авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) А. Л. Магазинников, В. А. ...»

-- [ Страница 2 ] --

1) Можно ввести средний или эффективный коэффициент прозрачности ба рьера путём соответствующего усреднения по E:

E E D = D0 e, (2.28) где D0 и E0 — постоянные, зависящие от рода металла. Значение D0 ча сто принимается равным единице. Постоянное значение напряжённости электрического поля E0 находится из эксперимента с соответствующим металлом. Ток холодной эмиссии выражается формулой:

E E I(E ) = I0 D = I0 D0 e. (2.29) Именно такая зависимость тока холодной эмиссии от напряжённости внеш него электрического поля E была получена и экспериментально подтвер ждена П. И. Лукирским.

48 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера 2) Более строгое решение было предложено Р. Фаулером и Л. Нордгеймом (1928 г.) Вероятность преодоления барьера у них такая же и определя ется по формуле (2.28). Обще число электронов, эмиттируемых вследствие туннельного эффекта, получим, определив, сколько электронов движется к поверхности металла с энергией, приходящейся на диапазон между E и E + dE. Если умножить это число на вероятность проникновения элек тронов через потенциальный барьер и затем суммировать по всем возмож ным значениям E, то получим плотность тока автоэлектронной эмиссии.

В окончательном виде формула Фаулера—Нордгейма для плотности тока автоэлектронной эмиссии:

6,8 109 (U0 EF ) 6,2 106 EF ) (E ) exp, jE = ( U0 EF E U0 где напряжённость поля E измеряется в B/м, высота барьера U0 и энергия Ферми EF — в эВ, плотность тока jE — в А/м2.

2.7 Квантовый гармонический осциллятор А. Эйнштейн (1908 г.) высказал гипотезу о корпускулярных свойствах элек тромагнитных волн и применил её для объяснения теплоёмкости твёрдых тел. Он предположил, что атомы в твёрдых телах обмениваются энергией в виде квантов, энергия которых = h. Квантовая механика (созданная примерно через 20 лет) позволила строго теоретически обосновать эту гипотезу и значительно расширить область применения гипотезы для объяснения многих других свойств твёрдых тел (теплопроводности, диффузии, динамики кристаллической решётки).

Атом в твёрдом теле колеблется около положения равновесия. Такие колебания совершаются подобно колебаниям гармонического осциллятора.

.................................................................

Гармоническим осциллятором в классической физике называют частицу массой m, которая движется под действием квазиупру гой силы F, пропорциональной отклонению частицы от положе ния равновесия.

.................................................................

.................................................................

Осциллятор называют одномерным, если частица может дви гаться только вдоль одной прямой (например, вдоль оси X ):

F = kx, где k — коэффициент квазиупругой силы.

.................................................................

2.7 Квантовый гармонический осциллятор Потенциальная энергия атома U(x) = kx2 /2. Коэффициент квазиупругой силы связан с массой m частицы и собственной циклической частотой 0 её колебаний формулой k = m2. Следовательно, U(x) = m2 x2 /2.

0 Стационарное уравнение Шрёдингера в одномерном случае будет:

d 2 2m m2 x + 2 (E ) = 0, (2.30) dx2 h где E — полная энергия осциллятора.

Нахождение решения этого уравнения, т. е. -функции, является сложной мате матической задачей, а потому не приводится. Оказывается, уравнение (2.30) имеет конечные, однозначные, непрерывные и гладкие решения (собственные функции) при собственных значениях полной энергии E:

En = (n + ) h, (2.31) где n = 0, 1, 2, 3,...

Рис. 2.8 – Энергетическая диаграмма гармонического осциллятора Уровни энергии осциллятора являются эквидистантными, т. е. равноотстоящи ми друг от друга (рис. 2.8).

.................................................................

Наименьшее значение энергии E0 = h/2 называется нулевой энергией.

.................................................................

Существование нулевой энергии вытекает из принципа неопределённости.

Классическое выражение для полной энергии осциллятора:

p2 m2 x E = Eк + En = +.

2m Так как p и x не могут одновременно обращаться в нуль, энергия осциллятора не может быть равна нулю.

50 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера Существование нулевой энергии подтверждается экспериментально по рассе янию света кристаллами при низких температурах. Оказывается интенсивность рассеянного света по мере снижения температуры стремится не к нулю, а к некото рому конечному значению. Это указывает на то, что и вблизи температуры T = 0 К колебания атомов не прекращаются.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятности различных переходов.

Возможны лишь переходы между соседними уровнями, т. е. существует правило отбора для гармонического осциллятора: n = ±1. Энергия может изменяться лишь порциями h.

Квантовая механика как теория, описывающая поведение микрочастиц, осно вана на том, что любой вид взаимодействия описывается как обмен частицами (или квазичастицами): электромагнитное взаимодействие — обмен фотонами, силь ное взаимодействие — обмен пионами (или глюонами в кварковой модели) и т. д.

Обмен энергией между атомами в кристаллической решётке квантовая механика описывает как обмен квазичастицами — фононами.

.................................................................

Минимальная порция энергии нормальных колебаний, которой мо гут обмениваться осцилляторы (атомы), называется фононами.

Фононы — квазичастицы, их нельзя изъять из кристалла. Но как и настоящие частицы, фононы обладают энергией = h, им пульсом p = h k.

.................................................................

Система звуковых волн, проходящих через кристалл, при квантовом подходе эквивалентна фононному газу, заполняющему кристалл.

2.8 Операторы — аппарат квантовой механики.................................................................

Оператором называется математический символ действия, в ре зультате воздействия которого на некоторую функцию образу ется новая функция от тех же аргументов.

.................................................................

С некоторыми операторами мы уже знакомы: d/dt — оператор скорости, d 2 /dt — оператор ускорения.

В квантовой механике используются только линейные операторы.

.................................................................

Оператор называется линейным, если удовлетворяет условию:

L(1 + 2 ) = L1 + L2 ;

L(a ) = aL(), где — знак оператора, называется «шляпка».

.................................................................

2.8 Операторы — аппарат квантовой механики Каждой динамической переменной (координате, импульсу, энергии и т. д.) ста вится в соответствие свой оператор.

.................................................................

В квантовой механике доказано: в декартовой системе координат формулы, которые классическая физика выводит для связи между числовыми значениями физических величин, в квантовой механике следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.

.................................................................

Этим пользуются для нахождения неизвестных операторов одних величин по известным операторам других величин.

.................................................................

Главными операторами квантовой механики являются операто ры координаты x = x (умножить на x) и проекции импульса x = ih(/x).

P.................................................................

Для примера получим оператор кинетической энергии Eк. В классической физике:

p2 Eк = = (p + p2 + p2 ), (2.32) 2m 2m x y z поэтому оператор кинетической энергии:

к = 1 (Px + Py + Pz ) = 1 (ih )(ih )+(ih )(ih )+ 2 2 2m E 2m x x y y (2.33) h2 2 2 2 h2 + (ih )(ih )= ( + + ) ;

Eк =.

z 2m x2 y2 z 2m z Оператор полной энергии (гамильтониан):

h H = Eк + U = 2 + U(x, y, z).

(2.34) 2m Уравнение Шрёдингера — оператор полной энергии, воздействующий на функцию (сравните формулы (2.3) и (2.4)).

Операторы некоторых величин могут быть достаточно сложными. Например, оператор квадрата момента импульса:

L2 = L2 + L2 + L2, x y z (2.35) где, в свою очередь, операторы проекций момента импульса:

Lx = ih (y z ), z y Ly = ih (z x ), (2.36) x z Lz = ih (x y ).

y x 52 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера 2.9 Средние значения.................................................................

Очень важным в физике микромира является понятие среднего значения различных физических величин.

.................................................................

Например, проще всего найти среднюю энергию молекул, сложив энергии всех молекул и разделив полученную сумму на число молекул:

1N E = Ei. (2.37) N i= Этот приём неприемлем при огромном числе молекул. Поэтому используется другой способ вычисления средней энергии, заключающийся в следующем.

..................................................

Пример Подсчитаем число молекул Nк+1, энергия которых лежит между Eк и Eк+1 (на пример, 0,031 и 0,032 эВ).

i=1 Ei = к Nк Eк — эта формула точна, если интервалы разбиения малы.

N Тогда:

1 Nк E = Nк Eк = Eк = Eк fк, Nк N к где fк = Nк /N — доля молекул, энергия которых лежит в к-ом интервале, или, что то же самое, вероятность иметь энергию Eк. (Сумма всех вероятностей равна единице.).................................................................................

Вероятность попасть в бесконечно малый интервал между E и E+dE зависит от E и ширины интервала dE и обозначается f (E)dE. Функция f (E) определяет в этом случае распределение молекул по энергии и называется плотностью вероятности (вспомните распределение Максвелла):

E = E f (E) dE. (2.38) Интеграл берется по всем возможным значениям E.

От общих рассуждений перейдем к нахождению среднего значения координа ты x для частицы, обладающей волновой функцией (x). Квадрат модуля (x) является плотностью вероятности найти частицу в окрестности точки x.

.................................................................

Саму -функцию называют амплитудой вероятности, чтобы под черкнуть необходимость возведения в квадрат при вычислении ве роятности.

.................................................................

2.10 Примеры решения задач Согласно (2.38):

x = x(x) dx. (2.39) Учитывая, что (x) = (x)(x) — комплексно сопряженные величины, мож но записать:

x = (x) x (x) dx.

Но x = x — оператор координаты, т. е.

x = (x) x (x) dx.

