потенциальной энергии U0 добавится энергия электрона во внешнем электрическом поле, равная e E x («минус», так как заряд электрона отрицателен). В этом случае изменение потенциальной энергии изображено прямой BM. В результате полная потенциаль ная энергия электрона во внешнем поле представляется так:

0, если x 0, U(x) = U0 e E x, если x 0.

Между металлом и вакуумом возникает потенциальный барьер OBM. Выделим в металле группу с энергией, близкой к E. Проницаемость барьера для электронов с такой энергией найдём по формуле (2.26), в которой следует положить x1 = 0, а x найти из равенства U0 e E x2 = E: x2 = (U0 E)/(e E ). Тогда:

2 x2 x h 2m [U(x) E] dx = h 2m (U0 e E x E) dx = x 4 (U0 E) = 2m.

e E 3h Таким образом, коэффициент прозрачности барьера для электронов с энергией E выражается формулой:

4 U0 E ).

D(E) = D0 exp 2m( e E (2.27) 3h Этот коэффициент имеет разные значения для различных E. Есть два подхода к решению этой проблемы.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.