авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5.1 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» ...»

-- [ Страница 2 ] --

n-го порядка Рассмотрим линейный дифференциальный оператор dn d n 1 d n2 d p n ( x )[ ], (22) Ln [ ] p1 ( x ) p2 ( x )... p n 1 ( x ) n n 1 n 1 dx dx dx dx n n определённый на множестве функций из класса Ca,b, то есть для любой функции y ( x) Ca,b на промежутке a, b d n y( x) d n 1 y ( x) d n2 y( x)... p n ( x ) y ( x ).

Ln [ y ( x )] p1 ( x ) p2 ( x ) n n 1 n dx dx dx При этом предполагается, что все функции pi ( x)(i 1,2,..., n) - непрерывны для x a, b.

Перечислим свойства оператора Ln [] :

n 1) R y ( x ) C a,b : Ln [y ( x )] L[ y ( x )];

k k 2) y ( x ), y ( x ),..., y ( x ) C n a,b : Ln yi ( x ) Ln [ yi ( x )] ;

1 2 k i 1 i k 3),,..., R y ( x ), y ( x ),..., y ( x ) C n : Ln i yi ( x ) 12 k 1 2 k a,b i 1 k.

i Ln [ yi ( x )] i Линейная зависимость и независимость функций.

Определение 13. Система функций y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x ), определённых на промежутке a, b, называется линейно зависимой на этом промежутке, если n n. (23) 1, 2,..., n R, i2 0 x a, b : i yi ( x ) i 1 i Если же последнее тождество в (23) имеет место лишь в случае, когда все постоянные i (i 1,2,..., n) одновременно равны нулю, то система функций y1( x), y2 ( x),..., yn ( x ) называется линейно независимой на a, b.

Пример 1. Система функций 1, x, x 2,..., x n является линейно независимой в любом интерва ле (a, b) R. В самом деле, соотношение 0 1 1 x 2 x 2... n x n 0, в котором не все i R (i 0,1,2,..., n) равны нулю, не может выполняться тождественно, ибо оно n-ой степени с вещественными коэффициентами и определяет собой алгебраическое уравнение n вещественных корней.

поэтому не может иметь более чем Пример 2. Система функций e 1x, e 2 x,..., e n x, где все i (i 1, n) вещественные и различ ные, является линейно независимой в любом интервале (a, b) R. Действительно, предположим противное, то есть n n 1, 2,..., n R, i2 0 x (a, b): i e i x 0. (24) i 1 i Пусть, для определенности, n 0. Разделим обе части тождества в (24) на e1 x 0 и про дифференцируем по x. Получим тождество n i ( i 1 )e ( i 1 ) x 0. (25) i x.

Разделим обе части тождества (25) на e( 2 1 ) x 0 и продифференцируем по Получим тождество n i ( i 1 )( i 2 )e( i 2 ) x 0.

i Рассуждая аналогично, приходим после (n 1) -го шага к тождеству n ( n 1 )( n 2 ) ( n n 1 )e ( n n 1 ) x 0, из которого, в силу различности всех i, следует n 0, что противоречит предположению. От сюда следует утверждение примера 2.

y1 ( x),..., ym ( x) Теорема 2. Если некоторая непустая подсистема системы функций y1 ( x),..., yn ( x) (n m) линейно зависима на промежутке a, b, то и сама система линейно за висима на этом промежутке.

Доказать самостоятельно.

Следствие. Если одна из функций системы y1 ( x ),..., yn ( x ), определённых на промежутке a, b, тождественно равна нулю на этом промежутке, о такая система функций линейно зависи ма на a, b.

Определение 14. Определитель y1 ( x ) y2 ( x )............ yn ( x) ' ' ' y1 ( x ) y2 ( x )............ yn ( x) (26) W[ y1 ( x ),..., yn ( x )] W ( x )..................................

y1n 1) ( x) y2n 1) ( x )... ynn 1) ( x ) ( ( ( называется определителем Вронского для системы функций y1 ( x),..., y n ( x), непрерывно дифферен цируемых до (n 1) -го порядка включительно на промежутке a, b.

Теорема 3. Если система функций y1 ( x ),..., yn ( x ), yi ( x ) C a,1b, (i 1, n) линейно зависима на n a, b, то x a, b : W ( x) 0.

Доказательство. По условию теоремы n n 0 x a, b : i yi ( x ) 0 (27) 1, 2,..., n R, i i 1 i x до (n 1) -го порядка включительно. Получим Продифференцируем тождество в (27) по систему тождеств 1 y1 ( x ) y2 ( x )............... yn ( x ) 2 n ' ' ' (28) 1 y1 ( x ) 2 y2 ( x )............... n yn ( x )...............................................................

1 y ( n 1) ( x ) y ( n 1) ( x )... ynn 1) ( x ) 0.

( 22 n Система (28) является однородной алгебраической системой тождеств относительно n i 0, то x a, b : W ( x) 0. Теорема 1, 2,..., n с определителем W (x). Так как i 3 доказана.

n y1 ( x ),..., yn ( x ), yi ( x ) C a,1b (i 1, n) Следствие. Система функций линейно незави сима на промежутке a, b, если x0 a, b : W ( x0 ) 0.

n-го порядка с непрерывными коэффициентами.

5.11 ЛООДУ Рассмотрим уравнение y ( n) p1 ( x ) y ( n 1) p2 ( x ) y ( n 2)... pn 1 ( x ) y ' pn ( x ) y 0, (19) где функции pi ( x)(i 1, n) - непрерывные в промежутке x a, b.

Лемма 1. Если функции yi ( x)(i 1, m) являются решениями уравнения (19), то любая их линейная комбинация y( x) 1 y1 ( x) 2 y2 ( x)... m ym ( x), (20) где i (i 1, m) - произвольные вещественные числа, также будет решением ЛООДУ (19).

Доказательство непосредственно следует из свойства 3 линейного дифференциального опе n-го порядка.

ратора Теорема 4. Если функции yi ( x)(i 1, n) являются решениями ЛООДУ (19) на промежутке a, b, то следующие утверждения эквивалентны:

1) x a, b : W [ y1 ( x ),..., yn ( x )] 0;

2) x0 a, b : W ( x0 ) 0;

3) система функций y1 ( x),..., yn ( x ) линейно зависима на промежутке a, b.