В квантовой механике доказано, что среднее значение любой динамической переменной:

L = (x) L (x) dx.

.................................................................

Учитывая вероятностный характер квантовых законов, следует не забывать, что соотношения, связывающие физические величины, справедливы именно для средних значений.

.................................................................

В разделе 2.5 мы уже отмечали, что выражение для полной энергии E = = Eк + U справедливо только для средних значений, и оно может не выпол няться в любой момент времени для любых конкретных значений кинетической и потенциальной энергии.

2.10 Примеры решения задач...........................................

Пример 2. Оценить с помощью соотношения неопределённости минимальную энергию Emin одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора m, собственная частота колебаний.

Решение:

Энергия такого осциллятора:

m2 x E=. (2.40) Поскольку между энергией E и амплитудой x нет линейной зависимости, возь мём полный дифференциал от выражения (2.40):

dE = m2 x dx.

54 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера Таким образом, приращение энергии E = m2 x x, отсюда:

E x=. (2.41) m2 x Из соотношения неопределённости следует:

h x =. (2.42) px Выражение (2.42) подставим в (2.41):

E px x=. (2.43) m2 h В равенстве (2.40) положим E = Emin и подставим выражение (2.43):

m2 E2 p Emin = x. (2.44) 2m2 4 h С другой стороны, Emin = p2 /(2m). Физически разумная неопределённость min проекции импульса px не должна превышать значения самого импульса, т. е. мож но положить pmin px :

p Emin = x. (2.45) 2m Приравняем правые части выражений (2.44) и (2.45):

m2 E2 p2 p = x x, 2m2 4 h2 2m откуда E2 = h2 2. Для нахождения Emin можно положить Emin E. Таким образом, получаем:

Emin = h.

Мы знаем (формула (2.31)), что для гармонического осциллятора Emin = E0 = = h/2. С помощью соотношения неопределённостей мы получили оценку Emin, т. е. приближённое значение, но нам не пришлось использовать сложные матема тические приёмы для решения уравнения Шрёдингера.

.................................................................................

...........................................

Пример 2. Частица в потенциальной яме шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале l/4, равно удаленном от стенок ямы.

Решение:

Прежде всего — низшее возбужденное состояние, это состояние с n = 2. Плот ность вероятности нахождения частицы 2 по ширине ямы в состоянии с n = 2.10 Примеры решения задач Рис. 2. будет изображаться кривой, показанной на рисунке. Найдем координаты l1 и l2, ограничивающие искомый интервал:

l l 3l l1 = = = 0,375l, 1 31 l2 = l1 + l = l + l = l = 0,625l.

4 84 -функция, описывающая поведение частицы в потенциальной яме, 2 x = sin (n ).

l l Вероятность обнаружить частицу в интервале dx: d2 = (2/l) sin2 (nx/l) dx;

l окончательно: 2 = (2/l) sin2 (nx/l) dx.

l Известно, что:

1 sin (ax) dx = 2 x 4a sin(2a x) + const — воспользуемся этой формулой.

0,625l 0,625l 21 1l 2 n 2 = x = sin ( 2 x) 4 n l l 0,375l 0,375l 21 4 l 4 = (0,625l 0,375l) sin ( l) sin ( l) = l 2 l l 2l l 2l l 2l 1 = [ (1 (1))] = [ ] = [ ] = 0,091.

l4 l 8 8 l 8 Итак, суммарная вероятность обнаружить частицу в искомом интервале равна 0,091 = 9,1%.

.................................................................................

56 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера...........................................

Пример 2. Электрон находится в одномерной потенциальной яме l = 0, 45 нм в возбуж денном состоянии. На ширине ямы в данном состоянии укладывается 3 полуволны де Бройля. Найти энергию частицы в данном состоянии (в эВ).

Рис. 2. Решение:

Число полуволн де Бройля равно номеру соответствующего энергетического состояния. Следовательно, в нашем случае n = 3. Теперь можно использовать фор мулу (2.16):

2 h2 n E=, 2ml 2 (1,05 1034 )2 E= = 16,6 эВ.

2 9,1 1031 (0,45 109 )2 1,6.................................................................................

...........................................

Пример 2. Частица находится в потенциальной яме шириной l в 4-м возбужденном состо янии. Указать минимальную и максимальную координаты в интервале 0 x l/2, где вероятность обнаружить частицу максимальна (рис. 2.11). Ответ дать в долях l.

Решение:

4-е возбужденное состояние соответствует n = 5. На рисунке показано распре деление вероятности по ширине ямы в данном случае. Поскольку x l/2, но не x l/2, то максимум вероятности, соответствующей границе указанного интервала (l/2), не подходит.

2.10 Примеры решения задач Рис. 2. Поэтому минимальное значение координаты соответствует x1, а максималь ное — x2 (рисунок 2.11):

x1 = 0,1l;

x2 = 0,3l.

Следует обратить внимание на полезность рисунков, в некоторых случаях они позволяют решить задачу, не прибегая к громоздким вычислениям.

.................................................................................

...........................................

Пример 2. Найти вероятность прохождения частицы массы m с энергией E сквозь потен циальный барьер, показанный на рисунке.

Рис. 2. 58 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера Решение:

Вероятность прохождения частицы через барьер (коэффициент прозрачности) вычислим по формуле (2.26), положив D0 = 1:

2 x D = exp 2m[U(x) E] dx. (2.46) h Общее уравнение прямой:

U(x) = ax + b.

Из рисунка 2.12 определим угловой коэффициент a и свободный член b. Имеем:

U(x = 0) = U0, b = U0.

U U(x = l) = al + U0 = 0, a=.

l Таким образом, уравнение прямой:

x U(x) = U0 (1 ). (2.47) l Выразим координату x2. Для этого в равенстве (2.47) положим U(x) = E, x = x2.

Получаем:

x2 x E = U0 (1 ), E = U0 U0, l l U0 E x2 = l. (2.48) U Вычисляем интеграл (2.46), подставив уравнение (2.47):

x x x 2m[U(x) E] dx = 2mU0 [1 ] 2mE dx = l 0 x2 3 x U0 2l U0 = 2m U0 E x dx = 2m (U0 E x) = l 3U0 l 0 2l U (U0 E x2 ) (U0 E) 2.

= 2m 3U0 l Подставим выражение для x2 из (2.48). Получаем:

x 2l 2m 2m[U(x) E] dx = (U0 E) 2.

(2.49) 3U Интеграл (2.49) подставим в (2.47). Тогда вероятность прохождения частицы через барьер (коэффициент прозрачности):

4l 2m D = exp [ (U0 E) 2 ].

3hU.................................................................................

2.11 Задачи для самостоятельного решения 2.11 Задачи для самостоятельного решения 2.1 Частица находится в одномерном потенциальной ящике с бесконечно вы сокими стенками. Пси-функция имеет вид, показанный на рисунке 2.13. Найти вероятность пребывания частицы в области l/8 x l/2.

Рис. 2. 2.2 Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальном яме.

Найти отношение разности соседних энергетических уровней к энергии частицы En+1, n /En в трёх случаях:

а) n = 3;

б) n = 10;

в) n.

2.3 Частица находится в основном состоянии в одномерной бесконечно глубо кой потенциальной яме. Какова вероятность нахождения частицы в средней трети ящика.

2.4 При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,010? Разность энергий U0 E = 10 эВ.

Рис. 2. 60 Глава 2. Квантовая механика Шрeдингера 2.5 Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов = 10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффициенты прозрачности De для элек трона и Dp для протона, если высота U0 прямоугольного потенциального барьера равна 20 кэВ и ширина d = 0,10 пм.

Глава АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 3.1 Энергия и координата электрона в атоме Изучение курса атомной физики обычно начинается с изложения теории Н. Бо ра, теории, базирующейся на комбинации классических и квантовых законов и не учитывающей волновых свойств микрочастиц. Теория Бора справедлива только для атома водорода и водородоподобных атомов, т. е. атомов, имеющих в оболочке около ядра только один электрон. Здесь мы рассмотрим атом водорода с позиции квантовой теории — теории, многократно проверенной экспериментально и способ ной рассчитывать параметры многоэлектронных атомов.

Решая задачу об электроне в бесконечно глубокой потенциальной яме, мы до казали, что энергия и положение частицы в яме квантуются, т. е. могут принимать лишь дискретные значения. Решая уравнение Шрёдингера для условий атома (для реальных условий), можно получить выражения для энергии, координаты, момента импульса и других динамических переменных без привлечения каких-либо посту латов.

Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра. Потенциальная энергия электрона U = ze2 /(40 r), тогда стационарное уравнение Шрёдингера в декартовых координатах:

ze 2m 2 + 2 (E + ) = 0, (3.1) h 40 r т. е. мы воздействовали на -функцию оператором полной энергии. Несмотря на кажущуюся простоту, уравнение (3.1) в таком виде не решается. Учитывая сфери ческую симметрию кулоновского поля, перейдем к сферической системе координат (r,, ):

62 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике 1 2 1 (r )+ 2 (sin )+ + r sin r2 sin r2 r r (3.2) ze 2m + 2 (E + ) = 0.

40 r h Уравнение (3.2) имеет решение при всех значениях E 0, что соответствует свободному электрону. При E 0 получим:

mz2 e En =, где n = 1, 2, 3,... (3.3) 322 2 h2 n Результат такой же, как в теории Бора, но здесь результат получен без привле чения дополнительных постулатов.

