авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«А. Шавгулидзе, Л. Асатиани ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА (ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ) УНИВЕРСИТЕТ” ГРУЗИНСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

-- [ Страница 3 ] --

1. Лемма. Если инверсия переводит точки А и В соответственно в точки A' и B' (рис. 4.5.2.1), где А и В отличны от O, кроме того O, А и В не лежат на одном луче, а началом в точке O (треугольники OAB и OA'B' подобны и OAB=OB'A';

OBA=OA'B').

Доказательство. У этих треугольников есть общий угол и стороны, OAOA'=OBOB'=r2, заключающие этот угол пропорциональны следовательно OA:OB=OB':OA'. Треугольники OBA и OA'B' подобны, откуда вытекает равенство углов OBA=OA'B' и OAB=OB'A'.

Прямые, пересекающие стороны угла, называются антипараллельными относительно этого угла, если одна из них образует с одной из сторон угла такой же угол, какой образует другая прямая с другой стороной этого же угла.

Антипараллельные прямые вообще не параллельны за исключением случая, когда обе они перпендикулярны биссктрисе данного угла.

А теперь перейдем к основным теоремам инверсии.

Теорема 1. При инверсии окружность, проходящая через центр инверсии преобразуется в прямую, перпендикулярную к линии центров данной и базисной окружностей, и наоборот.

Доказательство. Пусть (O, r) – базисная окружность инверсии (O1r1) – данная окружность, проходящая чeрез центр O (рис. 4.5.2.2).

Проведем прямую OO1 – она пересечет окружность в точке А, построим инверсную ей точку A'. Выбрав произвольную точку Р окружности и построим P'=I(P). Соединим Р с А и P' с A'. Из подобия OP'A' и OPA OA'P'=OPA, но OPA=900, т.е. точка Р лежит на прямой, проходящей через точку A' перпендикулярной к OO1. Каждая точка окружности преобразуется в точку прямой '(A'P'). Теорема доказана. Нетрудно доказать и обратное, что аждой точке прямой ' соответствует инверсная ей точка окружности. Но вернемся к нашей теореме.

Графически это решается следующим образом:

- соединяем центры окружностей (базисной и данной), прямой OO1, отмечаем точку А=OO1, находим инверсную ей точку A' и из нее восстанавливаем перпендикуляр к прямой OO1.

Легко видеть, что когда окружность пересекает базисную окружность, прямая ' определяется двумя точками пересечения этих окружностей Р и O (рис. 4.5.2.3,а).

Если окружности касаются друг друга, то искомаяпрямая является общей касательной для обеих окружностей (рис. 4.5.2.3,б).

Если две окружности касаются в центре инверсии, то они преобразуются при инверсии в пару параллельных прямых (рис.



4.5.2.4,а,б).

Теорема 2. Окружность, не проходящая через центр инверсии преобра зуется в окружность.

Допустим, данная окружность (O1r1), O – центр инверсии. Обозначим через r2 – степень инверсии, а через S2 – степень центра инверсии (как точки) относительно окружности (O, r). Проведем секущую ONM (рис.

4.5.2.5) данной окружности и найдем инверсную точку M'=I(M). Тогда получим:

OMOM'=r2 и OMON=S ON S =. Соединим N с O1 и проведем M'O1'||NO1 до пересечения с тогда OM' r OO1. В пересечении получим точку O1'. Из подобия треугольников ONO и OM'O1' на основании предыдущего равенства получим:

S O1 N r ON = = = OM' O1 ' M ' O1 ' M ' r Из этого следует, что расстояние точки M' от O1', положение которой определяется вполне определенным равенством:

S OO1 O1 N r = = = OO1 ' O1 ' M ' O1 ' M ' r r равно постоянной величине: r 2 = r1, а поэтому фигура обратная S окружности является – окружность.

OO1 S 2 r = =, то окружности гомотетичны 1 и 1'. Таким Так как OO1 ' r 2 r1 ' образом взаимообратные окружности гомотетичны и начало инверсии есть один из ценров гомотетии.

Эта теорема может быть доказана и с помощью леммы об антипа раллельных прямых.

Теорема 3. При инверсии, окружность не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность.