Доказательство. Для доказательства теоремы 4 достаточно показать, что из 1) следует 2), из 2) следует 3), из 3) следует 1).

а) соотношение 1)2) - очевидно;

б) покажем, что 2)3). Рассмотрим линейную однородную алгебраическую систему 1 y1 ( x0 ) 2 y2 ( x0 )................. n yn ( x0 ) y ' ( x ) y ' ( x )................. y ' ( x ) 11 0 (30) nn 22....................................................................

1 y1n 1) ( x0 ) 2 y2n 1) ( x0 )... n ynn 1) ( x0 ) ( ( ( n n неизвестными 1, 2,..., n R. Так как определитель этой системы уравнений с n W ( x0 ) 0, то система (30) имеет хотя бы одно ненулевое решение (10, 2,..., n ), ( i0 ) 2 0.

0 i Из леммы 1 и равенств (30) следует, что функция n y ( x) i0 yi ( x) i является решением ЛООДУ (19) на промежутке a, b и удовлетворяет при x x0 a, b ну левым начальным условиям (21). Но единственным решением ЛООДУ (19) на промежутке a, b с начальными условиями (21), согласно замечанию 2 п.1, является тривиальное решение y ( x) 0.

Отсюда следует, что n x a, b : i0 yi ( x) 0, i 1 n y1 ( x),..., yn ( x) ( ) 0, то есть система функций где линейно зависима на промежутке i i a, b. в) соотношение 3)1) вытекает из теоремы 3 п.2. Теорема 4 доказана.

y1 ( x),..., yn ( x) Следствие. Если система решений ЛООДУ (19) линейно независима на промежутке a, b, то x a, b : W ( x) 0.

n решений y1 ( x),..., yn ( x ) ЛООДУ (19), линейно незави Определение 15. Любая система симая на промежутке a, b, называется фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (19) на этом промежутке.

Пример 3. Уравнение y '' y 0 имеет частные решения y1 ( x ) e x и y 2 ( x) e x на проме жутке (,). Так как система функций e x, e x линейно независима (см. пример 2 п. 2) на про межутке (,), то она представляет собой ФСР данного уравнения на этом промежутке.

n решений y1 ( x),..., yn ( x ) ЛООДУ (19) на промежут Теорема 5. Для того, чтобы система ке a, b являлась ФСР уравнения (19) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского W [ y1 ( x),..., yn ( x)] не равнялся нулю хотя бы в одной точке x0 a, b.

Доказательство. Необходимость следует из определения 15 и следствия из теоремы 4. Дос таточность следует из определения 15 и следствия из теоремы 3.

Теорема 6. ЛООДУ (19) с непрерывными на промежутке a, b коэффициентами всегда имеет ФСР на этом промежутке.

Доказательство. Выберем произвольную числовую матрицу a11 a12.......... a1n a21 a22......... a2n An n........................

an1 an 2......... ann n задач Коши с начальными условиями:

с определителем det Ann 0 и поставим для ЛООДУ (19) при x x0 a, b y ( x0 ) a1n y ( x0 ) a y ( x0 ) a ' ' ' 1) y ( x0 ) a21 2) y ( x0 ) a22....... y ( x0 ) a2 n n)......................

......................

......................

y ( n 1) ( x0 ) ann.

y ( n 1) ( x0 ) an y ( n 1) ( x0 ) an1 По теореме 1 каждая из поставленных задач имеет единственное решение на промежутке a, b. Обозначим эти решения соответственно y1 ( x),..., yn ( x ) и составим определитель Вронско го для этих решений в точке x0 a, b, который совпадает с det Ann 0. Из теоремы 5 получаем, y1 ( x),..., yn ( x) что найденная система решений является ФСР ЛООДУ (19) на промежутке a, b. Теорема 6 доказана.

Теорема 7. Пусть система решений y1 ( x),..., yn ( x) ЛООДУ (19) является ФСР этого урав нения на промежутке a, b, тогда общее решение ЛООДУ (19) на a, b имеет вид y ( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)... Cn yn ( x), (31) где C1, C 2,..., Cn - произвольные постоянные.

Доказательство. Так как любое решение ЛООДУ (19) на промежутке a, b является ча стным, то достаточно показать, что всякое решение y0 ( x ) задачи Коши для уравнения (19) с на чальными условиями x x0 a, b, y0 ( x0 ) y0 R, y0 ( x0 ) y0 R,..., y0n 1) ( x0 ) y0n 1) R ' ' ( ( задаётся формулой (31). Составим линейную алгебраическую систему C1 y1 ( x0 ) C2 y2 ( x0 )....................... Cn yn ( x0 ) y C y ' ( x ) C y ' ( x )....................... C y ' ( x ) y ' (32) 11 0 22 0 nn 0.............................................................................

C1 y1n 1) ( x0 ) C2 y2n 1) ( x0 )..... Cn ynn 1) ( x0 ) y0n 1).

( ( ( ( Поскольку определитель этой системы является определителем Вронского для функций y1 ( x),..., yn ( x ), являющихся линейно независимыми на промежутке a, b, то он отличен от нуля в любой точке этого промежутка. Следовательно, система (32) имеет единственное решение C10, C2,..., Cn. Тогда 0 x a, b : y0 ( x) C10 y1 ( x) C20 y2 ( x)... Cn0 yn ( x). (33) Действительно, слева и справа в тождестве (33) стоят решения ЛООДУ (19), начальные ус ловия которых при x x0 a, b совпадают. Согласно теореме 1 о существовании и единствен ности решения задачи Коши для уравнения (19) с начальными условиями (32) левая и правая части в (33) совпадают на всём промежутке a, b, то есть имеет место (33). Теорема 7 доказана.

n Следствие. ЛООДУ (19) не может содержать более чем линейно независимых решений на промежутке a, b.

