авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

А. Шавгулидзе, Л. Асатиани

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

(ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ)

УНИВЕРСИТЕТ”

ГРУЗИНСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А. Шавгулидзе, Л. Асатиани

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

(ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ)

Регистрировано редакционно-

издательским советом ГТУ

Тбилиси

2009

Книга предназначена для сдудентов технических специальностей Грузинского технического университета.

Она также может быть использованна для лиц заинтересованных изучением инженерной графики.

Рецензенты: проф. Г. Цулейскири проф. И. Бацикадзе © Издательский дом “Технический университет”, 2009 ISBN 978-9941-14-490-5 http://www.gtu.ge/publishinghouse/ Все права защищены. Ни одна часть этой книги (будь то текст, фото, иллюстрация или др.) не может быть использована без письменного разрешения издателя ни в каких-либо форме и средствах (электронной или механической).

Нарушение авторских прав карается законом.

ВВЕДЕНИЕ Как известно при изучении ряда вопросов, при доказательстве теории, при исследовании геометрических образов в геометрии применяются различные методы преобразования и построения.

Данная работа включает материал, который, как нам кажется, является интересным и недостающим к школьному курсу геометрии и черчения.

Дает определенную основу для дальнейшего изучения как учащимися школы, так и магистрантами и докторантами.

ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемое учебное пособие предназначено для бакалавров и магистров Грузинского Технического университета. Его использование возможно докторантами того же университета, а также всеми лицами, заинтересованными задачами геометрических построений на плоскости.

То направление геометрии, к которому относятся геометрические построения, известно как конструктивная геометрия. Основное понятие конструктивной геометрии – построение геометрической фигуры. Это понятие принято без определения и его конкретный смысл известен из практики.

Например, «начертили» (кривую), «проведем» (прямую), «отметили»

(точку) и т.д.

Следуя интересам логики, обычно сначала формулируют требования и постулаты конструктивной геометрии, а затем рассматривают ее применение на практике. Конструктивная схема данной книги подчинена именно такой логике. Прежде чем начать последовательное исследование, мы сочли целесообразным напомнить читателям некоторые понятия школьной геометрии, применение которых необходимо для рассуждений, приведенных в книге.



Любое множество точек в геометрии называется геометрической фигурой. В дальнейшем будем именовать ее просто «фигура», и иметь в виду ее геометрический характер.

Для уточнения терминологии объясним, что подразумевается в последней фразе. Отличные друг от друга весом, плотностью и другими свойствами мяч диаметром 50 мм и такого же диаметра стальный шар с геометрической точки представляют собой только сферу диаметром 50 мм и ничего больше. Предмет, у которого есть все геометрические свойства, называется геометрической фигурой: точка, пара точек, прямая, пара прямых, отрезок (фигура, состоящая из двух разных точек, расположенных между ними), интервал или открытый отрезок (единство всех точек, лежащих между двумя точками плоскости), луч (фигура, состоящая из какой-либо точки прямой и принадлежащих этой прямой точек, расположенных по одну сторону этой прямой), круг (единство всех точек, расстояние которых от данной точки той же плоскости не превышает длину данного отрезка) и др. примеры фигур.

Одну часть как часть другой фигуры можно рассматривать в том случае, если все точки первой фигуры принадлежат второй фигуре.

Например, любой отрезок, принадлежащий прямой, может быть рассмотрен как часть этой прямой, любая точка, принадлежащая прямой, рассматривается как часть этой прямой и т.д.

Соединение двух или нескольких фигур (обозначается, например Ф1 + Ф2 или Ф1UФ2) это единство всех точек, которые принадлежат хотя бы одной фигуре.

Например, возьмем множество неколлинеарных точек – А1, А2, А3...Аn и последовательно соединим их отрезком прямой. Полученное соединение А1А2,... Аn-1Аn, АnА1 отрезков называется n-угольником.

Взаимопересечением (Ф1Ф2 или Ф1Ф2) и общей частью двух или более фигур называют единство всех тех точек, которые одновременно принадлежат взаимнопересекающимся фигурам. Для примера рассмотрим взаимодействие окружности с прямой.

Если удаление прямой от центра окружности меньше радиуса этой окружности, тогда пересечение окружности спрямой представляет собой две точки, но если это расстояние равно радиусу, в пересечении будет одна точка, называемая точкой соприкосновения.

Разностью между двумя фигурами (Ф1 и Ф2, обозн. Ф1\Ф2) называется единство всех тех точек фигуры Ф1, которые не принадлежат Ф2.

Например, разность между прямой и лежащим на ней интервалом есть два луча этой прямой.

Может также случиться, что пересечение или разность двух фигур не содержит ни одной точки. В таком случае говорят, что пересечение или разность двух фигур есть простое множество точек, например в случае пересечения окружности с прямой мы в том случае имеем дело с пустым множеством, когда расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности.

А сейчас вернемся к основным постулатам конструктивной геометрии и последовательно рассмотрим их. Отметим, что ниже приведенные постулаты отдельно не рассматриваются в школьном курсе геометрии, но подразумеваются в процессе построения задач.





Первый постулат. Всегда когда говорят, что какая-либо фигура «задана», считается, что эта фигура построена.

Отметим, что понятия «Данная фигура» и «фигура, заданная какими то элементами», неоднозначны. Дело в том, что в отличие от первого, во втором случае задана не сама фигура, а те элементы, которые определяют местоположение этой фигуры. Например, если заданы две отличных друг от друга точки, существует единственная прямая, соединяющая это точки, определяемая этими точками. Если даны три неколлинеарные точки, существует единственная плоскость, проходящая через эти точки, или этими тремя точками определена одна плоскость и т.д.

Для полного представления приведем еще один пример: когда задан центр окружности (О) и одна точка этой окружности (А), определена одна единственная окружность как по величине, так и по местоположению. Но если мы скажем, что заданы точка О и А, с точки зрения конструктивной геометрии не считается, что задана сама окружность.

Второй постулат. Если построено две или больше фигур, значит построено и их соединение.

Допустим, построен луч какой-либо прямой BD и луч CA той же прямой, которая рассматривается как соединение этих лучей. (рис 1) Допустим, построено три отрезка АВ, ВС и СА. Тогда нет никакой необходимости в еще каком-либо построении для того, чтобы построить АВС или соединения данных фигур. (рис 1) Третий постулат. Если построены две фигуры, считается, что известно их различие, т.е. является ли это различие пустым множеством.

Представим, что построено два отрезка одной прямой АВ и CD.

Исходя из чертежей, можно сказать, что отрезок CD полностью принадлежит BC или AD частично принадлежит АВ (рис 1).

Приведем другой пример: представим, что построена окружность и точка. На таком рисунке ясно видна их взаимопринадлежность, т.е. лежит или нет построенная точка на построенной окружности. Дело в том, что, например, одна фигура (Ф1) только тогда является частью второй фигуры (Ф2), когда разность этих фигур представляет собой пустое множество, на что ясно указывает 3-ий постулат.

Четвертый постулат. Если различие между двумя фигурами не пустое множество, это различие также считается построенной фигурой.

Скажем, заданы четыре точки одной прямой АВСD. Допустим, что отрезки АВ и CD построены. Тогда надо считать, что построен отрезок АВ, который рассматривается как разность отрезков BD и AC. Здесь же можно сказать о CD, который тоже может быть рассмотрен как разность отрезков ВD и АС (рис 1).

A B C D Рис. Приведем другой пример: если построена окружность и принадлежащая ей точка, можно считать построенной и ту фигуру, которая останется после удаления точки в картинки, т.е. считать построенной ту фигуру, которая может быть рассмотрена как разность точки и окружности.

Пятый постулат. Если построены две фигуры, тогда возможно установить, является ли пересечение фигур пустым множеством.

В случае построения двух прямых можно выяснить взаимоположение этих прямых, а именно, являются ли эти прямые пересекающимися, т.е.

есть ли у них общая точка, также если построены две окружности, мы всегда можем зафиксировать их взаимоположение, т.е. имеют ли они общие точки. Это утверждение относится к любым построенным фигурам.

Шестой постулат. Если взаимное пересечение двух построенных фигур не представляет собой пустое множество, то и это пересечение считается построенным.

Вернемся к рисунку. Допустим, известно, что АС и BD отрезки построены. В этом случае будем считать, что построен и отрезок ВС, который может быть рассмотрен, как пересечение отрезков АС и BD.

Приведем второй пример: если начерчены две взаимнопересекающиеся окружности, построенными считаются и те точки, которые получены в результате пересечения окружностей.

Седьмой постулат. Можно построить конечное множество общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

Восьмой постулат. Возможно построение точки, которая обязательно будет принадлежать построенным фигурам.

Девятый постулат. Возможно построение точки, которая необязательно будет принадлежать построенным фигурам (если эта фигура будет отлична от целой плоскости).

Основные требования конструктивной геометрии, которые мы называем постулатами, выражают в абстрактной форме основные моменты чертежной практики.

Все постулаты, так же, как и нижеприведенные аксиомы получены без доказательств и направлены на логические построения конструктивной геометрии.

1 аксиома. Основная плоскость считается построенной.