Доказательство. Допустим (O, r) – базисная окружность, (O1, r1) – данная окружность (рис. 4.5.2.6). Прямая OO1 пересечет в точках А и В, A' и B' – инверсные им точки. Возьмем произвольную точку Р окружности. P' будет инверсная ей точка. Соединим Р с А и В, а P' с A' и B'. Зная лемму об антипараллельных прямых мы можем показать, что P'A'B'+P'B'A'= P'PA=P'A'B' OPB=PB'A'.

и Но из прямоугольного тругольника P'A'B', а отсюда вытекает, что A'P'B'=1800 900=900 и, следовательно, A'P'B' – опирающийся на диаметр A'B'. А отсюда следует, что P' лежит на окружности ' инверсной данной. Что и требовалось доказать.

Теорема 4. При инверсии прямая, проходящая не через центр инверсии, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии.

Доказательство. При инверсии, как мы уже знаем, окружность (O1r1), проходящая через центр инверсии, преобразуется в прямую перпендикулярную OO1 – прямой, соединяющей центры базисной и данной окружностей. В силу свойства взаимности инверсных точек все точки прямой преобразуются в инверсные точки, лежащие на окружности.

Теорема 5. При инверсии угол между прямыми равен углу между их образами.

Доказательство. Здесь могут представиться три случая:

1. Прямые l1 и l2 проходят через центр инверсии. В этом случае утверждение теоремы очевидно (свойство 7).

2. Одна из прямых l1 и l2 проходит через центр инверсии. Допустим, что l1 проходит через центр инверсии, точку O (рис. 4.5.2.7). Тогда инверсия переводит l1 в саму себя l1=l1'. Прямая l2 переходит в окружность l2', проходящую через точку O. Касательная t к окружности l2' в точке O параллельна l2, следовательно, угол между касательной и l1=l1' будет равен углу между l 2 l1.

Относительно взаимного расположения прямых l1 и l2 могут представиться две возможности:





а) прямые l1 и l2 параллельны;

б) l1 и l2 пересекаются в некоторой точке А.

Если l1 и l2 параллельны, то угол между ними, очевидно равен нулю. Но прямая l1 проходит через точку O и параллельна l2. Поэтому она обязательно будет совпадать с касательной t к окружности l2' в точке O.

Отсюда следует, что угол между l1' и l2' равен нулю и, следовательно, утверждение теоремы в случае а) доказано.

Пусть теперь l1 и l2 не параллельны и А – точка их пересечения.

Обозначим через наименьший угол из вертикальных углов между l1 = l1' и прямой l2 или, прямой t. Точка А при инверсии переходит в некоторую точку A', в которой прямая l1' пересекается с окружностью l2' (как образы в точке А). Но прямая l1' или, что то же прямая ОА составляет с касательной t' в точке A' к окружности l2' такие же вертикальные углы, что и в касательной t. Отсюда следует, что угол между l1' и l2' в точке A' равен.

Случай б) доказан.

Третий случай доказывается аналогично. Заметим только, что если прямые l1 и l2 параллельны, то соответствующие окружности l1' и l2' имеют в точке O общую касательную и, стало быть, составляют между собой нулевой угол. Отсюда угол между l1' и l2' равен углу между l1 и l2. Если же прямые l1 и l2 пересекаются, что видно из рис. 4.5.2.8, угол между окружностями l1' и l2' в точке O равен углу между прямыми l1 и l2, ибо касательные t1 и t2 к этим окружностям в точке O параллельны прямым l1 и l2. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

Имеют место и обратные теоремы:

1. Угол между окружностями равен углу между образами этих окружностей относительно инверсии.

2. Угол между окружностью и прямой равен углу между образами этих фигур относительно инверсии.

Преобразование, при которых сохраняется равенство углов между кривыми (окружностями), называются конформными. Таким образом инверсия является конформным преобразованием.

При инверсии базиснаяокружность преобразуется в себя (свойство 3).

Существуют ли другие окружности, обладающие таким свойством?

Оказывается, если степень инверсии равна степени центра инверсии (как точки) относительно данной окружности, то окружность преобразуется в себя (рис. 4.5.2.9).

Если степень инверсии r2 равна S2 – степени точки O относительно ок ружности (O1, r1), то проведя секущую OMM' получим OMOM'=r2=S2.

Тогда точки М и M' инверсные и поэтому окружность (O1, r1) – есть ГМТ взаимообратных точек. Следовательно, окружность преобразуется в себя.

Покажем, что эта окружность ортогональна базисной.

Обозначим через Т одну из точек пересечения окружностей и.