Теорема 8. Если уравнения y ( n ) p1 ( x ) y ( n 1)... pn 1 ( x ) y ' pn ( x ) y 0 (19) y ( n ) q1 ( x ) y ( n 1)... qn 1 ( x ) y ' qn ( x ) y 0, (34) с непрерывными на промежутке a, b коэффициентами pi ( x),qi ( x ) (i 1, n), имеют общую ФСР y1 ( x),..., yn ( x ) на этом промежутке, тогда i 1, n x a, b : p ( x) q ( x).

i i Доказательство. Подставляя решения yi ( x)(i 1, n) из ФСР в уравнения (19) и (34) и вычи тая почленно полученные тождества, получим p1 ( x) q1 ( x) yi( n1) ( x)... pn ( x) qn ( x) yi ( x) 0. (35) Если предположить, что x0 a, b : p1 ( x0 ) q ( x0 ), то, в силу непрерывности функций p1 ( x ),q1 ( x), (a1, b1 ) a, b,x0 (a1, b1 ) x (a1, b1 ) : p1 ( x) q1 ( x).

p1 ( x) q1 ( x), считая x (a1, b1 ). Тогда для всех Разделим обе части тождества (35) на x (a1, b1 ) получим тождество p2 ( x ) q2 ( x) ( n 2) p ( x ) qn ( x ) yi( n1) ( x) yi ( x )... n yi ( x ) 0, p1 ( x ) q1 ( x ) p1 ( x ) q1 ( x) которое показывает, что ЛООДУ (n 1) -го порядка p2 ( x ) q2 ( x) ( n 2 ) p ( x) qn ( x ) y ( n1)... n y y p1 ( x ) q1 ( x ) p1 ( x) q1 ( x ) с непрерывными в интервале (a1, b1 ) коэффициентами имеет n линейно независимых на этом ин тервале решений yi ( x)(i 1, n), что противоречит следствию из теоремы 7. Отсюда получаем, что i 2, n x a, b : p ( x) q ( x). Тео x a, b : p1 ( x) q1 ( x). Рассуждая аналогично, получим i i рема 8 доказана.

Следствие. Если на промежутке a, b задана линейно независимая система n функций y1 ( x),..., yn ( x) из класса n Ca,b, то можно построить ЛООДУ n -го порядка вида (19) с непрерыв ными на некотором интервале (a1, b1 ) a, b коэффициентами, для которого данная система функций будет ФСР на интервале (a1, b1 ). В самом деле, так как система функций y1 ( x),..., yn ( x ) линейно независима на промежутке a, b, то, согласно следствия из теоремы 3 п.2, x0 a, b : W [ y1 ( x0 ),..., yn ( x0 )] 0. В силу непрерывности функции W [ y1 ( x),..., yn ( x)] на a, b, получаем, что (a1, b1 ) a, b,x0 (a1, b1 )x (a1, b1 ) : W [ y1 ( x),..., yn ( x)] 0.

n-го порядка вида (19) с требуемыми условиями построено и Предположим, что ЛООДУ y y (x ) - любое его решение на интервале (a1, b1 ). Тогда согласно следствия из теоремы 7 и из теоремы 3 п.2 следует, что x (a1, b1 ) : W [ y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x ), y ( x )] 0, то есть y1 ( x ) y2 ( x )............... yn ( x ) y ( x ) y1 ( x ) y2 ( x )............... yn ( x ) y ' ( x ) ' ' ' W[ y1 ( x ),..., yn ( x ), y ( x )] 0.

.........................................

y1n ) ( x ) y2n ) ( x )..... ynn ) ( x ) y ( n ) ( x ) ( ( ( Разлагая этот определитель по элементам последнего столбца, получим уравнение y1 y2............. yn y1 y2............. yn ' ' ' y1 y2............. yn ' ' ' y1 y2............. yn y ( n) y (n 1)...............................

............................

y1n 2) y2n 2 )... ynn 2) ( ( ( ( n 1) ( n 1) ( n 1) y1 y2... yn y1n ) y2n)....... ynn ) ( ( ( ' ' ' y1 y2.......... yn (36) '' '' '' y1 y2.......... yn... ( 1) n y......................

y1n ) y2n )....... ynn) ( ( ( Коэффициент при y (n) является определителем Вронского W [ y1,..., yn ], отличным от нуля для всех значений x a1, b1. Обозначим определитель при y ( n1) через K (x) и разделим обе части уравнения (36) на функцию W [ y1,..., yn ] 0. Получим ЛООДУ n -го порядка с непрерывными на промежутке a1, b1 a, b коэффициентами, для которого система функций y1 ( x),..., y n ( x) яв ляется ФСР на a1,b1.

Пример 4. Построим ЛООДУ 2-го порядка, для которого система функций, x 2 является ФСР на соответствующем промежутке a1,b1. Составим определитель Вронского x 2 x 0 x 0.

W [1, x ] 0 2x Таким образом, в интервалах x (,0) и x (0,) определитель Вронского W [1, x 2 ] 0. Со ставляя уравнение W [1, x 2, y( x)] 0 и производя деление обеих его частей на функцию W [1, x 2 ] 2 x 0, получим ЛООДУ 2-го порядка y '' 1 y ' 0 с непрерывными в интервалах (,0),(0,) коэффи x циентами, для которого система функций, x 2 будет ФСР.

n-го Теорема 9. (Лиувилля-Остроградского) Если система решений y1( x),..., yn ( x) ЛООДУ порядка y ( n) p1 ( x) y ( n 1) p2 ( x) y ( n 2)... pn 1 ( x) y ' pn ( x ) y 0 (19) является ФСР этого уравнения на промежутке a, b, то для всех x a, b имеют место равен ства W [ y1 ( x),..., y n ( x)] Ce p1 ( x ) dx, (37) x p1 ( x ) dx x W [ y1 ( x),..., y n ( x )] W [ y1 ( x0 ),..., yn ( x0 )] e, (38) C - произвольная постоянная.

где Доказательство. Так как система функций y1 ( x),..., yn ( x ) является ФСР уравнения (19) на a, b, то из теоремы 8 и следствия из этой теоремы вытекает, что промежутке K ( x) p1 ( x ), где W [ y1 ( x),..., yn ( x)] y1 ( x) y2 ( x)............... yn ( x) y1, ( x) y2 ( x )............... yn ( x),, d (39).................................... W [ y1 ( x),..., yn ( x)] K ( x) dx y1( n 2) ( x ) y2n 2) ( x)... ynn 2) ( x) ( ( y1( n ) ( x ) y2n ) ( x)............ ynn ) ( x) ( ( Последнее равенство в (39) следует из формулы дифференцирования функционального оп ределителя. Отсюда получаем уравнение для определения W [ y1 ( x),..., y n ( x)] dW [ y1 ( x),..., yn ( x)] p1 ( x )dx, W [ y1 ( x),..., y n ( x)] которое после интегрирования (неопределенного или от x0 до x из a, b ) даёт формулы (37) и (38). Теорема 9 доказана.