Видим, что энергия электрона квантуется, если электрон находится внутри ато ма. При E 0 энергия может принимать любые значения: электрон не принадлежит атому, он свободен. Итак, для водорода и водородоподобных атомов, как и в теории Бора:

z En = 13,6 2 (эВ).

n Рис. 3.1 – Квантование энергии электрона в атоме Электрон в атоме тоже в «яме», но стенки ямы не вертикальны и не бесконечно высокие (рис. 3.1).

.................................................................

Чем больше n, тем сильнее уровни сгущаются и при n En = 0 — электрон становится свободным. Состояние E1 — основ ное, стационарное состояние электрона;

все остальные состояния в атоме водорода являются возбуждёнными: E2 — первое возбуж дённое состояние, E3 — второе возбуждённое состояние и т. д.

.................................................................

3.1 Энергия и координата электрона в атоме.................................................................

Поскольку энергия E — главная характеристика частицы (элек трона), то и n называют главным квантовым числом (в теории Бора n — номер орбиты).

.................................................................

Рассмотрим распределение электронной плотности (плотность вероятности на хождения электрона) при n = 1, т. е. в стационарном состоянии. Общее решение сложно, нужно применять рекуррентную формулу. При некоторых упрощениях получим 1 (r) = A ek1 r, где k1 = z me2 /(40 h2 ), A — некоторая константа. Ве роятность того, что электрон находится в объеме dV, dP = 1 (r) dV. В качестве объёма следует взять сферический слой толщиной dr на расстоянии r от ядра.

Поэтому:

dP = 4r2 dr1 (r).

Рис. 3.2 – Плотность распределения вероятностей нахождения электрона в атоме водорода (основное состояние) Плотность вероятности r нахождения электрона на расстоянии r от ядра r = = dP/dr, следовательно:

2 r = 4r2 1 (r), r r2 1 (r).

Результат расчета графически представлен на рис. 3.2. Максимальному значе нию плотности вероятности r при z = 1 соответствует значение r1 = 53 пм = 0,53 A.

Это совпадает с расчетами Бора. Но принципиальным отличием является то, что электрон может находиться как ближе к ядру, так и дальше от него, чем на рассто янии r1. У Бора r1 — точное и единственное значение. Здесь же r1 — наиболее ве роятное расстояние от ядра, но допускается возможность быть ближе или дальше.

Область допустимых значений координат — электронное облако с максимальной плотностью на расстоянии r1.

64 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике 3.2 Классические представления об орбитальных магнитном и механическом моментах электрона Вращающийся по круговой орбите электрон, как и любая частица, имеющая массу, обладает механическим моментом импульса L (рис. 3.3):

L = mv r, (3.4) где v — скорость электрона, r — радиус орбиты. Электрон — заряженная частица, поэтому движение его по орбите — это круговой ток. Контур с током обладает маг нитным моментом µ. Так как заряд электрона отрицательный, то L и µ направлены в противоположные стороны (рис. 3.3). Магнитный момент кругового тока:

µ = I S = I r2.

Рис. 3.3 – Электрон, вращающийся вокруг ядра по круговой орбите Если частота вращения электрона, то I = e, где e — заряд электрона. Частота = v/(2r), тогда:

ev r ev µ = e r2 = r2 =. (3.5) 2r Гиромагнитное отношение (для орбитальных моментов):

µ evr e ge = = =. (3.6) L 2 mv r 2m Учитывая направление векторов L и µ, можно записать:

e µ = ge L или µ = L. (3.7) 2m 3.3 Момент импульса электрона в атоме 3.3 Момент импульса электрона в атоме.................................................................

Механический момент импульса (или просто — момент импуль са L) является одной из важнейших характеристик движения.

.................................................................

Единственный электрон атома водорода и водородоподобных атомов движется в кулоновском центрально-симметричном поле ядра. В сложных атомах электриче ское поле не является строго центральным, но сохраняется сферическая симметрия, и можно в первом приближении считать поле центральным.

..................................................

Выводы Таким образом, закон сохранения момента импульса играет в микромире не меньшую роль, чем в макромире, т. е. в классической физике.

.................................................................................

3.3.1 Проекция момента импульса Найдем собственные (возможные) значения, которые может принимать Lz — проекция момента импульса на произвольную ось Z. Надо решить уравнение Lz = = Lz.

В центрально-симметричном поле можно воспользоваться сферическими ко ординатами и для них:

= Lz.

Lz = ih ih Решением этого уравнения является функция:

1 Lz = ei h, (3.8) где коэффициент 1/ 2 введен для нормировки -функции:

d = 1.

Функция (3.8) будет однозначной в том случае, если при изменении на она возвращается к своему прежнему значению, т. е. если Lz 2/h = m 2, откуда:

Lz = mh, где m = 0, ±1, ±2,... (3.9) Н. Бор чисто интуитивно пришел к этому значению, а здесь этот вывод полу чается автоматически из решения уравнения.

66 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Итак, проекция момента импульса на любую ось квантуется;

она равна целому числу постоянных Планка (h — естественная единица измерения момента импульса).

Исследуем физический смысл полученного результата. На первый взгляд мо жет показаться, что квантование Lz есть следствие того, что L может иметь лишь определенные углы с осью Z. (Именно эта трактовка породила термин «простран ственное квантование».) Но ось Z может быть направлена как угодно! Поэтому эта точка зрения не имеет смысла. Понимать надо иначе. Формула (3.9) показывает, что при измерении проекции Lz мы в результате опыта обязательно получим число, кратное h. Однако значение Lz до опыта не обязательно равно целому кратному h.

До и после опыта -функции не обязательно должны совпадать.

.................................................................

А отсюда следует, что L может быть направлен произвольным образом и имеют смысл только модуль вектора L и одна из его проекций Lz, которая и измеряется.

.................................................................

..................................................

Пример Чтобы лучше уяснить смысл этого утверждения, рассмотрим простой оптиче ский опыт. Пропустим луч света через поляризатор (кристалл, обладающий двой ным лучепреломлением, например призму Николя). Выходящий из призмы свет разделяется на два луча: обыкновенный и необыкновенный, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Сумма интенсивности обоих лучей равна интенсивности падающего света, т. е. число фотонов до призмы и после одинако во. Значит ли это, что все фотоны до призмы имели взаимно перпендикулярную поляризацию? Нет, конечно;

они были поляризованы произвольно. Что означает результат опыта, состоящий в том, что после прохождения через поляризатор свет разделяется на два луча, плоскополяризованных во взаимно перпендикулярных направлениях?

.................................................................................

.................................................................

Первый и самый важный вывод заключается в том, что любое по ляризационное состояние фотона может быть представлено как суперпозиция двух (и только двух!) независимых состояний (если бы состояний было больше, то после прохождения через призму число вышедших из нее плоско-поляризованных лучей тоже было бы больше).

.................................................................

Эти два независимых состояния могут быть выбраны по-разному. Чтобы убе диться в этом, достаточно повернуть призму Николя на некоторый угол вокруг оси, совпадающей с направлением луча: плоскости поляризации лучей повернут 3.3 Момент импульса электрона в атоме ся на тот же угол. Возьмем любое направление в плоскости, перпендикулярной лучу, и как бы ни было выбрано это направление, фотон будет поляризован либо по этому направлению, либо перпендикулярно к нему. Или, что то же самое: про екция вектора поляризации фотона (вектора E) на любое перпендикулярное лучу направление всегда либо равна нулю (вектор поляризации перпендикулярен этому направлению), либо единице (вектор поляризации совпадает с этим направлением).

.................................................................

Но проявляется это только в результате опыта с поляризатором.

.................................................................

3.3.2 Модуль момента импульса Прямой подход к решению этой задачи требует решения уравнения:

L2 = L2.

Оператор L2 имеет громоздкий вид (см. (2.34) и (2.35)), и решение требует знания специфических функций (полиномов Лежандра). Попробуем найти решение с другой стороны.

В классической механике L2 = L2 + L2 + L2, в квантовой механике это соответ x y z ствует L2 = L2 + L2 + L2 и средние значения: L2 = L2 + L2 + L2.

x y z x y z В сферически симметричном поле ни одна из осей ничем не выделяется, по этому:

L2 = L2 = L2.

x y z Следовательно, L2 = 3L2. (3.10) z Симметричное решение является суперпозицией решений со всеми возмож ными проекциями Lz. Более того, все проекции равновероятны и поэтому пред ставлены с одинаковым статистическим весом. Тогда L2 равно среднему из всех z возможных значений Lz = 0, ±h, ±2h, ±3h,... ± mmax h. Максимальное значение про екции момента Lz по модулю не может превышать L. Обозначим mmax = l;

l — целое положительное число.

Выпишем полный набор возможных значений Lz и m:

Lz = lh, (l 1)h,...(l)h;

m = l, (l 1),..., 1, 0, 1,... l.

Чаще записывают так:

m = 0, ±1, ±2,..., ±l. (3.11) Мы видим, что при всяком данном l проекция момента Lz может принимать 2l + 1 различных значений: одно нулевое, l положительных и l отрицательных.

Среднее значение L2 равно поэтому:

z l2 + (l 1)2 + + (l)2 1 +2 ++l.

2 2 L2 = h2 = 2h 2l + 1 2l + z 68 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Известно, что числовой ряд:

l(l + 1)(2l + 1) 12 + 22 + 32 + + (l 1)2 + l2 =, поэтому L2 = 2h2 l(l + 1)(2l + 1)/(6 (2l + 1))= h2 l(l + 1)/3.

z Подставив полученное значение Lz 2 в (3.10), получим L2 = h2 l(l + 1), откуда:

L = h l(l + 1), (3.12) где l = 0, 1, 2, 3,..., n 1. Формула (3.12) определяет закон квантования модуля механического момента импульса.