Покажем, что ОТ – касательная к окружности. Допустим, что ОТ встречает еще в одной точке T'. Заметим, что точки М и M' расположены по одну сторону от точки O, что точка O расположена вне окружности. В силу известного свойства секущих, проведенных из одной и той же точки к окружности OTOT'=OMOM' и так как OT=r, то и OT'=r следовательно, точки Т и T' должны совпадать. Итак ОТ – касательная к окружности и и – ортогональные окружности.

В силу того, что внешняя часть относительно двух данных окружностей, радикальной оси является ГМТ центров окружностей, пересекающих данные окружности ортогонально, о чем мы говорили выше, мы можем подобрать степень инверсии, равную степени точки O относительно окружностей 1 и 2, то эти окружности обе преобразуются в себя.

Три окружности преобразуются в себя, если за центр инверсии взять радикальный центр их, а за окружность инверсии общую к ним ортогональную окружность.

Если окружность при инверсии преобразуется в себя, то всякий диаметр ее обращается в окружность ортогональную к ней, ибо диаметр окружности есть частный случай ортогональной окружности [9, 19, 34].

§ 4.5.3. Метод инверсии и его применение при решении задач на построение С помощью преобразования инверсии можно дать весьма простые и изящные решения задач на построение.

Ниже мы рассмотрим задачи, в которых требуется построить окружность, касающуюся или ортогональную соответственно одной или нескольким окружностями.

При применении этого метода исходную задачу сводят к задаче, которая либо уже решена, либо решается проще чем исходная.

Если считать точку окружностью с r=0, а прямую с r=, то задача о касании окружности, или как ее называют задачей Аполлония, может быть рассмотрена как в предельном так и в частном случае.

Предельный случай – это когда окружность, все или несколько вырождаются в прямую или точку.

Рассмотрим некоторые случаи этой задачи.

Задача 1. Построить окружность, проходящую через три данные точки.

.

Решение. Соединив три точки между собой (рис. 4.5.3.1.) через середины полученных отрезков, проводим перпендикуляры. Точка пересечения перпендикуляров будет центром искомой окружности.

Задача 2. Построить окружность, которая касается трех данных прямых (рис. 4.5.3.2, а,б,в,г,в) ca, b, a||b:

- делим расстояние между параллельными прямыми пополам, затем проводим среднюю прямую и из точки пересечения этой прямой и проводим дугу, радиусом равным половине расстояния между а и b, до пересечения со средней линией, найденные точки будут центрами O1 и O искомых окружностей;

ca,b a||b:

- находим среднюю линию между а и b, затем делим смежные углы пополам. Биссектрисы этих углов в пересечении со средней линией дадут центры искомых окружностей;

abc:

- в образованном треугольнике находим точку пересечения биссектрис.

Это и будет центром искомой окружности;

abc=0:

- все три прямые пересекаются в одной точке. Эта точка будет искомой окружностью нулевого радиуса.

Задача 3. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных параллельных прямых. Задача имеет три решения:

- если точка находится между прямыми, то строим среднюю линию двух параллельных прямых, затем из точки А проводим дугу, радиус которой равен половине расстояния между параллельными прямыми, до пересечения со средней линией. Точки пересечения будут центрами искомых окружностей (окружности две) (рис. 4.5.3.3);

- если точка на одной из прямых, то решение упрощается. Из точки А проводим общий к двум параллельным прямым перпендикуляр и делим его пополам. Полученная точка будет центром искомой окружности;

- если точка находится запрямыми, то решения не имеет.

Задача 4. Построить окружность, проходящую через данную точку, ка сающуюся двух данных пересекающихся прямых (ab, A).

Так же 3 случая.

Если точка между прямыми:

- строим биссектрису угла, затем из произвольной точки биссектрисы O строим окружность, касающуюся двух данных прямых. Соединяем точку А с точкой пересечения данных прямых и отмечаем точки пересечения этой прямой с построенной окружностью. Пусть это будут точки В и B'. Соединим эти точки с центром окружности. Из точки А проведем прямые, параллельные построенным радиусам. В пересечении с биссектрисой они дадут центры искомых окружностей (две окружности (рис. 4.5.3.4).

Если точка на прямой, то решение упрощается:

- из точки А восстанавливаем перпендикуляр к прямой, на которой она находится до пересечения с биссектрисой угла. Точка пересечения будет центром искомой окружности.