2 аксиома. Если построены две фигуры, то известно, является или нет их разность пустым множеством.

3 аксиома. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то считается, что эта разность также построенная фигура.

Первый результат. Если две фигуры построены, тогда известно, является ли их пересечение пустым множеством.

Второй результат. Если построены две фигуры и их пересечение не является пустым множеством, тогда их пересечение можно считать построенной фигурой.

Третий результат. Если построены две фигуры, то их соединение может считаться построенной фигурой.

4 аксиома. Если построены две фигуры и их пересечение не является пустым множеством, тогда может быть построено не менее одной точки, которая принадлежит этому пересечению.

4 результат. Если построены две фигуры и n есть натуральное число, всегда можно установить, заключает ли в себе пересечение фигур n-ое число, или меньше n отличных точек. Для того, чтобы убедиться в этом результате, вспомним первый результат, согласно которому можно выяснить характер пересечения двух фигур, или является ли оно пустым множеством и содержит ли хотя бы одну точку. В первом случае справедливость 4-го результата абсолютно ясна. Во втором случае будем рассуждать следующим образом: согласно 4-ой аксиоме возможно постро ение P' точки, которая принадлежит пересечению Ф1Ф2.

Согласно 2-ой аксиоме можно предположить, является ли пустым одно из множеств - Ф1 '= Ф1 [P ] и Ф' = Ф2 [P'] и выяснить, есть или нет Ф1:Ф пустое множество. Если это множество пустое, то точка P' будет единственной общей точкой Ф1 и Ф2.

Если же множество Ф1:Ф2 не является пустым, то согласно 4-ой аксиоме может быть построена хотя бы одна точка ( P' ' ) одновременно, принадлежащая Ф1 ' и Ф2 '.

Рассмотрим фигуры Ф1 ' = Ф1 ( P ' P ' ' ) и Ф2 ' = Ф2 ( P ' P ' ' ) В данном случае либо пересечение пустое, и Ф1 и Ф2 имеют две ( P' P" ) общие точки, либо пересечение не пустое и возможно построение третьей общей точки фигур Ф1 и Ф2.

Если следовать этому рассуждению, то по истечении конечного числа действий получим ответ на заданный вопрос, содержит или нет пересечение Ф1 Ф2 хотя бы n точек.

Пятый результат. Можно построить любое конечное количество общих для двух построенных фигур точек, если такие точки существуют.

Справедливость этого результата вытекает из четвертого результата.

6 результат. Возможно построение точки, которая непременно будет принадлежать построенной фигуре.

Допустим, построена Ф фигура. Рассмотрим ее как пересечение двух фигур Ф1 = Ф и Ф2 = Ф так, чтобы Ф = Ф1 · Ф. Согласно 4-ой аксиоме может быть построена точка, принадлежащая пересечению Ф1 Ф2, т.е.

принадлежащая Ф.

7 результат. Возможно построение точки на основной плоскости, которая обязательно не будет принадлежать фигуре, если эта фигура отлична от всей плоскости.

Допустим, в основной плоскости построена Ф фигура, отличная от всей плоскости. Тогда, согласно 1 и 3 аксиомам построенной будет считаться П/Ф фигура. Согласно 6-му результату, можно построить точку, принадлежащую П/Ф или такую точку, которая обязательно не будет принадлежать Ф фигуре.

Отметим, что понятию «данная фигура» можно приписать такой же смысл как понятию «построенная фигура».

Необходимо отметить, что задачи по построению решаются в основном циркулем и чертежными принадлежностями. Вместе с тем перечислим те построения, которые осуществляются с помощью этих инструментов и которые известны в конструктивной геометрии под названием основных построений:

1. Построим отрезок, соединяющий 2 точки.

2. Построим прямую через две построенные точки.

3. Построим луч, выходящий из построенной точки и проходящий через вторую построенную точку.

4. Построим окружность, если построен ее центр и концы отрезка, равного радиусу окружности.

5. Построим любые две дополнительные дуги окружности, если построен центр окружности и концы дуг.

6. Построим любое количество точек пересечения двух построенных фигур, если таковые имеются.

7. Построим точку, принадлежащую какой-либо построенной фигуре.

8. Построим точку, обязательно не принадлежащую какой-либо построенной фигуре.

Рассмотренные в данной книге построения опираются на вышеприведенные постулаты, аксиомы и их результаты.

Книга разработана и апробирована в департаменте инженерной графики и технической механики ГТУ.

Глава 1. Краткий исторический обзор Под Теорией геометрических построений обыкновенно подразумевают изложение методов для решения предложенных геометрических задач на построение.

К Теории геометрических построений принадлежит также и классификация геометрических задач, т.е. подразделение их на позиционные и метрические, на задачи второй, третьей, четвертой и высших степеней.

К Теории геометрических построений относятся также некоторые дока зательства невозможности: укажем например, что циркулем и линейкой невозможно данный произвольный угол разделить на три равные части, что в этом же смысле невозможно удвоение куба, наконец, что этими средствами построения не разрешается и издавна знаменитая задача о квадратуре круга, как это впервые строго было доказано Линдеманном в 1882 г.

К Теории геометрических построений принадлежит и вопрос относительно точности построения, выполненного теми или другими из употребляемых чертежных инструментов. В самом деле всякий результат вычерчивания содержит ошибки. Точка, найденная построением, не находится в том месте, которое она занимала бы при идеальном совершенстве всех употребляемых инструментов;

она лежит лишь в некоторой близости от этого места. Таким образом в отношении каждого построения возникает вопрос о приблизительном, по крайней мере, определении степени его точности, а отсюда вытекает задача - выполнить это построение так, чтобы вероятная ошибка результата была возможно меньшей. Такого рода исследования практически были бы чрезвычайно важны;

частично эти вопросы есть в сочинении Винера.

В позднее время благодаря инициативе Лемуана было достигнуто по крайней мере то, что построения, которые раньше лишь предполагались, стали в действительности выполняться, причем на основании данных Лемуаном определений стали оценивать степень их простоты: в частности же, стали изучать такие (геометрографические) построения, которые отличаются наибольшей простотой.

В 1797 г. Маскерони в своем знаменитом сочинении доказал, что все геометрические построения, которые раньше выполнялись циркулем и линейкой (построения второй степени) могут быть выполнены также с помощью одного лишь циркуля.

Ламберт в 1774 г. нашел решение задач проводя лишь прямые линии и в 1818 г. опубликовал сочинение, касающееся построений этого рода.

Особенную известность приобрела книга Я.Штейнера 1883 г. В ней Штейнер доказыает, что построения второй степени можно выполнить лишь линейкой, проводя прямые линии, если в плоскости чертежа даны изображения некоторой фигуры, например, круга, квадрата, параллелограмма.

Подобно тому, как элементарная геометрия и по сей день излагается почти так как 300 лет до н.э. у Эвклида, или аналитическая геометрия – как в XVII в. у Декарта, так и начертательная геометрия излагатся почти так как в XVIII в. у Гаспара Монжа, который анализируя различные практические приемы, применяемые ранее, отделил элементы теории и разработал стройную логическую научную систему построения в проекциях различных основных задач на прямую, плоскость, поверхность и т.д.

Общеизвестно, что графическое изображение намного легче для восприятия нежели словесное описание того или иного будь то план квартиры, строение мебели, модель платья не говоря о деталях, механизмах, здания и др. Поэтому изучение графических дисциплин (черчение, начертательная геометрия) как в школе, так и в высших учебных заведениях являются не только необходимым инженерам, графические дисциплины развивают логическое мышление которое так необходимо любому здравомыслящему человеку в любой сфере деятельности.

Высокие темпы развития науки и техники в современный период заставляют искать новые пути и средства для подготовки инженерно технических и научных кадров [1, 2, 3, 14, 20, 21, 27, 45].

ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОСНОВЫ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ § 2.1. Система аксиом конструктивной геометрии Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называется конструктивной геометрией.

Основным понятием конструктивной геометрии (К.Г.) является понятие построить геометрическую фигуру. Сам смысл этого понятия заключает в себе то же, что "начертить", "провести", "отметить" и т.д.

Для внесения ясности в эти понятия необходимо четко сформулировать основные требования (постулаты). Эти требования обычно не формулируются, но подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение. Эти требования являются аксиомами, принимаются без доказательств и служат в дальнейшем логической основой К.Г.

Определим какие элементы должны быть отнесены к классу "конструктивных". Это достигается с помощью следующих определений:

1. Все данные в условии задачи на построение, геометрические образы (точки, прямые, окружности и т.д.).

2. Прямая, если она определена двумя "конструктивными" точками.

3. Окружность, если она определена "конструктивным" центром и "конструктивным" радиусом (пара "конструктивных" точек).

4. Точка, если она является точкой пересечения двух "конструктивных" линий.

Перейдем к рассмотрению основных положений (аксиом) теории гео метрических построений. Ниже будут рассмотрены система аксиома, предложенная Д.Гильбертом. Если мы говорим, что фигура дана, то под этим подразумевается, что она уже начерчена, построена, т.е. дана своими "конструктивными" элементами. Будем всегда предполагать, что все рас сматриваемые фигуры расположены в некоторой плоскости, которую мы условимся называть основной плоскостью.