Сравнение формул (3.11) и (3.12) показывает, что L2 max L2 при любом значе z нии l 0, т. к. L2 max = h2 l2, а L2 = h2 l(l + 1). Этот результат, непонятный в рамках z классической физики, легко объясняется в квантовой механике. Исследование по казывает, что проекции момента на две различные оси, например Lx и Ly, не могут быть одновременно известны;

для них существует соотношение неопределенно сти для координаты и импульса. Зафиксировав состояние с определенным Lz, мы вносим неопределенность в Lx и Ly. Средние значения L2 и L2 в таких «раз x y мазанных» состояниях, конечно, отличны от нуля: L2 0, L2 0. Поэтому x y L2 = (L2 + L2 + L2 ) L2.

x y z z В отличие от двух проекций L, L2 и одна из его проекций Lz могут быть определены одновременно. Более того, в квантовой механике доказывается, что задание Lz и L2 полностью определяет вращательное состояние частицы.

3.4 Магнитный момент электрона в атоме Оказывается, операторы магнитного и механического моментов отличаются только постоянным множителем ge, их свойства совершенно аналогичны. Меха нический и магнитный моменты квантуются по одинаковым правилам. Так же, проекции магнитного момента на любые два различных направления не могут одновременно иметь определенные значения. В стационарном состоянии опреде ленные значения могут иметь квадрат (модуль) магнитного момента и одна из его проекций.

Переходя к квантовой механике, как всегда, следует числовые равенства клас сической физики заменить операторными равенствами:

e e µ= L или µz = Lz, (3.13) 2me 2me где me — масса электрона.

Можно строго решать эти равенства (достаточно сложное занятие), но мы вос пользуемся приведенными выше утверждениями. Так как Lz = mh, то:

µz = h m, (3.14) 2me где m = 0, ±1, ±2,..., ±l (см. (3.11)).

3.5 Спин электрона Величина eh/(2me ) = µБ — является естественной единицей измерения магнит ного момента и называется магнетоном Бора:

eh Дж = 9,27 µБ =. (3.15) 2me Тл Модуль орбитального магнитного момента найдем так же:

e µ = ge L = h l(l + 1), 2me или µ = µБ l(l + 1). (3.16) Следует отметить, что в эксперименте определяется только проекция магнитно го момента электрона на какую-либо ось, задаваемую внешним магнитным полем.

3.5 Спин электрона В 1921 г. учёные О. Штерн и В. Герлах провели серию экспериментов по изме рению магнитных моментов атомов. Идея опыта заключалась в измерении силы, действующей на атом в неоднородном магнитном поле:

B F = µa, z где µa — магнитный момент атома.

Источник атомов — серебряный шарик K(рис. 3.4, a), атомы серебра летели со скоростью v = 100 м/с (тепловая скорость). A — фотопластинка (экран), B1 и B2 — диафрагмы (щели), размеры которых: у B1 S1 = 3 103 мм2 ;

у B2 S2 = 0,8 0,03 мм2.

Неоднородность магнитного поля достигалась с помощью специальной формы электромагнитов (рис. 3.4, б). Степень неоднородности магнитного поля должна быть достаточно большой, такой, чтобы ощущалась на расстоянии, равном размеру атома.

Чего следовало ожидать? С классической точки зрения, т. к. магнитные момен ты атома ориентированы хаотично, равновероятно по всем направлениям, вклю чение магнитного поля должно было приводить к расширению пятна на фотопла стинке. С квантовых позиций — магнитный момент имеет 2l + 1 проекций, поэтому на экране должно быть нечётное число полос.

В эксперименте с атомами серебра были обнаружены две резкие полосы, нахо дящиеся на равном расстоянии от центра (рис. 3.4, в). Это говорит о том, что атомы серебра имеют лишь две проекции магнитного момента. По величине отклонения была вычислена величина проекции магнитного момента, она оказалась равной магнетону Бора (см. (3.15)).

Опыты Штерна и Герлаха подтвердили факт квантования магнитного и, следо вательно, механического моментов и что естественной единицей измерения маг нитного момента является магнетон Бора.

Но оставались еще два вопроса: почему четное число полос? Магнитный мо мент чего измерялся? Дело в том, что уже тогда было известно, что магнитный 70 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Рис. 3.4 – Схема опыта Штерна и Герлаха:

а — схематическое изображение вакуумной камеры;

б — конструкция полюсов электромагнита;

в — фотография осадков атомов серебра на фотопластинке (экране) A момент элементов, образующих первую группу таблицы Менделеева, т. е. имею щих один валентный электрон, равен магнитному моменту этого электрона. И этот электрон имеет орбитальное квантовое число l = 0. Но тогда: L = h l(l + 1) = 0, µ = ge L = 0 (!). Что же измерялось?

В 1925 г. студенты Лейденского университета Д. Уленбек и С. Гаудсмит пред положили существование у электронов собственных механического и магнитного моментов, обусловленных вращением электрона вокруг «собственной оси».

.................................................................

Собственный механический момент назвали спином.

.................................................................

Идея о вращении электрона оказалась ошибочной, чтобы собственный магнит ный момент электрона был равен µБ, линейная скорость «поверхности» электрона должна быть равна 300c, где c — скорость света в вакууме, что в принципе невоз можно. Как показал впоследствии П. Дирак, существование спина и собственно го магнитного момента вытекает из решения релятивистского уравнения Дирака.

Спин является квантово-релятивистским эффектом, не имеющим классического истолкования. Расчеты Дирака совпали с экспериментом с точностью 0,1%.

3.5 Спин электрона Введение понятия спина сразу объяснило ряд затруднений, имеющихся к тому времени в атомной физике: опыт Штерна и Герлаха, тонкую структуру, аномальный эффект Зеемана.

Перейдем к количественным соотношениям.

Из общих законов квантовой механики следует, что выражение для модуля собственного момента импульса, т. е. спина, будет:

Ls = h S(S + 1). (3.17) Из опыта Штерна известно, что у Ls две проекции, т. е. 2S + 1 = 2, S = 1/2. Итак, спиновое квантовое число:

S=. (3.18) Следовательно, Ls = h ( + 1), h Ls = 3. (3.19) Проекция спина на ось Z, задаваемая B — внешним магнитным полем, опреде ляется магнитным спиновым числом:

ms = ±, (3.20) Lsz = ms h = ± h, Lsz = ± h. (3.21).................................................................

Поскольку в эксперименте измеряются только проекции магнит ных моментов, то очень часто именно ms называют спиновым кван товым числом, хотя строго S = 1/2.

.................................................................

Спиновое гиромагнитное отношение не равно гиромагнитному отношению для орбитальных моментов. Из опыта Штерна известно, что µsz = µБ = eh/(2me ). Тогда:

µsz eh 2 e gs = = = gs = 2ge.

;

(3.22) Lsz 2me h me Модуль собственного магнитного момента:

h e µ s = gs Ls = µs = µБ 3.

3;

(3.23) me Видим, что и для спиновых моментов естественными единицами измерения моментов являются h и µБ.

72 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике 3.6 Принцип тождественности одинаковых частиц.

Принцип запрета (Паули) В классической механике частицы одинаковой природы (электроны, например) можно различать. Пронумеровав, можно следить за их движением по траектории и в любой момент времени указать местонахождение каждой из этих частиц.

В квантовой механике, в силу принципа неопределенности, понятие траекто рии утрачивает смысл. Следить за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их, невозможно. Частицы одинаковой природы оказываются неразличи мыми. Поведение частицы описывается волновой функцией и 2 определяет лишь плотность вероятности обнаружить частицу в данной области пространства.

.................................................................

Там, где -функции перекрываются (частицы расположены близ ко), нет смысла говорить, какая из частиц где находится. Можно говорить лишь о вероятности нахождения в этой области одной из частиц.

Это утверждение и носит название принципа неразличимости или принципа тождественности одинаковых частиц.

.................................................................

Этот принцип в квантовой механике является новым, логически не вытекаю щим из других положений. Справедливость этого принципа подтверждается всей совокупностью фактов.

Принцип неразличимости одинаковых частиц приводит к глубоким физическим следствиям. Пусть 1 и 2 — совокупность параметров, характеризующих 1 и частицы;

(1, 2 ) — волновая функция системы. Поскольку частицы неразличимы, перестановка 1 и 2 не должна приводить к изменению вероятности обнаружения частицы:

2 (1, 2 ) = (2, 1 ).

При этом возможны два случая:

2 • (1, 2 ) = (2, 1 ) — симметричная волновая функция;

2 • (1, 2 ) = (2, 1 ) — несимметричная волновая функция.

В 1940 г. В. Паули показал, что симметричная волновая функция описыва ет поведение частиц с целым спином (S = 0, 1, 2,...) — эти частицы называют ся бозонами, поведение их подчиняется статистике Бозе—Эйнштейна. Несиммет ричная волновая функция описывает поведение частиц с полуцелым спином — (S = 1/2, 3/2,...) — эти частицы называются фермионами, они подчиняются ста тистике Ферми—Дирака.

.................................................................

Оказалось, что фермионы подчиняются принципу запрета (прин ципу Паули): в одном и том же состоянии не может быть двух одинаковых фермионов.

.................................................................

