авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Одобрено

Президиумом НМС

ГУУ

В. И. СОЛОВЬЁВ

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

И ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

для студентов специальности

«Математические методы в экономике» – 061800

МОСКВА – 2001

ББК 22.171+65.9(2)26 УДК 519.21(075.8) 6Н1 С 60 Соловьёв В. И. Стохастические модели математической экономики и финансовой математики: Учебное пособие / ГУУ. – М., 2001. – 92 с.

Посвящено современным стохастическим методам и их применению в экономи ке, финансах и страховании. Рассматривается теория марковских случайных про цессов, включая элементы стохастического анализа. С помощью стохастических методов исследуются вероятностные характеристики ряда финансово математических и экономико-математических моделей, в частности, модели порт фельного инвестирования Тобина, модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза – Мертона, модели стабилизации государственного долга, односекторной стохастической динамической модели экономики, стохастической модели обмен ных курсов, моделей страхования и социально-экономической структуры общества и др. Приводится ряд оригинальных результатов. Бльшая часть материала излага ется впервые в учебной литературе для студентов экономических специальностей.

Для студентов специальности «Математические методы в экономике». Может быть полезно студентам других специальностей, аспирантам, преподавателям, на учным сотрудникам, специалистам-практикам, интересующимся применением со временных математических методов в экономике.

Библиогр. 99 назв. Табл. 2. Ил. 9.

Ответственный редактор заведующий кафедрой прикладной математики ГУУ, доктор экономических наук, профессор В. А. КОЛЕМАЕВ Рецензенты директор института статистики и эконометрики МЭСИ, доктор экономических наук, профессор В. С. Мхитарян заведующий кафедрой высшей математики ГУЗ, доктор физико-математических наук, профессор Н. В. Кислов В. И. Соловьёв, Государственный университет управления, ISBN 5-215-01247- ВВЕДЕНИЕ Мы должны стремиться отходить от при вычных концепций и учиться смотреть на мир по-новому: только в этом случае воз можны творческий рост личности и совер шенствование самого процесса познания.

Р. Акофф В детерминированной математике рассматриваются лишь такие модели, в которых со стояние X (t ) некоторой системы в момент времени t однозначно определяется её состояни ем в любой предшествующий момент t0 : X (t ) = f (t0, t ), где f — некоторая (однозначная) функция. Этими моделями описываются процессы, рассматриваемые в классической меха нике (движение материальной точки), классической финансовой математике (времення стоимость денег), классической математической экономике (динамика валовго внутреннего продукта).

Однако при изучении различных объектов мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых однозначно предсказать невозможно. Например, колебания высоты полёта самолёта около того значения, которое он должен выдерживать, колебания обменных курсов валют, колебания валовго внутреннего продукта.

Греческое слово (стохос) означает предположение, догадка. Слово (стохастика) переводится как искусство предсказания. В теории случайных процессов (или стохастической математике) рассматриваются именно такие модели, когда состояние X (t ) некоторой системы в момент времени t является случайной величиной: X (t ) = f (t0, t, w), где f — некоторая случайная функция. При этом для оценки ожидаемого состояния системы используется математическое ожидание этой случайной функции, а в качестве меры риска как возможного разброса будущих значений вокруг ожидаемых прогнозов — дисперсия (или среднее квадратичное отклонение).

Как отмечают А. А. Петров, И. Г. Поспелов и А. А. Шананин, «в любой экономической системе у людей достаточно свободы, чтобы действия их всех вместе выглядели хаотиче скими» [57, с. 34]. Экономика серьёзно подвержена влиянию случайных факторов — многие события, влияющие на макроэкономическую динамику, являются случайными: экономиче ская конъюнктура, производственная неопределённость, сбор большого или малого урожая, появление научных открытий и гениальных произведений искусства и др. Поэтому стохасти ческие математические модели являются наиболее адекватным отражением экономической реальности. Особенно подвержена влиянию случайных факторов финансово-кредитная под система экономики.

Финансовые рынки представляют собой пример системы с высокой степенью неопреде лённости, на такие системы действует множество случайных факторов, и для успешной ра боты на финансовых рынках необходимо эти случайности учитывать.

Начало теории случайных процессов относят к работам Л. Башелье [2] (1900 г.) и А. Эйнштейна [99] (1905 г.). Л. Башелье предложил рассматривать эволюцию стоимостей акций на парижском рынке как случайный процесс. А. Эйнштейн точно таким же случай ным процессом описал броуновское движение взвешенных частиц в жидкости. Систематиче скому обобщению теория впервые подверглась в статье А. Н. Колмогорова [38] (1931 г.).

Хотя истоки теории лежали в области экономики, после Л. Башелье очень долгое время большинство её методов использовалось, в основном, при исследованиях в области теорети ческой физики, главным образом, в молекулярной физике и радиофизике. Лишь в начале 50-х гг. XX в. стохастическая математика вновь стала применяться в финансовых вычисле ниях. За последние полвека в области применения стохастических методов в финансовой инженерии были получены значительные результаты, высоко оцененные научным сообщест вом: Нобелевской премии в области экономики за работы, связанные со стохастическим мо делированием в финансах, были удостоены П. Самуэльсон (1970 г.), Дж. Тобин (1981 г.), Г. Марковиц и У. Шарп (1990 г., совместно с М. Миллером), Р. Мертон и М. Шоулз (1997 г.).





Одним из основных постулатов современной политической экономии и математической экономики является общая теория экономического равновесия, основанная на утверждении Ж.-Б. Сэя (XIX в.) о том, что рыночные отношения автоматически приводят к состоянию равновесия, т. е. равновесие является глобально устойчивым. Реальная экономическая систе ма никогда не находится ни в состоянии статического равновесия, ни в состоянии сбаланси рованного роста, о чём свидетельствуют экономические кризисы, регулярно возникающие в последнее время в различных странах мира.

В современном мире решения об управлении экономикой страны должны приниматься на основе тщательного анализа имеющейся информации, с учётом оценок возможных по следствий и рисков. Даже если модель построена точно, практические предсказания и управ ление соответствующей экономической системой могут оказаться невозможными, как из-за влияния экзогенных случайных факторов, так и вследствие неустранимых ошибок измере ний.

Использование стохастических моделей с непрерывным временем при анализе макроэко номических процессов актуально, так как аналитическое исследование таких моделей техни чески проще, чем исследование аналогичных систем с дискретным временем (в силу так на зываемого «проклятия размерности», впервые отмеченного Р. Беллманом).

Несмотря на актуальность применения стохастических методов в финансово-эко номических исследованиях, учебная литература по этой теме на русском языке практически отсутствует — за исключением учебных пособий А. В. Мельникова [51], [53] и Т. Дж. Уот шема и К. Паррамоу [86]. Монографии А. Н. Ширяева [96] и А. В. Мельникова [52] служат настольными книгами специалистам, применяющим стохастические методы в финансовой инженерии, но ввиду большого объёма излагаемого материала сложны для освоения студен тами экономических специальностей в рамках семестрового или годового курса. Работы, по свящённые стохастическому моделированию национальной экономики, представлены лишь статьями в журналах «Теория вероятностей и её применения», «Обозрение прикладной и промышленной математики», «Экономика и математические методы», «Вестник универси тета (ГУУ)», «Экономический журнал ВШЭ», небольшой главой в учебном пособии А. Д. Смирнова [67], посвящённой вопросам стабилизации государственного долга, а также проблемной лекцией автора [68].

Данное учебное пособие посвящено современным стохастическим моделям макроэконо мических и финансовых систем. Оно представляет собой расширенный вариант проблемной лекции [68] и состоит из введения, пяти глав и заключения.

В первой главе проводится краткий обзор стохастических моделей в различных областях экономики, финансов и социальных наук: модели ценообразования акций, страхования, со циально-экономической структуры общества;

также приводится классическая задача о раз деле ставки. Изложение в первой главе намеренно ведётся на уровне «физической строго сти», т. е. условия всех теорем предполагаются выполненными. В дальнейшем (в четвёртой и пятой главах) все рассмотренные в первой главе модели рассматриваются более строго. Во второй главе излагаются основные понятия современной теории марковских случайных про цессов с непрерывным временем. В третьей главе вводятся необходимые сведения из сто хастического анализа, которые используются в последующем изложении. Четвёртая глава посвящена применению стохастических методов в финансовой инженерии — наиболее тра диционном разделе стохастической финансовой математики, рассматриваются также совре менные результаты в области математики страхования и стохастического моделирования макроэкономических процессов: государственного долга и валютных кризисов. В пятой гла ве рассматриваются недавние результаты, полученные автором в области моделирования национальной экономики с помощью стохастического обобщения модели Солоу, обсуждает ся также хаотическое поведение экономических систем, описываемых полностью детерми нированными математическими моделями. В конце учебного пособия приводится набор контрольных вопросов и задач, предназначенных для более полного усвоения материала.