Первое основное требование (аксиома) КГ состоит в следующем:

I. Каждая данная фигура построена, при этом надо учитывать, что "дана фигура" и "фигура дана такими-то элементами", что не одно и то же, так как в последнем случае дана не сама фигура, а ее элементы, которые определяют положение этой фигуры. Например, если даны две точки прямой, то это не значит, что дана прямая, но эти две точки однозначно определяют прямую на плоскости. И если говорят "дан треугольник", то следовательно дана фигура полностью со всеми составляющими ее элементами.

Представим себе, что построен угол ABC и угол ADC. Естественно мы можем считать, что построен четырехугольник АВСД. Или, если дан угол ABCи отрезок АС, то мы можем считать, что дан треугольник АВС.

Эти примеры разъясняют смысл следующей аксиомы.

II. Если построены две или более фигур, то построено и соединение этих фигур.

Если построены две фигуры, то можно определить является ли одна из них частью другой или нет. Известно, что одна фигура является частью другой, если их пересечение является пустым множеством.

III. Если построены две фигуры, то можно установить, является или нет их разность пустым множеством.

Например, если мы имеем две окружности, то в случае а) это множество пустое, в случае б) оно не пустое и равно 1\2, и это точки А и В;

в случае в) это точка А (рис. 2.1.I). Если разность двух построенных фигур не пустое множество, следовательно эта разность построена.

V. Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством.

VI. Если пересечение двух фигур не пустое множество, то оно построено.

В следующих аксиомах говорится о возможности построения отдельных точек.

VII. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

VIII. Можно построить точку заведомо принадлежащую построенной фигуре.

IX. Можно построить точку заведомо не принадлежащую фигуре.

Все перечисленные аксиомы в дальнейшем будем считать общими аксиомами КГ.

Система изложенных аксиом не является независимой. Можно сформулировать четыре аксиомы и показать, что все аксиомы I-IX следуют из этой системы аксиом или содержатся в ней.

Как уже отмечалось все фигуры расположены в некоторой плоскости, которую мы условились называть основной плоскостью.

Аксиома 1. Основная плоскость построена.

Аксиома 2. Если построены две фигуры, то можно установить является ли их разность пустым множеством или нет.

Аксиома 3. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность так же построена.

Аксиома 4. Если построены две фигуры, пересечение которых не пустое множество, то можно построить по крайней мере одну точку, принадлежащую этому пересечению [4, 6, 15, 43, 51].

§ 2.2. Аксиомы линейки, циркуля, двусторонней линейки и прямого угла Конструктивная геометрия (математическая теория геометрических построений) должна отображать своства и особеннсоти графической практики.

Инженера и техники в своей практической работе прибегают к помощи чертежа, при выполнении которого пользуются инструментами.

Основными инструментами являются: линейка, циркуль и угольник.

Для КГ необходимо располагать точным и для математических целей полным описанием того или иного инструмента. Такое описание дается в виде аксиом. Эти аксиомы в абстрактной математической форме выражают те свойства реальных чертежных инструментов, которые используются для геометрических построений.

Геометрические построения, выполняемые с помощью любого из перечисленных выше инструментов, являются частью математической науки. Но не только построения перечисленных инструментов, а и построения с помощью других инструментов могут быть с одинаковым правом использованы при решении задач на построение.

С этой точки зрения ни один из инструментов не имеет преимущества перед другими.

Различие в геометрических построениях, выполняемые с помощью тех или иных инструментов заключается не в строгости их теоретического обоснования, а в самих построениях, доступных одним и недоступных другим инструментам.

Задачи на построение по сложности их выполнения можно классифицировать по степеням. "Степенью" задачи на построение называют степень уравнения, к которому приводится решение задачи в аналитической форме.

Задачи первой степени - задачи, решение которых сводится к проек тированиям и пересечениям. В данном случае чертежник пользуется одной только линейкой.

Задачи второй степени - задачи, где чертежник пользуется линейкой и циркулем. Но, ограничивая свой инструментарий лишь линейкой и циркулем, чертежник не будет иметь возможности решить какую-либо задачу степени выше второй.

Например: удвоить куб, приводящий к кубическому уравнению x3 2a3=0. Или построить отрезок, длина которого выражается формулой x = a3 2.

Так например, итальянский геометр Маскерони в своей классической работе "La geometria de la Compasso" (1797 г.) обосновал положение, при котором все построения выполняются циркулем и линейкой, могут быть выполнены и одним циркулем.

Область построений, выполняемых применением одной линейкой (односторонней), оказывается значительно более узкой, чем упомянутая выше. Полное решение этого вопроса было дано в классическом труде немецкого геометра Я.Штейнера, опубликованном в 1833 г. Штейнер показал, что всякая задача на построение второй степени может быть решена одной линейкой, если в плоскости чертежа построены один произвольный круг и ег оцентр (т.е. с разовым применением циркуля).

Что же касается других инструментов, то аналогичный вопрос был решен Адлером. В сочинении, напечатанном в 1890 г. в "Учебных записях Зенской академии", Адлер показал, что каждая задача второй степени на построение может быть решена с помощью двусторонней линейки или с помощью прямого или острого угла, а следовательно, и угольника.

Отсюда ясно, что для решения всякой задачи на построение второй степени достаточно одного из следующих инструментов: циркуль, двусторонняя линейка и угольник.

Комбинируя те или иные инструменты, можно составить инструментарий, достаточный для решения задач более высоких степеней.

Так, тем же Адлером было доказано, что каждая задача на построение третьей степени и четвертой степени может быть решена с помощью двух прямых углов. Никулин доказал, что аналогичная задача может быть решена с помощью циркуля и произвольного угла (в частности, прямого).

При этом достаточно иметь циркуль постоянного раствора. Эта задача также может быть решена с помощью произвольного угла и двусторонней линейки.

Все выше сказанное показывает, что прежде чем решить задачу на построение, необходимо заранее подготовить инструментарий [5, 22, 45, 51].

§ 2.3. Ориентационная схема решения геометрических задач на построение Задачи на построение обычно сводятся к задаче построить фигуру.

Найти решение задачи на построение - значит свести ее к конечному числу основных решений, т.е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет считаться построенной в силу принятых аксиом КГ. Построение и последовательность решения задачи зависит от того, какие именно инструменты используются для построения.

Первый вопрос, который возникает по отношению к каждой задаче на построение еще до ее решения, заключается в следующем: определяют ли те данные, которые имеются в условиях задачи, искомые элементы, представляющие собой заданную фигуру?

Не может ли случиться, что для определения искомых элементов данных недостаточно, или наоборот, слишком много, так, что им невозможно удовлетворить?

Например, для построения окружности достаточно иметь центр и радиус (концы радиуса), или три точки, принадлежащие окружности. Если будут даны четыре точки, то четвертая может оказаться не принадлежащей окружности и задача становится невыполнимой, иначе говоря, не определенной. Если же даны две точки, то существует бесконечное множество окружностей, удовлетворяющих условию задачи, задача является не определенной.

Существует ряд простейших геометрических задач на построение, которое особенно часто входят в качестве составных частей в решение более сложных задач [3, 11, 26, 28, 40].

Будем называть их элементарными геометрическими задачами на построение. Список элементарных задач является условным. К ним относятся следующие:

1. Деление данного отрезка пополам.

2. Деление данного угла пополам.

3. Построение на данной прямой отрезка, равного данному.

4. Построение угла, равного данному.

5. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендику лярной данной прямой.

6. Построение прямой, проходящей через данную точку, параллельной данной прямой.

7. Деление отрезка в данном отношении.

8. Построение треугольника по трем данным сторонам.

9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

10. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

11. Построение прямой, проходящей через данную точку и касающейся данной окружности.

12. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

§ 2.4. Методы решения геометрических задач на построение При решении задач на построения обычно поступают следующим образом. Предполагают искомую фигуру уже известной и с помощью методов ее изучают до тех пор, пока не станет ясным тот путь, по которому задача может быть решена. Затем могут быть выполнены требуемые построения. Но после этого необходимо показать, что полученная фигура удовлетворяет требуемым условиям, т.е. что построение правильно [16, 23, 26]. Наконец, необходимо еще исследование задачи в ее целом, т.е. определение числа решений, зависимости между числом решений и данными величинами и т.д. Таким образом, в решении каждой задачи на построение должны быть отмечены четыре стадии:

1. Анализ геометрической задачи на построение.

2. Выполнение построения.

3. Доказательство правильности решения.

4. Исследование.

Рассмотрим каждый этап этой схемы в отдельности.

1. Анализ. Это подготовительный, предварительный этап решения задачи на построение. Под анализом мы понимаем поиск способа решения задачи. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фиругой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру (если мы знаем, как строить искомую фигуру, то никакой анализ не нужен).