Если точка находится за прямыми, то задача не имеет решения.

Задача 5. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

Эта задача решается методом инверсии;

если за центр инверсии принять одну из данных точек, а ее рсстояние до данной прямой принять за радиус инверсий (рис. 4.5.3.5).

Задача 6. Построить окружность, касающуюся данной окружности и проходящую через данные точки А и В.

Примем В за центр инверсии, а АВ за радиус инверсии. Тогда окружность преобразуется в окружность ', точка A=A' искомая окружность в прямую '. Эта прямая должна пройти через A=A' и касаться ', так как искомая окружность должна касаться А и окружности (рис. 4.5.3.6.).

.

Точку А принимем за центр инверсии, а расстояние до прямой за ра диус. Учитывая все свойства инверсии и зная методы построения инверсных точек мы получим следующее построение. Прямая а проебразуется в окружность а', точка В в точку В'. Нам остается провести прямую ', которая пройдет через точку В' и будет касательной к окружности а'. После обратного инверсного преобразования прямая ' пребразуется в окружность, которая пройдет через точки А и В и будет касательной к прямой а, что является ответом задачи.

Построить окружность, касающуюсядвух данных Задача 7.

параллельных прямых и данной окружности.

Эта задача на построение и в применении инверсии не нуждается, но она также является одной из задач Аполлония (рис. 4.5.3.7). Решается аналогично задачи 3.

Построить окружность, касающуюся трех данных Задача 8.

окружностей, две из которых взаимно касаются.

Принимаем точку касания за центр инверсии, радис вибираем такой, чтобы окружность инверсии пересекла и 1. После преобразования получаем две параллельные прямые 1 и 2' и 3' – окружность или тоже прямую. Решение сводится уже к ранее рассмотренному случаю (рис.

4.5.3.8).

Задача 9. Построить окружность, касающуюся трех данных непересе кающихся окружностей (Задача Аполлония). Решение этой задачи в общем случае сводится к решению последней задачи 8.

Мы пользуемся для этого приемом, называемым "расширением".

Соединяем два центра (O1и O2). Прямая пересекает 1 и 2 окружности в четырех точках. Выбираем внутренний (А1А2) отрезок. Обозначим через Т середину и увеличив радиусы всех трех окружностей на А1Т отрезок строим их. Затем решаем задачу 8. После решения строим концентрическую ' окружность, увеличенную на А1Т. Последняя будет искомой окружностью (рис. 4.5.3.9). Число всех возможных решений задач Аполлония на касание окружности зависит от взаимного расположения данных окружностей.

Мы рассмотрели не все варианты, но рассмотренные задачи, на наш взгляд, представляют наибольший интерес.

Задача 10. Дана кривая а. Найти инверсную ей кривую a'. Задача интересна тем, что здесь применяется отличный от ранее рссмотренного метода построения инверсных точек.

Эта задача решается с помощью радиусов-векторов, проведенных из центра инверсии через намеченные на данной кривой точки. Точка E' искомой кривой a' преобразуется следующим образом. Смежный с радиусом-вектором ОЕ радиус пересекает базисную окружность в точке 2.

Из точки I проведем прямую I3 параллельную Е2. Отрезок O3 равен по длине отрезку OE'. Из центра проведем дугу радиусом O3 до пересечения с ОЕ и находим E'. Построив таким образом ряд точек строим инверсную кривую а1 (рис. 4.5.3.9). Этот способ удобен тогда, когда мы имеем незакономерные кривые. Особенно хорошо видно и доказывается свойство 6, когда мы имеем кривую с точкой возврата первого рода, когда эта точка расположена близко от центра инверсии. В таком случае особая точка кривой преобразуется в несобственную точку (рис. 4.5.3.10).

Задача 11. Найти отображение равнобочной гиперболы X2-Y2=1 при круге инверсии r=1 с центром в начале координат. Построив инверсную кривую мы получаем лемнискату Бернулли (рис. 4.5.3.11).

Задача 12. Пусть окружность S касается одновременно двух окружностей S1 и S2. Докажем, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через центр подобия окружностей S1 и S2' (рис. 4.5.3.12).

.

