авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«А. Шавгулидзе, Л. Асатиани ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА (ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ) УНИВЕРСИТЕТ” ГРУЗИНСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

-- [ Страница 2 ] --

§ 3.8. Построение Мора-Маскерони Многие геометрические задачи на построение естественным образом решаются с использованием только циркуля, причем использование линейки иногда даже не упрощает решения той или иной задачи.

Например: разделить окружность на шесть равных частей, построить точку симметричную данной точке, относительно данной прямой и т.д.

Никакая задача, где требуется провести прямую не может быть решена одним циркулем: искомая прямая не может быть проведена, если разрешено употреблять только циркуль. Но положение прямой на плоскости определяется любыми двумя ее точками. Поэтому естественно считать, что прямая в известном смысле уже построена, если определены ее две любые точки. Такая точка зрения не расходится с теоретическими принципами геометрии и во многих случаях удовлетворяет практическим потребностям чертежника или геодезиста. Круг задачи при такой постановке вопроса значительно расширяется. Например: циркуль позволяет разделить пополам данный угол или найти перпендикуляр к данной прямой, проходящей через данную точку, так как в этих задачах линейка употребляется только для выполнения последней операции - для вычерчивания прямой.

Мор в 1672 г., а затем (в 1797 г.) Маскерони пришли к выводу, что все геометрические задачи на построение, решаемые циркулем и линейкой, могут быть решены одним циркулем.

Теорема Мора-Маскерони гласит: любая геометрическая задача на построение фигуры из конечного числа точек, решаемая при наличии циркуля и линейки, может быть решена при наличии только циркуля. При этом имеется ввиду, что данная фигура состоит только из конечного числа точек окружностей или точек дуг окруженостей, прямых, отрезков и лучей.

Без этой оговорки теорема также может привести к неопределенности.

Например, если на чертеже приведена синусоида и даны две точки А и В, то нельзя утверждать, что при наличии только циркуля можно построить точки пересечения этой линии с прямой АВ, хотя при наличии линейки эта задача, очевидно, разрешима (если точки пересечения существуют).

Условимся прямую называть "известной", если построены какие-либо две ее точки. Отрезок назовем "известным", если построены его концы, а луч - если построены начало и какая-либо принадлежащая ему точка.

Ясно, что известная прямая не является построенной: она может быть построена, если мы располагаем линейкой, но циркуль не дает возможности построить "известную" прямую.



Если исходя из данной фигуры, оказывается возможным построить другую фигуру, пользуясь циркулем и линейкой, наша задача - установить, что все точки фигуры можно построить, употребляя для построения исключительно циркуль.

Строя фигуру циркулем и линейкой, устанавливается конечная после довательность построений этими инструментами для решения данной задачи.

Решая задачу с помощью циркуля и линейки, мы получаем точки лишь при выполнении следующих построений:

1) построение точки пересечения двух известных прямых (которые для этого предварительно строятся);

2) построение общих точек окружности и известной прямой (для чего эта прямая строитс я на одном из предыдущих этапов построения);

3) построение общих точек двух окружностей;

4) построение любого конечного числа точек, принадлежащих известной прямой (или известному лучу, или известному отрезку), для чего эта прямая предварительно построена;

5) построение любого конечного числа точек, принадлежащих построенной окружности;

6) построение точки, заведомо не принадлежащей соединению конечного числа построенных точек, построенных окружностей (или дуг окружностей) и известных прямых (для чего известные прямые предварительно строятся).

Понятно, что для выполнения построений (3) и (5) достаточно располагать только циркулем. Исходя из этого можно доказать, что имея только циркуль можно выполнить следующие построения:

1,а) построить точку пересечения двух непараллельных прямых (не строя этих прямых);

2,б) построить точки пересечения построенной окружности и известной прямой (если такие точки существуют);

4,в) построить точки принадлежащие известной прямой;

6,г) построить точки, заведомо не принадлежащие соединению конечного числа построенных точек, построенных окружностей и известных прямых.

Чтобы доказать выполнимость построений (1'), (2'), (4') и (6') исключительно циркулем решим предварительно следующую задачу:

- известны отрезки a,b и c;

построить, пользуясь только циркулем, четвертый пропорциональный отрезок, т.е. такой отрезок x, чтобы a:b=c:x.

Можно предпологать, что ab, так как в случае a=b задача проста, так как x=c.

Изберем на плоскости произвольную точку O и проведем окружность w(O,a) (рис. 3.8.1). Построим также концентрическую ей окружность w'(O,b). Изберем произвольную точку А на окружности w и точку A' на окружности w'. Пусть В - точка пересечения окружности w с окружностью w', а B' - точка пересечения окружности w' с окружностью (B,AA') (такая, что треугольник AOA' и BOB' одинаково ориентированы). Теперь AOA'=BOB' по трем сторонам, так что AOA'=BOB'. Отсюда AOB=A'OB'.

вытекает, что Следовательно, равнобедренный треугольник АОВ подобен равнобедренному треугольнику A'OB', так что AO:A'O=AB=A'B' или, по построению, a:b=c:A'B'. Таким образом, отрезок A'B' искомый.

Примечание: если c2a, тогда задача не имеет решения, так как окружность w и АС не будут иметь общих точек. Если при этом b2a, то в пропорции a:b=c:x, а следовательно, и в ходе построения, можно поменять местами отрезки b и с. Если же c2a и одновременно b2a, то строят отрезок a'=na такой, что a'c после этого строят отрезок b'=nb искомый отрезок x удовлетворяет условию a':b'=c:x и может быть построен указанным ранее способом.





Перейдем к рассмотрению основных построений:

Построение (1'). Даны четыре точки А,В,С и D. Построить точку пересечения прямых АВ и CD, пользуясь только циркулем. Допустим, что задача решена и точка L (рис. 3.8.2) искомая. Построим точки C' и D', симметричные точкам C,D относительно прямой АВ. Искомую точку пересечения прмых АВ и CD можно рассматривать теперь как точку пересечения прямых CD и C'D'. Если CDD'C' параллелограмм, то точки C,C' и Е лежат на одной прямой. Точка Е может быть построена как точка пересечения окружностей (C,DD') и (D',DC). Из подобия треугольников CLC' и C'D'C' видно, что C'E:C'D=C'C:C'L.

Поэтому отрезок C'L может быть построен как 4-й пропорциональный к трем известным C'E, C'D и C'C. Искомая точка L найдется после этого в пересечении окружностей (C',C'L) и (C,C'L).

Если прямые АВ и CD окажутся перпендикулярными (CC' и DD' на одной прямой), то решение задачи упрощается: искомая точка L может быть построена как середина отрезка CC'.

Построение (2'). Даны две точки А и В и окружность (O,r). Требуется построить общие точки прямой АВ и окружности (O,r) не проводя прямой АВ.

Пусть O'- точка, симметричная с точкой O относительно АВ (рис.

3.8.3). Обозначим через М и N точки пересечения окружности (O',r) с окружностью (O,r). Так как каждая из этих точек одинаково удалена от точек O и O', то эти точки располагаются на одной прямой АВ, которая служит симметралью отрезка OO'. Значит М и N - искомые точки. Если окружности касаются, то их общая точка является искомой.

Построение несколько усложняется, если точка O расположена на прямой АВ: в этом случае точки O и O' сольются и описанное построение не проходит. При таких условиях приходится воспользоваться следующим построением.

Задача. Построить середину данной дуги окружности (рис. 3.8.4). Пусть (O,r) - данная окружность, АВ - данная дуга этой окружности. Дополним фигуру АВO до параллелограмма АВOС и до параллелограмма ABDO. Для этого достаточно провести окружность (O,AB) и пересечь ее окружностями (A,r) и (B,r). Пусть Е одна из точек пересечения окружностей (C,CB) и (D,DA). Проводим окружность (C,OE) до пересечения с данной дугой АВ в точке F. Тогда F - середина дуги АВ. Для доказательства этого обозначим искомую середину дуги АВ буквой X.

CX2=CO2+r2.

Тогда С другой стороны по известному свойству параллелограмма получим: 2AB2+2AC2=CB2+AO2, откуда CB2 = 2AB2 = r Следовательно, OE2 = CE2-CO2 = CB2-AB2 = AB2-r2 = CO2+r2. Значит CF2=CO2+r2, так как CF=OE. Таким образом CX=CF, откуда следует, что точка F совпадает с серединой дуги.

Пользуясь этой вспомогательной задачей, можно выполнить построение (2') в случае, если прямая АВ проходит через центр O данной окружности (O,r).

Для этого изберем на данной окружности (O,r) произвольную точку С (рис. 3.8.5) и проведем окружность (A,AC). Пусть C' вторая точка пересечения этой окружности с данной. Тогда середины обеих дуг CC' окружности (O,r) и будут искомыми точками М и N, пересечения прямой АВ с окружностью (O,r). Может, конечно,случиться, что точка C' совпадает с точкой С. В этом случае точка С будет одной из искомых точек. Для построения второй искомой точки достаточно удвоить отрезок СО.

Построение (4'). Пусть известны две точки А и В. Требуется построить произвольное количество точек прямой АВ не проводя этой прямой.

Изберем произвольную точку С плоскости. Если она окажется расположенной на прямой АВ, то эта точка искомая. Допустим, что это не так.

Тогда построим (рис. 3.8.6) точку С, симметричную с точкой С относительно прямой АВ. После этого для получения новых точек прямой АВ (на рис. точки М1 и М2) достаточно провести окружности (C,r) и (C1,r), где r - произвольный отрезок, больший, чем 1/2CC1 (например, отрезок СС1) и построить их точки пересечения;

эти точки заведомо принадлежат прямой АВ, так как каждая из них одинаково удалена от точек С и С1.

Описанное построение можно было не приводить, так как первые два построения дают возможность построить произвольное число точек на прямой, заданной двумя точками.