3.7 Распределение электронов по энергетическим уровням атома В самом деле, пусть в одном состоянии находятся два фермиона. В силу тож дественности их перестановка не может изменить волновую функцию. Но так как поведение фермионов описывается несимметричной волновой функцией, она должна изменить знак. Единственная возможность изменить знак, оставшись рав ной самой себе, быть нулем. Но если = 0, то и 2 = 0, т. е. частиц там нет, что противоречит условию. Следовательно, такое состояние невозможно.

.................................................................

Впервые принцип запрета был сформулирован Паули в 1925 г. Он звучал так: в атоме не может быть двух электронов,обладающих одинаковыми значениями всех четырёх квантовых чисел.

.................................................................

Все частицы, из которых состоит вещество (электроны, протоны, нейтроны),— фермионы. Как остроумно заметил М. И. Каганов, «природа напоминает гостиницу, в которой только одноместные номера». Открытие принципа запрета позволило понять, как располагаются электроны в атомах;

позволило понять расположение элементов в таблице Менделеева, повторяемость свойств элементов и т. п.

3.7 Распределение электронов по энергетическим уровням атома Итак, состояние электрона в атоме определяется четырьмя квантовыми числами:

• n = 1, 2, 3, 4,... — главное квантовое число, оно определяет энергию элек трона в атоме;

p df s • l = 0, 1, 2, 3,..., (n 1) — орбитальное квантовое число, оно определяет мо дуль орбитального момента импульса;

чтобы отличать l от n каждому значению l присвоена одна из букв латинского алфавита (s, p, d, f,...);

• m = 0, ±1, ±2,... ± l — магнитное квантовое число, определяющее проекцию орбитального момента импульса;

• ms = ±1/2 — спиновое магнитное квантовое число, оно определяет проекцию собственного момента импульса.

.................................................................

Совокупность электронов, имеющих одинаковое значение n — главного квантового числа — образуют слой. Слой подразделяется на оболочки, отличающиеся значением l (s-оболочка, p-оболочка и т. д.).

.................................................................

Указание n и l выглядит так: 1s-состояние, 2s-состояние, 3p-состояние и т. п.

С учетом принципа Паули возможные состояния электрона в атоме показаны в таб лице 3.1.

Из таблицы 3.1 видно, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии (значение n), находясь в нескольких различных состояниях.

74 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Таблица 3.1 – Возможные состояния электрона в атоме водорода для первых трех значений n Возможное n l m ms Слой Оболочка число электронов +1/2, K 1 0 0 1s -1/ 0 0 2s – L 1 0 2p + 0 0 3s – 1 0 3p + M 3 - - 2 0 3d + +.................................................................

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными.

Число состояний с одинаковой энергией называется кратностью вырождения.

.................................................................

Без учета спина кратность вырождения n2. С учетом спина (фактическая крат ность вырождения) равна 2n2 — максимальное число электронов, которое может быть в слое с данным n. Записывается это так:

1s2 — максимальное число электронов в слое 2, 2s2, 2p6 — максимальное число электронов в слое 8, 3s2, 3p6, 3d 10 — максимальное число электронов в слое 18, 4s2, 4p6, 4d 10, 4f 14 — максимальное число электронов в слое 32 и т. д.

3.7.1 Периодическая система элементов Менделеева Д. И. Менделеев составил свою таблицу, ориентируясь на атомные веса элемен тов. Он гениально предугадал периодическую повторяемость химических свойств элементов, но не мог объяснить, почему свойства периодически повторяются. Прин цип запрета Паули ответил на этот вопрос.

Начнем с атома водорода. В атоме водорода имеется один электрон в основ ном состоянии с произвольной ориентацией спина. Если заряд ядра увеличить на единицу и добавить один электрон, получим атом гелия (He). Оба электрона мо 3.8 Полные механический и магнитный моменты электрона гут находиться в K-слое (n = 1), но обязательно с антипараллельной ориентацией спинов.

На атоме гелия (He) заканчивается заполнение s-оболочки и K-слоя. Третий электрон атома лития (Li) может занять лишь s-оболочку во втором слое — 2s состояние. Распределение электронов в атоме лития в невозбужденном состоянии можно записать: 1s2 2s1. Третий электрон занимает более высокий энергетический уровень, чем остальные два электрона, слабее связан с ядром. Именно этот элек трон определяет химические и оптические свойства атома лития, т. е. является валентным электроном.

У четвертого элемента бериллия (Be) полностью заполняется S-оболочка: 1s2, 2s2. Затем идет заполнение p-оболочки и, когда она насыщается, заканчивается заполнение L-слоя. Это как раз приходится на неон (Ne) — инертный газ: 1s2, 2s2, 2p6. И у гелия, и у неона полностью заполнены s- и p-оболочки, и оба они — инертные газы.

У натрия (Na) одиннадцать электронов. Поскольку K- и L-слои полностью за полнены, начинается заполнение M-слоя (n = 3), естественно, с S-оболочки: 1s2, 2s2, 2p6, 3s1. Валентный электрон натрия находится в том же s-состоянии, что и ва лентный электрон калия, поэтому свойства натрия и калия очень близки. Итак, периодичность химических и оптических свойств элементов объясняется перио дичностью заполнения валентных (последних) оболочек атомов.

Химические реакции эквивалентны обмену электронами между атомами. Ато мы обмениваются только наиболее удаленными от ядра, слабосвязанными с ним электронами — валентными. Атомы, имеющие мало валентных электронов (1, 2, 3), легче их отдают, и свойства таких атомов похожи (щелочные металлы). Атомы, имеющие по 5, 6, 7 валентных электронов, легче принимают чужие электроны, и свойства их тоже похожи (галогены).

Есть исключения. В лантанидах происходит заполнение внутренней 4f -обо лочки, а внешняя 6s2 -оболочка остается неизменной, поэтому химические свойства всех четырнадцати редкоземельных элементов одинаковы, их трудно отделить один от другого.

Подобно лантанидам ведут себя актиниды: тоже четырнадцать элементов, большинство из которых получены искусственно. В них происходит заполнение внутренней 5f -оболочки при неизменной 7s2 -оболочке. Отступление от строго по следовательного заполнения слоев связано с тем, что для многоэлектронных атомов иногда энергетически выгодно начать заполнение выше лежащего слоя при неза полненном нижележащем слое. Квантовомеханические расчеты подтверждают, что энергия атомов именно при таком расположении электронов оказывается меньше, чем если бы сначала полностью заполнялась в этих случаях f -оболочка.

3.8 Полные механический и магнитный моменты электрона Электрон в атоме обладает орбитальным и собственным моментами. Следова тельно, полный механический момент должен представлять собой сумму орбиталь ного и собственного моментов.

76 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Модуль полного механического момента электрона определяется выражением:

Lj = h j(j + 1), (3.24) где j — квантовое число полного момента («полное» квантовое число):

j = l + S, l S. (3.25) При l = 0, j = 1/2 — наблюдается одна спектральная линия;

при l = 1, j1 = 3/2, j2 = 1/2 — две спектральные линии.

Проекция полного механического момента электрона:

Lzj = mj h, (3.26) где mj — квантовое число, отвечающее за проекцию полного момента на какую-либо ось:

mj = j, j + 1,..., j 1, j. (3.27) Например, если j = 3/2, то возможны следующие значения: mj = 3/2, 1/2, 1/2, 3/2.

Расчет полного магнитного момента оказывается сложнее. Дело в том, что у ор битального и собственного момента разные гиромагнитные отношения (см. (3.22)).

Французский ученый Ланд ввел поправку, учитывающую вклад собственного мо е мента (g-фактор или фактор ланде):

j(j + 1) + S(S + 1) l(l + 1) g =1+. (3.28) 2j(j + 1) При S = 0, j = l, g = 1;

при l = 0, j = S и g = 2.

С учетом g-фактора модуль полного магнитного момента электрона равен:

µj = g µБ j(j + 1). (3.29) Проекция полного магнитного момента электрона:

µzj = g mj µБ. (3.30) 3.9 Механический и магнитный моменты атомов В многоэлектронных атомах состояние каждого электрона определяется теми же квантовыми числами, что и в атоме водорода. Влияние на данный электрон всех остальных электронов проявляется в том, что поле, в котором движется электрон, перестает быть кулоновским, т. е. изменяющимся по закону 1/r2. Это обусловли вает зависимость энергии не только от n, но и от l.

Механический и магнитный моменты атома слагаются из орбитальных и спи новых моментов отдельных электронов. При этом возможны два случая.

3.9 Механический и магнитный моменты атомов 1) Орбитальные механические моменты (Ll ) взаимодействуют между собой сильнее, чем со спиновыми (собственными) моментами (Ls ), которые, в свою очередь, сильнее связаны друг с другом, чем с Ll. Вследствие этого, все Ll складываются в результирующий орбитальный момент атома (Lla ), а все Ls — в результирующий спиновый момент атома (Lsa ). Затем уже Lla и Lsa, складываясь, дают суммарный момент атома. Такой вид связи назы вают lS-связью.


2) Каждая пара Ll и Ls одного электрона взаимодействуют между собой силь нее, чем с Ll и Ls других электронов. Находится Lj электронов, а потом уже Lja. Такая связь называется jj-связью. Этот вид связи наблюдается значи тельно реже и только у тяжелых атомов.

Мы ограничимся кратким рассмотрением только lS-связи. В этом случае:

Lla = h la (la + 1), (3.31) где la — орбитальное квантовое число атома.