Пусть окружность S касается S1 и S2 в точках А и В;

O1, O2 и O центры окружностей S1, S2 и S, O – точка пересечения АВ и O1O2. Произведем инверсию с центром O и степенью k=OAOB. При этом точка А переходит в точку В и обратно;

окружность S переходит в себя (так как окружность S проходит через две инверсные точки). Окружность S1 касающаяся S в точке А, переходит в окружность S1', касающуюся S в точке В. При этом центр S1' лежит на прямой OO1, т.е. совпадает с точкой O2 пересечения прямых ОВ и OO1. Отсюда вытекает, что S1' совпадает с S2. Следовательно, инверсия с центром O переводит S1 в S2, т.е. O центр подобия S1 и S2, что и требовалось доказать.

Если АВ совпадает с O1O2, то утверждение задачи очевидно. Если AB||O1O2, то инверсию с центром O следует заменить симметрией относительно прямой, переводящей A в B;

так же, как выше показывается, что эта симметрия переводит S1 в S2. Следовательно окружности S1 и S равны и не имеют внешнего центра подобия;

этот случай представляет собой исключение.

Задача 13. Пусть А, В, С и D – четыре произвольные точки плоскости, не лежащие на одной прямой или на одной окружности. Докажем, что угол между окружностями описанными вокруг треугольников АВС и АВD, равен углу между окружностями, описанными вокруг треугольников CDA и CDB (рис. 4.5.3.13).

Произведем инверсию с центром в точке А. При этом окружности, описанные вокруг треугольников АВС и ABD и ADC, перейдут в прямые.

Из этого видно, что угол между окружностью S', описанной вокруг треугольника B'C'D' и прямой C'D', равен углу между прямыми B'C' и B'D' (оба угла измеряются половиной дуги C'D' окружности S'), откуда и вытекает утверждение задачи.

Задача 14. Докажем, что если каждая из четырех окружностей S1, S2, S3, S4 касается двух соседних, то четыре точки касания лежат на одной окружности.

Инверсия с центром в точке А касания S1 и S2 переводит (рис. 4.5.3.14) а) в б);

нам, очевидно, достаточно показать, что точки B', C', D' этого последнего (рис. 4.5.3.14) лежат в одной прямой. Пусть MN – общая касательная к S3' и S4' в точке C';

D' – точка пересечения прямых B'C' и S1'.

В таком случае NB'C'=NC'B' (как измеряющиеся половиной одной дуги NC'B'=MC'D B'C' окружности S1'), (как вертикальные) и NB'C'=MD1C' (как накрестлежащие при параллельных S1' и S2'). Значит MC'D1'=MD1C' и, следовательно MD1=MC';

а так как MD'=MC' (как касательные, проведенные к S4' из одной точки М), то D1 совпадает с D1', что нам и требовалось доказать.

.

Задача 15. Даны две неконцентрические окружности 1 и 2. Требуется построить все окружности, ортогональные данным и проходящие через точку М.

В зависимости от расположения окружностей и точки мы можем иметь несколько вариантов решения этой задачи.

1. Допустим, 1 и 2 пересекаются, а в точках А и В, и М совпадает с А или В. Тогда искомой окружностью будет точка А или точка В в предположении, что r=0 (рис. 4.5.3.15,а).

2. Точка М отлична от А и В. Допустим, что А – центр инверсии и r=AB. Тогда M'=I(M), B=I(B'), а окружность 1'=I(1), 2'=I(2), проходящие через точку В. Образ искомой окружности '=I() должен быть окружностью, которая ортогональна непараллельным прямым 1' и 2' и проходит через точку M', отличную от А и В. Очевидно это окружность ' с центром в В и r=M'B. Инверсная ей – обратная окружность будет искомой (рис. 4.5.3.15,б).

3. Окружности 1 и 2 касаются в точке А. Если M=A, то задача имеет бесконечное множество решений. O1O2 – прямая будет являться ГМТ всех центров ортогональных данных окружностей, а также прямая l – общая каса тельная является радикальной осью этих окружностей и следовательно, также является ГМТ всех центров окружностей ортогональных данных (рис.

4.5.3.15, в).

4. Если М – любая точка плоскости, то выбираем за центр инверсии точку А, а r=AM. Тогда инверсия переводит M'=I(M), а 1 и 2 переводит в параллельные прямые 1' и 2'.

Очевидно, образом ' искомой окружности будет прямая, проходящая через М и перпендикулярная 1' и 2', она единственная, так как проходит через M'. Обратная ей фигура окружность, которая будет искомой (рис.

4.5.3.15, г).

Задача 16. Даны три окружности 1, 2 и 3, расположенные так, что одна лежит вне двух других. Построить окружность ортогональную данным.