Материал пособия опробован автором в практике преподавания теории вероятностей и математической статистики студентам различных специальностей Государственного универ ситета управления, а также в деятельности студенческого научного кружка «Стохастиче ские модели в финансовой математике и математической экономике», работающего под руководством автора при кафедре прикладной математики ГУУ. Первая, четвёртая и пятая главы основаны на работах автора [68]-[77] и могут быть использованы при курсовом и ди пломном проектировании в области экономико-математического моделирования.

Данная работа может представлять интерес не только для студентов специальности «Ма тематические методы в экономике» – 061800, но и для студентов, аспирантов, преподавате лей, научных и практических работников других экономических и математических специ альностей.

Для освоения материала пособия необходимо владеть основами фундаментальной мате матики, теории вероятностей и экономической теории. При первом чтении пособия можно пропустить текст, набранный петитом, а также материал второй и третьей глав.

Автор с благодарностью примет советы и пожелания по поводу пособия, которые просит направлять по электронной почте VSoloviev@hotmail.com или по адресу:

Россия, 109542, Москва, Рязанский проспект, 99, Государственный университет управления, кафедра прикладной математики, В. И. Соловьёву.

ГЛАВА 1. ПРИМЕРЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ФИНАНСАХ И СТРАХОВАНИИ: КРАТКИЙ ОБЗОР Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь большей частью важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.

П. С. Лаплас §1.1. БАЗОВЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФИНАНСАХ В данной главе мы намеренно забудем о математической строгости (на время) и сосредоточимся на сути современных стохастических моделей, используемых в фи нансах, страховании и других общественных науках.

Рынок финансовых инструментов представляет собой систему (организованную или неформальную) торговли финансовыми инструментами на основе чётких пра вил. Рынок — это не обязательно какое-то место типа фондовой биржи, где встре чаются покупатели и продавцы, в качестве рынка могут выступать (и активно вы ступают) телекоммуникационные и компьютерные сети.

Финансовые инструменты принято разделять на основные (банковский счёт и ценные бумаги) и производные (сложные финансовые инструменты, построенные на базе основных).

Издавна в качестве средства оплаты товаров и услуг выступают деньги. Ещё в середине третьего тысячелетия до н. э. они появились у шумеров в виде кусочков и слитков серебра. В VII в. до н. э. в Лидии были изобретены монеты, т. е. металличе ские предметы, на которых были отчеканены масса и качество металла.

Деньги являются самым важным практическим примером отношения эквива лентности, поскольку посредством денег можно обменять любые товары. Это от ношение эквивалентности заложило основы рынка ещё в Нововавилонском царстве более 2 500 лет тому назад. Вместе с деньгами у шумеров появилась и арифметика.

Каждое государство в качестве непременного атрибута выпускает свои собст венные деньги, деньги других государств называют валютой. Основным институ том, обслуживающим рынки финансовых инструментов, являются банки. Одной из основных банковских операций является обслуживание банковских счетов: в опре делённые моменты времени банк обязуется добавлять к денежной сумме, лежащей на банковском счёте, некоторый процент. Проценты могут быть простыми или сложными и начисляться m раз в год либо непрерывно. Если в начальный момент времени на банковском счёте лежит сумма B0, проценты начисляются m раз в год, а годовая процентная ставка по банковскому счёту составляет rm, то в случае про ( ) r стых процентов через t лет1 на счёте будет лежать сумма Bt = B0 1 + [mt ] m, а m m[t ]+[m {t }] ( ) r в случае сложных процентов — сумма Bt = B0 1 + m. О непрерыв m ном начислении говорят только в случае сложных процентов, при этом можно счи тать, что количество m выплат в году стремится к бесконечности. Как известно, x (1 + x1 ) = e = 2.718281828..., поэтому при непрерывном начислении про lim x + центов сумма, лежащая на счёте в момент времени t, составит m[t ]+[m {t }] ( ) B 1+ r = Bt = lim (1.1.1) 0 m m + m rt m m r [t ]+ r {t } 1 r 1 r r B 1+ rt = lim = B0 1+ = B0e.

lim m/r m/r m + (m/r )+ Если сумма Bt, лежащая на банковском счёте в момент времени t, отрицатель на (при этом говорят, что на счёте образовалась короткая позиция), подразумевает ся, что банк кредитует вкладчика на сумму |Bt |, взимая за это тот же самый про цент r, который начисляется на счета с положительной суммой (с длинной позици ей). Очевидно, модель (1.1.1) описывает и случай короткой, и случай длинной пози ции на банковском счёте.

Функция Bt = B0ert (1.1.1) является решением задачи Коши для обыкновенно dBt = rBt или го дифференциального уравнения dt dBt = rBt dt (1.1.2) с начальным условием — известной суммой B0, лежащей на счёте в начальный момент времени.

Действительно, изменение суммы Bt за бесконечно малый промежуток времени dt пропорционально процентной ставке r, размеру суммы Bt и длине промежутка времени dt.

С целью привлечения денежных средств различные организации могут выпус кать свои ценные бумаги — облигации и акции. Облигации представляют собой дол говые обязательства — владелец облигации номинальной стоимостью P (T,T ), Число t может быть как целым, так и дробным. Обозначим квадратными скобками [x ] целую часть числа x — наименьшее целое число, не превосходящее x, а фигурными скоб ками — дробную часть x : {x } = x - [x ].

выпущенной на срок T лет, покупая её по некоторой начальной цене P (0,T ), полу чает от эмитента (организации, выпустившей эту облигацию) подтверждение за долженности в размере номинальной стоимости, которую эмитент обязуется ликви дировать в момент погашения T. При этом номинальная стоимость обычно пре вышает начальную и, более того, эмитент обязуется периодически (как правило, раз в полгода или раз в квартал) выплачивать владельцу так называемый купонный до ход — определённый процент от номинальной стоимости. Банковский счёт также может рассматриваться как облигация с непрерывно выплачиваемым купонным до ходом. Акции — это долевые обязательства: их обладатель получает право долево го участия в управлении акционерной компанией1, выпустившей эти акции, в акти вах и прибылях (дивидендах) этой компании. Акции и облигации образуют два ос новных вида ценных бумаг. Существуют и другие их виды, ценная бумага понима ется в общем как законодательно признанное свидетельство права на получение ожидаемых в будущем доходов при конкретных условиях.

Как правило, крупных инвесторов покупка ценных бумаг привлекает не только и не столько выплатой дивидендов или купонов, а возможностью спекуляции (увели чения вложенного капитала путём покупки ценных бумаг в надежде дождаться по вышения их стоимости и продать их по более высокой цене, и наоборот, путём про дажи ценных бумаг в надежде дождаться падения их стоимости и купить их по бо лее низкой цене) и арбитража (одновременной покупки и продажи одной и той же ценной бумаги в разных местах по разным ценам).

На Нью-Йоркской фондовой бирже в 1987 г. в день продавалось в среднем 190 000 000 акций. В 1995 г. эта цифра возросла до 340 000 000 (при этом в торгах были представлены акции 2 600 компаний). При таких огромных объёмах заклю чённых контрактов динамика стоимостей ценных бумаг неминуемо становится сто хастической, т. е. носящей случайный характер, связанный с большим количеством участников рынка, различием их интересов, различной реакцией на изменение цен, различной интерпретацией получаемой информации и т. п. Необходимость учёта влияния случайных факторов на стоимости ценных бумаг привела к появлению стохастических моделей финансовых рынков и финансовых инструментов.

Спекулятивная операция, состоящая в том, что в момент времени (n - 1) инве стор покупает некоторую акцию по цене Sn -1, а в момент n продаёт её по цене Sn, обеспечивает доходность Sn - Sn - rn =, (1.1.3) Sn - Bn -Bn - которая может быть гораздо выше процентной ставки r = банковского Bn - счёта. Так, в России за 1996 г. цены на акции выросли в среднем в четыре раза, т. е.

Каждой акции соответствует определённое число голосов на ежегодном общем собра нии акционеров — высшем органе управления акционерной компанией.

средняя доходность была выше 300% годовых, что намного выше доходности по вложениям в банки или облигации1.

Стохастическое моделирование рынка ценных бумаг основано на теории эф фективного рынка, которая предполагает, что рынок эффективно реагирует на об новление информации. На эффективном рынке мгновенно происходит коррекция цен, которые становятся справедливыми, не оставляя места участникам рынка для арбитражных возможностей, а участники такого рынка однородны в своих установ ках и однородно интерпретируют поступающую информацию, мгновенно корректи руя свои решения при поступлении новой информации.