Обычно для облегчения поиска делают набросок-чертеж, изображающий данные и искомые фигуры примерно в том расположении, которое предусмотрено условием задачи. Этот вспомогательный чертеж выполняется от руки и является проектом чертежа, который должен образоваться, когда задача уже будет решена. Удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, приставивая к ней данные так, чтобы они находиилсь в отношениях, указанных в условиях задачи. В общем случае рассуждение ведется следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры сводится к построению некоторой фигуры 1. Затем подмечают, что построение фигуры 1 сводится к построению какой-то фигуры 2 и т.д. После конечного числа шагов можно придти к некоторой фигуре n, построение которой известно.

Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заменить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры:

соединить уже имеющиеся точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает целесообразно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести в чертеж, т.е. следует изобразить их на чертеже-наброске, если их еще нет на нем.

В процессе проведения анализа задачи бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

2. Построение. Построение состоит в том, чтобы указать последо вательность основных построений (или ранее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что пост роенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;

2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;

3) сколько решений имеет задача при каждом выборе данных?

Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования.

Таким образом исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

При проведении исследования по ходу построения удаются достигнуть полноты исследования. Сущность этого приема состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого этапа установить, всегда ли указанное на этом этапе построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли. В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности и однозначности построения искомой фигуры данным способом. Но остается еще открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ построения? Иногда удается доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений. Если же это не удается, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях надо тщательно проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведенным анализом.

Для иллюстрации приведенных здесь соображений обратимся к примеру.

Пример: две прямые a и b пересечены третьей прямой c. Построить отрезок, равный данному отрезку l так, чтобы он был параллелен прямой c и концы его располагались на прямых a и b.

Анализ. Пусть AB (рис. 2.4.1) искомый отрезок, т.е.

AB=l, ABc, Aa, Bb.

Для выяснения связей между данными и искомыми придется ввести некоторые вспомгательные точки и линии. Пусть P=cb. Проведем AMB и пуcть Q=AMc. Тогда PQ=AB=l, так как четырехугольник ABPQ параллелограмм.

Для построения отрезка АВ достаточно определить положение точки А, что сводится к построению точки Q. В свою очередь, построение точки Q не вызывает затруднений.

Построение.

1. Строим точку P=Bc.

2. На прямой с откладываем от точки Р отрезок PQ=l, далее строим последовательно:

3. Прямую QM b 4. Точку A=QMa 5. Прямую AN c 6. Точку B=ANb АВ - искомый отрезок.

Доказательство. Из построения видно, что Aa ABc и Bb. Кроме того, AB=PQ=l, как противоположные стороны параллелограмма.

Исследование. Точка Р существует, так как по условию прямая с пересекает прямую b. Поэтому построение 1 всегда возможно. Построение 2 всегда возможно и дает две точки Q,Q'. Построение 3 всегда однозначно выполнимо для каждой из точек Q и Q'.

Возможны три случая: а) QM одновременно Q'M' (пересекает а (рис.

2.4.2,а);

б) QM (одновременно Q'M') параллельна а (рис. 2.4.2,б);

в) QM или Q'M' совпадает с а (рис.2.4.2,в).

Случай а) имеет место, если b пересекает а. При этом построение 4- однозначно выполнимы для каждой из точек Q и Q'. Получаем два решения задачи.

Случай б) имеет место, когда ab, причем прямые а и b отсекают на прямой с отрезок, равный l. В этом случае построение 4 невыполнимо, мы не получим ни одного решения.

А в случае в), т.е. когда ab и отрезок, отсекаемый этими прямыми на прямой с, равен l, задача имеет бесконечное множество решений: искомый отрезок можно провести через любую точку прямой а.

Для полноты исследования надо еще показать, что при всяком другом способе построения не могут возникнуть какие-либо новые решения. В случае пересечения прямых а и b это сводится к предложению: все отрезки, отсекаемые сторонами угла на параллельных прямых, различны по величине. Ясно, что в случае параллельности прямых а и b не могут возникнуть решения, отличные от полученных нами.

К решению задач средней или повышенной трудности часто привлекают некоторые специальные методы.

Три метода являются основными при решении геометрических задач на построение:

а) метод пересечения фигур;

б) метод геометрических преобразований;

в) алгебраический метод.

§ 2.5. Примеры геометрических задач на построение Задача 1. Даны две концентрические окружности О и точка А на большей окружности. Провести секущую AXYZ так, чтобы AZ=3XY (рис.

2.5.1).

1) Пусть OBXY. Тогда AB=BZ, XB=BY, и потому AB=3XB, откуда видно, что AX=2BX, а потому AX=XY.

Для определения точки Y попробуем провести диаметр АС и соединим С и Y. Так как АО=ОС и АX=ХY, то из подобия треугольников АХО и АСY отрезок YC =2ОХ. Это показывает, что точка Y лежит на окружности, описанной из центра с радиусом, равным диаметру меньшей окружности.

2) Из центра с опишем окружность радиусом, равным MN;

эта окружность встретит данную окружность в точке Y. Секущая AY есть искомая.

3) Так как AC:AO=CY:OX=2, то АОХ и ACY подобны, и потому АХ=XY или AZ=3XY.

4) Если MN=NC, будет одно решение и искомая секущая будет АС.

Если MNNC, получим два решения;

при MNNC задача невозможна.

Задача 2. Три секции угла (с помощью циркуля и прямого угла).

Пусть угол (рис. 2.5.2), образованный прямыми ВС и BX, требуется разделить на три части. Тогда из произвольной точки С стороны угла описываем окружность радиусом СВ. Далее на продолжении стороны ВС откладываем ВА=ВС. Располагаем прямой угол так, чтобы его вершина Х лежала на данной стороне угла ВХ, одна из сторон проходила через точку А, а вторая сторона касалась бы построенной окружности. Соединяя точку касания Т с вершиной В, получаем CBT==/ Доказательство весьма простое. Пусть прямая ВDХТ, тогда имеем:

CT||BD||AX, так как все эти прямые перпендикулярны к касательной ХТ.

Следовательно, ТD=DХ, так как (TD/DX)=(CB/BA)=1.

Таким образом, прямая BD является биссектрисой равнобедренного треугольника ТВХ. Отсюда имеем:

XBD = TBD.

С другой стороны, при параллельных BD и СТ имеет накрестлежащие углы:

TBD =BTC, а последний равен ТВС, так как треугольник ВСТ равнобедренный.

Следовательно, имеем:

XBD = TBD = TBC = = /3, что и требовалось доказать.

Задача 3. Начертить равносторонний треугольник так, чтобы одна его вершина лежала в данной точке Е, а две другие - на сторонах данного прямого угла АВС:

1) Пусть равносторонний EFG будет искомый. Задача сводится к определию точки F. Проведем GH||AB и EA||BC (рис. 2.5.3).

Чтобы иметь треугольник, равный EGH, по другую сторону чертежа построим EFG=EGH и опустим FIEI. Так как IEF и EGH равны, то EI=GH;

но отрезок GH известен, и потому, чтобы определить точку F, достаточно определить величину IEA. По свойству внешнего угла AEG=AEI+IEF+600, AEG=EGH+EHG;

но поэтому AEI+IEF+600 =EGH+900. Отсюда AEI=300.

2) Последнее следствие указывает на следующее построение. При точке Е построим IEA=300 и на его стороне отложим IE=AB;

в точке I восстановим IFIE до встречи с АВ в точке F. Остается из центра Е описать дугу радиусом EF до встречи с ВС в точке G.

3) Докажем, что EGF будет равносторонний. Для этого ведем рассуждение в обратном порядке. Треугольники EGH и IEF(IE=GH и IEF=EGH.

FE=EG по построению) равны;

следовательно Но AEG=EGH=900 или 300+IEF+FEG= ECH+900, откуда GEF=600.

Если же так, то EFG - равносторонний.

4) Задача возможна только тогда, когда дуга FG встретит сторону ВС.

Если точка Е сливается с точкой А, то сторона GE образует с АВ угол в и точка F придется на продолжение АВ.

Рассмотрим задачу при решении которой можно пользоваться различными инструментами.

Задача 4. Построить середину отрезка, заданного своими концами А и В.

I. Циркулем и линейкой (рис. 2.5.4,а) строим последовательно:

1) прямую АВ;

2) затем окружность w1(A,AB);

3) окружность w2(B,BA);

4) находим общие точки M и N окружностей w1 и w2;

5) прямую MN;

6) затем точку пересечения MN и АВ=0.

Легко убедиться, что АО=ОВ, т.е. точка О - искомая.

II. Циркулем (рис. 2.5.4,б) строим последовательно:

1) окружность w(B,BA);

2) окружность w1(A,AB);

3) общую точку с окружностей w и w1;

4) окружность w2(C,CA);

5) общую точку D окружностей w и w2 отличную от точки А;

6) окружность w3(D,DB);

7) общую точку Е окружностей w и w отличную от с.

Заметим, что точки А,В и Е расположены на одной прямой, причем АЕ=2АВ. Строим дальше:

8) окружность w4(E,EA);

9) общие точки M и N окружностей w и w4;

10) окружность w5(M,MA);

11) окружность w6(N,NA);

12) общую точку окружностей w5 и w6, точку Х, отличную от А.

Нетрудно усмотреть, что точка Х расположена на прямой АВ. Кроме того треугольник AMX подобен треугольнику AEM, так как они равнобедренные и имеют общий угол MAE при основаниях. Поэтому AX:AM=AM:AE или AX:AB=AB:2AB, так что AX=1/2AB и значит точка Х искомая.