Следствие. Теорема Лиувилля-Остроградского имеет непосредственное применение для нахождения общего решения ЛООДУ 2-го порядка y '' p1 ( x ) y ' p2 ( x ) y 0 (40) с непрерывными на промежутке a, b коэффициентами, если известно одно его частное реше ние y y1 ( x) 0 на a, b. Пусть y y (x ) - любое другое решение уравнения (40) такое, что y ( x) const на промежутке a, b. Тогда, согласно теоремы 9, получаем y1 ( x) y1 ( x ) y ( x) C1 e p1 ( x ) dx W[ y1 ( x ), y ( x )] ' ' y1 ( x ) y ( x) или y1 ( x ) y ' ( x ) y1 ( x) y( x ) C1 e p1 ( x )dx.

' (41) Разделим обе части равенства (41) на функцию y12 ( x) 0, получим e p1 ( x ) dx.

y1 ( x) y ' ( x ) y1 ( x ) y ( x ) ' d y ( x) C 2 dx y1 ( x) y1 ( x ) y1 ( x ) Отсюда получаем общее решение ЛООДУ (40) в виде:

C y y1 ( x ) 2 1 e p1 ( x ) dx dx C2, (42) y1 ( x ) где C1,C2 - произвольные постоянные.

Пример 5. Найдём общее решение уравнения xy,, xy, y 0, (43) y x.

если известно его частное решение Приведем уравнение (43) к канонической форме ЛООДУ 2-го порядка, разделив обе части (43) на функцию x 0 в интервалах (,0),(0,), y,, y, y0 (44) x и применим формулу (42), где p1 ( x) 1. Получим общее решение ЛООДУ (44) в интервалах (,0),(0,) ex dx C2 x, y C1 x (45) x где C1,C2 - произвольные постоянные.

n-го порядка с постоянными коэффициентами.

5.12 ЛООДУ 1. Операторные многочлены и их свойства. Рассмотрим линейный диф-ференциальный n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами оператор Ln [] ai (i 1, n) d n [] d n1[] d n2 [] d [] Ln [] a1 n1 a2 n2... an1 an [], (1) n dx dx dx dx определённый на классе функций y ( x) C(n, ).

Обозначим d2 dn d D, 2 D 2,... n D n dx dx dx Определение 1. Выражение n M ( D) D n a1 D n1 a2 D n 2... an 1D an ak D n k (2) k назовём операторным многочленом, определённом на множестве функций y ( x) C(n, ), то есть x для всех вещественных справедливо тождество n Ln [ y ( x )] M ( D) y ( x ) ak D nk y ( x),(a0 1).

k Перечислим свойства операторного многочлена:

Свойство 1.

y ( x) C y ( x) C, C:

n n 1 2 1 R R : M ( D )(1 y1 ( x ) 2 y2 ( x)) 1M ( D ) y1 ( x) 2 M ( D) y2 ( x) (3) n-го поряд Равенство (3) следует из свойства 3) линейного дифференциального оператора ка.

Определение 2. Определим операции сложения и умножения операторных многочленов посредством следующих равенств:

y( x) C : M ( D) M (D)y( x) M ( D) y( x) M (D) y( x) ;

n (4) 1 2 1 R y( x) C : M (D) M (D)y( x) M ( D)M (D) y( x).

n (5) 1 2 1 R Свойство 2. Операция сложения операторных многочленов, определяемая равенством (4), обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.

Это свойство следует из определения 1.

Свойство 3. Операция умножения операторных многочленов, определяемая равенством (5), обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.

Доказательство. Покажем коммутативность операции умножения:

n m M 1 ( D) M 2 ( D)y( x) ak D n k bi D mi y( x) k 0 i 0 n m nm ak D n k bi D m i y ( x) ak bi D n m k i y ( x ) k 0 i 0 k 0 i m n bi D m i ak D n k y ( x) M 2 ( D) M 1 ( D )y ( x).

i0 k 0 Ассоциативность следует из равенств:

M 1 ( D) M 2 ( D) M 3 ( D)y( x) M 1 ( D) M 2 ( D)M 3 ( D) y ( x) M 1 ( D )M 2 ( D) M 3 ( D ) y ( x) M 1 ( D ) M 2 ( D ) M 3 ( D ) y ( x).

Свойство 4. Для операторных многочленов справедлив дистрибутивный закон:

M 1 ( D) M 2 ( D) M 3 ( D) y( x) M 1 ( D) M 2 ( D) M 1 ( D) M 3 ( D)y( x).

Доказательство. M 1 ( D ) M 2 ( D) M 3 ( D ) y ( x ) M 1 ( D)M 2 ( D ) M 3 ( D) y ( x) M 1 ( D)M 2 ( D ) y ( x) M 3 ( D ) y ( x ) M 1 ( D)M 2 ( D ) y ( x ) M 1 ( D)M 3 ( D ) y ( x ) M 1 ( D ) M 2 ( D)y ( x ) M 1 ( D ) M 3 ( D )y ( x) M 1 ( D ) M 2 ( D ) M 1 ( D ) M 3 ( D)y ( x ).

Из свойств 1-4 следует, что действия над операторными многочленами подчиняются тем же законам, что и действия над обычными многочленами над полем комплексных чисел.

Составим обычный алгебраический многочлен переменной M ( ) n a1n 1 a2 n 2... an1 an, (6) где все ai (i 1, n) - действительные числа.

Определение 3. Многочлен (6) будем называть характеристическим многочленом ЛООДУ с постоянными коэффициентами M ( D) y D n y a1 D n1 y a2 D n 2 y... an 1 Dy an y 0. (7) Пусть 1, 2,..., k - корни многочлена (6) кратностей m1, m2,..., mk соответственно. Тогда, согласно основной теоремы алгебры, имеем равенства m1 m2... mk n ;

M ( ) ( 1 )m1 ( 2 )m2 ( k ) mk. (8) Так как действия над операторными многочленами подчиняются тем же правилам, что и действия над обычными многочленами, то имеет место равенство M ( D) ( D 1 ) m1 ( D 2 ) m2 ( D k ) mk. (9) Используя формулу (9), запишем ЛООДУ (7) в виде M ( D) y ( D 1 ) m1 ( D 2 ) m2 ( D k ) mk y 0. (10) Лемма 3. Для операторных многочленов справедливы равенства:

1) M ( D)e x e x M ( );

2) M ( D 2 ) cos x M ( 2 ) cos x ;

3) M ( D 2 ) sin x M ( 2 ) sin x ;

4) M ( D) e x y ( x) e x M ( D ) y ( x) - формула смещения.