Предположим, что доходности rn (1.1.3) в различные моменты времени n = 1,2, 3,... представляют собой независимые одинаково распределённые случай ные величины с математическим ожиданием (ожидаемой доходностью) mn и сред ним квадратичным отклонением (изменчивостью доходности или волатльностью) sn. Пусть в начальный момент акция стоила S 0 ден. ед., тогда в момент n её стоимость составит Sn = S 0 (1 + r1 )(1 + r2 )(1 + rn ).

Преобразуем эту формулу:

Sn = S 0 (1 + r1 )(1 + r2 )(1 + rn ) = S 0e ln[(1+ r1)(1+ r2 )(1+ rn )] = = S 0e ln(1+r1)+ ln(1+r2 )++ ln(1+rn ) = S 0eh1 +h2 ++hn, где hi = ln(1 + ri ), i = 1, n.

Разобьём отрезок [0;

t ] на n частей и устремим n к бесконечности. Тогда, со гласно центральной предельной теореме2 (см., например, [31]), сумма Ht = lim (h1 + h2 + + hn ) n будет распределена по нормальному закону. Можно показать, что параметры этого закона равны соответственно MHt = (m - s2 / 2)t и sH = s t (где m= lim mn, n t s = lim sn ).

n Средний рост стоимостей акций в четыре раза не означает, конечно, что все акции подо рожали в четыре раза: цены некоторых акций росли очень быстро, другие акции дорожали менее заметно, а какие-то акции даже упали в цене. При этом заранее невозможно точное детерминированное предсказание будущей доходности. Поэтому акции являются наиболее рискованными ценными бумагами (вложения на банковский счёт — наименее рискованная операция, банковский счёт предполагает начисление заранее оговорённых процентов, поэто му в финансовой математике его ещё называют безрисковой ценной бумагой, хотя, конечно, и здесь присутствует риск, что мы все наблюдали на примере кризиса 1998 г.).

А точнее, её вольной формулировке, поскольку условия теоремы мы не проверяем, счи тая лишь, что все hi — независимые одинаково распределённые случайные величины, каж дая из которых достаточно мала.

Такие объекты, которые в каждый момент времени представляют собой случай ные величины, называется случайными процессами. Наиболее полно изученным случайным процессом является процесс Wt, который выходит из точки W0 = 0 и в каждый момент времени распределён по нормальному закону с нулевым математи ческим ожиданием и средним квадратичным отклонением sW = t. Этот t случайный процесс Wt носит название стандартного броуновского движения.

Очевидно, случайный процесс Ht (который называют обобщённым броуновским движением) связан с Wt формулой s Ht = m - t + sWt, (1.1.4) и стоимость акции в момент t равна St = S 0e(m-s /2)t +sWt. (1.1.5) Впервые случайные процессы были рассмотрены Л. Башелье в 1900 г. в его знаменитой диссер тации [2], в которой было пред ложено описывать стоимости акций обобщённым броуновским движением (с помощью уравне ния, аналогичного (1.1.4)). Через пять лет А. Эйнштейн точно та Рис. 1.1.1. Три траектории броуновского движения ким же случайным процессом описал броуновское движение взвешенных частиц в жидкости [99]. В 1965 г. П. Самуэльсон ввёл в рассмотрение случайный процесс St (1.1.5), получивший название геометрического (или экономического) броуновского Рис. 1.1.2. Три траектории геометрического бро движения [63].

уновского движения Траекторией произвольного случайного процесса Xt называется функция от времени X (t, w), равная в каждый момент времени t конкретной реализации соответствующей случайной величины Xt.

Отсюда и пошло название этого процесса.

На рис. 1.1.1 представлены три траектории броуновского движения Wt, выходящие из од ной точки. На рис. 1.1.2 пред ставлены три траектории геомет рического броуновского движе ния St. Их поведение действи тельно очень напоминает поведе ние стоимостей реальных акций Рис. 1.1.3. Три траектории стоимостей реальных (рис. 1.1.3). акций Переходя в определении до ходности акции (1.1.3) к пределу при Sn Sn -1, получим формулу Sn - Sn - dSt = mdt + sdWt, = lim (1.1.6) St Sn - Sn Sn - в которой слагаемое mdt описывает детерминированный рост стоимости акции и пропорционально длине временнго интервала (коэффициент пропорциональности m называется при этом мгновенной доходностью акции), а слагаемое sdWt описы вает случайные изменения доходности, которые могут произойти в этом интервале (как и раньше, s — изменчивость доходности акции).

Перепишем уравнение (1.1.6) в виде dSt = St (mdt + sdWt ). (1.1.7) Такие уравнения называются стохастическими дифференциальными уравне ниями, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, которыми опи сываются полностью детерминированные (безрисковые) процессы, например, ди намика банковского счёта (уравнение (1.1.2)). В последующих главах стохастиче ские дифференциальные уравнения и их приложения в экономике и финансах будут подробно рассмотрены.

§1.2. БАЗОВЫЕ СТОХАСТИЧЕСИЕ МОДЕЛИ В СТРАХОВАНИИ Страхование, согласно А. Н. Ширяеву [96, с. 87], — это «социальный механизм, позволяющий индивидуумам и организациям компенсировать экономические поте ри, вызванные теми или иными неблагоприятными обстоятельствами».

Довольно давно стало ясно, что самый эффективный способ уменьшения потерь от неопределённостей — это объединение отдельных людей и организаций в стра ховые сообщества, поскольку трудно предсказать время, место и характер событий, способных повлиять на экономическое состояние индивидуумов, вместе с тем, по закону больших чисел (см., например, [31]), средние или суммарные потери большой группы индивидуумов предсказать можно. В страховых сообществах каждый инди видуум вносит сумму, намного меньшую его возможного ущерба, и в случае насту пления ущерба убытки возмещаются из средств, собранных всеми членами сообще ства, в случае же, когда ущерб не наступает, первоначально выплаченная данным индивидуумом сумма распределяется между теми членами страхового сообщества, которые понесли убытки.

Иными словами, страхование заменяет неопределённость будущих возможных потерь вполне определёнными (относительно небольшими) разовыми выплатами в определённые моменты.

Первые формы страхования представляли собой страхование морских грузов и датируются примерно четвёртым тысячелетием до н. э., зарождение страхования жизни относится примерно к 600 г. до н. э.

Довольно быстро страховые сообщества трансформировались в страховые ком пании, извлекающие прибыль из страхования. В 1689 г. торговцы, судовладельцы и морские страховщики стали собираться в кофейном магазине британца Э. Ллойда для заключения страховых сделок по морским перевозкам. В 1774 г. Корпорация «Ллойдс» была официально утверждена Королевским указом, а в 1871 г. — зареги стрирована Актом Парламента. В настоящее время «Ллойдс» является крупнейшей страховой корпорацией, оперируя почти со всеми видами рисков. Сегодня компании типа «Ллойдс» страхуют (кроме обычных видов рисков) ноги балерин, пальцы пиа нистов, зубы фотомоделей, приёмы для гостей на открытом воздухе от потерь в не настье и т. п.

В России первая страховая компания, «Страховое акционерное общество от ог ня», была организована в Сибири в 1827 г. В 1835 г. появилось «Российское обще ство страхования капиталов и доходов», которое занималось страхованием жизни и финансовых операций.

Слово actuarius (актуарий) в Древнем Риме относилось к тем, кто вёл записи ак тов в Сенате, и к офицерам, которые оперировали с военными счетами и вели кон троль военных поставок. В своей английской версии (actuary) это слово претерпе вало различные изменения, пока не стало обозначать эксперта по математике страхования (или актуарной математике), которая, образуя теоретическую основу страхового дела, изучает различные вероятностные характеристики возможного ущерба и методы страхования от этого ущерба.

Первая математическая модель страхования была построена, по-видимому, Т. Барруа в 1834 г., современные актуарные модели восходят к Ф. Лундбергу, кото рый в 1903 г.1 опубликовал диссертацию «Approximerad framsrllning av sannolik hetsfunctionen. Atersfrskring av kollektivrisker», заложив основы актуарной теории риска, использующей так называемый процесс Пуассона2, который, наряду с бро уновским движением3, лежит в основе общей теории случайных процессов.

Почти одновременно с появлением модели ценообразования акций Л. Башелье!

См., например, [8].

См. §1.1.