. Двусторонней линейкой (рис. 2.5.4,в) строим последовательно:

1) прямую АВ;

2) прямую а, параллельную АВ и проходящую на расстоянии h от нее (h - ширина линейки);

3) прямую b, параллельную а, отстоящую от нее на расстоянии h и отличную от прямой АВ;

4) точку с на прямой b;

5) прямые АС и ВС;

6) точки D=aAC и E=aBC;

7) прямые АЕ и BD;

8) точку P=AEBD;

9) прямую СР;

10) точку X=CPABs.

Так как DE - средняя линия треугольника АСВ, то АЕ и BD - его медианы, а следовательно, и СР - медиана, так что точка X искомая.

4. Прямым углом (рис. 2.5.4.2) строим последовательно:

1) прямую АВ;

2) проводим прямые AA' и BB', перпендикулярные прямой АВ;

3) выбираем на AA' произвольную точку С, отличную от А;

4) через точку С проводим CC'AC.

Далее строим последовательно:

5) точку D=CC'BB';

6) прямые AD и ВС;

7) точку P=ADBC;

8) прямую PP'AB;

9) точку X=PP'AB.

Точка X искомая.

2 A B б) а) A в) a b Рис 2.1. A B N C P Q H Рис 2.4. b a / B A/ / A B Q P c Q/ M M/ a) M/ b a M Q/ P c Q / б) b a M / c Q/ P Q в) Рис 2.4. z/ y/ x/ C M N A O x B y z Рис 2.5. X D T A B C Рис 2.5. B G C F Y A E H Рис 2.5. M A x B N a) C D M x B E A N б) C b h E a D P h A B X в) B/ / A C/ D/ P/ C P A B X г) Рис 2.5. ГЛАВА III. МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ НА ПОСТРОЕНИЕ § 3.1. Понятие геометрического места точек Геометрическое место точек ГМТ является одним из фундаментальных понятий в геометрии. ГМТ называется совокупность точек, обладающих свойствами, исключительно им принадлежащими. Если задача приводится к определению точки, то можно отбросить одно из условий, которому эта точка должна удовлетворять;

тогда искомая точка станет способна принять бесчисленное количество последовательных положений, и все эти положения составят геометрическое место точек, обладающих всеми требуемыми свойствами, кроме отброшенного. Фигура этого геометрического места чаще бывает нам заранее известна;

в противном случае ее надо определить вспомогательными построениями. Затем, приняв отброшенное условие и откинув какое-нибудь другое условие задачи, мы вновь увидим, что искомая точка станет способна принять бесчисленное множество новых положений, образующих новое геометрическое место точек. Определим фигуру этого геометрического места, если она нам известна. Тогда искомая точка должна лежать и на первом и на втором геометрическом месте, а потому определяется их пересечением.

Иногда для определения точки достаточно построить одно геометрическое место, потому что другое дано в условии задачи. Если же искомая точка в задаче подчинена таким условиям, которые все в совокупности определяют только одно геометрическое место, то задача становится неопределенной.

Отсюда видно как важно знать различные геометрические места.

Знание геометрических мест иногда позволяет сразу видеть, где находится известная точка. Так, если точка должна находиться на расстоянии а от прямой АВ, то она лежит где-нибудь на прямой CD, параллельной АВ и отстоящей от нее на расстоянии а, и т.д Из множества геометрических мест укажем следующие1. Геометрическое место точек, имеющих постоянное расстояние от одной и той же фиксированной точки.

Это место представляет собой окружность, центром которой служит фиксированная точка, а радиус равен постоянному расстоянию.

2. Геометрическое место точек, равноотстоящих от двух фиксированных точек (симметраль или медиатриса).

Известно, что таким место служит перпендикуляр, восстановленный в середине отрезка, определяемого двумя фиксированными точками.

3. Геометрическое место точек, имеющих постоянное расстояние от одной и той же фиксированной прямой.

Такое место точек - это пара прямых, параллельных фиксированной прямой и находящихся от нее на заданном расстоянии.

4. Геометрическое место точек, равноотстоящих от двух фиксированных прямых.

Как известно из элементарного курса, таким местом точек служат биссектрисы угла, образованного фиксированными прямыми, причем предполагается, что последние пересекаются.

Если же фиксированные прямые параллельны, то искомым геометрическим местом является их средняя линия (т.е. прямая, им параллельная и делящая пополам отрезок, определяемый какими-нибудь двумя точками той и другой прямой).

5. Геометрическое место точек плоскости, из которых некоторый фиксированный отрезок виден под постоянным углом.

В элементарном курсе доказывается, что это место состоит из двух одинаковых, симметрично расположенных относительно данного отрезка дуг окружностей, проходящих через концы фиксированного отрезка АВ (рис. 3.1.1). Полезно напомнить, как строится центр какой-нибудь из них.

Пусть - постоянный угол, под которым виден из точек геометрического места фиксированный отрезок АВ. Проводим через А прямую АС, образующую с АВ угол. Далее строим AOAC и DOAB, где D есть середина отрезка АВ. Точка О пересечения прямых АО и DO является искомым центром окружности АВМ. В самом деле из точки М, которая может быть любой из точек дуги АМВ отрезок АВ виден AB AMB = = BAC =, так, как угол ВАС образован хордой и касательной (прямая АС перпенди кулярна к АО, касательна к окружности).

В частном случае, геометрическим местом точек, из которых фиксиро ванный отрезок виден под прямым углом, служит окружность построения на этом отрезке как на диаметре.

Большое значение для геометрических построений имеет рассматриваемое ниже ГМТ.

6. Геометрическое место точек, расстояния которых от двух фиксированных точек плоскости находится в постоянном отношении.

Обозначим фиксированные точки буквами А и В, а произвольную точку искомого геометрического места через М (рис. 3.1.2).

Предположим, что AM:BM=. Далее проведем биссектрисы МР и MQ углов, образованных при точке М прямыми АМ и ВМ. Пусть эти биссектрисы пересекают прямую l в точках Р и Q. Следовательно:

AMP=BMP и BMQ=A'MQ. Точки Р и Q по свойству биссектрис треугольника, должны делить отрезок АВ в отношени, равном отношению АМ:ВМ, т.е.

AP AQ AM = = =.s PB BQ BM Отсюда заключаем, что точки Р и Q имеют вполне определенное положение на прямой АВ.

В самом деле, точка Р делит отрезок АВ внутренним образом, а точка Q - внешним образом в данном отношении. Такие две точки называются "гармоническими точками" или "гармонически сопряженными" относительно точек А и В.

Итак, положение точек А и В вполне определено заданием и не зависит от М.

С другой стороны, прямые МР и MQ как биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Поэтому, если на отрезке PQ как на диаметре, построить окружность PMQ, то построенная окружность пройдет через каждую точку М, удовлетворяющую условию геометрического места.

Только что построенная окружность называется аполлониевой. Таким образом, всякая точка М искомого геометрического места лежит на соответствующей окружности Аполлония [12, 13, 33].

3.2. Применение метода геометрических мест в определении понятия геометрического места точек Весьма удобным методом для решения геометрических задач на построение является метод геометрических мест.

Он основывается на следующем: стараются свести всю задачу к нахож дению некоторой точки X, что в большей части случаев сделать нетрудно.

Точка X, определяется двумя условиями, вытекающими из требования задачи. Если устранить первое из условий, то существует не одна только точка X, но обесчисленное множество таких точек, составляющих в совокупности некоторую линию, некоторое геометрическое место. Если же устранить второе условие и ограничиться первым, то получится другое геометрическое место. Каждая точка пересечения этих двух геометрических мест удовлетворяет требованиям задачи. Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо располагать перечнем всех фигур, которые считаются уже известными, простейшими, элементарными. Этот перечень является условным. В условиях элементарной планиметрии естественно отнести к числу элементарных фигур прежде всего следующие фигуры: всю плоскость, точки, прямые, отрезки прямых, лучи, окружности, дуги окружностей.

Если какая-либо фигура является пересечением, соединением или раз ностью двух элементарных фигур, то мы также отнесем ее к числу элемен тарных фигур.

Точный смысл задачи о нахождении ГМТ, обладающих данным свойством, состоит в том, чтобы указать какую именно элементарную фигуру представляет собой искомое геометрическое место точек [30, 40, 41].

§ 3.3. Простейшие примеры геометрического места точек на плоскости Приведем несколько простых примеров употребления метода геомет рических мест:

Задача 1. Найти геометрическое место середин хорд, отсекаемых данной окружностью на прямых, проходящих через данную точку.

Анализ решения. Пусть - данная окружность;

О - ее центр;

А - данная точка (рис. 3.3.1).

Пусть Р - середина какой-либо из рассматриваемых хорд, именно хорд MN.

Соединим точки Р и О. Тогда POMN. Таким образом, отрезок ОА виден из точки Р под прямым углом. Значит чтока Р принадлежит окружности, построенной на отрезке ОА как на диаметре.