Построение (6'). Пусть построены k точек А1,А2,...Ak и n окружностей w1,w2,...wn, а также известны m прямых a1,a2,...am. Надо найти точку не совпадающую ни с одной из этих точек и не принадлежащую ни одной из этих окружностей или прямых.

Изберем произвольную точку А и какую-либо точку В, не лежащую ни на одной из построенных окружностей.

Изберем произвольную точку А и какую-либо точку В, не лежащую ни на одной из построенных окружностей (для чего не требуется ни линейки ни циркуля). Тогда окружность wn+1(A,AB) не совпадает ни с одной из окружностей w1,w2,...wn. Этой окружности могут принадлежать некоторые из точек A1,A2,...Ak, на ней могут оказаться также точки пересечения с заданными окружностями. Изберем на окружности wn+1, сверх этих, еще m+1 точек. Тогда по крайней мере одна из этих 2m+1 точек удовлетворяет требованиям задачи, так как прямые a1,a2,...am могут встретиться с окружностью wn+1 самое большое в 2m точках. Путем конечного числа испытаний среди 2m+1 избранных точек можно выделить искомую.

Теорема Мора-Маскерони, таким образом доказана.

Для доказательства теоремы Мора-Маскерони можно воспользоваться также свойствами инверсии. Такой метод доказательства применяется в книге Адлера.

Общий метод решения какой-либо геометрической задачи на построение исключительно циркулем состоит в том, что намечают план ее решения посредством циркуля и линейки, а затем пользуются изложенными здесь способами замены построений циркулем и линейкой, построениями исключительно циркулем [3, 51].

§ 3.9. Построение Понселе-Штейнера Начиная с XVII века внимание математиков было привлечено геомет рическими построениями, производимыми исключительно линейкой.

Такого рода построениями занялись Мор, Ламберг (1774 г.), Брианшон (1783-1864), Понселье (1788-1867) в связи с его исследованиями по проективной геометрии.

Наиболее полные исследования в этой области были произведены швейцарским геометром Я.Штейнером (1796-1863), который изложил их в известном сочинении "Геометрические построения, производимые с помощью прямой линии и неподвижного круга" (1833).

Пользуясь только линейкой, можно решить очень ограниченный круг геометрических задач на построение. Нельзя, например, пользуясь только линейкой разделить пополам отрезок или провести параллель к данной прямой. Однако эти и многие другие задачи могут быть решены только линейкой, если на плоскости дана некоторая вспомогательная фигура.

Рассмотрим некоторые построения такого рода. Для этого рассмотрим вспомогательную "лемму о трапеции".

Прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолженных ее боковых сторон, делит оба основания трапеции пополам.

Доказательство. Пусть ABCD (рис. 3.9.1) - данная трапеция, АВ и CD ее основания, O - точка пересечения диагоналей, Р - точка пересечения продолженных боковых сторон, М и N - точки пересечения прямой OР с осно-ваниями трапеции.

Из подобия треугольников AОМ и CON следует, что AM:CN=OM:ON, а из подобия треугольников ВОМ и DON следует, что BM:DN=OM:ON. Из двух последних пропорций следует:

AMDN=CNBM (1) Из подобия треугольников АРМ и DPM следует, что AM:DN=PM:PN, а из подобия треугольников ВРМ и CPN вытекает, что BM:CN+PM:PN. Из этих двух пропорций заключаем, что AMCN=DNBM. (2) Из соотношения (1) и (2) заключаем, что AM2=BM2, откуда АМ=ВМ.

Теперь уже не составляет труда убедиться, что DN=CN.

Решим теперь несколько задач, пользуясь исключительно линейкой.

Доказательство проводится на основании леммы о трапеции по методу "от противного".

Задача 1. Через центр данного параллелограмма провести прямую параллельную его стороне.

Пусть АВСD (рис. 3.9.3) - данный параллелограмм, O - его центр. Учтя, что AO=CO и BO=DO, можно воспользоваться предыдущей задачей и провести CE||BD и DF||AC.

Если точка М точка пересечения прямых СЕ и DF, то прямая ОМ параллельна стороне AD.

Для доказательства рассмотрим треугольник АСК, где К - точка пересечения прямых AD и CM. Треугольник DKM равен треугольнику ADO по двум сторонам и углу между ними. А поэтому KM=OD=CM.

Следовательно, прямая ОМ служит средней линией треугольника АСК и поэтому параллельна его основанию.

Пользуясь только линейкой, нельзя решить любую задачу, разрешимую с помощью циркуля и линейки. Но исследования показали, что достаточно воспользоваться циркулем один раз и такие задачи становятся разрешимыми.

Иначе говоря: всякая геометрическая задача на построение фигуры, состоящей из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена одной линейкой, если на плоскости построена какая либо окружность и отмечен ее центр. При этом предполагается, что данная фигура состоит из конечного числа точек, прямых, лучей, отрезков и дуг окружностей. Это предложение было установлено швейцарским математиком Я.Штейнером в 1833 г. Без доказательства это было приведено еще в 1822 г. французским геометром Понселе в его "Трактате о проективных свойствах фигур". Поэтому эту теорему называют теоремой Понселе-Штейнера.

Доказательство. Условимся окружность называть известной, если построен ее центр и построены концы отрезка, равного радиусу этой окружности. Если пользоваться только линейкой, то такая окружность не может быть построена, хотя с общегеометрической точки зрения она вполне определена.

Итак, при наличии линейки и построенной окружности с отмеченным центром (штейнеровой окружностью) можно выполнить следующие построения:

- (2"). Построение общих точек известной окружности и построенной прямой (если такие точки существуют);

- (3"). Построение общих точек двух известных окружностей (если такие точки существуют);

- (5). Построение точки, не принадлежащей соединению конечного числа построенных точек, построенных прямых и известных окружностей.

Все построения с 1 по 6 в п.9 данной главы в условиях теоремы Штейнера не вызывает сомнения.

Прежде чем перейти к построениям выполним ряд вспомогательных задач:

1-я вспомогательная задача. Через данную точку Р провести прямую, параллельную данной прямой а. Пусть (рис. 3.9.4) O - центр вспомогательной окружности. Выберем на прямой а произвольную точку М. Выберем на вспомогательной окружности такую точку А, чтобы прямая МА не была касательной и не проходила через точку O. Прямая МА пересечет вспомогательную окружность еще в одной точке С. Проведем через А и С два диаметра АВ и CD. Ясно, что четырехугольник ABCD параллелограмм (даже прямоугольник). Пусть ОК - прямая, параллельная АС (задача 3). Если прямая АС, ОК и BD пересекают данную прямую а соответственно в точках М, L и N, то ML=LN, так как АO=OВ. Для выполнения требуемого построения остается применить задачу 2.

Если прямая проходит через центр вспомогательной окружности (или хотя бы пересекает его), то решение задачи, очевидно упрощается.

2-я вспомогательная задача. Через данную точку Р провести прямую, перпендикулярную данной прямой а (рис.3.9.5). Проведем прежде всего диаметр АВ вспомогательной окружности, параллельной данной прямой (предыдущая задача). Пусть прямые РА и РВ пересекаются со вспомогательной окружностью в точках С и D. Обозначая через Q точку пересечения прямых ВС и AD, найдем, что PQAB, а следовательно, PQa. Действительно, прямые CQ и DP служат высотами треугольника APQ. Следовательно, АВ - третья его высота, так как все три высоты треугольника должны пройти через одну точку.

Описанное построение невозможно в двух случаях: 1) если прямая РВ (или прямая РА) касается окружности. В этом случае прямая РВ (соответственно РА) является искомой;

2) если точка Р расположена на окружности или на прямой АВ. В этом случае изберем вспомогательную точку P', не принадлежащую ни окружности, ни прямой АВ, проведем через P' перпендикуляр к данной прямой а указанным способом, а затем проведем через точку прямую, параллельную этому перпендикуляру.

3-я вспомогательная задача. На данной прямой а отложить от данной точки Р отрезок, равный данному отрезку.

Пусть O - центр вспомогательной (штейнеровской) окружности (рис.3.9.6). Строим параллелограмм OАВС (1-я вспомогательная задача).

Пусть луч ОС встречает вспомогательную окружность в точке М, а прямая OL, проведенная через O параллельно прямой а (2-я вспомогательная задача), встречает окружность в точке N. Пусть далее, прямая, проведенная через точку С параллельно прямой MN, встречает прямую OL в точке Q.

Прямая QP, проведенная параллельно OР, встречает прямую а в искомой точке X. Действительно:

Теперь перейдем к построениям (2), (3), (5) и (6).

Построение (2). Построение общих точек прямой и окружности. Пусть O1 - центр данной окружности, Р1 - данная ее точка, w(O,r) вспомогательная окружность, а1 - данная прямая (рис. 3.9.7). Требуется построить общие точки окружности (O1,O1Р1) с прямой а1.

Суть построения состоит в использовании гомотетии данной и вспо могательной окружности. Чтобы построить центр гомотетии S достаточно провести радус OР вспомогательной окружности параллельно O1Р1 и построить точку пересечения прямых O1O и Р1Р. Пусть прямая O1Р пересекает данную прямую а1 в точке М1. В пересечении OР с SM найдется прообраз М точки М1 в упомянутой гомотетии, а прямая а, проведенная через М параллельна а1, будет прообразом прямой а1. В пересечении прямой а с окружностью w будут прообразы X и Y искомых точек X1 и Y1, которые можно найти в пересечении прямых SX и SY с прямой а1. Может оказаться, что прямая а не пересечет окружность w. Это будет означать, что данная окружность (O1,O1Р1) не встречается с прямой а. Если прямая а коснется w, то и прямая а1 будет касаться окружности w1.

Построение (5). Построение произвольного конечного числа точек на известной окружности.

Умея строить точки пересечения прямой и окружности, можно построить сколько угодно точек на окружности, заданной центром и точкой на ней: достаточно пересечь эту окружность произвольной прямой.