По договору страхования (или страховому полису) одна сторона (страхователь) платит другой стороне (страховщик) определённую денежную сумму (страховую премию), и за это страховщик гарантирует возмещение возможных убытков страхо вателя (в случае их возникновения). Смысл страхового полиса состоит в том, что страхователь подвержен определённому риску (который заключается в возможном наступлении некоторого страхового случая) и стремится от этого риска защититься, а задачей страховщика является предоставление такой защиты. В качестве страхо вого случая может выступать болезнь, смерть, автомобильная авария, потеря иму щества при пожаре, потеря финансовых средств при неблагоприятно складываю щейся рыночной ситуации, а также отмеченные выше переломы ног у балерин, пальцев у пианистов, зубов у фотомоделей и т. п. В страховом полисе указываются срок его действия, условия и способ возмещения ущерба. Например, в полисе на страхование гражданской ответственности водителя транспортного средства обыч но указывается, что если в момент наступления страхового случая (при аварии) во дитель находился в состоянии алкогольного опьянения, то страховщик ответствен ности по полису не несёт. Если в указанный в полисе срок страховой случай не на ступил, страхователь теряет уплаченную премию.

Наибольшее развитие получило страхование жизни. Математические модели такого страхования мы и рассмотрим ниже более подробно. Договор страхования жизни может быть обязательным (в силу действия определённого закона) или доб ровольным (по взаимному волеизъявлению страховщика и страхователя), кратко срочным (как правило, на один год) или долгосрочным.

Основным источником случайности в страховании жизни является неопределён ность момента смерти отдельного человека. Однако в случае, когда одновременно у одного и того же страховщика страхуется большая однородная (по возрасту, полу, типу профессии, месту проживания и т. п.) группа страхователей, в силу закона больших чисел можно говорить об устойчивости относительных частот (см., на пример, [31]) и рассматривать продолжительность жизни как неотрицательную случайную величину X с функцией распределения F (x ) = P{X x }. В актуарной математике работают с так называемой функцией выживания s(x ) = P{X x } = 1 - F (x ), (1.2.1) которая равна вероятности того, что человек из данной однородной группы прожи вёт не менее x лет. Функция выживания (1.2.1) предполагается монотонно возрас тающей (иначе в определённых интервалах времени смерть будет невозможна) и непрерывной (иначе возможны моменты, в которые смерть наступает с положитель ной вероятностью). Кроме того, функция выживания (1.2.1) должна удовлетворять всем свойствам1, которые следуют из того, что F (x ) = 1 - s(x ) является функцией распределения случайной величины X.

См., например, [31].

Пусть T (x ) = X - x — остаточное время жизни человека в возрасте x лет.

Символом t px = P{T (x ) t } обозначается вероятность того, что человек в возрасте x лет проживёт ещё не ме нее t лет.

По определению условной вероятности x +t p P{X x + t } s(x + t ) t px = P{T (x ) t } = P{X x + t | X x } = P{X x } = =.

p0 s(x ) x В таблицах продолжительности жизни рассматривается группа новорождённых одного пола, проживающих в одинаковой местности, в количестве l0 чел. Пусть Xi — продолжительность жизни i -го человека из данной группы ( i = 1;

l0 ). Коли чество доживших до возраста x обозначим L(x ), и в таблицах продолжительности жизни приводится математическое ожидание случайной величины L(x ) :

l0 l P{Xi x } = s(x ) = l0s(x ).

lx = ML(x ) = i =1 i = Фрагмент такой таблицы продолжительности жизни для городского населения Российской Федерации в 1993 г. приведён в табл. 1.2.1.

Таблица 1.2. Фрагмент таблицы продолжительности жизни городского населения РФ в 1993 г.

Женщины Мужчины Женщины Мужчины x x lx s(x ) lx s(x ) lx s(x ) lx s(x ) 0 100000 1,00000 100000 1,00000 55 87007 0,87007 64338 0, 1 98324 0,98324 97822 0,97822 60 82469 0,82469 54864 0, 5 97922 0,97922 97416 0,97416 65 76558 0,76558 44222 0, 10 97790 0,97790 97080 0,97080 70 67118 0,67118 32706 0, 15 97623 0,97623 96764 0,96764 75 53628 0,53628 21417 0, 20 97278 0,97278 95804 0,95804 80 36986 0,36986 11814 0, 25 96832 0,96832 94194 0,94194 85 20192 0,20192 5113 0, 30 96296 0,96296 92009 0,92009 90 7607 0,07607 1571 0, 35 95572 0,95572 89008 0,89008 95 1591 0,01591 297 0, 40 94474 0,94474 85003 0,85003 99 237 0,00237 48 0, 45 92831 0,92831 79644 0,79644 100 130 0,00130 28 0, 50 90335 0,90335 72722 0,72722 110 0 0,00000 0 0, Простейший вид краткосрочного страхования жизни заключается в следующем.

Страхователь (некоторый человек) платит страховщику (страховой компании) страховую премию в сумме c ден. ед., а страховщик соглашается выплатить на следникам страхователя страховую выплату (или страховое пособие) в сумме b ден. ед. в случае его смерти в течение года, и не платит ничего в противном слу чае. Величина страховой выплаты, конечно, должна быть много больше страховой премии.

Одной из важнейших задач актуарной математики является вычисление соотно шений между страховой выплатой b и страховой премией c.

ТЕ О Р Е М А 1. 2. 1. Пусть страховщик продал страхователям одного пола, од ного возраста ( x лет), проживающим в одинаковой местности, N полисов, со гласно которым в случае смерти страхователя в течение ближайшего года его на следникам выплачивается страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного полиса равна c ден. ед.

Тогда при Npx 10 вероятность того, что к концу года доход U страховой компании окажется не менее u ден. ед., равна Npx N (c - bpx ) - u P{ u} = F + F U, 1- p b Np (1 - p ) x x x s(x + 1) lx + где px 1 px = =, а lx (количество доживших до возраста x ) на s(x ) lx ходится по соответствующей таблице продолжительности жизни.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Страховщик получит доход, не меньший u, если разность U между суммарной страховой премией и суммарными страховыми выплатами за год окажется не менее u.

Суммарная страховая премия, которую получит страховщик от всех N страхователей, равна, очевидно, C = Nc ден. ед. Пусть за год наступит k страховых случаев (умрёт k человек из N страхователей). Тогда суммарные страховые выплаты составят { } Nc -u B = kb ден. ед. Поэтому искомая вероятность P{ u } = P{Nc - kb u } = P k U.

b Вероятность того, что любой страхователь, случайно выбранный из N человек, которые приобрели полисы, умрёт в течение ближайшего года, можно найти по таблице продолжи s(x + 1) lx + тельности жизни для данной социальной группы: px 1 px = =, где lx — s(x ) lx количество доживших до возраста x.

При этом страховые случаи не зависят друг от друга, и можно рассмотреть биномиаль ную случайную величину K Bi(N ;

px ) — количество смертей в группе из N страховате лей. Поскольку по условию Npx 10, можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра – Лапласа (см., например, [31]), согласно которой P{K k } = P{0 K k } = PN (0;

k ) = Npx k -Npx 0-Npx k -Npx Np (1- p ) -F Np (1-p ) =F Np (1-p ) +F 1- p. В частности, P{ u} = =F U x x x x x x x Nc -u - Npx = F N (c - bpx ) - u + F Npx { } + F Npx Nc -u, что и b =P k = F Np (1 - p ) b Npx (1 - px ) 1- p 1- p b x x x x требовалось доказать.

ТЕ О Р Е М А 1.2.2. Пусть страховщик продал N полисов страхователям одного пола, одного возраста ( x лет), проживающим в одинаковой местности, согласно которым в случае смерти страхователя в течение ближайшего года его наследникам выплачивается страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного полиса равна c ден. ед.

Тогда при Npx 10 для того, чтобы с вероятностью (надёжностью) g обеспечить доход, не меньший u ден. ед., страховщик должен обеспечить соот ношение p (1 - px ) u + b px + x a x, c= N N между страховой выплатой b и страховой премией c на один полис, где x a — Npx 1-p.

квантиль1 нормального распределения уровня a = g - F x ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию P{U u } = g, и по теореме 1.2.1 g = P{U u } = Npx Npx N (c - bpx ) - u N (c -bpx )-u.

F =F = g -F b Np (1-p ) +F 1-p.

Отсюда Пусть b Npx (1 - px ) 1 - px x x x Npx, а x — квантиль нормального распределения уровня a. Тогда послед a = g - F a 1-px u +b (Npx +x a Npx (1- px ) ) u c= c= + нее уравнение примет вид или N N p (1- px ). Теорема доказана.

+b px + x a x N §1.3. МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ОБЩЕСТВА Доходы — это средства в денежной или натуральной форме, получаемые эконо мическими объектами (отдельными лицами, семьями, фирмами, государствами и т. д.) в результате их экономической деятельности.

Пусть z — доля членов общества (например, государства, фирмы и т. п.), кото рая владеет долей d (z ) всего общественного богатства. График функции d (z ) назы вается кривой Лоренца. На рис. 1.3.1 изображён пример кривой Лоренца.