Кроме того, точка Р должна лежать внутри данной окружности. Мы приходим таким образом к следующему предположению: искомым геомет рическим местом точек является расположенная внутри данной окружности w часть окружности w', построенной на ОА как на диаметре.

Для доказательства верности нашего предположения нужно показать, во-первых, что середина каждой из рассматриваемых хорд принадлежит указанной фигуре, во-вторых, что каждая точка Q, принадлежащая указанной части окружности w', является серединой одной из рассматриваемых хорд. Первое из этих предложений было доказано при анализе. Для доказательства второго предложения проведем через Q и А прямую. Она пересечет окружность w в двух точках, так как Q внутри окружности. Обозначим эти точки через S и T. OQA-900 как вписанный, опирающийся на диаметр, т.е. OQAQ, так что Q - середина хорды ST в силу теоремы: радиус, перпендикулярный к хорде, делит ее пополам (рис.

3.3.1).

Перейдем к исследованию. Если точка А вне окружности w, то рас сматриваемое геометрическое место - дуга окружности, имеющая концы на данной окружности и расположенная внутри данной окружности. Если же А внутри, или на данной окружности, но не совпадает с ее центром, то искомое ГМТ - окружность с диаметром.

Если А совпадает с центром данной окружности, то искомое ГМТ сама точка А.

Задача 2. Найти точку, отстоящую от данной точки А на расстоянии а, и от данной точки В на расстоянии, равном b.

Так как искомая точка отстоит от А (рис. 3.3.2) на расстоянии, равном а. то она лежит где-то на окружности, описанной из центра А радиусом, равным а;

так как в то же время расстояние искомой точки от точки В равно b, то она лежит на окружности, описанной из центра В радиусом, равным b. Искомая точка должна лежать и на той и на другой окружности, следовательно, она лежит в точке их пересечения. Значит, чтобы решить задачу, надо радиусом а и b описать окружности из центров А и В;

искомых точек получим две - М и N. Условие пересечения или касания окружностей будет условием возможности задачи: оно будет:

a+bAB и b-aAB.

Задача 3. Провести окружность, касательную к сторонам данного угла АВС и к одной из сторон его в данной точке F (рис. 3.3.3).

Искомый центр лежит на биссекторе ВМ данного угла. Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной, то искомый центр лежит на перпендикуляре OF, восстановленном к ВС. Окончательно искомый центр лежит в точке пересечения ВМ и OF. Поэтому для решения задачи нужно провести биссектор ВМ угла В и восставить FOBC;

точка пересечения ВМ и OF есть искомая;

радиус искомой окружности равен OF.

Задача 4. На данном отрезке АВ описать дугу, вмещающую данный угол (рис. 3.3.4).

Пусть дуга AMNB описана на АВ так, что всякий вписанный в ней угол АМВ или ANB равен данному углу. Вопрос сводится к определению центра дуги. Так как центр должен одинаковов отстоять от точек А и В, то он лежит, во-первых, на прямой ОЕAB, восставленной из середины АВ, во-вторых, он должен лежать на перпендикуляре АО, восставленном к касательной в точке А и, следовательно, искомый центр лежит в пересечении АО и ОЕ.

Что же касается определения положения AF, то замечаем, что углы АМВ и FAB измеряются половиной одной и той же дуги ALB, и потому FAB=, это следствие указывает как построить AF.

Из сказанного выходит следующее решение. В середине АВ восставим перпендикуляр;

построим угол FAB= и восставим в точке А перпендикуляр к AF. Центр искомой дуги будет в пересечении этих перпендикуляров. Решение два, потому, что угол m можно было построить в другую сторону. Если =900, то точка О сливается с точкой Е и обе искомые дуги дают одну окружность.

Задача 5. Построить треугольник, зная b, В и ha (рис. 3.3.5).

Построим сначала данное основание АС. Вершина В лежит где-то на дуге ALC, вмещающей угол В и описанной на АС. Чтобы определить, где именно она лежит, определим положение точки F - основание высоты AF.

Так как AF=ha, то точка F лежит где-то на дуге, описанной из центра А радиусом ha;

с другой стороны, так как угол AFC прямой, то точка F лежит на полуокружности, диаметр которой равен АС. Следовательно, F лежит в пересечении двух известных окружностей. Из этого выходит следующее решение. Отложив AC=b, опишем на ней дугу, вмещающую угол В. Затем начертив из центра А окружность радиусом ha, проведем к ней из точки С касательную FC и продолжим ее до пересечения с первой дугой в точке В. ABC будет искомый. Условие возможности ha b.

§ 3.4. Задача на нахождение ГМТ с заранее указанными свойствами Чаще всего фигура задается путем указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они. Такую фигуру называют иногда, как уже отмечалось, ГМТ, обладающих указанным свойством.

Свойство точек, при которых задается та или иная геометрическая фигура, называется характеристическим свойством точек этой фигуры.

Новые фигуры вводятся в геометрию обычно именно посредством указания характеристического свойства их точек. Так определяются, например окружность, эллипс, гипербола, парабола (конические сечения), синусоида, спираль Архимеда, эвольвента окружности, циклоидные кривые и т.д. [35, 37].

Чтобы доказать, что фигура есть множество всех точек, обладающих указанным свойством, надо доказать следующие два взаимообратных предложения:

1. Каждая точка фигуры обладает этим свойством.

2. Каждая точка, обладающая указанным свойством принадлежит фигуре.

Рассмотрим несколько задач на определение ГМТ с заранее заданными свойствами.

Эллипс. Эллипсом называется ГМТ плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) этой плоскости есть ве личина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами и равная 2a=AB, т.е. AF1+AF2=2a (рис.3.4.1). Расстояние 2с между фокусами F1 и F эллипса называется фокусным. Точка пересечения осей эллипса - центром, а точки пересечения осей с эллипсом - его вершинами. Отрезки, соединяющие противоположные вершины эллипса, равные соответственно 2а и 2b называются большой и малой осями. Отрезки, соединяющие фокусы эллипса с точками кривой - радиусами-векторами.

Эллипс можно получить в сечении кругового конуса или цилиндра, когда секущая плоскость пересекает все образующие поверхности Существует множество способов построения эллипса. Эти построения зависят от исходных данных.

Рассмотрим способ построения, когда даны большая АВ и малая CD оси эллипса.

Построение:

1) строим окружности с диаметрами равными АВ и CD;

2) делим обе окружности, например на 12 равных частей;

3) из точек деления большой окружности проводим продольные линии, а из точек деления малой - поперечные;

4) в пересечении этих линий мы получаем точки эллипса и соединяем их лекалом.

Если из точек С или D, как из центров проведем дугу, радиусом равную половине большой оси, то в пересечении с этой же осью получим фокусы эллипса.

Парабола. Параболой называется ГМТ плоскости, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), лежащих в той же плоскости.

Расстояние от точки параболы до фокуса называется фокальным радиусом.

Параболу можно получить в сечении конуса вращения, когда секущая плоскость параллельна какой-либо образующей конуса.

Существует много способов построения параболы, но мы рассмотрим наиболее распространенный, когда заданы директриса ЕМ и фокус F (рис.

3.4.2).

Построение:

1) проводим горизонтальную ось;

2) строим директрису ЕМ перпендикулярную оси, где точка Е будет пересечением директрисы и оси;

3) откладываем фокусное расстояние EF;

4) середина отрезка дает нам вершину параболы А;

5) от точки А откладываем отрезки постепенно увеличивающиеся по своей величине и отмечаем их соответственно 1,2,3,...;

6) из этих точек восстанавливаем перпендикуляры к оси;

7) из фокуса, как из центра, радиусами равными Е1, Е2,... проводим дуги до пересечения с перпендикулярами;

8) полученные в пересечении точки будут точками параболы, которые соединяем лекалом.

Гиперболой называется ГМТ плоскости, разность Гипербола.

расстояний которых до двух данных точек (фокусов) этой плоскости постоянна и равна 2а (рис. 3.4.3).

Расстояние между вершинами А и А1 ветвей гиперболы также равно 2а.

Гипербола имеет две оси MN - действительная и KL - мнимая. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием, а от любой точки гиперболы до фокусов - фокальными радиусами.


Гиперболу можно получить в сечении конуса вращения плоскостью па раллельной оси вращения.

Существует множество способов построения гиперболы, но мы рассмотрим один из них, когда дано расстояние между вершинами гиперболы АА1 и фокусное расстояние FF1, так что OA=OA1 и AF=A1F1.

Построение:

1) построим взаимноперпендикулярные оси MN и KL, тогда О точка пересечения осей будет центром гиперболы;

MN - будет действительной осиью, а KL - мнимой;

2) строим на MN точки А,А1, F и F1;

3) отложим от точки А влево постепенно увеличивающиеся по длине отрезки и отметим соответственно точки 1,2,3,...;

расстояния от вершин гиперболы до этих точек являются фокальными радиусами точек построения этой кривой;

4) из фокуса F проводим дугу радиусом равным 3А1, а из фокуса F1 радиусом равным 3А;

5) точки пересечения этих дуг дают нам точки К и К1 правой ветви гиперболы;

6) продолжаем построение остальных точек гиперболы соответственным образом;

7) полученные точки соединяем лекалом.