Еще проще воспользоваться для этой цели 3-й вспомогательной задачей:

провести любую прямую через центр заданной окружности и отложить на этой прямой от центра отрезок равный радиусу.

Построение (3). Построение общих точек двух известных окружностей.

Как мы знаем из п.6 данной главы, точки пересечения окружностей являются точками радикальной оси этих окружностей. Следовательно построение сводится к нахождению радикальной оси данных окружностей, значит к построению (2).

Как известно, радикальная ось двух окружностей перпендикулярна к линии их центров и пересекает ее в точке Р, для которой разность квадратов расстояний от центров окружностей равна разности квадратов радиусов этих окружностей.

Восстановить перпендикуляр из данной точки к данной прямой - это 2 я вспомогательная задача, которую мы уже умеем решать. Нам надо найти эту точку Р.

Пусть (O1r1) и (O2r2) - данные окружности (рис.3.9.8). В точка O1 и O проведем перпендикуляр (2-я вспомогательная задача) к линии их центров.

Отложим на них соответственно отрезки O1A1=r2 и O2A2=r1 (3-я вспомогательная задача).

Пусть М - середина отрезка А1А2 (1-я задача). Пусть прямая, проведенная через точку М перпендикулярна А1А2, пересекает линию центров O1O2 в точке Р. Эта точка искомая. Действительно: O1P2=A1P2-r22 и O2P2=A2P2-r12. Но так как A1P=A2P, то O1P2-O2P2=r12-r22.

Построение (6). Построение точки заведомо не принадлежащей какой либо фигуре.

Само построение доказывается точно так же как и в п.9 данной главы.

Выбираем две точки, не принадлежащие уже к построенным прямым и строим соединяющую их прямую а. На этой прямой могут оказаться некоторые из построенных точек (это будет видно непосредственно).

Кроме того, могут быть построены все точки пересечения прямой а с построенными прямыми и с известными окружностями (построение 2).

После этого можно построить на прямой а точку, отличную от всех упомянутых здесь же точек.

Полученная точка будет искомой. Теорема Штейнера доказана.

/ N N P A / O O Q T S Рис 3.3. M b B A a N Рис 3.3. A M O B F C Рис 3.3. M N O E A L F O Рис 3.3. B ha A C b Рис 3.3. 2a D 2b 10 F1 F2 B 2c A C r=CD/2 R=AB/ Рис 3.4. V M IV III II I R=E E A 1 F 3 4 Рис 3.4. K R=3A R=3A N M4 3 2 1F A A1 F 2a L Рис 3.4. VI V VII R=A R=A IV R VII 8 7 6 5 4 3 2 A B III I II 2R Рис 3.4. K P A M B N Рис 3.5. Q D M o A B N C Рис 3.5. A M B N C m n D n E Рис 3.5. N N M r r d d M o o Рис 3.6. P P12 1 O1 O2 O1 O б) a) P 2 O2 O в) Рис 3.6. P o1 o P M P o а) P o o2 M P 3 P o б) Рис 3.6. M P O1 O Q Рис 3.7. S M T O1 O O Рис 3.7. M O N O2 O/ O1 R Рис 3.7. O M O1 O A B R T1 M Рис 3.7. A O O/ O1 T/ B t T1 C T a) O A B t T б) A t C B в) Рис 3.7. / B/ a o b AA/ A/ A c B // Рис 3.8. D C/ B A L C D/ E Рис 3.8. O/ r M N A B r O Рис 3.8. E B A D O r C Рис 3.8. r A M O N Рис 3.8. C M3 M A M2 B M C Рис 3.8. P b D N C O a A M B Рис 3.9. P D C O A M B Рис 3.9. C B F O M E K A D Рис 3.9. Q K C B O A P D M L N Рис 3.9. P C B O A D Q a Рис 3.9. M C Q L B N O M a X P R Рис 3.9. P P S r O a M O Y X a1 M Y X Рис 3.9. A M A r r O1 P O Рис 3.9. ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ При изучении ряда вопросов, при доказательстве теорем при исследовании геометрических образов, - в геометрии применяются различные преобразования;

параллельно перенесение, симметрия, вращение, подобие, инверсия и т.д.

К преобразованиям, при которых сохраняются основные образы геометрии углы, прямые, окружности, относятся ортогональные, подобные, афинные, проективные и круговые (инверсионные), такие преобразования называются простейшими, так как геометрические образцы при них сохраняются. Отрезки и углы при ортогональных преобразованиях, прямые линии при афинных и проективных, прямые и окружности при круговых (инверсионных).

Рассмотрим некоторые простейшие преобразования.

§ 4.1. Параллельный перенос § 4.1.1. Аксиома и следствие о параллельных прямых Примем без доказательства следующее предложение.

Аксиома параллельных. Через данную точку проходит не более одной прямой.

Следствие I. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Следствие II. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются.

Следствие III. Если прямые а и b параллельны прямой c, то прямые а и b параллельны.

4.1.2. Параллельный перенос на плоскости Прежде чем перейти к описанию этого преобразования плоскости, вспомним из школьного курса геометрии такое понятие как вектор, так как в геометрии параллельные переносы имеют и другое название - их называют векторами и обозначают строчными буквами со стрелкой:

a, b,... (рис. 4.1.2.1.). Часто для наглядности говорят, что вектор есть направленный отрезок.

Но тогда приходится считать два одинаково направленных отрезка одинаковой длины "равными" векторами, т.е. считать такие направленные отрезки двумя изображениями одного и того же вектора.

Тождественное отображение плоскости (параллельный перенос на нулевое расстояние) называют нулевым вектором и обозначают O.

Под названием "параллельное перенесение" мы подразумеваем такое преобразование плоскости, при котором все ее точки смещаются на одинаковые расстояния по параллельным направлениям. Поэтому для определения параллельного перенесения, как преобразования плоскости, необходимо знать направление и интервал перенесения (рис. 4.1.2.2.).

Применение параллельного переноса для геометрических построений называется методом параллельного переноса.

Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путем переноса на некоторый вектор. Этим путем иногда удается облегчить проведение анализа.

Метод параллельного переноса применяют в основном для соединения далеко расположенных геометрических элементов. Направление такого перенесения зависит от условий задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большее количество данных Когда построим вновь полученную фигуру, надо сделать обратное перенесение, и тогда получится искомая фигура (рис. 4.1.2.3.).

4.1.3. Метод параллельного переноса и его применение в задачах на построение Задача 1. Построить выпуклый четырехугольник, зная три его угла и две противоположные стороны.Подробнее: даны два отрезка a и b и три угла,,. Требуется построить четырехугольник ABCD так, чтобы A=, B=;

D=, AD=a, CB=b. Предполагается, что 001800, 001800, 001800.

Допустим, что ABCD (рис. 4.1.3.1,а) искомый Анализ.

четырехугольник. Перенесем сторону ВС на вектор AB, и пусть отрезок ВС займет после переноса положение АЕ. Тогда в AED известны:

AD=a, AE=b, DAE=BAD- BAE = A- (1800 –B) = +- По этим данным AED может быть построен.

Построение.

1. На произвольной прямой строим отрезок AD=a (рис. 4.1.3.1,б).

2. Через точку А проводим луч АМ под углом +-1800 к лучу АD.

3. Откладываем на луче АM отрезок АЕ=b.

4. Строим луч EN, образующий с ЕА угол и расположенный с точкой D по разные стороны от прямой АМ.

5. Строим луч DK так, чтобы ADK был равен и чтобы луч DK располагался по ту же сторону прямой DE, что и луч EN.

6. Отметим точку С пересечения лучей EN и DK – третью величину четырехугольника.

7. Четвертая вершина В получается в пересечении прямой AF, параллельной СЕ, с прямой CL параллельной АЕ.

Доказательство.

BAD = BAE+DAE = (1800-) + (+-1800) = ABC = CEA, как углы, стороны которых соответственно параллельны и противоположно направлены. CEA= по построению ADC= по построению. Отрезок AD=a по построению. BC=AE как отрезки параллельных между параллельными. Но AE=b, азначит и BC=b.

Исследование.

Так как сумма углов всякого четырехугольника равна 3600, то для возможности построения необходимо, чтобы сумма данных углов,, и была меньше 3600. Будем предполагать также, что + 1800: в противном случае сумма двух других углов четырехугольника + будет меньше 1800, так что разница сведется только к изменению обозначений.

Рассмотрим сначало случай + 1800. При этом построение треугольника AED возможно. Угол ADE, который однозначно определяется, обозначим буквой. Обозначим еще через Н точку пересечения прямых EN и AD (рис. 4.1.3.1, б).

Обращаясь к вышеприведенному построению, замечаем, что все 1- этапы построения кроме 6 выполнимы. Шестой этап зависит от некоторых дальнейших предположений.

+ 1800+1800=.

CHD=HAE+AEH= Заметим, что Рассмотрим три возможных предположения.

1. +1800. При этом точка Н на отрезке AD (рис. 4.4.4.3,б) 6 этап построения невозможен, если l или если 1800-, но возможен при yсловии 1800-. Но при = точка С совпадает с Е, так что при выполнении 7 этапа построения В совпадает с Е, так что при выполнении этапа построения В совпадает с А и никакого четырехугольника не получается. Задача получает единственное решение при условии 1800.

2. +=1800. При этом точка Н совпадает с точкой D. Если, то этап вовсе не выполним и задача решения не имеет. Если же = (рис.

4.1.3.1,а), то лучи HN и DK имеют бесконечно много общих точек, так что задача получает бесконечно много решений.

3. +=1800. 6 этап невыполним, если или если 1800. Если же =, то невыполним этап 7. Задача получит единственное решение при условии: 1800 (рис. 4.1.3.2, б).

Перейдем к рассмотрению случая, когда +=1800. В этом случае искомый четыерхугольник – трапеции – (если ab) или параллелограмм (если a=b). Точка Е совпадает с точкой Н. Возможны три случая расположения точки Е на луче AD.