Доказательство.

n n n 1) M ( D)ex ak D n k e x ak e x nk e x ak n k e x M ( ) ;

k 0 k 0 k n n 2) M ( D 2 ) cos x ak D 2( n k ) cos x ak D 2 D 2 D 2 cos x k 0 k n a 2 n k cos x M ( 2 ) cos x ;

k k 3) аналогично как и в 2);

n n n k (i ) 4) M ( D) e x y ( x) ak D nk ex y ( x) ak Cn k e x i k 0 k 0 i n n k n ( n k i ) y( x) ak Cn k ex i D nk i y ( x) e x ak ( D ) nk y ( x) e x M ( D ) y ( x).

i k 0 i 0 k Пример 1. Применить формулу смещения в случае, когда операторный многочлен имеет вид M ( D) D 1, а число 1.

D 12 e x y ( x) e x D 2 y( x) e x yx,, ( x). n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае, Вид общего решения ЛООДУ когда все корни характеристического уравнения простые.

Пусть все корни 1, 2,..., n характеристического уравнения M ( ) n a1n1 a2 n 2... an1 an 0 (11) попарно различны. Тогда функции y1 ( x) e 1 x, y2 ( x) e2 x,..., yn ( x) e n x (12) являются решениями ЛООДУ (7). В самом деле, подставляя функции y e k x, (k 1, n) в уравнение (7) и используя лемму 3, получим тождества M (k ) 0, что и требовалось доказать. Так как сис тема функций (12) с попарно различными k, (k 1, n) линейно независима на интервале (,), то она будет ФСР уравнения (7) и поэтому общее решение ЛООДУ (7) имеет вид:

n y ( x) Ci e i x, (12) i где Ci (i 1, n) - произвольные постоянные.

Заметим, что формула (12) справедлива как в случае действительных, так и в случае ком плексных корней характеристического уравнения (11). Так, если имеется только одна пара ком n плексно сопряжённых корней, например, 1 i,2 i, то соответствующая система линейно независимых на интервале (,) вещественных решений ЛООДУ (7) имеет вид:

1 ( x ) 1 e x 1 e x ex cos x ;

1 2 2 ( x) 1 e x 1 e x ex sin x ;

1 2 3 ( x ) e x ;

(13)...........

n ( x) e x.

n Действительно, матрица перехода от системы (12) линейно независимых на интервале (,) решений ЛООДУ (7) к системе решений (13) является невырожденной и поэтому систе ма решений (13) также линейно независима на интервале (,). Таким образом, общее реше ние ЛООДУ (7) в действительной форме имеет вид:

y ( x) C1ex cos x C2 ex sin x C3 e 3 x... Cn e n x, (14) где Ci,(i 1, n) - произвольные постоянные.

Аналогичная ситуация возникает и в случае наличия нескольких пар комплексно сопря женных корней.

n-го порядка с постоянными коэффициентами при на Вид общего решения ЛООДУ личии кратных корней у характеристического уравнения.

Пусть характеристическое уравнение (11) имеет k различных корней i, (i 1, k ) кратно стей mi,(i 1, k ) соответственно. Тогда операторный многочлен имеет вид (10). Так как множите ли ( D i ) mi,(i 1, k ) в (10) обладают свойством коммутативности, то в случае выполнения тожде ства ( D i ) mi y ( x ) 0, будет иметь место тождество ( D 1 ) m1 ( D i 1 )mi 1 ( D i 1 )mi 1 ( D k ) mk ( D i )mi y ( x) 0, то есть все решения каж дого из уравнений ( D i ) mi y 0,(i 1, k ) (15) являются решениями ЛООДУ (7).

Аналогично, в силу коммутативности операторов ( D i ) в (15), имеем ( D i ) mi 1 ( D i ) y 0, то есть решения уравнений ( D i ) y 0,(i 1, k ) (16) являются решениями уравнений (15). Но каждое уравнение (16) имеет решение y ( x) e i x. Пока жем, что функции y ( x) x s e i x,( s 0,1,2,..., mi 1) являются решениями уравнений (15). В самом деле, подставим эти функции в (15) и получим тождества ( D i ) mi ( x s ei x ) e i x D mi x s 0.

Таким образом, каждому корню i (i 1, k ) кратности mi соответствует mi решений y1 ( x) e i x, y2 ( x ) xe i x,..., ymi ( x) x mi 1ei x (17) уравнения (7). Система n решений (7), где i 1, k, линейно независима на интервале (,) по теореме 14 о квазиполиномах и поэтому будет ФСР ЛООДУ (7) на этом интервале. Отсюда полу чаем общее решение ЛООДУ (7) в случае наличия кратных корней у характеристического уравне ния (11) k y ( x) Pms 1 ( x )e s x, (18) s где полиномы Pms 1 ( x ) имеют произвольные коэффициенты.

Заметим, что если среди корней характеристического уравнения (11) есть кратные ком плексные корни, то при необходимости получения фундаментальной системы действительных решений для ЛООДУ (7) поступают также, как и в случае простых комплексных корней, а именно:

пусть числа 1 i,2 i - корни кратности m1 m2 m, тогда 2m комплекснозначным линейно независимым на интервале (,) решениям y ( x) x s e i x,(s 0,1,2,..., m 1;

i 1, 2) соот ветствуют действительных линейно независимых решения 2m x s ex cos x,x s ex sin x,( s 0,1,2,..., m 1). Отсюда следует, что если характеристическое уравнение p i(1) i ii,i( 2) i ii (11) имеет пар комплексно сопряженных корней кратностей q m p s, то общее решение ЛООДУ действительных корней s ( s 1, q) кратностей mi (i 1, p ) и (7) в действительной форме имеет вид:

p q y ( x) e i x Pm11 ( x ) cos i x Pmi2)1 ( x ) sin i x es x Pm3) s 1 ( x), () ( ( (19) i p i 1 s где полиномы Pm11 ( x ),Pmi2)1 ( x),Pm3 s 1 ( x) (i 1, p;

s 1, q) - имеют произвольные коэффициенты.