В случае двух электронов la может иметь значения:

la = l1 + l2, l1 + l2 1,..., l1 l2, где и l2 — орбитальные квантовые числа, определяющие модули электронов: Ll = l l(l + 1). Результирующий момент может иметь 2lmin + 1 различных значений =h (lmin — меньшее из l1 и l2 ).

В случае атома, имеющего более чем два электрона, максимальное значение la равно сумме l всех электронов. Чтобы найти минимальное значение la, нужно сло жить сначала l любых двух электронов, затем каждый из полученных результатов складывается с l третьего электрона и т. д. Наименьшее из получившихся при этом чисел будет представлять искомое минимальное значение la.

..................................................

Пример Пусть, например, l1 = l2 = 1, l3 = 3. Возможные значения суммарного момента первого и второго электронов определяются числами 0, 1, 2. Сложение первого из этих чисел с l3 = 3 даёт la = 3, второго — la = 2, 3, 4 (1 + 3 = 4, 1 + 3 1 = 3, 1 + 3 2 = 2, 1 3 = 2);

третьего числа — la = 1, 2, 3, 4, 5. Следовательно, квантовое число, определяющее результирующий момент в рассматриваемом случае, может иметь значения la = 1, 2, 3, 4, 5. Минимальное значение lmin = 1, максимальное lmax = 5. Максимальное значение можно было получить просто: 1 + 1 + 3 = 5.

.................................................................................

.................................................................

Орбитальные квантовые числа всегда бывают целыми или нулями.

.................................................................

78 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Проекция результирующего момента на некоторое направление Z определяется, как и для любого момента, выражением:

Laz = ma h, где ma = la, la + 1,..., la 1, la.

Результирующий спиновый механический момент атома и проекция этого мо мента определяются выражениями:

Lsa = h Sa (Sa + 1) и Lsza = ms h. (3.32) Квантовое число Sa результирующего спинового момента атома может быть целым или полуцелым в зависимости от того, четным или нечетным является число электронов в атоме. Например, при N = 4, Sa может принимать значения 0, 1, 2;

при N = 5 — Sa = 1/2, 3/2, 5/2.

Результирующие орбитальный и спиновый механические моменты атома обра зуют в сумме полный момент импульса атома:

LJ = h J (J + 1), (3.33) где J = la + Sa, la + Sa 1,..., la Sa.

Следовательно, J будет целым, если Sa — целое число (при четном числе элек тронов в атоме). Например, при la = 2, Sa = 3/2 возможны значения J = 1/2, 3/2, 5/2, 7/2;

а при la = 2, Sa = 1 возможные значения J = 1, 2, 3.

Проекция полного механического момента атома:

LJa = mJ h, где mJ = J, J + 1,..., J 1, J. (3.34).................................................................

С механическими моментами связаны магнитные моменты, кото рые взаимодействуют между собой.

.................................................................

Поэтому энергия атома зависит от взаимной ориентации Ll и LS и от взаимной ориентации Lla и LSa. Следовательно, состояние атома (и его энергия) определяется квантовыми числами la, Sa, J.

Модуль магнитного момента атома определяется:

µJ = µБ g J (J + 1), (3.35) J (J + 1) + Sa (Sa + 1) la (la + 1) где g = 1 +.

2J (J + 1) Если Sa = 0, J = la, g = 1;

если la = 0, J = Sa, g = 2. Для многоэлектронных атомов фактор Ланде может быть g 1 или даже g = 0.

Проекция магнитного момента атома:

µJz = µБ gmJ, где mJ = J, J + 1,..., J 1, J. (3.36) Теперь становится ясно, почему у разных атомов в опытах Штерна и Герлаха появлялось разное число полос — у них разное число проекций магнитных момен тов атомов (рис. 3.5).

3.10 Спектр атома водорода.

Правило отбора при внутриатомных перехода Рис. 3.5 – Результаты опытов Штерна и Герлаха по измерению магнитных моментов различных атомов.................................................................

Расчет механических и магнитных моментов атомов не прост, но он облегчается тем, что у полностью заполненных оболочек сум марные механический и магнитный моменты равны нулю.

.................................................................

3.10 Спектр атома водорода. Правило отбора при внутриатомных переходах Как выяснилось, спином обладают все без исключения частицы. Спин — более фундаментальная характеристика, чем, например, заряд. Спин фотона S = 1.

.................................................................

Закон сохранения момента импульса требует, чтобы при поглоще нии или излучении фотона полный момент импульса атома изме нялся на единицу, т. е. возможны не любые переходы, а подчиняю щиеся так называемому правилу отбора.

.................................................................

Пусть атом до испускания фотона имел Jнач. = 0. Закон сохранения момента импульса позволяет утверждать, что после излучения Jкон. = 1. Аналогично, в ко нечное состояние с J = 0 атом может перейти из состояния с J = 1.

Рассмотрим случай, когда J 0.

Из рис. 3.6 видно, что при сложении единичного вектора 1 с вектором J длина последнего может измениться на единицу или не измениться вовсе. Никакие другие изменения из-за квантования J невозможны. Таким образом, правило отбора при 80 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Рис. 3.6 – Возможные изменения полного момента многоэлектронного атома при испускании и поглощении фотона с S = излучении (или поглощении):

J = ±1 Jнач. = 0 или J = ±1, 0 Jнач. 0 и Jкон. 0. (3.37) Аналогично, для квантового числа mJ :

mJ = ±1, 0. (3.38) Для атома водорода и водородоподобных атомов (имеющих на орбите толь ко один электрон) правило отбора выглядит по-другому. Излучение света связано с электромагнитными свойствами электрона. Во взаимодействии с электромагнит ной волной участвуют как заряд, так и магнитный момент электрона. Испускание света возможно либо в результате изменения движения заряда, либо в результате изменения (поворота) собственного магнитного момента. Расчет показывает, что для электромагнитного излучения, лежащего в оптическом диапазоне, взаимодей ствие фотона с зарядом электрона оказывается гораздо сильнее взаимодействия с магнитным моментом. Орбитальный момент импульса влияет как на первый, так и на второй, а направление спина — только на магнитный момент. Поэтому при испускании фотонов оптического диапазона S = 0 и изменение J на единицу фак тически связано только с изменением l на единицу. Итак, для водорода правило отбора:

l = ±1. (3.39) На рис. 3.7 показаны возможные переходы электрона в атоме водорода с учетом правила отбора.

3.11 Тонкая структура уровней водородоподобных атомов Исследование спектров водорода и водородоподобных атомов (по спектраль ным характеристикам к ним относятся и щелочные металлы: K, Na, Ag,...) с по мощью приборов с большой разрешающей силой показало, что каждая линия этих спектров, кроме s-состояний, является двойной. Почему? До введения понятия спи на объяснений не было.

3.11 Тонкая структура уровней водородоподобных атомов Рис. 3.7 – Схема энергетических уровней атома водорода и возможные переходы электрона в атоме.................................................................

Орбитальное движение электрона создает орбитальный магнит ный момент µl, т. е. магнитное поле Bl. Спиновый магнитный мо мент, конечно же, взаимодействует с этим магнитным полем.

Такое взаимодействие называется спин-орбитальным.

.................................................................

И в зависимости от ориентации спина это взаимодействие по-разному изменяет энергию электрона. Если µl µS — будет отталкивание (рис. 3.8), энергия увеличи вается;

если µl µS — притяжение, энергия уменьшается. Вместо одного основного уровня мы имеем два уровня.

Расщепление уровней с данным n из-за спин-орбитального взаимодействия называется тонкой структурой. Тонкой называют потому, что расщепление мало по сравнению с «расстоянием» между значениями энергии En с разными n (рис. 3.9).

На рис. 3.9, a изображена схема расщепления уровня с n = 2. Принято состояние электрона обозначать так: nlj.

У многоэлектронных атомов может быть по несколько линий тонкой структу ры — мультиплеты. Число линий определяется числом возможных значений j и пра вилом отбора (например, у элемента Mn — 6 линий, у Fe — 9 линий).

Почему у Na (11 электронов) только две линии (дублет, рис. 3.9, б)? У Na слои с n = 1 и n = 2 полностью заполнены: = 0. В слое n = 3 находится только один µ электрон: он может находиться либо в s-, либо p-состоянии.

82 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Рис. 3.8 – Направления орбитального µl и спинового µS магнитных моментов для электрона, вращающегося вокруг ядра Рис. 3.9 – Тонкая структура спектральных линий: а — схема расщепления уровня с n = 2;

б — схема расщепления уровней натрия с n = 3.12 Постоянная тонкой структуры Обусловленное спин-орбитальным взаимодействием расщепление энергетиче ских уровней является релятивистским эффектом, поскольку сам спин — реляти вистский параметр. Из решения релятивистского уравнения Дирака получается следующее выражение для интервала между энергетическими уровнями тонкой структуры:


E = Ei, (3.40) где Ei — энергия ионизации, для атома водорода, Ei = 13,6 эВ;

— постоянная тонкой структуры.

В системе СИ: = e2 /(40 h c) 7,3 103 1/137.

Значение E, вычисленное по формуле (3.40), примерно в 105 раз меньше, чем E между основными уровнями, определяемыми значением n.

Постоянная тонкой структуры принадлежит к числу фундаментальных кон стант природы. Её смысл становится очевидным при переходе к естественной системе единиц, применяемой в квантовой электродинамике: единица массы равна массе электрона me, единица длины равна c — комптоновской длине электрона:

c = c /(2) = h/(me c);

единица энергии равна энергии покоя электрона me c ;

3.13 Эффект Зеемана уже знакомые нам: h — естественная единица измерения механического момен та импульса;

µБ — естественная единица измерения магнитного момента импульса и т. д.