Может представится два случая:

1. Если центры лежат на одной прямой, то радикальные оси параллельны. Решение задачи – прямая, соединяющая центры.

2. Радикальные оси пересекаются в точке S – радикальном центре. Из точки S можно провести касательные к трем окружностям. Все касательные будут равны между собой, так как радикальный центр имеет равную степень ко всем трем окружностям. Очевидно радиус искомой окружности будет расстояние от до точки касания любой из трех окружностей (рис. 4.5.3.16).

A a B a X a Y C a D Рис 4.1.3. B B/ A/ A C/ C d Рис 4.1.2. x/ x// B/ B// B A A/ A// C/ C// C x// x// Рис 4.1.2. C b B E b a D A а) N K C F B L M E +-180 a A H D б) Рис 4.1.3. N K C b C F b B B L M E +-180 E a a A D=H D A a) б) K H F F N B C b K L B b C L M M a a A D A D E=H E в) г) Рис 4.4.3. B A O B/ / A Рис 4.2.1. M X/ M/ X// M// Рис 4.2.1. B/ R C D Q O S A/ B A P Рис 4.2.2. a M b M A/ A P A A/ B/ B N C N Рис 4.3.2.1 Рис 4.3.2. a M b A/ 1 A M N 9/ 8/ 10/ 7/ / B B / 1/ 6/ 3/ 4/ / N 2/ Рис 4.3.2.3 Рис 4.3.2. B A A O A/ O A/ B/ Рис 4.3.3.1 Рис 4.3.3. D B C A E B B/ O x A / / A E C/ D/ Рис 4.3.3.3 Рис 4.3.4. B/ B N/ N M A M/ C C/ A/ Рис 4.4.1. A/ A A// C/ C// C O B// B B/ Рис 4.4.1. / S / S a) б) Рис 4.4.2. A A B B A/ S B/ / B 1 2 / A S Рис 4.4.2.2 Рис 4.4.2. B/ B S P P/ A/ A a a/ Рис 4.4.2. C B A D H O B A A1 B Рис 4.4.3.1 Рис 4.4.3. B b A a x O c C H Рис 4.4.3. A/ A D/ D O C B C/ / B a) A C/ D B / B D/ C A/ б) Рис 4.4.4. A1 A O B A O B B O S Рис 4.4.4. A A S S O O A1 / Рис 4.4.5. S O/ S O/13 O/23 O S O O Рис 4.4.5. B// B B/ A// A A/ O O Рис 4.4.6. B B/ A M A/ M/ Рис 4.4.7. B/ B A A/ S O Рис 4.4.7. O m B B Q B/ A A P A/ Рис 4.4.7. B F E O A C Рис 4.4.8. g f/ f G F M N m n Рис 4.4.8. B N P N P N P A M1M M2 Q1 Q C Q Рис 4.4.8. N r M O Рис 4.5.1. N r M/ M=M/ Рис 4.5.1. N N O M/ O1 M/ M O O1=M N/ N/ Рис 4.5.1. N r M// M/ M O Рис 4.5.1. A/ A O B B/ Рис 4.5.2. / P/ P A/ O A Рис 4.5.2. / / P O O1 O O1 P Q a) б) Рис 4.5.2. 2 / 1 / 1 / 2 / 2 A/ A O1 O O O O1 O a) б) Рис 4.5.2. N / M/ M O1/ O O Рис 4.5.2. / P/ P B/ O1 O O B A/ A Рис 4.5.2. / t / 1= A/ O A / t Рис 4.5.2. / t1 O1 t2 / O Рис 4.5.2. =/ T=T/ M=N/ O O N=M/ Рис 4.5.2. B A o C Рис 4.5.3. c a b c a) a O O b в) a O b c г) a b O c д) Рис 4.5.3. O2 O A Рис 4.5.3. A B1 B O O O Рис 4.5.3. / B B/ A=O / a a r / D D Рис 4.5.3. / / A=A / r B=O O1 / O Рис 4.5.3. b c r+c O2 O a O Рис 4.5.3. 2 / O / O 1 / O O / Рис 4.5.3. 3 / / O 1 / 2 / O A T A2 O Рис 4.5.3. E/ / E O a) O a/ a б) Рис 4.5.3. / O Рис 4.5.3. S M N A B O1 O2 O S S Рис 4.5.3. D/ S/ t B/ C/ Рис 4.5.3. S S2/ S1/ / S3/ M B A S3 B/ S4/ D C C/ D/ S D S N a) б) Рис 4.5.3. / 1 B=B/ O B=M O A O A / 1 / M O M 2 / a) б) 1 O1 O A=M в) 1 / 2 / M/ / M 1 O1 O A г) Рис 4.5.3. t t O S t O O2 Рис 4.5.3. ЛИТЕРАТУРА 1. Атанасян Л.С., Базылев В,Т. Геометрия.Ч.1. М.:Просвещение. 1986.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2. М.:Просвещение. 1987.