1-й случай. Е – внешняя точка отрезка AD(ab). Задача имеет единственное решение, если +1800 (рис. 4.1.3.2., в).

2-й случай. Е – совпадает с D. Задача имеет бесконечно много решений, если +=1800;

если же +1800, то задача неразрешима.

3-й случай. Е на луче AD вне отрезка AD(ab). Задача имеет +1800, то задача единственное решение (рис. 4.1.3.2., г). Если же неразрешима.

Итак возможны следующие случаи:

I. +1800;

1) +1800. Единственное решние, если 1800-;

2) +1800. Единственное решение 1800-;

3) +=1800. Бесконечное число решений, если =.

II. +=1800.

Решение существует, если:

1) ab, +1800 (единственное);

либо 2) ab, +1800 (единственное);

либо 3) a=b, +=1800 (бесконечное число).

§ 4.2. Вращение § 4.2.1. Преобразование плоскости в себя вращением вокруг точки Как при параллельном переносе, так и при вращении после преобразования фигуры остаются конгруентны себе и это преобразование также относится к простейшим преобразовниям.

Вращением (поворотом) называется перемещение, при котором каждая точка перемещаемой фигуры повернется около некоторой неподвижной точки, называемой центром вращения, в определенном направлении на один и тот же угол, который характеризует величину вращения и называется углом поворота. Иначе говоря, если дана произвольная точка А первоначальной фигуры, то мы получим соответствующую ей точку A' перемещенной фигуры ', соединяя точку А с центром вращения, строя (в направлении вращения) угол AOA', равный углу поворота и откладывая на второй стороне этого угла отрезок OA' равный отрезку OA (рис. 4.2.1.1.).

Мы видм, что вращение вполне определяется своим центром, углом поворота и направлением.

Фигура ', которая получает из фигуры с помощью любого вращения, равна фигуре.

Вращение можно осуществить непрерывным скольжением фигуры в ее плоскости, так как можно предполагать, что угол поворота изменяется непрерывно от значения, равного нулю до того значения, которое он должен окончательно иметь. При этом движении каждая точка описывает дугу, имеющую своим центром центр вращения. Все эти дуги соответствуют равным центральным углам.

К понятию о вращении можно подойти также и от преобразования симметрии.

Предположим, что точки плоскости подвергнуты преобразованию симметрии относительно оси OX' (рис. 4.2.1.2). Пусть например, при этом преобразовании точка М перешла в точку M'. Затем преобразованные точки подвергаются новому преобразованию симметрии, но уже относительно оси OX". Обозначим точку, в которую перейдет точка M' при втором преобразовании через M'. Нетрудно убедиться в том, что эти два последовательно выполненные преобразования симметрии можно заменить одним – вращением около точки O пересечения осей OX' и OX" двух рассмотренных симметрий. При этом угол вращения равен удвоенному углу X'OX".

В самом деле, по свойству преобразования симметрии будем иметь:

1) OM=OM'=OM" 2) MOM"=MOM'+M'OM"=2X'OM'+2M'OX"= = 2(X'OM'+M'OX")=2X'OX" Таким образом, преобразование вращения можно рассматривать как "произведение" двух осевых симметрий (отражений) [36, 37].

§ 4.2.2. Метод вращения и его применение в задачах на построение При решении очень многих задач удобно пользоваться методом вращения вокруг точки.

Задача 1.

Вписать квадрат в параллелограмм.

Пусть PQRS – искомый квадрат (рис. 4.2.2.3). Прежде всего ясно, что центр искомого квадрата совпадает с центром данного параллелограмма. В самом деле, середина O диагонали RP лежит на средней линии параллелограмма, параллельной сторонам АВ и CD;

та же середина O диагонали QS лежит на средней линии параллелограмма, параллельной сторонам AD и BC.

Отсюда следует, что центры параллелограмма и искомого квадрата совпадают.

Повернем прямоугольный равнобедренный треугольник POQ на прямой угол вокруг точки O. Точка Р прямой АВ перейдет в точку Q прямой ВС. Отсюда следует построение.

Повернем прямую АВ на прямой угол вокруг центра O данного парал лелограмма и найдем искомую точку Q квадрата, как точку пересечения образа A'B' прямой АВ со стороной ВС. Далее строим диагональ QS квадрата, а затем и весь квадрат.

СИММЕТРИЯ 4.3.1. Симметрия фигур.

В природе очень часто встречаются симметричные фигуры, т.е. фигуры, состоящие из двух частей, которые симметричны одна другой относительно некоторой прямой или точки. Про такие фигуры говорят, что они имеют ось симметрии или центр симметрии. Например: узоры на обоях, украшения на фасадах зданий, сами здания. Листья деревьев и лепестки цветов имеют форму, симметричную относительно среднего стебля, листья бабочки и сама их расцветка имеет форму, симметричную относительно ее тела. Но эта симметрия не настолько точна, насколько в геометрии.

Квадрат симметричен относительно каждой своей диагонали, окружность - относительно каждого своего диаметра. Окружность симметрична относительно прямой, проходящей через центр и перпендикулярной к ее плоскости.

Круговой цилиндр симметричен относительно его оси, в этом случае ось называют осью вращения и т.д. Если какая-либо фигура обладает свойством самосовмещаться при повороте вокруг некоторой прямой на некоторый угол = (где m - натуральное число) и не преобразуется в m себя при повороте на какой-либо меньший угол около это прямой, то такая прямая называется осью вращения порядка m (для данной фигуры).

Например, правильная шестиугольная пирамида обладает осью вращения 6-го порядка: она преобразуется в себя при повороте на 60 около ее высоты.

Если для фигуры существует ось вращения порядка m, то говорят, что эта фигура обладает симметрией вращения (порядка m).

Есть также фигуры, которые имеют плоскость симметрии. Например, для резинового мяча любая плоскость, проходящая через диаметр или центр, является плоскостью симметрии. Плоскость симметрии есть также у куба, у конуса вращения, у прямого цилиндра и т.д.

Рассмотрим симметрию относительно точки и относительно прямой, или как ее называют, относительно оси.

4.3.2. Симметрия относительно оси Две фигуры называются симметрично расположенными, или симметричными отоносительно некоторой прямой, если при перегибании плоскости чертежа по этой прямой до совпадения одной части чертежа с другой эти фигуры совмещаются.

Так, точки А и A' симметричны относительно прямой MN (рис.

4.3.2.1.). Прямая MN называется осью симметрии точек А и A', сама симметрия - осевой симметрией.

Легко заметить, что ось симметрии двух точек перпендикулярна к прямой, соединяющей эти точки, и проходит через середину отрезка, ограниченного этими точками. носительно данной прямой MN, следует провести через точку прямую АР, перпендикулярную к MN, и продолжить отрезок АР за точку Р на расстояние PA', равное АР. Точка A' будет искомой.

Из всего вышесказанного мы можем вынести некоторые заключения:

две точки имеют лишь одну ось симметрии, каждая точка оси симметрии симметрична сама по себе.

Что касается прямой, то, как мы знаем, прямую определяют две точки и, следовательно, для симметрии двух прямых достаточно, чтобы две точки одной прямой были симметричны двум точкам другой прямой (рис.

4.3.2.2.).

Из рисунка видно, что если две прямые симметричны относительно некоторой оси, и одна из них не параллельна этой оси, то эти прямые пересекаются и точка пересечения лежит на оси их симметрии. В таком случае ось симметрии является биссектрисой угла, образованного этими прямыми. Но, если прямые параллельны между собой, то ось симметрии также параллельна этим прямым (рис. 4.3.2.3.) и является средней линией этих параллельных прямых. Что касается фигур с множеством точек, то если для каждой точки какой-либо фигуры построить ей симметричную относительно некоторой оси, то все построенные таким образом точки образуют новую фигуру, которая называется симметричной с данной относительно оси (рис. 4.3.2.4).

4.3.3. Симметрия фигур относительно центра Если для каждой точки какой-либо фигуры построить точку, ей симметричную относительно некоторого центра О, то все построенные таким образом точки образуют новую фигуру, которая называется симметричной данной относительно центра О, или, коротко, центрально симметричной данной.

Рассмотрим центральную симметрию на примере точки. Точки А и A' симметричны относительно точки О, если последняя является серединой отрезка AA'. Точка О называется центром симметрии данных точек, а сама симметрия - центральной симметрией. Чтобы построить точку, симметричную с данной точкой А относительно другой данной точки О, следует соединить точки А и О прямой линией и продолжить ее за точку О на расстояние OA', равное ОА (рис. 4.3.3.1).

Прямую определяют две точки, и поэтому если мы построим симметричные им точки относительно центра известным способом, мы получим прямую, центрально-симметричную данной прямой (рис. 4.3.3.2).

Если же каждая фигура составлена из отрезков прямых линий, то для получения симметричной фигуры достаточно построить для каждого из этих отрезков ему симметричный (рис. 4.3.3.3).

Из всего вышесказанного можно заключить, что каждые две центрально-симметричные фигуры равны между собой. Действительно, легко заметить, что одну из этих фигур можно совместить с другой путем вращения вокруг центра симметрии, но если мы повернем фигуру вокруг центра на 180°.

4.3.4. Метод симметрии и его применение при решении задач на построение Может случиться, что фигура, которую требуется построить, имеет точки, симметричные относительно некоторой прямой (оси) или точки (центра). В таком случае целесообразно выполнить преобразование симметрии относительно этой прямой или, соответственно, точки. После такого преобразования часто обнаруживается такая зависимость между элементами фигур, которую раньше было трудно заметить.

Успех этого приема зависит от характера самой задачи, а также и от удачного выбора осей симметрии или центра симметрии.

Задача 1. Дана прямая и две точки А и В по одну сторону от нее (рис. 4.3.4.1). Найти на прямой точку Х такую, чтобы сумма АХ+ХВ была наименьшей.