Если на всех членов общества приходятся равные доли общественного богатст ва, т. е. 10% общества владеют 10% дохода, 20% общества владеют 20% дохода z 1 x - То есть такое число x a, что F(x a ) = a, где F(x ) = e dz — функция нор 2p мального распределения (см., например, [31]).

и т. д., то кривая Лоренца превращается в биссектрису первого квадранта координатной плоскости, также показанную на рис. 1.3.1.

Отношение площади между кривой Лоренца и кривой аб солютного равенства (заштрихованной области на рис. 1.3.1) к площади под линией абсолютного равенства (равной, очевид но, 0,5), называется коэффициентом Джини. Очевидно, ко Рис. 1.3.1. Пример эффициент Джини имеет максимальное значение, равное еди кривой Лоренца нице (означающее абсолютное неравенство в обществе) и ми нимальное значение, равное нулю (абсолютное равенство). Чем меньше коэффици ент Джини, тем равномернее распределено богатство в обществе.

Исходя из содержательного смысла функции d (z ), можно показать, что эта функция и первые её две производные положительны на отрезке [0;

1].

Зная функцию d (z ), можно найти функцию долю w(t ) всего богатства общест ва, которой владеет доля t самых богатых людей: w(t ) = 1 - d (1 - t ).

( )( ) 1 Функция s(x ) = d + x - d - x, определённая на отрезке 0;

, показыва 2 ет, какой долей владеет средняя часть общества — богаче, чем часть x самых бед ных, но беднее, чем x самых богатых.

Отметим, что функции d (z ), w(t ), s(x ) дают представления не об абсолютном богатстве общества, а лишь о распределении богатства внутри него.

Пусть F (x ) есть доля лиц, получающих месячный доход, меньший x ден. ед., по отношению ко всем, имеющим ненулевой денежный доход (всех таких членов общества назовем налогоплательщиками). Функцию F (x ) имеет смысл считать функцией распределения случайной величины X — месячного дохода случайно выбранного налогоплательщика.

Случайная величина, имеющая плотность распределения x x 0, 0, a f (x ) = (x + b)a, x x 0, называется распределённой по закону Парето.

Распределение Парето во многих случаях очень удачно описывает доходы нало гоплательщиков. Рассмотрим конкретный П Р И М Е Р 1. 3. 1. Годовой доход случайно выбранного налогоплательщика опи x 1, 0, сывается случайной величиной X с плотностью распределения f (x ) = a, x 1.

3, x Найдём значение параметра a, функцию распределения годового дохода, сред ний годовой доход и среднее квадратичное отклонение годового дохода. Определим также границу x min, не ниже которой с вероятностью 0,5 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.

+ Параметр a найдём из условия, что f (x )dx =1 :

+ + 1 + a a a 1 = f (x )dx = 0dx + 3,5 dx = - 2,5 2,5 =, 2, 1x x - x 1, 0, откуда a = 2, 5. Таким образом, f (x )= 2, 3,5, x 1.

x Найдём функцию распределения:

x x F (x ) = f (z )dz = 0dz = 0 при x 1, - x x x 1x 2,5 =1- 2,5 при x 1.

F (x )= f (z )dz = f (z )dz + f (z )dz = 3,5 dt =- 2, z x t - - 1 0, x 1, Таким образом, F (x ) = 1-, x 1.

x 2, + + + 1 + 2,5 2,5 5 = ;

DX = x 2 f (x )dx - (MX ) = MX = xf (x )dx = x 3,5 dx =- 1, 1,5 x x - + 2 + 5 2 5 2 2,5 20 2,5 x 3,5 dx - 3 = - 0,5 0,5 - = 5 - = ;

sX = =.

3 9 x x По условию P{X x min }=1-P{X x min }=1-F (x min )= 0,5, откуда F (x min )= 0,5, т. е.

2,5 ln 2 0, »0,28, значит, x min »e 0,28 »

1- 2,5 =0,5 или x1 = 2, поэтому ln x min = »

2,5 2, x min » 1, 32.

Подробнее математическая теория распределения богатства в обществе рассмат ривается в книгах [46], [47].

§1.4. ЗАДАЧА О РАЗДЕЛЕ СТАВКИ Теория вероятностей зародилась из количественного исследования азартных игр.

В связи с этим интересно рассмотреть один из классических парадоксов теории ве роятностей, которому придадим следующую формулировку.

П Р И М Е Р 1. 4. 1. Петя и Маша часто играют в бильярд друг с другом, причём Петя выигрывает в два раза чаще, чем Маша, исходя из этого, они оценили свои ве 2 роятности на победу, как для Пети и для Маши, и начали турнир на сле 3 дующих условиях: каждый выигрыш приносит одно очко, Петя для победы должен набрать 12 очков, а Маша — 6. После того, как Петя набрал 8 очков, а Маша 4, игру пришлось прекратить, так как погас свет. Определим, как Пете и Маше разделить приз — 100 ден. ед.

Очевидно, максимальное количество партий, которое осталось сыграть Пете и Маше, равно пять (либо Петя выиграет три раза, а Маша два раза, либо Маша выиграет один раз, а Петя — четыре раза). Поэтому событие, заключающееся в выигрыше Пети (а значит, проиг рыше Маши) состоит в том, что Маша из пяти партий не выиграет ни одной или выиграет всего одну. Поэтому вероятность выигрыша Пети равна вероятности того, что в 5 испытани ях Бернулли, в каждом из которых успех интерпретируется как выигрыш Машей очередной партии (т. е. вероятность успеха в каждом испытании составляет p = ) наступит 0 или P{выигрыш Пети}= P{0 или 1 выигрыш Маши из 5 партий} = P5 (0) + P5 (1) = успех:

0 5 1 (1 ) (2 ) + C15 ( 1) (2 ) = 112.

P{выигрыш Маши} = P{выигрыш Пети} = 1 При этом = C 33 112 - P{выигрыш Пети} = 1- =. Поэтому в данном случае премию 100 ден. ед. необхо 243 димо разделить в следующей пропорции: Пете отдать 100 » 46, 09 ден. ед., а Маше — 100 » 53, 91 ден. ед.

Эта задача была впервые опубликована в обзоре Ф. Л. Пачоли «Summa de arith metica, geometria, proportioni et proportionalita» (1494 г.)1. Недавно была обнаружена рукопись, датированная 1380 г., в которой также упоминается этот парадокс. Многое указывает на то, что в Италию данная задача попала вместе с арабским учением.

Как бы то ни было, для поиска верного решения потребовалось очень много време ни. Так, гениальный Н. Тарталья, который в математической дуэли за одну ночь от крыл формулу корней кубического уравнения, дал неверное решение этой задачи.

Лишь в 1654 г. после нескольких неудачных попыток Б. Паскаль и П. Ферма незави симо друг от друга нашли верное решение. Открытие было настолько важным, что многие считают именно этот год моментом рождения теории вероятностей.

Много других интересных задач из области экономики, финансов и страхования, для решения которых требуется применение теоретико-вероятностных и математи ко-статистических методов, рассматривается в работах [31], [37], [82].

В этой книге впервые использовалось слово «миллион» и объяснялась двойная бухгал терия.

ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И так как строгость научных доказа тельств сочетается здесь с неопределённо стью случайности, то трактат, где эти два предмета, с виду противоположные, как бы примирились друг с другом, может по праву претендовать на ошеломляющее название «Математика случая».

Б. Паскаль §2.1. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Случайной функцией называется семейство случайных величин X (t, w), задан ных на одном и том же вероятностном пространстве (W,, P), зависящих от пара метра t, принимающего значения из некоторого множества T, называемого обла стью определения случайной функции X (t, w). Если область определения представ ляет собой некоторое подмножество действительной прямой, а параметр t счи тается неотрицательным числом ( t T = [0;

+) ) и интерпретируется как время, то случайная функция называется случайным процессом. Часто случайные процессы называют также стохастическими или вероятностными. Если область определения T случайного процесса X (t, w) непрерывна, то он называется процессом с непре рывным временем. Мы будем рассматривать случайные процессы с непрерывным временем, областью определения которых является полупрямая T = [0;

+), а са ми они принимают числовые значения: X (t, w).

Зафиксируем некоторый момент времени t = t * T. Сечением случайного про цесса X (t, w) в момент t * называется случайная величина X (t *, w). Зафиксировав же некоторое элементарное событие w = w* W, получим (уже неслучайную) функцию X (t, w* ), называемую траекторией случайного процесса X (t, w).

Математическим ожиданием случайного процесса X (t, w) называется функция a : T, равная в каждый момент t математическому ожиданию случайной ве личины из семейства {X (t, w), t T }, соответствующей этому моменту:

a(t ) = MX (t, w).

Дисперсией случайного процесса X (t, w) называется функция s2 : T, рав ная в каждый момент t дисперсии случайной величины из семейства {X (t, w), t T }, соответствующей этому моменту:

s2 (t ) = DX (t, w).