Найдем энергию взаимодействия двух электронов, находящихся на расстоянии c :

1 e E= r=, c;

40 r 1 e2 me c 1 e E= = =.

40 h(me c2 ) 40 h c (Разделив E/(me c2 ), мы выразили E в «штуках» естественной единицы энергии, т. е. в виде безразмерной величины ).

Итак, постоянная тонкой структуры характеризует энергию взаимодействия двух электронов. Иначе можно сказать, что определяет, как сильно электрон свя зан с электромагнитным полем. Поскольку в выражение для масса электрона не входит, то является const связи с электромагнитным полем любой элементарной частицы, имеющей заряд e.

3.13 Эффект Зеемана 3.13.1 Нормальный эффект Зеемана Квантовая механика позволила объяснить примерно 30 лет остававшийся непо нятным эффект Зеемана.

.................................................................

Эффектом Зеемана (Питер Зееман, 1865–1940 гг.) называет ся расщепление энергетических уровней и, следовательно, спек тральных линий на несколько компонентов в магнитном поле.

.................................................................

Это расщепление было обнаружено голландским физиком П. Зееманом в 1896 г.

Расщепление невелико: при B 1 Тл оно составляет несколько десятых долей ангстрема ( 1011 м).

Расщепление объясняется тем, что атом, обладающий магнитным моментом, связанным с орбитальным движением электронов, приобретает в магнитном поле дополнительную энергию:

E = µlB B, где µlB — проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля B. Поскольку m = 0, ±1, ±2,..., ±l, то ясно, что энергетический уровень расщепля ется на 2l + 1 компонентов (рис. 3.10).

Все это соответствует нормальному (или простому) эффекту Зеемана. Объяс нение его было сделано Г. Лоренцем задолго до введения квантовых чисел l и m.

Рассуждения просты: раз в атоме есть электроны, они как-то движутся и, сле довательно, обладают магнитным моментом, который взаимодействует с внешним магнитным полем. Квантовые числа l и m дали четкие и понятные количественные соотношения.

84 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Рис. 3.10 – Расщепление энергетических уровней в магнитном поле (нормальный эффект Зеемана) 3.13.2 Аномальный эффект Зеемана.................................................................

При использовании более чувствительной аппаратуры уже в от носительно слабых магнитных полях было обнаружено большее число линий, чем это следовало из простого эффекта Зеемана.

Такая структура линий была названа тонкой структурой, а сам эффект — аномальным эффектом Зеемана.

.................................................................

Он не был объяснен до тех пор, пока в науку не было введено понятие спи на. Как было отмечено в разделе 3.11, тонкая структура есть следствие спин орбитального взаимодействия. Спин-орбитальное взаимодействие существует все гда, т. е. и в отсутствие внешнего магнитного поля;

магнитное поле нужно для выявления этого взаимодействия. Обычно природу аномального эффекта Зеема на иллюстрируют на примере тонкой структуры знаменитого дублета натрия. На рис. 3.11 показана тонкая структура дублета натрия при B = 0 и при включении магнитного поля.

Число состояний тонкой структуры определяется числом возможных значений mJ : при l = 0 (s-состояние) J = 1/2;

при l = 1 (p-состояние) J = 3/2 и 1/2. При включении магнитного поля каждое из этих состояний расщепляется на такое число новых состояний, сколько возможно значений mJ : mJ = ±J, ±(J 1), ±(J 2),....

Поэтому состояние 3p3/2 расщепляется на четыре состояния, а состояния 3p1/ и 3s1/2 — только на два состояния — в соответствии с числом возможных проекций.

Число спектральных линий тонкой структуры определяется правилом отбора: J = = 0, ±1. Поэтому линия 5096 A расщепляется на четыре линии, а линия 5090 A — на шесть — по числу возможных переходов.

3.14 Примеры решения задач Рис. 3.11 – Расщепление энергетических уровней натрия в магнитном поле (аномальный эффект Зеемана) 3.14 Примеры решения задач...........................................

Пример 3. Пси-функция основного состояния водородного атома имеет вид = Aer/r0, где r0 — радиус первой боровской орбиты. Найти:

а) значение константы A;

б) плотность вероятности r нахождения электрона на расстоянии r от ядра;

в) наиболее вероятное расстояние rвep электрона от ядра;

г) среднее расстояние r электрона от ядра;

д) среднее значение потенциальной энергии электрона U;

е) вероятность P того, что электрон находится на расстоянии от ядра, превы шающем r0 ( — некоторое число).

Решение:

а) Константу A найдём из условия нормировки вероятностей:

dV = 1.

(3.41) 86 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике В качестве объёма dV следует взять сферический слой толщиной dr на рассто янии r от ядра. Тогда dV = 4r2 dr и условие (3.41) запишется в виде:

+ 4r dr = 1, 2 + 2r 4 A r2 e dr = 1.

(3.42) r Известно, что интеграл:

r2 2r r2 ear dr = ear ( 2 + 3 ) + const aa a (см. приложение A).

В нашем случае r изменяется от 0 до +, значение a = 2/r0, поэтому:

+ 2r r r e dr =.

r Равенство (3.42) запишется в виде:

r 4 A2 = 1.

Таким образом:

A=.

r б) Плотность вероятности r нахождения электрона на расстоянии r от ядра:

dP r =. (3.43) dr Вероятность обнаружить электрон в слое толщиной dr на расстоянии r от ядра:

dP = 4r2 2 dr.

Тогда с учётом (3.43) искомая плотность вероятности:

r = 4r2 2, 4r2 2r r = e r0.

r в) Наиболее вероятное расстояние rвep соответствует максимуму функции r.

Находим производную и приравниваем к нулю:

r 2r 2 2r = (2r e r0 r2 e r0 ), r r r 3.14 Примеры решения задач rвep 1 = 0, r rвep = r0.

г) Среднее расстояние r электрона от ядра находится по известной формуле:

+ r = r 2 dV, где dV — объём шарового слоя толщиной dr: dV = 4r2 dr. Следовательно, + 2r r = 3 r3 e r0 dr. (3.44) r Известно, что интеграл:

3 3r2 6r ar r r e dr = e ( a a2 + a3 a4 ) + const 3 ar (см. приложение A).

В нашем случае r изменяется от 0 до +, значение a = 2/r0, поэтому:

+ 2r r e dr = r0.

3 r По формуле (3.44) находим среднее расстояние r:

4 34 r = r = r0, r0 8 0 r = r0.

д) Потенциальная энергия электрона:

1 e U =.

40 r Среднее значение потенциальной энергии электрона:

e2 U =. (3.45) 40 r Среднее значение 1/r находится по известной формуле:

+ 1 = 2 dV. (3.46) r r Подставив сюда выражения для и dV, получим:

+ 2r 1 = 3 r e r0 dr.

r r 88 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Воспользовавшись приложением, находим значение интеграла:

+ 2r r re dr =.

r Следовательно, 4 r2 = 3 0 =. (3.47) r r0 4 r Подставив выражение (3.47) в выражение (3.45), получим искомое выражение для средней потенциальной энергии:

1 e U =.

40 r е) Определим вероятность P того, что электрон находится на расстоянии от ядра, превышающем r0 :

+ + + 2r 2r 1 P = dV = 4r 3 e r0 dr = 3 r2 e r0 dr = 2 r0 r r0 r0 r r0 r 4 2 r e [(r0 )2 + 2r0 + ] = e2 (22 + 2 + 1).

= 2 r Таким образом:

P = e2 (22 + 2 + 1).

.................................................................................

...........................................

Пример 3. Определить модуль максимальной проекции орбитального магнитного момента электрона в атоме водорода, находящегося в p-состоянии.

Решение:

В соответствии с формулой (3.14) проекция орбитального магнитного момента вычисляется по формуле µz = µБ m. p-состояние соответствует значению l = (рис. 3.7). При l = 1 магнитное квантовое число может принимать значения m = = 0, ±1. Поскольку требуется определить модуль максимальной проекции, берем m = 1.

Тогда µz = µБ 1 = µБ = 9,27 1024 Дж/Тл.

.................................................................................

...........................................

Пример 3. Вычислить максимальный механический момент атома водорода в состоянии с главным квантовым числом n = 4.

3.14 Примеры решения задач Решение:

Если речь идет об атоме, то имеется в виду полный механический (или магнит ный) момент электрона. В атоме водорода (или водородоподобном) момент атома определяется полным моментом одного электрона. Полный механический момент электрона вычисляется по формуле (3.24):

Lj = h j(j + 1).

Максимальное значение при n = 4 l = 3, поэтому:

jmax = l + S = 3 + =.

7 9 h 63 4h 4,2 1034 Дж с.

Lj = h ( + 1) = h = 22 22.................................................................................

...........................................

Пример 3. Вычислить максимальный магнитный момент атома водорода, находящегося в 3p-состоянии.

Решение:

Как и в предыдущей задаче, речь идет о полном магнитном моменте электрона, вычисляемого по формуле (3.29):

µj = g µБ j(j + 1).

Состояние 3p расшифровывается так: n = 3 l = 1. Максимальное значение j при этом условии j = l + S = 1 + 1/2 = 3/2. По формуле (3.28) вычислим фактор Ланде:

33 ( + 1) + ( + 1) 1(1 + 1) 22 g =1+ = 1,33.