Решение. Построим точку симметричную для точки В B' относительно прямой. Пусть Х - искомая точка, тогда BX = B' X и AX + XB = AX + XB', следовательно, задача сводится к нахождению точки Х такой, что сумма АХ + ХВ, имеет наименьшую величину. Этому условию, очевидно, удовлетворяет точка Х, лежащая на отрезке прямой линии, соединяющей А и В. Отсюда вытекает такое решение данной задачи:

- данную точку А соединяем прямой линией с точкой, симметричной с B' относительно прямой. Прямая АВ, пересечет прямую в искомой точке Х.

4.4. ПОДОБИЕ 4.4.1. Подобие фигуры В повседневной жизни часто встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров. Таковы корабль и его модель, карты, выполненные в разных масштабах, фотоснимки, напечатанные с одного и того же негатива при разных увеличениях и т.д. Все это примеры подобных фигур.

На рисунке (рис. 4.4.1.1) изображены два треугольника ABC и A' B' C '. Отношение длин сторон второго треугольника к длинам соответствующих сторон первого равно двум:

A' B' B' C ' A' C ' = = = AB BC AC Но не только вершины А, В и С отображаются на соответственные вершины A', B' и C ' а любые точки M и N отображаются на такие точки M ' и N ', что M ' N ' = 2 MN.

Мы видим, что существует отображение первого треугольника на второй, при котором расстояния изменяются в одном и том же отношении k = 2. В таком случае говорят, что треугольники АВС и A' B ' C ' подобны, причем коэффициент подобия равен двум.

Если можно говорить о подобии треугольников, то это значит, что существует преобразование плоскости, которое называется преобразованием подобия или просто подобием, если существует такое число k0, что для любых двух точек M и N и их образов M ' и N ' выполняется равенство M ' N ' = kMN.

При k=1 преобразование подобия сохраняет расстояние, т.е. является движением. Следовательно, движение - частный случай преобразования подобия.

Определение. Фигура Ф' подобна фигуре Ф, если существует отображение фигуры Ф на Ф', при котором расстояния изменяются в одном и том же отношении k0.

Из определения подобных фигур сразу следует, что конгруэнтные фигуры подобны (коэффициент подобия равен единице).

Рассмотрим другие свойства отношения подобия фигур.

1. Каждая фигура себе подобна (коэффициент подобия равен единице) (рефлексивность).

2. Если фигура Ф' подобна фигуре Ф с коэффициентом подобия k, то фигура Ф подобна фигуре Ф' с коэффициентом подобия 1/k.

3. Если фигура Ф' подобна фигуре Ф коэффициентом k1, а фигура Ф' ' подобна фигуре Ф' с коэффициентом k 2, то фигура Ф' ' подобна фигуре Ф с коэффициентом k = k1 k 2.

Итак, отношение подобия фигур, вытекающее из свойств, является отношением эквивалентности и на множестве фигур плоскости.

Рассмотрим построение таких фигур. В плоскости данной фигуры выбирают произвольную точку и соединяют ее со всеми точками данной фигуры. Получают таким образом совокупность отрезков с общим началом. Это начало называют центром подобия. После этого удлиняют (или укорачивают) все эти отрезки в одно и то же число раз, т.е. изменяют их в одном и том же отношении. Полученные точки соединяют между собой в той же последовательности, что и у данной фигуры, и получают новою, подобную данной фигуру.

Выбранная точка исхода отрезков называется центром подобия, а отношение, в котором изменяются все отрезки, т.е. отношение измененного отрезка к первоначальному называется коэффициентом подобия.

Если этот коэффициент больше единицы, то, как мы увидим, при преобразовании фигура увеличивается, а если он меньше единицы, то уменьшается (рис. 4.4.1.2).

На (рис 4.4.1.2) треугольники A' B' C ' и A' ' B' ' C ' ' подобны ABC, причем коэффициент подобия в первом случае положительный A' B ' C ' ABC, а во втором случае отрицательный A' ' B ' ' C ' ' ABC.

4.4.2. Гомотетия и ее свойства Задача построения фигуры подобной данной, привела к новому отображению плоскости на себя, которое называется гомотетией.

Слово гомотетия происходит от греческих слов (омос) - подобный и (тетос) - расположенный. Вместо термина гомотетия употребляют в том же смысле термины перспективное подобие или центральное подобие. Дадим определение гомотетии.

Гомотетия с центром О и коэффициентом k 0, называется отображение плоскости на себя, при котором образом произвольной точки М является такая точка M ', что OM ' = kOM. При коэффициенте, равном единице k ' = 1, видно, что любая точка М плоскости совпадает с ее образом, т.е. гомотетия с коэффициентом тождественное k= преобразование. При получаем центральную симметрию. В k=- остальных случаях (т.е. когда k 1 ) гомотетия - преобразование подобия, отличное от движения, т.е. преобразование плоскости, не сохраняющее расстояние между точками.

Можно легко убедиться, что отображение, обратное гомотетии с коэффициентом k есть гомотетия с тем же центром и коэффициентом 1/k.

Гомотетия называется прямой, если k0 и обратной, если k0. В случае прямой гомотетии точка и ее образ располагаются по одну сторону от центра подобия, в случае обратной гомотетии - по разные стороны.

Две данные фигуры называются перспективно-подобными или подобными и подобно расположенными, если существует гомотетия, преобразующая фигуру Ф в фигуру Ф'.

В случае, когда точка фигуры Ф и соответственная ей точка фигуры Ф' располагаются по одну сторону от центра подобия (прямая гомотетия), центр подобия называется внешним. Если же соответственные точки перспективно-подобных фигур располагаются по разные стороны от центра подобия (обратная гомотетия), то центр подобия называется внутренним.

На (рис. 4.4.2.1.а) точка S - внешний центр подобия фигур Ф и Ф', а на (рис. 4.4.2.1.б) точка S - внутренний центр подобия фигур Ф и Ф'.

Гомотетия есть взаимно однозначное преобразование. В самом деле для каждой точки M ' существует на прямой SM ' единственная точка М, что SM = 1 / kSM ', т.е. SM ' = kSM. Иными словами, для каждой точки M ' существует единственный прообраз М.

Отметим простое, но очень важное свойство гомотетии: отрезок, соединяющий две произвольные точки, не лежащие на одной прямой с центром гомотетии, и отрезок, соединяющий образы этих точек, лежат на параллельных прямых (при k = 1 сливаются). Отношение длины второго отрезка к длине первого равно абсолютной величине коэффициента гомотетии (т.е. k ).

Пусть точкам А и В (рис. 4.4.2.2) соответствуют точки A' и B'. Тогда SA' = k SA и SB ' = k SB, откуда следует, что SA' : SA = SB ' : SB, так что прямые АВ и A' B' отсекают на сторонах угла ASB пропорциональные отрезки.

Отсюда ясно, что, во-первых AB || A' B', и во-вторых A' B' = k AB.

Векторы AB и A' B' направлены одинаково, если гомотетия прямая и противоположно направлены, если гомотетия обратная. Действительно, прямая AA' делит плоскость ASB на две полуплоскости 1 и 2. Луч SB принадлежит одной из этих полуплоскостей, скажем 1. Если гомотетия прямая (рис. 4.4.2.2), то точка принадлежит тому же лучу и, следовательно, той же полуплоскости 1. Это означает, что векторы AB и A' B' лежат по одну сторону от прямой AA, соединяющей их начала, так что векторы AB и A' B' одинаково направлены.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что в случае обратной гомотетии векторы AB и A' B' имеют противоположные направления (рис.

4.4.2.3.).

Установим, как преобразуются в гомотетии некоторые простейшие фигуры:

1. Прямая, проходящая через центр гомотетии, преобразуется в себя.

Это непосредственно следует из определения гомотетии.

2. Прямая, не проходящая через центр гомотетии, преобразуется в параллельную ей прямую (если k 1 ).

Пусть а (рис. 4.4.2.4) - какая-либо прямая, не проходящая через центр гомотетии S, A и В - какие-либо две точки на прямой а, A' и B' гомотетичные им точки. Прямую A' B' обозначим через a'.

Если Р - любая точка прямой а и P' - ее образ, то по доказанному A' B' || AB и A' P' || AB, т.е. прямые A' B' и A' P' проходят через точку A' параллельно одной и той же прямой. Значит они сливаются, так что точка P' располагается на прямой a '. Итак, всякая точка прямой а преобразуется в некоторую точку прямой a'.

Обратно, пусть P' - какая-либо точка прямой a'. Прямая P' S, пересекая прямую a', пересечет и параллельную ей прямую а в некоторой точке Р. Легко убедиться, что именно эта точка Р преобразуется в данную точку P'. Действительно, из подобия треугольников SA' P' и SAP видно, что SP ' : SP = SA' : SA = k и, кроме того, ясно, что точки Р и P' располагаются по одну сторону от S в случае прямой гомотетии и по разные стороны от S в случае обратной гомотетии. Таким образом, каждая точка прямой a' служит образом некоторой точки прямой а.

3. При гомотетии параллельные прямые преобразуются в параллельные же прямые.

Действительно, пусть прямая а параллельна прямой b и пусть некоторая гомотетия преобразует эти прямые соответственно в прямые a' и b'. Тогда прямые a' и b' не могут иметь общих точек, так как прообраз общей точки лежал бы как на прямой а, так и на прямой b, а эти прямые по условию общих точек не имеют.

4. При гомотетии отрезок преобразуется в отрезок.

Пусть (рис. 4.4.2.4) АВ - какой-либо отрезок, A' и B' - точки, соответственно, гомотетичные точкам А и В. Пусть Р - произвольная точка отрезка АВ, P' - гомотетичная ей точка. По условию АР+РВ =АВ.