Два случайных процесса X (t, w) и Y (t, w) называются стохастически неразли чимыми, если для любого t {st } P sup | X (s, w) -Y (s, w) | = 0.

Систематическое изучение случайных процессов началось с работ Е. Е. Слуцкого [65] (1928 г.) и А. Н. Колмогорова [38] (1931 г.). Важнейшее с точки зрения определения случайного процесса понятие стохастической эквивалентности было введено Е. Е. Слуцким в статье [66] и развито позже Дж. Дубом [16]. Дж. Дуб также получил существенные результаты в области аксиоматического определения случайных процессов [16].

Наиболее простым стохастическим процессом является процесс с независимыми значениями, в котором значение X (t, w) в момент времени t не зависит от значений X (s, w) в другие (предыдущие либо последующие) моменты s. При этом (в пред положении дискретности времени) n P{X (ti, w) = xi }.

P{X (t1, w) = x1, X (t2, w) = x 2,..., X (tn, w) = xn } = i = Если предположить ещё, что значения X (t, w) не зависят от времени, т. е. сече ния процесса в каждый момент времени распределены одинаково, то придём к схе x ме испытаний Бернулли: P{X (ti, w) = xi } = Cni pxi (1 - p)n -xi. В этой схеме n P{X (ti, w) = xi } = P{X (t1, w) = x1, X (t2, w) = x 2,..., X (tn, w) = xn } = i = n n n n xi (n -xi ) n p xi n xi () x x (Cni pxi (1 - p )n -xi ) = = (1 - p)n P P Cni pi = = (1 - p)i =1 Cn.

1- p i = i =1 i = i = Следующим в ряду наиболее простых следует марковский процесс, в котором для определения будущего достаточно знать настоящее. Это свойство зависимости будущего только от настоящего и независимости его от прошлого называется мар ковским свойством.

Всюду в дальнейшем будем опускать аргумент w, подразумевая его по умолча нию, а аргумент t будем писать не в скобках, а в виде индекса: вместо X (t, w) бу дем писать Xt X (t, w). Впервые такие процессы рассмотрел А. А. Марков в ста тье [48] (1906 г.), впоследствии эти процессы были названы его именем.

§2.2. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ.

УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА – ЧЕПМЕНА Упорядочим моменты времени t1, t2,..., tn, tn +1 по возрастанию: t1 t tn tn +1 и рассмотрим некоторые события A1, A2,..., An, An +1. Тогда мар ковское свойство запишется следующим образом:

An +1 | Xt A1,Xt A2,...,Xt An -1,Xt = xn } = P{Xt (2.2.1) n n +1 n - 1 = P{Xt An +1 | Xt = xn }.

n n + Случайный процесс, обладающий марковским свойством (2.2.1), называется марковским процессом. Данное определение впервые было дано А. Н. Колмогоровым в его статье [38] (1931 г.). Позже определение марковского процесса анализировалось Дж. Дубом [16] и Е. Б. Дынкиным [17].

Пусть 0 s t, x, A. Переходной вероятностью марковского процесса называется условная вероятность P{s,x;

t,A} = P{Xt A | Xs = x }. (2.2.2) Самым фундаментальным уравнением теории марковских процессов, лежащим в основе всех последующих построений, является уравнение Колмогорова – Чепмена, выражающее марковское свойство в интегральной форме. Впервые на него указал С. Чепмен в работе [93] (1928 г.), а строго обосновал и поставил его в основу теории марковских процессов А. Н. Колмогоров [38] (1931 г.).

ТЕ О Р Е М А 2. 2.1 ( У РА В Н Е Н И Е КОЛ М О Г О Р О ВА – Ч Е П М Е Н А ). Для любо го марковского процесса Xt справедливо (при 0 s u t, x, A ) уравне ние Колмогорова – Чепмена + P{s,x;

t,A} = P{s,x;

u,dy }P{u,y;

t,A}. (2.2.3) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 0 s u t, x, A. Разобьём всю числовую прямую на (n + 1) полуинтервал A0 = (-;

x1), A1 = x1;

x 2 ), A2 = [x 2;

x 3 ),..., An -1 = [x n -1;

xn ), An = [x n ;

+). Тогда события {Xt A0 | Xs = x }, {Xt A1 | Xs = x }, {Xt A2 | Xs = x },, {Xt An -1 | Xs = x }, {Xt An | Xs = x }, очевидно, образуют полную группу, поэтому для расчёта переходной вероятности (2.2.2) можно применить формулу полной вероятности:

P{s, x ;

t, A} = P{Xt A | Xs = x } = (2.2.4) n P{Xt A | Xu Ai, Xs = x }P{Xu Ai | Xs = x }.

= i = Учитывая, что рассматриваемый случайный процесс обладает марковским свойством (2.2.1), опустим в условных вероятностях P{Xt A | Xu Ai, Xs = x }, i = 1;

n зависимость от {Xs = x } : P{Xt A | Xu Ai, Xs = x } = P{Xt A | Xu Ai }, i = 1;

n. Тогда формула n P{Xt A | Xu Ai }P{Xu Ai | Xs = x } или (2.2.4) примет вид P{s, x ;

t, A} = i = n P{s, x ;

t, A} = P{Xu Ai | Xs = x }P{Xt A | Xu Ai } = i = n P{s, x ;

u, Ai }P{Xt A | Xu Ai }.

= i = Переходя к пределу при n, получаем окончательно уравнение (2.2.3).

Если существует такая неотрицательная функция p : 4 [0;

+), что для всех s, t, x, A : 0 s t, x, A p(s, x ;

t, y )dy, P{s, x ;

t, A} = (2.2.5) A то она называется плотностью переходной вероятности марковского процесса Xt с переходной вероятностью P{s,x ;

t,A}.

В частности, если у переходной вероятности P{s,x ;

t,A} марковского процесса P{s,x ;

t,(-,y )} Xt существует производная f (s, x ;

t, y ) =, то именно она и являет y ся плотностью его переходной вероятности.

Для плотности переходной вероятности марковского процесса справедлив ана лог уравнения Колмогорова – Чепмена, формулирующийся в следующей теореме.

ТЕ О Р Е М А 2. 2. 2 ( Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Й А Н А Л О Г У РА В Н Е Н И Я КОЛ – Ч Е П М Е Н А ). Если у марковского процесса Xt существует плот М О Г О Р О ВА ность p(s, x ;

t, y ) переходной вероятности, то для неё справедлив (при 0 s u t, x, A ) аналог уравнения Колмогорова – Чепмена:

+ p(s, x ;

t, z ) = p(s, x ;

u, y )p(u, y;

t, z )dy. (2.2.6) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем уравнение Колмогорова-Чепмена (2.2.3) в терминах плотно сти переходной вероятности:

+ p(s, x ;

u, v)dv p(u, y;

t, z )dz. (2.2.7) p(s, x ;

t, z )dz = - dy A A Преобразуем правую часть формулы (2.2.7), изменив порядок интегрирования:

+ + p(s, x ;

u, v)dv p(u, y;

t, z )dz = p(s, x ;

u, v)dv p(u, y;

t, z )dz. (2.2.8) - dy A - dy A * )dy, p(s, x ;

u, v)dv = p(s, x ;

u, v По теореме о среднем значении где dy v * dy = [y;

y + dy ], поэтому, учитывая бесконечную малость промежутка dy, можно запи p(s, x ;

u, v)dv = p(s, x ;

u, y)dy.

сать, что Подставляя в (2.2.7)-(2.2.8), получаем:

dy + p(s, x ;

u, y )p(u, y;

t, z )dy p(s, x ;

t, z )dz = dz A - A или + p(s, x ;

u, y)p(u, y;

t, z )dy dz = p(s, x ;

t, z ) A для любого события A, откуда и следует уравнение (2.2.6).

§2.3. УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА На основе уравнения Колмогорова – Чепмена (2.2.3) А. Н. Колмогоров вывел дифференциальные уравнения для исследования вероятностных свойств марков ских процессов с непрерывным временем [38].

ТЕ О Р Е М А 2. 3. 1 ( У РА В Н Е Н И Я КОЛ М О Г О Р О ВА ). Плотность p(s, x ;

t, y ) переходной вероятности марковского процесса Xt, удовлетворяющая следующим условиям:

1) для любых e 0 имеет место равномерная по x, z : | x - z | e и t сходи мость 1 lim Dt p(t, z ;

t + Dt, x ) = W (x | t, z ), (2.3.1) Dt причём предельная функция W (x | t,z ) не зависит от e ;

2) имеет место равномерная по z, e и t сходимость 1 Dt (x - z )p(t, z ;

t + Dt, x )dx = a(t, z ) + O(e) ;

lim (2.3.2) Dt 0 |x -z |e 3) имеет место равномерная по z, e и t сходимость 1 Dt (x - z ) p(t, z ;

t + Dt, x )dx = b(t, z ) + O(e), lim (2.3.3) Dt 0 |x -z |e подчиняется при 0 s t, y,z прямому дифференциальному уравнению Кол могорова 1 [ p(s, y;

t, z )] = - [a(t, z )p(s, y;

t, z )] + [b(t, z )p(s, y;

t, z )] + (2.3.4) 2 z t z + [W (z | t, x )p(s, y;

t, x ) -W (x | t, z )p(s, y;

t, z )]dx +v.p.