() ( () i p Пример 2. Найдём общее решение ЛООДУ M ( D) y D( D 2)3 ( D 2 4) 2 y 0.

Корнями соответствующего характеристического уравнения M ( ) ( 2)3 (2 4) 2 1 0,2 2,3 2i,4 2i, будут числа кратности которых соответственно равны m1 1,m2 3,m3 2,m4 2. Согласно формуле (19), общее решение данного уравнения имеет вид:

y ( x) C1 (C2 C3 x C4 x 2 )e 2 x (C5 C6 x) cos 2 x (C7 C8 x ) sin 2 x, где Ci,(i 1,8) - произвольные постоянные.

n-го порядка с постоянными коэффициентами.

5.13 ЛНОДУ Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами n-го порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

a0 y n a1 y n 1 an y f x, (1) с постоянными коэффициентами a0, a1,, an, a0 0.

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения со ответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравне ния.

Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения осуществляется по правилам, изложенным в предыдущем разделе. Частное решение неоднородного уравнения для случая правых частей специального вида находится методом подбора, или иначе, методом неопре деленных коэффициентов.

Общий вид правой части уравнения (1), при котором применим метод неопределенных ко эффициентов, следующий:

f x ex Pl x cos x Qm x sin x. (2) Здесь Pl x и Qm x - многочлены степени l и m соответственно.

В этом случае частное решение уравнения (1) ищем в следующем виде:

yч. н x s ex Pk x cos x Qk x sin x, (3) где k max l, m, Pk x и Qk x - многочлены от x степени k общего вида с неопределенными коэффициентами, а s - кратность корня i характеристического уравнения. (Если i не является корнем, то s 0.) Разберем его решение на примерах.

Пример 1. y 2 y 3 y 4 e x.

Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y 2 y 3 y 0.


Его характеристическое уравнение:

2 2 3 0 или 1 3 имеет корни 1 1 и 2 3.

Общее решение однородного уравнения:

yo. o C1 e x C2 e 3 x.

Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Сравнивая его правую часть с формулой (3), видим, что 1, 0. Число i 1 корнем характеристического уравнения не является, следовательно, s 0. P и Q - многочлены нулевой степени, следовательно, частное решение будем искать в виде yч. н A e x.

Удобно расположить y, y, y в столбик, написав слева значения коэффициентов из исход ного уравнения:

3 yч. н A e x ;

2 y. н A e x ;

ч 1 y. н A e x.

ч Сложив всё, получим:

e x 3 A 2 A A 4 e x, 4 A 4, A 1, yч. н e x, а общее решение неоднородного уравнения yо. н C1 e x C2 e 3 x e x.

Пример 2.

y 4 y 3 sin 2 x.

Решение. Однородное уравнение имеет вид y 4 y 0, его характеристическое уравнение:

2 4 0, корни 1, 2 2i.

Общее решение yo. o C1 cos 2 x C2 sin 2 x.

Чтобы правильно выбрать вид частного решения неоднородного уравнения согласно фор муле (3), сравним правую часть уравнения с общим её представлением по формуле (2). Очевидно, i 2i является однократным корнем характеристического уравнения, поэтому s 1.

В физике это явление называется резонансом, суть его в совпадении собственной частоты колеблющейся системы и частоты приложенной внешней силы.

Кроме того, замечаем, что степени многочленов P и Q - нулевые. Вид частного решения:

yч. н x A cos 2 x B sin 2 x.

Подставим в исходное уравнение:

yч. н x A cos 2 x B sin 2 x ;

yч. н A cos 2 x B sin 2 x x 2 A sin 2 x x 2b cos 2 x ;

1 yч. н 2 2 A sin 2 x 2 B cos 2 x x 4 A cos 2 x 4 B sin 2 x.

В итоге 4 A sin 2 x 4 B sin 2 x 3 sin 2 x ;

3 4 A 3, A, B 0, yч.н x cos 2 x.

4 Общее решение:

yо. н C1 cos 2 x C2 sin 2 x x cos 2 x.

Пример 3.

y 3 y 2 y f x, где f x равна:

x 1) 10 e x, 2) 3 e 2 x, 3) 2 sin x, 4) 2 x 2 30, 5) 2 e x cos, 6) x 1 e 2 x.

1. y 3 y 2 y 10 e x.

Решение. Xарактеристическое уравнение 2 3 2 0, корни его 1 1, 2 2. Общее решение однородного уравнения:

yо. о C1 e x C2 e 2 x.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде yч. н A e x, так как из сопостав ления правой части уравнения с формулой (2) очевидно, что 1 не является корнем характе ристического уравнения, т.е. резонанса нет.

Подставив yч. н в исходное уравнение, получим A e x A e x 2 A e x 10 e x, откуда 6 A 10, A.

Общее решение неоднородного уравнения:

yо. н C1 e x C2 e 2 x e x.

2. y 3 y 2 y 3 e 2 x.

Решение. Правая часть уравнения имеет вид A e 2 x, 2 совпадает с корнем характери стического уравнения, s 1, поэтому вид частного решения неоднородного уравнения yч. н Ax e 2 x. Найдем А:

y Ax e 2 x ;

y 2 Ax A e 2 x ;

1 y 2 A 4 Ax 2 A e 2 x.

После сложения получим e 2 x x2 A 6 A 4 A 3 A 4 A 3 e 2 x, A e 2 x 3 e 2 x, A 3.

Общее решение неоднородного уравнения:

yч. н C1 e x C2 e 2 x 3 x e 2 x.

3. y 3 y 2 y 2 sin x.

Решение. Правая часть уравнения имеет вид ex sin x, 0, 1. Корни характеристи ческого уравнения не совпадают с числом i i, следовательно резонанса нет и частное ре шение имеет вид:

yч. н A cos x B sin x.

Подставив в уравнение, получим A cos x B sin x 3 A sin x B cos x 2 A cos x B sin x 2 sin x.

Приравняв коэффициенты при sin x и cos x в левой и правой частях равенства, имеем:

A 3B 0;

3 откуда A, B.

3 A B 2, 5 В итоге общее решение уравнения:

3 yо. н C1 e x C2 e 2 x cos x sin x.

5 4. y 3 y 2 y 2 x 3 30.

Решение. Частное решение ищем в виде многочлена с неопределенными коэффициентами, степень которого совпадает со степенью многочлена в правой части уравнения:

yч. н Ax3 Bx 2 Cx D.