3. Аргунов Б.,И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости.

М.:Учпедгиз. 1957.

4. Кутузов Б.В. Геометрия. М.:Учпедгиз. 1955.

5. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч.1. М.:Учпедгиз. 1957.

6. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч.2. М.:Учпедгиз. 1958.

7. Яглом И.М. Геометрические преобразования. Ч.1. М.:Госиздат. 1955.

8. Яглом И.М. Геометрические преобразования. Ч.2. М.:Госиздат. 1956.

9. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Геометрические преобразования.

М.:Изд-Московского университета. 1961.

10. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. М.:Просвещение. 1985.

11. Евремов Д. Новая геометрия треугольника. Одесса:Типография Бланкоиздательства М.Шпенцера. 1902.

12. ЭЭМ Геометрия. Т.4. М.:Госиздат физ.-мат.литературы. 1963.

13. ЭЭМ Геометрия. Т.5. М.:Госиздат. физ.-мат.литературы. 1966.

14. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины Х1Х столетия. М.:Госиздат физ.-мат.литературы. 1960.

15. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. М.:Просвещение.

1966.

16. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение.


М.:Учпедгиз. 1950.

17. Четверухин Н.Ф. Изображения фигур в курсе геометрии. М.:Учпедгиз.

1958.

18. Розенфельд Б.А., Сергеева Н.Д. Стереографическая проекция. М.:Наука.

1973.

19. Бакельман И.Я. Инверсия. М.:Наука. 1966.

20. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. 2ТТИ.

М.-Л. 1932. (пер. с франц.).

21. Кольман Э. История математики в древности. М.:Госиздат физ-мат.

литературы. 1961. №17).

22. Глаголев Н.А. Элементарная геометрия (Планиметрия). М.:Учпедгиз.

1944.

23. Четверухин Н.Ф. Метод геометрических построений. М.:Учпедгиз. 1952.

№128.

24. Бихман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии.

М.:Наука. 1969.

25. Глаголев Н.А. Геометрия. Ч.1. Планиметрия. М.: Учпедгиз. 1958.

26. Август Адлер. Теория геометрических построений. Л.: Учпедгиз. 1940.

27. Бескин Н.М. Методика геометрии. М.: Госучпедгиз. 1947.

28. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. М.: Наука. 1969.

29. Яглом И.М. Элементарная геометрия прежде и теперь. М.: Знание.

1972.

30. Базылев Б.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.Л. Геометрия. Ч.1.

М.:Просвещение. 1974.

31. Базылев Б.Т., Дуничев К.И. Геометрия. Ч.2. М.:Просвещение. 1975.

32. Скопец З.А. Задачи и теоремы по геометрии (Планиметрия).

М.:Учпедгиз. 1968.

33. Строжевский А.А. Задачи на геометрические места точек в курсе геометрии средней школы. М.:Учпедгиз. 1954.

34. Четверухин Н.Ф. Курс начертательной геометрии. М. 1956.

35. Фролов С.А. Начертательная геометрия.

36. Бубенников. Начертательная геометрия. М.:Высшая школа. 1985.

37. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии. М.:Высшая школа. 1974.

38. Вольберг Д.А. Лекции по начертательной геометрии. М.-Л.:Учпедгиз.

1947.

39. Гусев В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах (Сборник статей).

М.: Просвещение. 1979.

40. Колмогоров А.Н. Гоеометрия (Учебное пособие для 6-х классов средней школы). М.: Просвещение. 1976.

41. Колмогоров А.Н. и др. Геометрия (Учебное пособие для 7-х классов средней школы). М.:Просвещение. 1979.

42. Погорелов А.В. Геомерия (Учебное пособие для 6-10-х классов средней школы). М.: Просвещение. 1986.