Следовательно, A' P'+ P' B ' = k AP + k PB = k ( AP + PB) = = k AB = A' B' т.е. A' P'+ P' B' = A' B' а это возможно лишь тогда, когда точка P' располагается на отрезке A' B' (в противном случае A' P'+ P' B' A' B' ). Таким образом, каждая точка отрезка АВ преобразуется в точку отрезка A' B'.

Аналогично доказывается и обратное: каждая точка отрезка A' B' гомотетична некоторой точке отрезка AB.

Следующие три свойства легко вытекают из доказанного.

5. При гомотетии луч преобразуется в луч, причем луч и его образ направлены одинаково в случае прямой гомотетии и противоположно в случае обратной гомотетии.

6. При гомотетии угол преобразуется в подобный ему многоугольник.

Вообще при гомотетии любая геометрическая фигура преобразуется в подобную ей гомотетичную фигуру.

4.4.3. Пропорциональные отрезки Отрезки АВ и СD называются пропорциональными отрезками A1 B1 и C1 D1, если пропорциональны их длины:

AB AB = CD C1 D Теорема.

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.

Предположим, что ( AA' ) || (BB' ). Докажем, что OA1 : OA = OB1 : OB.

Рассмотрим гомотетию с центром О (рис. 4.4.3.1), при которой точка А отображается на точку В. При этой гомотетии прямая OA1 отображается на себя, а прямая AA1 - на параллельную ей прямую, проходящую через точку В, т.е. на прямую BB1 (по условию ( AA' ) || (BB' ) ). Поэтому образ точки A1 точка B1. Но при гомотетии с коэффициентом k расстояния между точками изменяются в отношении k.

Значит OB = k OA и OB1 = k OA откуда (1) OB : OA = OB1 : OA и OA1 : OA = OB : OB1. Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если ( AA1 ) и (BB1 ), то OA1 : OA = A1 B1 : AB Доказательство. Из равенства (1) следует:

OB1 OB 1 = OA1 OA Откуда OB1 OA1 OB OA A1 B1 AB ;

= = OA1 OA OA1 OA Из последней пропорции получаем, что OA1 A1 B = AB OA Следствие 2. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, стороны которого пропорциональны сторонам данного треугольника (рис.

4.4.3.2).

CA CB AB = = CD CH DH Рассмотрим одну задачу. Даны отрезки, длины которых а, b и с.

Построить отрезок длины Х, чтобы выполнялась пропорция a : b = c : X, такой отрезок называют четвертым пропорциональным к трем данным.

Для построения искомого отрезка на сторонах угла (рис. 4.4.3.3) отложим отрезки ОА, ОВ и ОС такие, что OA = a;

OB = b;

OC = c. Через точку В проведем прямую ВН, параллельно прямой АС. Получим отрезок, отсекаемый прямой ВН на луче ОС. Отрезок ОХ искомый.

4.4.4. Центрально-подобное преобразование плоскости Точка плоскости называется центрально-подобной точке А A' относительно центра О, если выполняются условия:

1. Точка A' лежит на прямой ОА, 2. Имеет место равенство OA' = k OA, где данное число k 0, 3. Если k 0, то точка О лежит вне отрезка AA', а если k0, то точка О лежит между точками А и A'.

Преобразование, при котором каждая точка А плоскости отображается в точку A', центрально-подобную точке А относительно центра О, называется центрально-подобным преобразованием плоскости.

Точка О есть центр подобия. Число k - коэффициент подобия.

При k0 центрально-подобное преобразование называется прямым, при k0 - обратным. Центр О подобия в первом случае называется внешним, во втором - внутренним (рис. 4.4.4.1-а,б).

Центр О подобия является единственной точкой, которая переходит сама в себя при центрально-подобном преобразовании (если k 1 ).

Из определения центрального подобия следует, что оно есть преобразование взаимно однозначное.

Из школьного курса геометрии известны следующие свойства центрально-подобных преобразований.

1. Отрезок АВ, не лежащий на прямой, проходящий через центр О, преобразуется в отрезок A' B', параллельный данному, и притом A' B ' = kAB Последнее равенство непосредственно следует из подобия треугольников ОАВ и O' A' B' (рис. 4.4.4.1-а,б).

2. Прямая линия при центральном подобии преобразуется в прямую, параллельную данной.

3. Углы между прямыми сохраняют свою величину, т.е. угол есть инвариант центрально-подобных преобразований. Это свойство есть прямое следствие предыдущего.

4. Во всяких двух центрально-подобных фигурах соответственные отрезки прямых пропорциональны, а соотоветственные углы равны.

5. Окружность при центрально-подобном преобразовании преобразуется в окружность, причем образ центра есть центр преобразованной оркужности и отношение радиусов преобразованной окружности и данной равно коэффициенту подобия.

Пользуясь этим свойством, нетрудно доказать, что центрально подобное преобразование не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное, т.е. является преобразованием топологическим.

6. Отношение площади фигуры, центрально-подобной данной, к площади фигуры равно квадрату коэффициента подобия.

Если S есть площадь данной фигуры, а S ' - площадь образа, то S ' = kS.

Из этого вытекают следующие свойства центрально-подобных преобразований.

7. Любые два центрально-подобных треугольника ориентированы одинаково;

любые два угла в центрально-подобных фигурах имеют одинаковое направление 8. Любые два центрально-подобных вектора имеют одну и ту же ориентацию при прямом подобии (k0) и противоположную ориентацию при обратном (k0) (рис. 4.4.4.1-а,б).

В отличие от ранее рассмотренных элементарных преобразований сохраняемость расстояния двух точек не имеет места при центрально подобных преобразованиях (при k 1 ).

Длина отрезка не является инвариантом подобия (при k 1 ), тогда как свойство фигуры быть отрезком есть свойство инвариантное.

Три точки A', B' и C ' имеют инвариант. Таким инвариантом является отношение расстояний одной из трех точек до двух других:

AB - инвариант BC В самом деле, точки А, В, С преобразование пререводит в точки A', B' C ', причем A' B' = k AB, B ' C ' = k BC.

Отсюда следует инвариантность указанного отношения, т.е.

A' B' AB = B' C ' BC В частности, если три точки лежат на одной прямой, мы имеем инвариантность отношения, в котором одна точка делит отрезок между двумя другими.

При центрально-подобном преобразовании форма фигуры обладает инвариантностью, а размеры фигуры (если k 1 ) изменяются.

В заключение докажем теорему о трех центрах подобия.

Центры подобия трех попарно центрально-подобных фигур лежат на одной прямой.

Пусть O12, O23, O13 - центры подобия фигур, номера которых стоят в указателях. Обозначим через S прямую O23O13 (рис. 4.4.4.2) и покажем, что прямая S проходит через точку O12.

Рассмотрим прямую S как принадлежащую первой фигуре. Так как прямая S проходит через центр O13, то при подобии с этим центром, переводящим фигуру первую в фигуру третью, прямая S переходит сама в себя.

Рассматриваем теперь прямую S как прямую третьей фигуры. Подобие с центром O23, переводящее третью фигуру во вторую, переводит прямую в себя. Отсюда следует, что прямой S как прямой первой фигуры, S соответствует та же прямая S второй фигуры. Таким образом, подобие с центром O12, переводящее первую фигуру во вторую фигуру, переводит прямую S в себя. Это возможно лишь в том случае, когда прямая S проходит через центр O12.

Прямая S носит название оси подобия трех попарно центрально подобных фигур.

4.4.5. Подобие окружностей Всякие две неравные и неконцентрические окружности можно рассматривать как центрально-подобные фигуры и притом четырьмя способами. Это значит, что существуют четыре центрально-подобных преобразования плоскости, при которых одна окружность преобразуется в другую.

Для нахождения преобразования центрального подобия необходимо разыскать его центр и коэффициент подобия, для чего достаточно знать концы двух соответственных отрезков, являющихся параллельными и одинаково или противоположно ориентированными.

Пусть S1 и S 2 - центры двух неравных окружностей, радиусы которых R1 и R2 (рис. 4.4.5.1).

Если искомые преобразования преобразуют первую окружность во вторую, то коэффициент подобия будет равен:

R k= R Для нахождения центров искомых подобий проводим диаметр A2 A2 ' второй окружности и параллельно ему радиус S1 A1 первой окружности.

Рассматривая точки A1 и A2 как соответственные при искомом подобии, найдем его центр О как пересечение прямых и S1S 2. При A1 A соответственных точках A1 и A2 центром искомого подобия будет точка O2.

Таким образом, найдены четыре центрально-подобных преобразования, преобразующие одну данную окружность в другую.

Первое преобразование с центром O1 преобразует окружность ( S1 ) в R окружность ( S 2 ) ;

его коэффициент подобия k =. Второе преобразование R R с тем же центром O1, но с коэффициентом подобия k = преобразует R окружность ( S 2 ) в окружность ( S1 ). Точно так же два преобразования с центром O2 преобразуют первую окружность во вторую, и обратно.

Точка O1 - есть внешний центр подобия двух окружностей;

точка O2 внутренний центр подобия.

Если центры O1 и O2 окружностей совпадают, то общий и единственный центр двух взаимно обратных центрально-подобных преобразований, преобразующих эти концентрические окружности друг в друга, совпадают с их общим центром, а коэффициенты подобия будут равны:

R2 R, k= k= R1 R Из взаимной однозначности центрально-подобного преобразования вытекает, что касательные, проведенные из внешнего центра подобия окружностей к одной из окружностей, касаются и другой. То же заключение справедливо и для внутреннего центра подобия, если последний лежит вне данных окружностей (рис. 4.4.5.1).

Из теоремы о трех центрах подобия вытекает теорема о шести центрах подобия трех окружностей.

Если центры трех попарно неравных окружностей не лежат на одной прямой, то шесть центров подобия этих окружностей, взятых попарно, лежат по три на четырех прямых (рис. 4.4.5.2).

На чертеже шесть центров подобия обозначены буквами с соответствующими индексами: O12 ;

O13 ;

O23 ;

O12 ' ;

O13 ' ;

O23 '.