и при 0 s t, x,y обратному дифференциальному уравнению Колмогорова [ p(s, y;

t, x )] = a(s, y ) [ p(s, y;

t, x )] + b(s, y ) 2 [ p(s, y;

t, x )] - (2.3.5) s y 2 y + W (z | s, y )[ p(s, y;

t, x ) - p(s, z ;

t, x )]dz.

-v.p.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем справедливость прямого уравнения Колмогорова (2.3.4).

Рассмотрим временню эволюцию математического ожидания некоторой функции f :, дважды непрерывно дифференцируемой в ( f C2 [ ] ):

+ [Mf (x )] = f (x )p(s, y;

t, x )dx = (2.3.6) t t + f (x )(p(s, y;

t + Dt, x ) - p(s, y;

t, x ))dx.

= lim Dt 0 Dt Подставляя в (2.3.6) вместо плотности p(s, y;

t + Dt, x ) переходной вероятности её выра + жение p(s, y;

t + Dt, x ) = p(s, y;

t, z )p(t, z ;

t + Dt, x )dz из аналога уравнения Колмогорова Чепмена (2.2.6), получим:

+ f (x )p(s, y;

t, x )dx = (2.3.7) t + + 1 f (x ) p(s, y;

t, z )p(t, z ;

t + Dt, x )dz - f (x )p(s, y;

t, x )dx = = lim Dt 0 Dt - Здесь использовано определение главного значения интеграла:

+ F (x,z )dx.

v.p. F (x,z )dx lim e 0 |x -z | e + + + = lim f (x )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx - f (x )p(s, y;

t, x )dz.

Dt Dt 0 - - Разобьём интегрирование по x на две области: | x - z | e и | x - z | e. Так как функ ция f C2[ ], можно записать её разложение в ряд Тейлора в e -окрестности точки z :

1 2 f (z ) f (z ) (x - z )2 + (x - z )2 R(x,z ), f (x ) = f (z ) + (x - z ) + (2.3.8) 2 z z где lim R(x,z ) = 0.

x z Подставляя разложение (2.3.8) в выражение (2.3.7), получаем:

+ f (x )p(s, y;

t, x )dx = (2.3.9) t 1 f (z ) (x - z ) + 1 f (z ) (x - z )2 p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx + = lim z 2 z Dt Dt |x -z |e + f (x )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx + f (z )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx |x -z |e |x -z |e + + f (z )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx.

- f (z )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx - |x -z |e - Здесь в последнем интеграле мы воспользовались определением (2.2.5) плотности пере ходной вероятности:

+ + ( f (z )p(s, y;

t, z )1)dz = f (z )p(s, y;

t, z )dz = -.

+ + + + = f (z )p(s, y;

t, z ) p(t, z ;

t + Dt, x )dx dz = f (z )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx.

- - - Пусть f (z ) 1 2 f (z ) (x - z )2 p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z ))dzdx, U 1(s, y, t, Dt ) = (x - z ) + z 2 z |x -z |e (x - z )2 R(x, z )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx, U 2(s, y, t, Dt ) =, |x -z |e U 3 (s, y, t, Dt ) = f (x )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx + |x -z |e + + + f (z )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx - f (z )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t, z )dzdx.

|x -z |e - Тогда + U1(s,y,t, Dt ) U 2 (s,y,t,Dt ) U 3 (s,y,t, Dt ) f (x )p(s, y;

t,x )dx = lim + lim + lim. (2.3.10) Dt Dt Dt t Dt 0 Dt 0 Dt Рассмотрим подробнее каждый из этих пределов.

U1(s,y,t,Dt ) В силу второго и третьего условий теоремы (2.3.2)-(2.3.3) в выражении lim Dt Dt можно перейти к пределу под знаком интеграла:

+ 2 f (z ) f (z ) U1(s,y,t, Dt ) p(s, y;

t,z )dz + O(e).

a(t,z ) = + b(t,z ) (2.3.11) lim z Dt z Dt Так как (x - z )2 R(x,z )p(t, z ;

t + Dt, x )p(s, y;

t,z )dx Dt |x -z |e (x - z )2 p(t, z;

t + Dt,x )p(s, y;

t,z )dx max R(x,z ) Dt Dt |x -z |e |x -z |e b(t,z ) + O(e) max R(x,z ) 0, Dt 0 e |x -z |e можно утверждать, что U 2 (s,y,t,Dt ) = O(e). (2.3.12) lim Dt Dt И, наконец, в силу первого условия теоремы (2.3.1) можно записать, переходя к пределу под знаком интеграла:

U 3 (s,y,t, Dt ) f (z )[W (z | t, x )p(s, y;

t, x ) -W (x | t, z )p(s, y;

t, z )]dzdx. (2.3.13) = lim Dt Dt |x -z |e Подставляем выражения (2.3.11)-(2.3.13) в (2.3.10):

+ + 2 f (z ) f (z ) 1 p(s, y;

t, z )dz + a(t, z ) f (x )p(s, y;

t, x )dx = + b(t, z ) z t z - f (z )[W (z | t, x )p(s, y;

t, x ) -W (x | t, z )p(s, y;

t, z )]dzdx + O(e).

+ |x -z |e Поскольку левая часть последней формулы не зависит от e, перейдём в ней к пределу при e 0 :

+ + f (z )p(s, y;

t, z )dz = lim f (z )p(s, y;

t, z )dz = Q t e 0 t - + 2 f (z ) f (z ) = + b(t, z ) p(s, y;

t, z )dz + a(t, z ) z z + + + f (z )v.p. [W (z | t, x )p(s, y;

t, x ) -W (x | t, z )p(s, y;

t, z )]dx dz.

- Теперь интегрируем по частям:

+ + 1 p(s, y;

t, z ) b(t, z )p(s, y;

t, z )] + f (z )- [a(t, z )p(s, y;

t, z )] + 2[ dz = f (z ) (2.3.14) z t 2 z - + 1 b(t, z )p(s, y;

t, z )] + f (z )- [a(t, z )p(s, y;

t, z )] + 2[ = z 2 z + [W (z | t, x )p(s, y;

t, x ) -W (x | t, z )p(s, y;

t, z )]dx dz.

+ v.p. Так как формула (2.3.14) справедлива для любой функции f C2[ ], из неё непосредст венно следует прямое уравнение Колмогорова (2.3.4).

Доказательство справедливости обратного уравнения Колмогорова (2.3.5) проводится аналогично.

Впервые уравнения (2.3.4) и (2.3.5) исследовались в 1900 г. Л. Башелье [2], кото рый рассмотрел случай, когда коэффициенты a(t ) и b(t ) зависят лишь от времени.

Затем уравнение (2.3.5) исследовалось в 1914 г. А. Фоккером и в 1917 г. М. Планком в их статьях по теории диффузии [89], [58], поэтому в физических работах это уравне ние называют уравнением Колмогорова – Фоккера – Планка. Универсальность этого уравнения, его глобальность, применимость не только к диффузионным, но и к любым другим процессам, обладающим марковским свойством, была осознана лишь в 1931 г.

А. Н. Колмогоровым в работе [38]. Впоследствии исследованием уравнений (2.3.4) и (2.3.5) занимались В. Феллер [87], [88], Е. Б. Дынкин [17] и др.

§2.4. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА Очевидно, уравнения (2.3.4) и (2.3.5) эквивалентны, так как они описывают по ведение одних и тех же величин. Основное различие между ними состоит в том, что в уравнении (2.3.4) фиксируются значения переменных s и y, и решение сущест вует при t s, а в уравнении (2.3.5) фиксируются значения t и x, и ищется реше ние при s t. Именно поэтому уравнение (2.3.4) носит название прямого, а урав нение (2.3.5) — обратного.

Прямое уравнение используется обычно для предсказания значений измеряемых величин по известным прошедшим значениям, а обратное уравнение — для поиска среднего времени выхода за какие-либо границы [8], [9].