Ввиду того, что гиперболы имеют ветви симметричные относительно мнимой оси, построение левой ветви не составит труда.

Эвольвента. Эвольвентой назыается тректория плоскости, которую описывает каждая точка прямой, когда она нескользя перекатывается по окружности и в каждый момент является касательной к этой окружности.

Эвольвентой называют также разверткой окружности.

Рассмотрим построение такой кривой. Пусть дана окружность радиусом равны R (рис. 3.4.4).

Построение:

1) делим окружность, например, на 8 равных частей;

2) из точек деления проведем касательные к данной окружности;

3) на последней касательной отложим от точки А длину данной окружности АВ =2R;

4) разделим этот отрезок на такое же число равных отрезков, что и окружность, т.е. на 8;

5) на первой касательной из точки касания отложим отрезок равный 1/ длины окружности;

6) на второй касательной из точки касания отложим отрезок равный 2/ длины окружности и т.д.;

7) определив все точки, которые будут точками эвольвенты, соединяем их лекалом.

§ 3.5. Окружность Аполлония-Перского Одной из интересных задач нахождения геометрического места точек является "Окружность Аполлония", смысл этой задачи заключается в сле дующем: найти ГМТ плоскости, для которых отношение расстояния от двух заданных в этой плоскости точек А и В равно данному положительному числу (1).

Эта задача впервые была решена известным греческим геометром Аполлонием Пергским в Ч в. до н.э. в сочинении, которое до нас не дошло, но о котором упоминают некоторые древние математики (напр., Папп).

Способ, с помощью которого решил эту задачу Аполлоний, неизвестен.

Многие задачи из числа рассматриваемых в школьном курсе геометрии представляют частные или предельные случаи задачи Аполлония. Частные случаи овзникают при специальном расположении окружностей, предельные - когда все или некоторые из данных окружностей вырождаются в точку (радиус окружности равен нулю), или прямую (радиус окружности равен бесконечности).

Решение.На прямой АВ существуют две точки, принадлежащие искомому ГМТ: точка М, делящая отрезок АВ в отношении внутреннем образом (рис. 3.5.1), и точка N, делящая отрезок внешним образом, так что АВ:ВМ = (1) AN:BN= (2) Пусть теперь Р - произвольная точка искомого ГМТ. Тогда АР:ВР=. (3) Соединим Р, А, В, М и N. Из соотношений (1) и (3) следует, что АМ:ВМ=АР:ВР. Значит, отрезок РМ, исходящий из вершины Р, делит сторону АВ треугольника АРВ внутренним образом на части, пропорциональные боковым сторонам АР и ВР. Отсюда нетрудно заключить, что РМ - биссектриса угла АРВ.

Аналогично из соотношений (2) и (3) вытекает, что AN:BN=AP:BP, откуда следует, что PN - биссектриса угла КРВ (внешний угол треугольника АРВ при вершине Р). Но биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны;

поэтому MPN= Итак, из произвольной точки Р (отличной от М и N) искомого ГМТ, отрезок MN виден под прямым углом. Следовательно, каждая точка, обладающая указанным свойством, расположена на окружности.

диаметр которой является отрезок MN.

Докажем теперь обратное предложение: каждая точка Q этой окружности обладает тем свойством, что AQ:BQ=.

Если точка Q совпадает с точкой М или с точкой N, то предложение справедливо. Пусть Q отлично от М и от N.

Соединим Q с А, В, М и N (рис. 3.5.2). Из двух точек А и В одна расположена на отрезке MN, другая вне его. Положим для определенности, что В - внутренняя точка отрезка MN. Проведем через В прямую, параллельную АQ, и отметим точки С и D пересечения ее с прямыми QM и QN. Так как BMCAMQ то BC:AQ=BM:AM или BC:AQ=1:. Так как BDNAQN, то BD:AQ=BN:AN, т.е. BD:AQ=1:. Значит ВС=BD. Иными словами в треугольнике CDQ отрезок ОВ является медианой стороны CD.

Но треугольник CDQ прямоугольный (ибо CDQ=MQN=900, как вписанный, опирающийся на диаметр). Медиана же, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы, т.е.

QB=BC. Но раньше было показано, что BC:AQ=1:. Следовательно, AQ:BQ=, что и требовалось доказать.

Итак, геометрическим местом точек плоскости, расстояния которых от двух данных точек А и В находятся в данном отношении, отличном от нуля и единицы, является окружность концами одного из диаметров которой служат точки, делящие отрезок АВ внутренним и внешним образом в данном отношении. Эта окружность называется окружностью Аполлония.

Если число задано в виде отношения двух отрезков m и n, то окружность Аполлония легко может быть построена с помощью циркуля и линейки. Для этого достаточно очевидно построить точки М и N, делящие отрезокАВ в данном отношении соответственно внутренним и внешним образом. Способ построения ясен из рис. 3.5.3, где DK||BC и DM||BE, так что АМ:ВМ=AD:DE=m:n и AN:BN=AD:CD=m:n. Мы предполагали, что 0 и 1. Если =0, то искомое ГМТ состоит из единственной точки А.

Если =1, то искомое ГМТ - симметраль точек А и В [38, 42].

§ 3.6. Радикальная ось и радикальный центр При решении задач на построение, связанных с окружностями часто употребляются два ГМТ называемых радиальной осью и радикальным центром. Но прежде чем перейти к этим понятиям необходимо рассмотреть понятие - степень точки. Это понятие было введено немецким геометром Я.Штейнером.

Степенью точки М относительно окружности называется число s=d2-r2, где d - расстояние от точки до центра О, а r - радиус этой окружности.

Если точка М лежит внутри окружности, то (dr), и поэтому степень точки M s=d2-r2 - отрицательна и абсолютная величина ее в этом случае, равна квадрату половины наименьшей хорды, перпендикулярной к МО в точке М. Это видно из рис. 3.6.1,а.

Степень точки, находящейся вне окружности (dr) - положительна и равна квадрату касательной к окружности, проведенной из точки М, что видно из рис. 3.6.1,б).

Если точка на окружности, то (d=r), следовательно s=0.

Степень точки относительно другой точки (точка рассматривается как окружность r=0, равна квадрату расстояния между этими точками s=d2).

Степень точки относительно прямой (прямая рассматривается как окружность с r=), не проходящей через эту точку s=, проходящей через эту точку s=0.

ГМТ, имеющих равные степени относительно двух данных окружностей неконцентрических между собой есть прямая перпендикулярная к линии центров окружностей. Эта прямая называется радикальной осью (р) двух данных окружностей. Если окружности пересекаются в двух точках, то степени этих точек относительно окружностей равны нулю, следователно радикальная ось (р) проходит через эти две точки, так как прямую определяют две точки (рис. 3.6.2,г).

Если две окружности касаются друг друга, то (р) является касательной к обеим окружностям (рис. 3.6.2,б,в).

Если две окружности не имеют ни одной общей точки, то нахождение радикальной оси требует дополнительных построений (рис. 3.6.3,а,б), окружности 3. Если даны две непересекающиеся окружности, то радиус произвольно, но с таким условием, чтобы она пересекала данные окружности.

Точка пересечения радикальных осей трех окружностей центры которых не лежат на одной прямой называется радикальным центром.

Степени радикального центра трех окружностей относительно этих окружностей равны.

Радикальный центр трех окружностей находится или вне или внутри этих окружностей.

Касательные (или наименьшие хорды) трех окружностей, проведенные через радикальный центра, равны между собой.

У радикальной оси есть интересное свойство, которое полезно применять при решении некоторых задач на построене: внешняя, относительно каждой из двух окружностей, часть их радикальной оси является ГМТ (геометрическим местом точек), каждая из которых служит центром некоторой окружности пересекающей данные окружности ортогонально.

Ортогональными окружностями будем называть окружности, у которых радиусы, проведенные к точке пересечения, составляют прямой угол. Если это так, то каждый радиус будет в свою очередь являться касательной к другой окружности и следовательно, касательные, проведенные к точке пересечения окружностей так же составят прямой угол [47, 48].

§ 3.7. Пучoк окружностей Совокупность окружностей, имеющих попарно общую радикальную ось, называется пучком окружностей.

В зависимости от того, пересекает ли радикальная ось окружности пучка, касается их, или не пересекает и не касается, имеет три вида пучков:

эллиптический, параболический и гиперболический. Прямая, служащая общей радикальной осью для всех пар окружностей пучка, называется осью этого пучка.

Общая точка всех окружностей параболического и эллиптического пучка называется иногда центром пучка.

1. Эллиптический пучок окружностей.

Предположим, что имеются две пересекающиеся окружности. Точки пересечения окружностей обозначим буквами Р и Q.

Как уже известно, радикальная ось данных окружностей проходит через точки Р и Q. Следовательно, каждая новая окружность, имеющая с одной из данных радикальной осью прямую PQ, должна проходить через точки Р и Q, ибо степень этих точек относително данных окружностей равна нулю. Таким образом, эллиптический пучок состоит из всех окружностей, проходящих через точки Р и Q. Эти точки называются центрами пучка.