43. Глейзел Г.Д. Геометрия (Учебное пособие для 6-9-х классов вечерней смены-школы). М.: Просвещение. 1980.

44. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.1. М.:

Просвещение. 1978.

45. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.2. М.: Просвещение.

1978.

46. Б.С.Э. Ленинград, 1952.

47. Вачнадзе Г.А. Начертательная геометрия. Тбилиси: Ганатлеба. 1969.

48. Шавгулидзе А.С. Техническое черчение. Тбилиси: Ганатлеба. 1967.

49. Шавгулидзе А.С. Специальный курс инженерной графики. Тбилиси:

Ганатлеба. 1977.

50. Шавгулидзе А.С. Элементарная инженерная графика в школе. Ч.4.

Тбилиси: Ганатлеба. 1983.

51. Колмогоров А.Н., Семенович А., Черкасов Р. Геометрия (Учебник 6-8-х классов в средней школе). Тбилиси:Ганатлеба. 1980.

О Г Л А ВЛ Е Н И Е Стр Введение.................................................................................................. Предисловие............................................................................................ Глава 1 Краткий исторический обзор................................................. Глава 2. Элементарные основы конструктивной геометрии.............. 2.1. Система аксиом конструктивной геометрии................................. 2.2. Аксиомы линейки, циркуля, двухсторонней линейкии прямого угла............................................................................................. 2.3. Ориентационная схема решения геометрическихзадач на построение................................................................................................ 2.

4. Методы решения геометрических задач на построение................ 2.5. Примеры геометрических задач на построение............................. Глава 3. Методы геометрических мест и его применениев задачах на построение.................................................................................................. 3.1. Понятие геометрического места точек............................................. 3.2. Применение метода геометрических мест в определении понятия геометрического места точек.................................................................... 3.3. Простейшие примеры геометрического места точек на плоскости... 3.4. Задача на нахождение ГМТ с заранее указанными свойствами........ 3.5. Окружность Аполлония – Пергского.................................................... 3.6. Радикальная ось и радикальный центр................................................ 3.7. Пучки окружностей................................................................................. 3.8. Построение Мора – Маскерони........................................................... 3.9. Построение Понселе – Штейнера........................................................ Глава 4. Элементарные геометрические преобразования и их применение для решения задачи на построение............................................................. 4.1. Параллельный перенос.......................................................................... 4.1.1. Аксиома и следствие о параллельных прямых................................ 4.1.2. Параллельный перенос на плоскости............................................... 4.1.3. Метод параллельного переноса и его применение в задачах на построение................................................................................................... 4.2. Вращение.............................................................................................. 4.2.1. Преобразование плоскости в себя вращением вокруг точки.......... 4.2.2. Метод вращения и его применениев задачах на построение.......... 4.3 Симметрия………………………………………………………............ 4.3,1Симметрия фигур................................................................................... 4.3.2 Симметрия относительно оси......................................................... 4.3.3 Симметрия фигур относительно центра.............................................. 4.3.4 Метод симметрии и его применение при решении задач на построение...................................................................................................... 4.4 Подобие................................................................................................... 4.4.1 Подобие фигур......................................................................................... 4.4.2 Гомотетия и её свойства........................................................................ 4.4.3 Пропорциональные отрезки................................................................. 4.4.4 Центрально-подобное преобразование плоскости............................ 4.4.5 Подобие окружностей.......................................................................... 4.4.6 Группа подобных преобразований с общим центром....................... 4.4.7 Общий случай подобных фигур на плоскости................................... 4.4.8 Метод подобия и его применение при решении задач на построение....................................................................................................... 4.3. Инверсия............................................................................................... 4.3.1. Определение инверсии......................................................................... 4.3.2. Свойства инверсии................................................................................ 4.3.3. Метод инверсии и его применение при решении задач на построение Общие выводы и заключение......................................................................... Литература....................................................................................................... Оглавление …................................................................................................. ТЕКСТ ВОСПРОИЗВОДИТСЯ В ТОМ ВИДЕ, В КОТОРОМ ПРЕДСТАВЛЕН АВТОРАМИ Сдано в производство 26.03.2009 г. Подписано в печать 15.05.2009 г. Формат бумаги 60Х84 1/8. Усл. печ. л. 11. Тираж 100 экз.

Издательский дом “Технический университет”, Тбилиси, ул. М. Костава,

Pages:     | 1 | 2 ||
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.