После подстановки в уравнение получаем 6 Ax 2 B 3 3 Ax 2 2 Bx C 2 Ax 3 Bx 2 Cx D 3x 3 30.

Приравняв коэффициенты при x 3, x 2, x и 1 слева и справа, имеем:

2A 2, 9 A 2B 0, 6 A 6 B 2C 0, 2 B 3C 2 D 30.

Откуда 9 21 A 1, B, C, D.

2 2 Общее решение уравнения 9 2 21 yо. н. C1 e x C2 e 2 x x 3 x x.

2 2 x 5. y 3 y 2 y 2 e x cos.

Решение. Частное решение ищем в виде:

x x yч. н e x A cos B sin.

2 После подстановки в уравнение получаем:

8 A,B.

5 Общее решение:

x x yо. н C1 e x C2 e 2 x e x cos 2 sin.

5 2 Теорема (принцип суперпозиции или наложения). Если yi x являются решениями уравнений a0 x y n a1 x y n1 an x y f i x, i 1, 2,, k, то функция y x y1 x y2 x y k x является частным решением уравнения a0 x y n a1 x y n1 an x y f1 x f 2 x f k x.

6. y 3 y 2 y x 1 e 2 x.

Правую часть уравнения представим в виде суммы f1 x = x + 1 и f 2 x e 2 x и найдем частные решения y1 и y 2 уравнений y 3 y 2 y x 1 и y 3 y 2 y e 2 x.

Методом неопределенных коэффициентов легко получить:

1 5 1 2 x y1 x, y2 e.

2 4 В соответствии с принципом суперпозиции полагаем, что частное решение уравнения yч. н y1 y2. Тогда общее решение исходного уравнения:

1 yо. н C1 e x C2 e 2 x x e 2 x.

2 4 5.14 Вопросы к экзамену по курсу «Ряды и ОДУ»

1.Понятие числового ряда. Сходящийся ряд, его сумма. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Основные свойства сходящихся рядов.

2.Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения.


3.Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши-Маклорена.

4.Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

5.Признаки сходимости Абеля и Дирихле.

6.Понятие степенного ряда. Теорема Абеля.

7.Радиус сходимости и область сходимости степенного ряда.

8.Промежутки равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда.

9.Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда.

10.Разложение функций в степенные ряды. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.

11.ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Определение решения. По становка задачи Коши.

12.ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Понятие поля направлений.

Изоклины. Определение интегральной кривой. Определение существования задачи Коши. Тео рема Пеано (формулировка). Единственность решения задачи Коши. Теорема Коши-Пикара (формулировка).

13.ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Определение точки единст венности и неединственности решения задачи Коши. Область единственности. Определение ча стного и особого решений. Где могут располагаться особые решения?

14.ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Определение продолжения решения вправо (влево). Теорема о продолжимости.

15.ОДУ с разделяющимися переменными и приводимые к ним линейной заменой. Метод нахож дения общего и особых решений.

16.Однородные ОДУ и приводимые к ним переносом начала координат. Метод нахождения обще го и особых решений. Обобщенные однородные ОДУ.

17.Линейные ОДУ с непрерывными на интервале( a, b ) коэффициентами. Нахождение области единственности и общего решения. Выяснить возможность существования особых решений.

Уравнения Бернулли и Риккати. Метод нахождения общего и особых решений.

18.ОДУ в полных дифференциалах.

19.Понятие интегрирующего множителя. Уравнение интегрирующего множителя. Нахождение интегрирующего множителя в простейших случаях.

20.ОДУ высших порядков, разрешенные относительно старшей производной. Определение реше ния. Задача Коши и определение общего решения.

n-го порядка с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами. Определение ре 21.ЛОДУ шения. Постановка задачи Коши и теорема Коши-Пикара для таких уравнений. Выяснить воз можность существования особых решений.

22.Определения линейной зависимости и линейной независимости системы функций, определен ных на интервале (a, b). Доказать, что системы функций 1, x, x 2,..., x n (n N) и e 1x, e 2 x,..., e n x ( i j для i j, где i, j 1,2,..., n и все i R) линейно независимы на беско нечном интервале (,).

23.Понятие определителя Вронского для системы функций y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x). Теорема о необ ходимом условии линейной зависимости системы функций y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x).

n-го порядка с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами. Теорема о линей 24.ЛООДУ ной комбинации решений.

n-го порядка. Теорема о 25.Определение фундаментальной системы решений (ФСР) ЛООДУ n-го порядка с непрерывными на интервале (a, b) коэффици существовании ФСР у ЛООДУ ентами. Теорема о структуре общего решения ЛООДУ n-го порядка с непрерывными на ин тервале (a, b) коэффициентами.

26.Теорема Лиувилля-Остроградского и ее применение для нахождения общего решения ЛООДУ второго порядка, если известно одно нетривиальное частное решение этого уравнения.

n-го порядка с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью.

27.ЛНОДУ Теорема о структуре общего решения. Принцип суперпозиции.

28.Понятие операторного многочлена. Основные операции и свойства. Характеристический мно n-го порядка с постоянными коэффициен гочлен и характеристическое уравнение ЛООДУ тами. Действие операторного многочлена на простейшие функции: e x, cos x, sin x, e x y (x).

29.Вид общего решения ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения.

30.Вид общего решения ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае наличия кратных корней у характеристического уравнения.

5.15 Задачи по курсу «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения»

1. Исследовать сходимость рядов:

n 1 cos n 1 1 n ln 1 n 2, n sin,, 1 2 1.

n n nn n 1 n 1 n 1 n 2. Исследовать сходимость рядов:

sin n exp 3n n.

, n n 1 n n 3. Используя интегральный и необходимый признаки, исследовать сходимость ряда при p n a различных значениях p, исследовать сходимость ряда с общим членом:

n n 2 n n! 3 n n! e n n!

а) a n,б) a n n,в) a n n.

nn n n 4. При каких значениях x сходятся ряды:

x 12n 3 n,б) x 3n а).

n 21 n 2n 1 n n 1 n a 5. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд с общим членом:

n n 2n!.

а) a n 1 ln n 2 5 ln n 2 1, б) a n 1 tg n n n, в) a n nn n 6. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) y ( x 1)( y 1), б) ( x 2) y y 3, в) ( y 2 3) xdx ( x 2 2) ydy 0, г) (1 x 2 )dy xydx 0.

7. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка :

а) xy y 4 x 5 3 x 2, б) xy 2 y 2 x 4 x 3,в) xy 2 y, г) y sin x y cos x 1.

x 8. Проверить, является ли дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах;

а) ( x y )dy ( x y )dx 0,б) ( x y )dy ( x y )dx 0, 9. в) (cos x 2 y )dx (sin y 2 x)dy 0,д) (cos x 2 y )dx (sin y 2 x )dy 0.

10. Решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах:

3 4 а) (3 x 2 2 xy 3 )dx (3 x 2 y 2 2 y )dy 0,4. б) ( 2 x y ) dx (5 y 3 xy ) dy 0, в) (sin x 2 xy )dx (cos y x 2 )dy 0,4. г) ( y 2 )dx (2 xy sin y )dy 0.

x 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:

а) y 2xy, y (0) 2, б) y ln y dx xdy 0, y (1) 1, yx в) y, y (1) 2, г) ( x y )dy ( x y )dx 0, y (1) 0.

xy 12. Понизить порядок дифференциального уравнения:

а) xy y x 1 0, б) y y 3 y 2 x 2, в) y y 3 1, г) 1 ( y ) 2 2 yy.

13. Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка, используя методы понижения порядка:

y а) xy y 2x 2, б) y 3 x, в) y 2 yy 0, г) y y 3( y ) 2 0.

x 14. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами:

а) y 3 y 2 y x 1, б) y 4 y 4, в) y y 2 x, г) y 3 y 2 e x.

15. Найти решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с по стоянными коэффициентами:

а) y 4 y 3 y 0, y (0) 6, y (0) 10, б) y y 0, y (0) 3, y (0) 1, y (0) 1, в) y 2 y y 0, y (0) 0, y (0) 3, г) y 2 y y 0, y (0) 0, y (0) 1.

5.16 План семинаров по курсу «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения»

1 –е занятие. Числовые ряды. Признаки сравнения для знакопостоянных числовых рядов.

В аудитории. Д.2546, 2550, 2588,2574, Исследовать сходимость рядов:

n 1 cos n 1 1 n ln 1 n 2, n sin,, 1 2 1.

n n nn n 1 n 1 n 1 n На дом: Д.2547, 2549, 2556-2564, 2608-2610, 2613, 2614.

2 –е занятие. Знакопостоянные числовые ряды. Признаки: сравнения, интегральный, Даламбера, Коши.

В аудитории.

1. Исследовать сходимость рядов:

sin n exp 3n n.

, n n 1 n n 2. Используя интегральный и необходимый признаки, исследовать сходимость ряда при p n различных значениях p.

a 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом:

n n 2 n n! 3 n n! e n n!

а) a n a n n, в) a n n.

, б) nn n n 4. При каких значениях x сходятся ряды:

x 12n 3 n, б) x 3n 8 n n 21 n.

а) 2n n 1 n На дом: Д.2578-2588, 2589(б), 2619, 2620, 2626, 2631, 3 –е занятие. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных числовых рядов. Множества абсолютной и условной сходимости.

В аудитории.

a 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд с общим членом:

n n 2n!.2. Д. 2718.

а) a n 1 ln n 2 5 ln n 2 1, б) a n 1 tg n n n, в) a n nn n На дом: Д.2664, 2665, 2669, 2670, 2684, 2721, 2728, 2722.

4 –е занятие. Степенные и функциональные ряды. Нахождение областей абсолютной и условной сходимости.

В аудитории. М.2471,2475,2484,2489,Д.2812,2817,2840, На дом: М.2470,2472,2483,2490.2491,Д.2814,2818,2841, 5 –е занятие. Разложение функций в степенные ряды.

В аудитории. М. 2503,2497(1,2,3)2508,2513,2545,Д.2794,2802,2803, На дом: М.2504,2498,2507,2509,2512,2547,Д.2784,2800,2804,2809, 6-е занятие. Уравнения с разделяющимися переменными.

В аудитории: Б.3906,3913,3942,3939,3937.

На дом: Б.3902,3907,3914,3938,3941,3935.

7-е занятие. Однородные уравнения.

В аудитории: Ф. 105, 107, 101, 103, 111, 117, 115, 125, 127.

На дом: Ф. 102, 104, 110, 112, 114, 116, 118, 126, 128.

8-е занятие. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати.

В аудитории: Б.3956,3958,3967,4043.

На дом: Б.3955,3957,3965,4042.

9-е занятие. Уравнения в полных дифференциалах.

В аудитории: Ф. 187, 189, 191, 196, 198, 200, пример на интегрирующий множитель.

На дом: Ф. 188, 190, 192, 193, 195, 199, 201, 10-е занятие. Уравнения, не разрешенные относительно производной.

В аудитории: Ф. 252, 269, 278, 281, 287, 289.

На дом: Ф. 253, 270, 279, 282, 290, 292,293.

11-е занятие. Уравнения, допускающие понижение порядка.

В аудитории: Б.4162,4165,4177,4194.

На дом: Б.4160,4190,4172,4193.

12-е занятие. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: одно родные и неоднородные (случай специальной правой части).

В аудитории: Б.4251,4257,4260,4304,4305,4307,4310.

На дом: Б.4252,4253,4258,4259,4301,4302,4303,4306.

13-е занятие. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффици ентами (метод вариации постоянных). Задача Коши.

В аудитории: Б.4275,4271.

На дом: Б.4276,4278,4279.

14-е занятие. Определитель Вронского. Линейные однородные системы с постоянными коэффи циентами (случай простых вещественных корней) В аудитории: Ф. 614, 615, 675,786, 788, 799.

На дом: Ф. 613, 616, 674, 787, 798, 800.

15-е занятие. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами (случай специ альной правой части и метод вариации постоянных) В аудитории: Ф. 828, 826, 827,842, 846, 848.

На дом: Ф. 829, 831, 831, 834, 847, 849.

М.- В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике.- М.:Наука,1987.

Д. – Б.П. Демидович. Сборник задач по математическому анализу. - М.: Наука, 1977.

(Ф.)- А.Ф. Филиппов. Сборник задач по лифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1979.

(Б).- Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1977, 1998, 2005.

(К.)-Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономических специальностей. Ч.2. М.: Высшее об разование, 2005.



Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.