Четыре прямых, на которых по три лежат центры подобия трех попарно неравных окружностей, называются осями подобия трех окружностей.

4.4.6. Группа подобных преобразований с общим центром Множество всех центрально-подобных преобразований плоскости с общим центром О является группой.

В самом деле, сумма таких преобразований с коэффициентом k1 и k 2 и общим центром О будет подобием с коэффициентом k = k1k 2 и тем же центром, так как:


OM ' = k OM ;

OM ' ' = k 2 OM ' = k 2 k1 OM и точки О, М, M ' и M ' ' - принадлежат одной прямой.

Условие существования нейтрального элемента выполняется;

тождественное преобразование есть подобие с коэффициентом k=1.

Условие существования противоположного элемента каждому данному также имеет место. Центральное подобие с коэффициентом k 2 = k противоположно подобию с коэфффициентом k1, и тем же центром О.

Таким образом, имеют силу все групповые условия и утверждение доказано.

Группа подобий с общим центром изоморфна группе всех действительных чисел, за исключением нуля, по отношению к операции умножения.

Если каждому подобию с центром О и коэффициентом k 0 поставить в соответствие число k, то сумме подобий будет соответствовать произведение чисел, соответствующих слагаемым подобиям. Этот изоморфизм показывает, что для группы подобий с общим центром удобнее пользоваться операцией умножения.

Множество всех центрально-подобных преобразований с центрами в каждой точке плоскости не является группой. Чтобы в этом убедиться, достаточно показать такие два центрально-подобных преобразования, сумма которых есть перенос и, следовательно, не является центрально подобным преобразованием.

Пусть дан произвольный перенос плоскости, преобразующий точки А и В, соответственно, в точки A' ' и B' '.

Берем центр O1 подобия, как указано на (рис. 4.4.6.1), которое переводит точки А, В в точки A', B'. Точка пересечения O2 прямых A' A' ' и будет центром второго подобия, переводящего точки A', B ', B' B' ' соответственно, в точки A' ', B' '. Искомые подобия построены, ч.т.д.

Из теоремы о трех центрах подобия и только что доказанного предложения следует, что сумма двух центрально-подобных преобразований плоскости с различными центрами есть или центральное подобие или перенос.

4.4.7. Общий случай подобных фигур на плоскости Рассмотрим взаимно однозначное отображение плоскости на себя, обладающее тем свойством, что отношение отрезка A' B', где точки A' и B' суть образы двух точек А и В, к отрезку АВ есть величина постоянная для всех пар точек А и В плоскости:

A' B' = k = const AB Постоянное отношение k называется коэффициентом подобия. Само отображение называется преобразованием подобия, или просто подобием.

Существование такого преобразования показывают примеры. Любое движение плоскости является преобразования подобия;

здесь k=1. Любое центрально-подобное преобразование при также является преобразованием подобия. Тождественное преобразование плоскости есть преобразование подобия.

Рассмотрим некоторые свойства преобразований подобия.

1. Прямая плоскости при подобном преобразовании переходит в прямую, т.е. точки, лежащие на одной прямой, преобразуются в точки, также лежащие на одной прямой.

В самом деле, пусть точка С лежит между А и В и пусть образы точек А, В и С будут A', B' и C '. Из определения подобия имеем:

A' C ' : AC = C ' B ' : CB = A' B ' : AB откуда ( A' C '+C ' B' ) : ( AC + CB) = A' B ': AB Таким образом, из равенства AC + CB = AB вытекает равенство A' C '+C ' B ' = A' B ' Но последнее равенство лишь при условии, что точка C ' лежит между точками A' и B', ч.т.д.

Отсюда следует, что:

2. Отрезок при подобии преобразуется в отрезок;

луч - в луч;

полуплоскость - в полуплоскость;

угол - в угол.

3. Угол двух прямых есть инвариант преобразования подобия.

Это вытекает из того, что при преобразовании подобия любой треугольник АВС преобразуется в ему подобный треугольник A' B ' C ', так как по определению преобразования подобия имеем:

A' B ' : B ' C ' : C ' A' = AB : BC : CA Следующие свойства относятся к строению преобразования подобия.

4. Преобразование подобия вполне определяется заданием двух пар соответственных точек и ориентацией образа любого треугольника.

Пусть образами точек А и В будут точки A' и B' (рис. 4.4.7.1).

A' B ' Коэффициент подобия определен отношением k =.

AB Образ произвольной точки М строим как вершину M ' треугольника A' B' M ', подобного треугольнику АВМ, если М не принадлежит прямой АВ.

При одинаковой ориентации треугольников АМВ и имеем A' B' M ' собственно-подобное преобразование;

при противоположной ориентации зеркально-подобное преобразование.

A' M ' B' M ' Соотношение = k показывает также, как строится образ M ' = AM BM точки М и в том случае, когда М принадлежит прямой АВ.

Таким образом, указано построение соответственных точек преобразования подобия. Из построения вытекает и однозначность определения преобразования подобия двумя парами соответственных точек и заданием ориентации. Кроме того ясно, что любые две пары соответственных точек преобразования подобия определяют это преобразование, если сохранить и ориентацию.

Две фигуры на плоскости будут подобны, если можно преобразовать одну в другую подобным преобразованием.

Соответственные точки при подобном отображении называются сходственными отрезками, сходственными прямыми и т.п. двух подобных фигур.

5. Всякое собственно-подобное преобразование, отличное от движения и центрально-подобного преобразования, есть сумма вращения плоскости вокруг некоторой точки О и подобия с центром в этой точке.

Заметим, что точка О будет в таком случае неподвижной точкой преобразования, т.е. будет совпадать со своим образом.

Отыщем неподвижные точки, что позволит нам разыскать вращение и центральное подобие, сумма которых и будет данным собственно подобным преобразованием.

Пусть О искомая неподвижная точка подобия (рис. 4.4.7.2), которое определено двумя парами соответственных точек:

A A' и B B ' Так как данное подобие, по условию, не движение и не центральное подобие, то A' B' AB и отрезок A' B' не параллелен отрезку АВ.

Пусть S есть точка пересечения прямых A' B' и АВ. Треугольник O' A' B' подобен треугольнику ОАВ. Следовательно OAS = OA' S, а это значит, что четыре точки O, S, A' и А лежат на одной окружности.

Таким образом, неподвижная точка О есть точка пересечения окружности, проходящей через точки S, А и A' окружности, проходящей через точки S, В и B'. Поворот вокруг точки О на угол = AOA', сложенный с центральным подобием того же центра с коэффициентом A' B' подобия k =, есть данное подобие (рис. 4.4.7.2).

AB 6. Всякое зеркально-подобное преобразование, отличное от движения второго рода, есть сумма центрально-подобного преобразования относительно некоторой точки О и симметрии относительно прямой, проходящей через эту точку.

Пусть О есть центр искомого подобия (рис. 4.4.7.3). Так как прямая OA' должна быть симметричной прямой ОА, а прямая OB ' - OB, то ось симметрии должна быть биссектрисой угла О в треугольниках AOA' и BOB ' и, следовательно, должна проходить через точки AA' и BB', делящие соответственно отрезки AA' и BB' в отношении, равном коэффициенту k подобия:

A' P OA' A' B' QB' OB' A' B' = = = k;

= = =k PA OA AB QB OB AB Взяв отрезок A' B', симметричный отрезку АВ относительно оси, находим центр О как точку пересечения оси с прямой A1 A'.

Из данного свойства следует, что при всяком зеркально-подобном преобразовании плоскости, отличном от движения, существует двойная точка О и две двойные взаимно перпендикулярные прямые и m, проходящие через точку О (рис. 4.4.7.3).

4.4.8. Метод подобия и его применение при решении задач на построение Если требуется построить какую-либо фигуру или отыскать положение точки, связанной с положением какой-либо фигуры, то очень часто бывает выгодно строить не искомую фигуру, а фигуру, подобную неизвестной фигуре. Построив фигуру, подобную искомой, нужно из множества подобных фигур выбрать одну, удовлетворяющую условиям вопроса или только по своим размерам, или по своему положению и размерам. В этом состоит метод подобия.

Очевидно, что условия каждой задачи, которая решается методом подобия, делятся на два разряда: одни условия дают возможность построить фигуру, подобную искомой, остальные же дают возможность построенную фигуру умножить известным образом и, если нужно, поместить как требуется. Первые условия, например, для построения треугольников, состоят в том, что даны: или два угла треугольника, или же угол и отношение двух сторон, его заключающих, или же отношение трех сторон и т.д;

эти условия исчерпываются теоремами, определяющими вид или подобие фигур. Вторые условия или только определяют какую-нибудь линейную часть треугольника (сторону, высоту или биссектрису и т.п.) и дают возможность переделать построенную фигуру в искомую или, кроме того, дают возможность поместить построенную фигуру требуемым образом.

В последнем случае положение фигуры определяется тем, что некоторые стороны фигуры должны проходить через данные точки или должны иметь известное направление.

Приведем примеры употребления этого метода решения геометрических задач.

Задача. Построить треугольник, если известны a, c, B и r.

Так как в искомом треугольнике известны угол и отношение сторон этого угла, то оставив остальные условия, построим треугольник, подобный искомому. Для этого на сторонах данного угла (рис. 4.4.8.1) отложим BD, равную m каких-нибудь равных частей, и ВЕ, равную п таких же частей, и соединим точки D и Е. Тогда искомый треугольник и DBE подобны, так как они имеют по равному углу, заключенному между пропорциональными сторонами. Проводя в угле В отрезки, параллельные DE, будем получать треугольники, подобные искомому, но с различными радиусами вписанных окружностей;

из всех этих треугольников надо выбрать один, у которого радиус вписанной окружности равен r.

Определив центр О, легко построить сам треугольник. Нужно провести OF DE ;

на продолжении его отложить OG = r и через точку G провести AC||DE. Тогда ABC искомый. Единственно возможное решение.