2 ( + 1) Итак: µj = 1,33 µБ 3/2(3/2 + 1) = 2,58 µБ = 23,9 1024 Дж/Тл.

.................................................................................

...........................................

Пример 3. Заполненный электронный слой характеризуется главным квантовым числом n = 4. Указать возможное число электронов в этом слое, которые могут иметь одинаковое спиновое ms = 1/2 и магнитное m = 1 квантовые числа.

90 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Решение:

Выпишем возможные значения квантовых чисел в слое с n = 4: l = 0, 1, 2, 3;

m = 0, ±1, ±2, ±3;

ms = ±1/2. При фиксированных значениях m = +1, ms = 1/ возможные отличия только у l: 1, 2, 3. Таким образом, ответ — три электрона:

1) 4, 1, 1, -1/2;

2) 4, 2, 1, -1/2;

3) 4, 3, 1, -1/2.

.................................................................................

...........................................

Пример 3. Атом водорода поглотил фотон и перешел в 7-е возбужденное состояние. Во сколько раз уменьшится полный максимальный момент импульса атома, когда он вернется в основное состояние?

Решение:

В основном состоянии n = 1 l = 0, т. е. орбитальный момент импульса равен нулю. Остается только спиновый момент: j = S = 1/2. Тогда:

11 L1 = h j(j + 1) = h ( + 1) = h.

22 Седьмое возбужденное состояние — это состояние с n = 8. Максимальное зна чение «полного» квантового числа:

j=l+S =7+ = 7,5.

Тогда: L8 = h 7,5(7,5 + 1) = 7,98h.

Итак: L8 /L1 = 7,98h 2/( 3h) = 9,22.

.................................................................................

...........................................

Пример 3. Определить кратность вырождения уровня (число состояний с одинаковой энергией) для водородоподобного иона в состоянии с главным квантовым числом n = 7.

Решение:

Кратность вырождения — то же самое, что максимальное число электронов в слое с заданным n: кратность вырождения равна 2n2 = 2 72 = 98.

.................................................................................

3.14 Примеры решения задач...........................................

Пример 3. В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов серебра (в основном состоянии) проходит через поперечное резко неоднородное магнитное поле и попадает на экран Э (рис. 3.12). При каком значении неоднородности B/z магнитного поля расщепление пучка на экране b= 2,0 мм, если l1 = 10 см, l2 = 20 см и скорость атомов v= 300 м/с.

Рис. 3. Решение:

На атомы серебра действует магнитная сила Fz, прямо пропорциональная сте пени неоднородности магнитного поля:

B Fz = µz. (3.48) z В результате атомы получают ускорение az. Смещение пучка на экране опре деляется формулой:

az t b = 1 + vz t2, (3.49) где t1 – время движения атома в магнитном поле, t2 – время движения атома между магнитом и экраном.

Проекция скорости vz = az t1, поэтому выражение (3.49) можно переписать в виде:

az t b = + az t1 t2.

Времена движения атомов t1 = l1 /v, t2 = l2 /v, следовательно:

l1 l l1 az b = az ( + 2 ) = 2 l1 (l1 + 2l2 ). (3.50) 2 v 2v 2v Учтём, что:

Fz µz B az = =, µz = µБ. (3.51) m m z (Для атомов серебра, находящихся в основном состоянии, проекция магнитного момента на ось Z равна одному магнетону Бора: µz = µБ.) 92 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике Подставим выражения (3.51) в выражение (3.50). Получаем:

µБ B b = l1 (l1 + 2l2 ). (3.52) 2mv2 z Из формулы (3.52) выразим B/z и учтём, что b = b/2:

bmv B =. (3.53) z µБ l1 (l1 + 2l2 ) Подсчитаем массу атома серебра: m = 108 103 /(6,0 1023 ) = 1,8 1025 кг.

Подставим числовые значения в формулу (3.53):

2,0 103 1,8 1025 3002 Тл B = = 70.

z 9,27 10 24 0,10 (0,10 + 2 0,20) м.................................................................................

3.15 Задачи для самостоятельного решения 3.1 Пси-функция некоторой частицы имеет вид: = A exp(r/a)/r, где r — расстояние частицы от силового центра, a — константа. Найти:

а) значение константы A;

б) среднее расстояние r частицы от центра.

3. а) Какой наименьший момент импульса Lmin встречается в природе?

б) Перечислить «объекты», обладающие таким моментом.

в) Вычислить момент импульса L Земли, обусловленный её вращением вокруг своей оси. Выразить этот момент в единицах h.

3.3 Электрон в атоме водорода находится в f -состоянии. Найти:

а) орбитальный и максимальный полный механический моменты импульса электрона;

б) орбитальный и максимальный полный магнитный моменты электрона.

3.4 Заполненный электронный слой характеризуется квантовым числом n = 3.

Указать число N электронов в этом слое, которые имеют одинаковое спиновое ms = +1/2 квантовое число.

3.5 Узкий пучок атомов серебра при прохождении неоднородного (B/z = = 1,0 кТл/м) магнитного поля протяжённостью l1 = 4,0 см расщепился на два пучка. Экран для наблюдения удалён от границы магнитного поля на расстояние l2 = 10 см (рис. 3.12). Определить (в магнетонах Бора) проекции µjz магнитного момента атома на направление вектора магнитной индукции, если расстояние b между компонентами расщеплённого пучка на экране равно 2,0 мм и атомы серебра обладают скоростью v = 500 м/с.

Глава КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Особенности выполнения контрольной работы 1) Перед выполнением контрольной работы тщательно изучите теоретический материал и познакомьтесь с решением типовых задач.

2) Выполняйте только свой вариант, определяемый по общим правилам.

3) Записав условие задачи, приведите её полное решение, не опуская проме жуточных выкладок.

4) Решение задачи приводите в общем виде. Получив конечную формулу, подставляйте числовые данные, соблюдая размерности входящих в общую формулу величин.

Вариант 1) Найти дебройлевскую длину волны молекул кислорода, соответствующую их средней скорости при T= 300 К.

2) Частица массой m = 1,67 1027 кг находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. При какой ширине ямы энергия мик рочастицы на 3-м энергетическом уровне равна энергии электрона в атоме водорода в состоянии с главным квантовым числом n = 3?

3) Электрон с энергией E = 9,0 эВ движется в положительном направлении оси X. Оценить вероятность того, что электрон пройдёт через потенциальный барьер, если его высота U0 = 10 эВ и ширина d = 0,10 нм (рис. 2.14).

4) Заполненный электронный слой характеризуется главным квантовым чис лом n = 3. Указать максимальное число электронов в этом слое, которые имеют одинаковое спиновое ms = +1/2 и орбитальное l = 2 квантовые числа.

94 Глава 4. Контрольная работа 5) Атомы серебра, обладающие скоростью v = 0,60 км/с, пропускаются через узкую щель и направляются перпендикулярно линиям индукции неодно родного магнитного поля (опыт Штерна и Герлаха). В поле протяжённостью l = 6,0 см пучок расщепляется на два. Определить степень неоднородности B/z магнитного поля, при которой расстояние b0 между компонентами расщеплённого пучка по выходе его из поля равно 3,0 мм. Атомы серебра находятся в основном состоянии.

Вариант 1) При увеличении энергии электрона на Eк = 200 эВ его дебройлевская длина волны изменилась в = 2,0 раза. Найти первоначальную длину волны электрона.

2) При движении броуновской частицы массой m = 1013 г её скорость оказы вается определённой с точностью vx = 1 см/с. Оценить неопределённость координаты x этой частицы. Правую часть соотношения неопределённо стей принять равной h.

3) Частица находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно высо кими стенками. -функция имеет вид, показанный на рисунке 4.1. Найти вероятность пребывания частицы в области 0 x l/4.

Рис. 4. 4) Вычислить момент импульса L орбитального движения электрона, находя щегося в атоме: 1) в s-состоянии;

2) в p-состоянии.

5) Пси-функция основного состояния водородного атома имеет вид r e r =, r0 где r0 — радиус первой боровской орбиты. Вычислить вероятность того, что электрон в основном состоянии атома водорода находится от ядра на расстоянии, превышающем значение r0.

Вариант 1) Тепловые нейтроны находятся в тепловом равновесии со средой при ком натной температуре. В этом случае kT = 0,025 эВ, где k — постоянная Больц мана, T — температура. Определить длину волны де Бройля теплового ней трона. Массу нейтрона принять равной 1,67 1027 кг.

2) Исходя из того, что радиус атома водорода r имеет величину порядка 0,1 нм, оценить скорость движения электрона в атоме. Правую часть соотношения неопределённостей принять равной h.

3) Вычислить отношение вероятностей P1 /P2 нахождения электрона на пер вом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудалённом от стенок одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы ширины l.

4) Используя принцип Паули, указать, какое максимальное число Nmax элек тронов в атоме могут иметь одинаковыми следующие квантовые числа:

1) n, l, m, ms ;

2) n, l, m;

3) n, l;

4) n.

5) Найти вероятность прохождения электрона с энергией E = 7,8 эВ сквозь потенциальный барьер ширины l = 0,20 нм, показанный на рисунке 4.2.

Высота барьера U0 = 10 эВ.

Рис. 4. Вариант 1) Поток летящих параллельно друг другу электронов, имеющих скорость v = = 1,0 106 м/с, проходит через щель шириной b = 0,10 мм (рисунок 4.3).

Найти ширину x центрального дифракционного максимума, наблюдаемо го на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 10 см. Сравнить x с шириной щели b (найти отношение x/b).



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.