Следовательно, две любые окружности эллиптического пучка определяют его, так как определяют общую радикальную ось и центры Р и Q.Задание одной точки, через которую должна проходить окружность пучка, вполне определяет эту окружность. В самом деле, пусть М такая точка(рис. 3.7.1).

Тогда окружность пучка должна проходить через точки Р, Q и М.

Центр ее должен находиться на линии центров, которой, очевидно, служит прямая О1О2, перпендикулярная к хорде РQ в ее середине. Поэтому восставляя перпендикуляр к хорде в ее середине, мы построим точку пересечения его с линией центров. Эта точка O и является центром окружности (MPQ). В эллиптическом пучке имеется наименьшая окружность, или окружность наименьшего диаметра. Нетрудно видеть, что такой окружностью явлется та, для которой общая хорда РQ служит диаметром, т.е. центр которой находится в точке пересечения радикальной оси РQ с линией центров. Всякая окружность пучка больше минимальной, так как для нее РQ служит хордой и, следовательно, ее диаметр больше.

2. Параболический пучок определяется двумя касающимися окружностями. Радикальной осью таких окружностей служит общая касательная в точке их прикосновения Т (рис. 3.7.2). Все окружности пучка касаются радикальной оси в точке Т;

в той же точке они касаются друг друга. линия центров O1O2 также проходит через Т и перпендикулярна радикальной оси. Произвольная точка М (не лежащая на прямой O1O2 и радикальной оси) определяет окружность параболического пучка. Центр ее находим, восставля перпендикуляр к хорде МТ в ее середине.

3. Гиперболический пучок.

Рассмотрим теперь случай двух окружностей, не имеющих общих точек (рис. 3.7.3). Мы уже знаем способы построения радикальной оси в этом случае. Последняя не имеет общих точек с окружностями гиперболического пучка. Покажем, как построить окружность пучка, проходящую через данную точку М. Через точку М проводим O окружность произвольного радиуса (r), лишь бы она пересекла обе данные окружности. Тогда точка R есть радикальный центр окружностей O, O1 и O2. Проведем прямую RM и обозначим вторую точку пересечения ее с окружностью O через N. Нетрудно убедиться в том, что искомая окружность пучка, определяемая точкой М, должна проходить и через точку N. В самом деле, точка R, как радикальный центр, должна лежать на общей радикальной оси пучка. Центр окружности, которая проходит через точку М, строится следующим образом: из середины хорды MN восставляем перпендикуляр до пересечения с линией соединяющей центры O1 и O2. Точка пересечения является центром искомой окружности.

Точку можно рассматривать как окружность нулевого радиуса, или, коротко, "нулевую окружность". Если точка O - нулевая окружность (r=0), то степень произвольной точки М относительно O выразится через квадрат расстояния от точки М до окружности (или ее центра O), то замечание будет полезно в дальнейшем.

Посмотрим какие пучки могут иметь в своем составе нулевые окружности. Как мы заметили, эллиптические пучки немогут иметь нулевых окружностей, так как наименьшая окружность своим диаметром имеет хорду PQ (рис. 3.7.1).

Для параболического пучка нулевой окружности является точка прикосновения Т (рис. 3.7.2). В самом деле, степень произвольной точки S радикальной оси параболического пучка относительно нулевой окружности (Т) равна ST2. Но той же величиной выражается степень точки S относительно любой окружности пучка, так как ST касательная ко всякой окружности пучка. Следовательно, нулевая окружность (Т) принадлежит к пучку, таккак имеет общую с ним радикальную ось TS.

Переходя теперь к гиперболическому пучку, мы должны учесть то обстоятельство, что нулевыми окружностями могут быть лишь точки линии центров, это следует из того, что нулевая окружность совпадает со своим центром, а последний для всякой окружности пучка лежит на линии центров. Предположим, что М - какая-нибудь точка радикальной оси гиперболического пучка (рис. 3.7.3). Степень этой точки относительно окружности O1 равна квадрату касательной MT12. Построим окружность радиуса MT1, из центра М. Обозначим точки пересечения этой окружности с линией центров буквами А и В. Нетрудно видеть, что точки А и В будут нулевыми окружностями гиперболического пучка. В самом деле, степень точки М относительно нулевой окружности (А) выражается величиной АМ2 и равна степени точки М относительно окружности (O1), которая выражется величиной MT12. Следвательно, радикальная ось окружностей (А) и (O1) проходит через точку М и перпендикулярна к линии центров, т.е. она совпадает с общей радикальной осью гиперболического пучка.

Аналогично можно сказать и о точке В. Таким образом, эти точки А и В являютсянулевыми окружностями гиперболического пучка.

Рис. 3.7.4 позволяет сделать вывод о так называемых ортогональных траекториях. Построение окружности радиусом MT1 с центром в точкеМ является такой ортогональной окружностью. Действительно, радиус МТ равен касательной, проведенной из точки М к любой из окружностей гиперболического пучка, так как точка М имеет одинаковую степень по отношению ко всем этим окружностям. Но это значит, что окружность (М) пересекает все окружности пучка ортогонально, так как радиус окружности, проведенной в точку пересечения, касается каждой пересекаемой окружности. Ортогональная окружность М проходит через нулевые окружности А и В, что естественно должно иметь место, так как пересечение нулевой окружности сводится к прохождению через нее окружности М. Замечая, что точка М была выбрана на радикальной оси произволно, мы приходим к выводу, что точки радикальной оси пучка являются центрами ортогональных окружностей, а касательные из этих точек к любой окружности пучка - радиусами ортогональных окружностей. Все ортогональные окружности проходят через точки А и В нулевые окружности гиперболического пучка. Следовательно, ортогональные окружности образуют в свою очередь пучок, но уже эллиптический. Центрами его служат нулевые окружности А и В гиперболического пучка.

Задача очевидно, может быть и обратной. Если мы рассмотрим эл липтический пучок окружностей, пересекающихся в точках А и В, то его ортогональными траекториями, очевидно будут окружности гиперболического пучка, для которого точкиА и В будут нулевые окружности, радикальная ось АВ - линией центров O1O2, а линия центров М1М - радикальной осью.

Таким образом, ортогональные траектории эллиптического пучка образуют гиперболический пучок и обратно.

Рассмотрим вопрос об ортогональных траекториях для параболического пучка.

Нетрудно увидеть, что для параболического пучка его радикальная ось является геометрическим местом центров ортогональных окружностей (рис. 3.7.4). Так как касательная МТ1 равна отрезку МА, то все окружности ортогонального пучка проходят через точку А. В этой точке они касаются друг друга и прямой. Последняя является их общей радикальной осью.

Таким обра-зом, пучок ортогональный параболическому, также является параболическим.

Приводим пример: Даны точки А и В и прямая t. Требуется построить окружность, проходящую через точки А и В и касающуюся прямой t.

Анализ. Окружности, проходящие через точки А и В, образуют эллип тический пучок. В задаче требуется выбрать из пучка окружностей ту окружность, которая коснется прямой t.

Предположим, что задача решена и искомая окружность построена (рис. 3.7.5,а). Точку ее касания с прямой t обозначим буквой T. Проведем секущую АВ. Точку пересечения прямых t и АВ обозначим буквой С.

Тогда степень точки С относительно окружности O будет равна СТ2.

Таким образом отрезок СТ может быть построен.

Построение. Для построения отрезка СТ воспользуемся свойством ра дикальной оси. Строим произвольную окружность (O'), проходящую через точки А и В (рис. 3.7.5,а). Тогда прямая АВ является радикальной осью окружностей (O) и (O'). Поэтому степень точки С относительно обеих окружностей одинакова и отрезок касательной СТ к окружности (O) равен отрезку СT' касательной и окружности (O'). Проводим касательную CT' и из точки С описываем окружность радиусом CT'. Точки пересечения ею с прямой t обозначим буквами Т1 и Т2. Искомая окружность определяется точками А, В и Т1 или А, В и Т2. Ее нетрудно построить.

Доказательство. Обе построенные окружности (А, В, Т1) и (А, В, Т2) принадлежат к эллиптическому пучку с центрами А и В. Окружность (C, CT') является их ортогональной окружностью, поэтому прямые СТ1 и СТ должны быть касательными к соответствующим окружностям.

Следовательно построение окружности удовлетворяет условиям задачи.

Исследование. Вопрос о существовании решений и о числе их зависит от расположения данных точек А и В и прямой t на плоскости чертежа.

Если точки А и В расположены по одну сторону прямой t, причем ABt, то имеем два решения задачи как на рис. 3.7.5,а.

Если AB||t, то имеем только одно решение (рис. 3.7.5,б), которое в этом случае находится следующим образом. Прямая OТ перпендикулярна к АВ и проходит через его середину. Она определяет точку касания Т. Затем строим центр окружности O.

Если обе точки А и В лежат на прямой t, то задача, очевидно, невозможна.

Наконец, если точка А и В лежат по разные стороны прямой t, то, как нетрудно видеть, задача также невозможна. В самом деле, в этом случае всякая окружность, проходящая через А и В, пересекает прямую t (рис.

3.7.5,в), которая следовательно не может быть касательной, как то требуется в условии задачи [3, 23].



Pages:   || 2 | 3 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.