Таким образом, первые два условия задачи (даны угол треугольника и отношение сторон, содержащих этот угол) помогли нам построить фигуру, подобную искомой, в третье данное (дан радиус r) дало возможность перейти от построенной фигуры к искомой. Всегда удобно разделять условия на такие части для облегчения решения.

Задача №1.

Даны точка и две пересекающиеся прямые. Через данную точку требуется провести секущую так, чтобы отрезки, образованные на ней точками пересечения с данными прямыми, имели данное отношение m : n.

Обозначим буквой S данную точку, а буквой f и g данные прямые (рис.

4.4.8.2). Проанализируем задачу. Предположим, что секущая SFG дает решение задачи. Это означает, что:

SF m SG n или = = =k SG n SF m Произведем преобразование гомотетии с центром S и коэффициентом k. Тогда точка G будет соответствовать точке F в этом преобразовании.

Прямая f перейдет в этом преобразовании в прямую f '. Точка F, как уже было сказано, переходит в точку G. Так как последняя одновременно принадлежит прямым f ' и g, то она является их точкой пересечения.

Отсюда получаем следующее построение. Из центра S проводим окружность радиуса SM=m. Находим точку пересечения ее с прямой f.

Пусть это будет точка М. Проводим секущую SM и откладываем на ней второй отрезок SN=n.

Если произведем теперь преобразование гомотетии с центром S и n коэффициентом k =, то точка М перейдет в точку N. Прямая f переходит m в прямую f '. Последняя должна быть параллельна f и должна проходить через точку N. Строим прямую f ' и находим точку G ее пересечения с SG n прямой g. Тогда секущая SG является решением, так как = =k.

SF m Из построения видно, что задача имеет одно решение.

Задача №2.

В данный треугольник вписать паралеллограмм MNPQ, ABC имеющий определенный вид, например, имеющий данный угол и отношение сторон, его заключающих, равное отношению m : n.

Предположим, что в ABC вписан параллелограмм MNPQ (рис.

4.4.8.3) так, что NMQ = и NP : NM = m : n.

Если бы мы знали положение точки Р, то нам оставалось бы провести NP||AC и PQ под углом к основанию АС;

тогда определился бы весь искомый параллелограмм. Поэтому вопрос приводится к определению точки Р. Для определения ее вообразим целый ряд фигур, гомотетичных фигуре MNPQ, и построим одну из них. Чтобы это сделать, из произвольной точки проведем N 2 D ||AC и N 2 M 2 так, чтобы N 2 M 2Q = ;

затем отложим на DN 2, N 2 P2 так, чтобы N 2 P2 : N 2 M 2 = m : n и проведем P2Q2 || N 2 M 2.

Фигура N 2 M 2 P2Q2 гомотетична фигуре NMPQ;

подобным образом можно составить целый ряд фигур, гомотетичных искомой фигуре.

Замечаем, что центр подобия всех этих фигур есть точка А, и поэтому точки P1, P2, P лежат все на одной прямой AP2. Это следствие вполне указывает, как найти точку Р.

Именно, построим вышеуказанным способом фигуру M 2 N 2 P2Q2 и соединим точки А и Р;

в пересечении ВС и AP2 получится искомая точка Р.

Из точки Р проведем PN||AC, PQ|| P2Q2, а из точки N проведем NM||PQ.

Фигура MNPQ будет искомая.

В самом деле NMA = N 2 M 2Q = по построению;

MN=PQ и NP=MQ, как отрезки параллельных между параллельными.

Фигуры ANPQ и AN 2 P2Q2 подобны, ибо они состоят из подобных треугольников, поэтому по построению.

NP : PQ = N 2 P2 : P2Q2 = m : n Следовательно фигура MNPQ удовлетворяет всем требованиям.

§ 4.3. Инверсия § 4.3.1. Определение инверсии Инверсия – это одно из геометрических преобразований, которое дает возможность решать ряд сравнительно сложных задач на построение, трудно поддающихся решению с помощью других методов.

Это сравнительно молодой метод. Инверсию – стали изучать впервые в 30-х годах XIX века. Этот метод также называют методом обращения (inversio – лат.) или методом обратных (inverses - франц.) радиусов.

Допустим, на плоскости задана окружность (O, r). Обозначим через 0 множество точек плоскости за исключением точки O – центра окружности. Каждой точке М множества 0 поставим в соответствие точку M' так, чтобы она лежала на луче [OM) и OMOM"=r2 (рис. 4.5.1.1).

0, Получаем преобразование множества которое называется инверсией относительно окружности (O, r) или просто инверсией.

Окружность (O, r) называется окружностью инверсии или базисной окружностью.

Точка O – центром инверсии, а r2 – степенью инверсии. Если обозначим преобразование инверсии через I, то можно записать 0=I(0') и наоборот 0'=I(0).

Обратим внимание на то, что при r=1, OM ' = и следовательно, OM расстояния ОМ и OM' являются взаимообратными числами. С этим связано то, что точку M' называют обратной точке М, а рассматриваемое преобразование называют преобразованием обратных радиусов (расстояний), или же обращением.

Таким образом преобразование, при котором каждой точке М множества 0 ставится в сответствие инверсная или обратная точка M' называется инверсией, а множество 0 – инверсным множеством.

Построение точек инверсных данным, может быть выполнено несколькими способами. Такое построение можно рассматривать как геометрическое определение инверсии.

Построение основано на двух теоремах известных из школьной геометрии:

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, соединяющему центр с точкой касания.

2. Катет прямоугольного тругольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Рассмотрим три случая построения инверсной точки.

1. Точка М на базисной окружности – инверсная точка M' является сама точка М (рис. 4.5.1.2).

2. Точка М вне базисной окружности. Строим луч [OM). Через точку М проводим одну из касательных MN к базисной окружности. Из точки касания опускаем перпендикуляр на луч [ОМ). Основание этого перпендикуляра M' является точкой инверсной данной.

Действительно из прямоугольного треугольника видно, что OMOM'=ON2=r2. Это построение может быть выполнено следующим образом: строим последовательно луч ОМ, затем окружность с диаметром ОМ. Общая хорда MN окружностей и 1 пересечет луч ОМ в инверсной точке M' (рис. 4.5.1.3,а).

Существует еще один способ построения инверсной точки. Построение производится только циркулем (рис. 4.5.1.3,б).

Из точки М проводим дугу радиусом ОМ до пересечения с базисной окружностью, затем из точек пересечения дуги и окружности проводим две дуги радиусом ON=ON1 до взаимного пересечения. Точка пересечения будет являться инверсной точкой M'.

3. Точка М внутри базисной окружности. Ввиду взаимности соответствия точек М и M' при инверсии, этот случай сводится к построению прообраза по образу в условиях предыдущего случая, так что надо в точке М восстановить перпендикуляр к лучу ОМ, найти одну из точек его пересечения с базисной окружностью и в этой точке провести касательную к (O,r) до пересечения с лучом [ОМ). Точка пересечения будет искомой инверсной точкой (рис.).

Если соответственные точки находятся по одну сторону от центра инверсии, то степень инверсии положительная, если же соответственные точки находятся по разные стороны от центра, то степень инверсии отрицательная. При положительной степени инверсии мы имеем гиперболическую инверсию, при отрицательной – эллиптическую инверсию. На рис. 4.5.1.4 показана M' – инверсная точка в гиперболической инверсии, а M'' – в эллиптической инверсии.

Как мы видим, если M' и M'' есть точки, обратные точке М в гипер болической и эллиптической инверсии, то они расположены симметрично относительно центра инверсии O, как центра симметрии.

Таким образом можно видеть, что эллиптическая инверсияполучается из гиперболической путем симметрического преобразования относительно точки 0 как центра симметрии. Исходя из этого нам достаточно будет остановиться на гиперболической инверсии.

§ 4.3.2. Свойства инверсии Из определения инверсии, которое было рассмотрено в предыдущей главе вытекают следующие свойства:

1. Если точка M' инверсна точке М, то и обратно, точка М инверсна точке M'. Иначе говоря, инверсия есть инволюционное преобразование.

2. Если при инверсии фигура Ф преобразовывается в фигуру ', то и наоборот '=I().

3. Каждая точка базисной окружности инверсна сама себе.

4. Если данная точка лежит вне базисной окружности, то инверсная ей точка лежит внутри этой окружности и наоборот. Это вытекает из r равенства OM ' =.

OM 5. Если точка вне базисной окружности бесконечно удаляется от этой окружности, то инверсная ей точка неограниченно приближается к центру и наоборот.

6. Никакая точка плоскости не является инверсной для центра инверсии. Преобразование в таком случае не является взаимооднозначным.

Чтобы сделать это преобразование взаимооднозначным, а именно, чтобы каждой точке плоскости соответствовал бы образ этой точки, расширим понятие эвклидова пространства добавив в него несобственные элементы.

Из определения инверсии мы знаем, что чем дальше находится точка от окружности инверси, тем ближе к центру инверсии расположена инверсная ей точка и наоборот. Таким образом, если обратная для центра инверсии точка будет несобственная точка, то O=I(O'), то тогда преобразование становится взаимооднозначным.

7. При инверсии луч, исходящий из центра инверсии, преобразовывается в себя. При этом внутренняя часть луча преобразовывается во внешнюю и наоборот. То же и для прямой, проходящей через центр инверсии.

8. Двукратное применение инверсии дает нам тождественное преоб разование, т.е. инверсия есть инволюционное преобразование.

Преобразование, квадрат которого дает тождественное преобразование, называется инволюционным. Обозначая инверсию через I, а инволюцию чрез Е, мы можем записать следующее выражение I2=E.

Прежде чем перейти к остальным свойствам инверсии, которые требуют доказательств теорем, нам необходимо установить лемму, играющую существенную роль.



Pages:     | 1 || 3 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.