Можно показать [13], что если задать определённые начальные и граничные ус ловия, то в случае неотрицательности функций b(t,z ) и W (x | t,z ) существуют и единственны решения прямого (2.3.4) и обратного (2.3.5) уравнений Колмогорова, причём эти решения удовлетворяют всем аксиомам теории вероятностей и, естест венно, совпадают друг с другом почти всюду1. Неотрицательность функции b(t,z ) следует из её определения (2.3.3).

В 1926 г. П. Дирак при помощи формального соотношения + d(x - a )f (x )dx = f (a ), (2.4.1) которое должно выполняться для любых непрерывных функций f (x ) C[ ] и для всех чисел a, ввёл самую употребительную на сегодняшний день обобщённую функцию — дельта-функцию d(x ) [15]. Всюду, кроме точки x = 0, функция d(x ) + обращается в нуль, между тем d(x )dx = 1, поэтому можно определить дельта функцию конструктивно как предел функциональной последовательности n, x - 1,, n n dn (x ) = 0, x - 1, n n при n. Нестрогим образом дельта-функции является функция, которая в точке x = 0 «обращается в бесконечность», во всех же остальных точках равна нулю.

Подробнее с теорией обобщённых функций и её применением для решения диф ференциальных уравнений в частных производных можно познакомиться по книге [7], нам же дельта-функция (2.4.1) будет полезна для задания начальных условий p(t0,y 0 ;

t0,z ) = d(y 0 - z ), z (2.4.2) для прямого уравнения Колмогорова (2.3.4) и «конечных» условий p(t1,y;

t1,x1 ) = d(y - x1 ), y (2.4.3) То есть, возможно, за исключением конечного либо счётного числа точек.

для обратного уравнения Колмогорова (2.3.5) в случае, когда известно состояние процесса в соответствующий (начальный или конечный) момент времени: Xt = y или Xt = x1.

Очевидность этих условий следует из того, что если в данный момент t некото рая точка занимает положение y, то вероятность обнаружить её в каком-либо дру + гом месте z y, равна нулю, между тем P{t,y;

t, } = p(t,y;

t,z )dz = 1, поэто му p(t,y;

t,z ) = d(y - z ) для всех t T, y, z.

Если же положение точки в начальный (конечный) момент времени неизвестно, то оно должно рассматриваться как случайная величина с некоторой плотностью распределения f (z ), и тогда начальное и «конечное» условия для уравнений Колмо горова примут, соответственно, вид p(t0,y 0 ;

t0,z ) = f (z ), z и p(t1,y;

t1,x1 ) = f (y ), y.

Граничные условия для уравнений Колмогорова исследованы ещё не полностью, на практике используют, в основном, условие отражающей границы, условие по глощающей границы, а также их комбинации. Формулировки этих граничных усло вий приведены в табл. 2.4.1.

Таблица 2.4. Граничные условия для уравнений Колмогорова Прямое уравнение Обратное уравнение p(s,y;

t,z ) p(s,y;

t,x ) = 0, z G = 0, y G Отражающая граница G y y p(s,y;

t,z ) = 0, z G p(s,y;

t,x ) = 0, y G Поглощающая граница G Подробнее о граничных условиях для уравнений Колмогорова можно узнать в книге [9].

§2.5. СКАЧКООБРАЗНЫЕ, ДИФФУЗИОННЫЕ И ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ Марковский процесс Xt называется непрерывным, если для любых e 0 имеет место предел 1 p(t, x;

t + Dt,y )dy = lim (2.5.1) Dt 0 Dt |x -z |e равномерно по x и t. Тогда можно доказать [12], что траектория Xt этого процес са является непрерывной функцией времени почти наверное.

Условие (2.5.1) называется условием Линдеберга.

Рассмотрим случай, когда в условиях (2.3.2)-(2.3.3) a(t, z ) 0, b(t, z ) 0. Тогда прямое уравнение Колмогорова принимает вид + [ p(s, y;

t,z )] = v.p. [W (z | t,x )p(s,y;

t,x ) -W (x | t,z )p(s,y;

t,z )]dx. (2.5.2) t Типичная траектория случайного процесса Xt, подчиняющегося уравнению (2.5.2), представляет собой отрезки прямых Xt = const, чередующиеся с разрыв ными скачками [9], поэтому такие процессы, для которых в условиях (2.3.2)-(2.3.3) a(t, z ) 0, b(t, z ) 0, называются скачкообразными, а уравнение (2.5.2) называется управляющим уравнением скачкообразного процесса или уравнением Колмогорова – Феллера. Траектории скачкообразных процессов терпят разрывы в дискретном множестве точек.

Если в условии (2.3.1) W (x | t,z ) 0, то обратное уравнение Колмогорова при нимает вид [ p(s, y;

t,x )] = a(s,y ) [ p(s, y;

t,x )] + b(s, y ) 2 [ p(s, y;

t,x )].

- (2.5.3) s y 2 y Процессы, описываемые уравнениями вида (2.5.3) носят название диффузион ных, а само уравнение (2.5.3) часто называют уравнением Колмогорова – Фоккера – Планка. Функция a(t,z ) называется коэффициентом сноса, а функция b(t, z ) — коэффициентом диффузии. Ясно, что когда W (x | t,z ) 0, условие непрерывности (2.5.1) выполняется, поэтому диффузионные процессы непрерывны, хотя, как мы увидим в §3.1, могут не быть дифференцируемыми ни в одной точке.

Если же в условиях (2.3.1)-(2.3.3) b(t, z ) 0, W (x | t,z ) 0, то прямое уравне ние Колмогорова принимает вид уравнения Лиувилля a(t,z ) p(s,y;

t,z ), [ p(s, y;

t,z )] = - (2.5.4) zi t которое в случае известного начального значения описывает полностью детермини рованные процессы1. Это — тривиальный тип марковских процессов: в каждый мо мент времени известны с вероятностью единица все будущие состояния. Именно Действительно, если x (t ) является решением обыкновенного дифференциального урав нения dx / dt = a(t, x (t )) с начальным условием x (0) = x 0, то решением уравнения (2.5.4) с начальным условием p(t0,y 0 ;

t0,z ) = d(y 0 - z ) будет функция p(t0,y 0 ;

t,z ) = d(z - x (t ), откуда следует, что Zt совпадает с x (t ) почти всюду.

такие процессы рассматриваются в клас сической (детерминированной) матема тике. В общем случае ни один из коэф фициентов a(t,z ), b(t,z ), W (x | t,z ) не обязан обращаться в нуль. Траектория типичного процесса, в котором присут ствуют и диффузия, и снос, и скачки, Рис. 2.5.1. Траектория процесса общего вида представлена на рис. 2.5.1.

Предметом нашего дальнейшего рассмотрения являются диффузионные процес сы и их применение в экономико-математическом и финансово-математическом моделировании.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Истинная логика нашего мира — правиль ный подсчёт вероятностей.

Дж. Максвелл §3.1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Рассмотрим одномерный диффузионный процесс Wt, подчиняющийся уравне нию Колмогорова, в котором коэффициент сноса равен нулю, а коэффициент диф фузии — единице:

1 p(t, w ;

t,w ).

p(t0, w 0 ;

t,w ) = 2 (3.1.1) 00 w t Начальное условие (2.4.2) примет вид p(t0, w 0 ;

t0,w ) = d(w - w 0 ). (3.1.2) Система (3.1.1)-(3.1.2) представляет собой задачу Коши для уравнения тепло проводности, решением которой, согласно [83], является функция (w -w0 ) 1 1 2(t -t0 ), p(t0, w 0 ;

t,w ) = e (3.1.3) t - t 2p представляющая собой плотность нормального распределения (a, s ) с математи ческим ожиданием a = w 0 и средним квадратичным отклонением s = t - t0.

Первоначально острый пик расплывается со временем, как изображено на рис. 3.1.1.

Случайный процесс Wt, плотность переходной вероятности которого подчиня ется формуле (3.1.3), называется броуновским движением.

Отметим некоторые свойства броуновского движения. Во-первых, хотя математическое ожи дание броуновского движения конечно, его сред нее квадратичное отклонение стремится к беско нечности при t. Это говорит о нерегуляр ности, переменчивости траекторий.

Во-вторых, траектории броуновского движе ния непрерывны, так как оно представляет собой диффузионный процесс. Между тем, они не яв- Рис. 3.1.1. Расплывание начального ляются дифференцируемыми ни в одной точке.

распределения Рассмотрим вероятность события { } Wt +Dt -Wt k :

Dt w + + { } Wt +Dt -Wt 2 1 k = 2 p(t,Wt ;

t + Dt,w )dw = e 2Dt dw = P 2p Dt Dt k Dt k Dt ((w -Wt )/ Dt )2 y2 y + + k Dt 2 - w -Wt 1 - 2 d = Dt = 2 2p 2 dy - 2 dy = e e e 2 2p p k Dt 0 y k Dt 2 = 1- e 2 dy.

p В пределе при Dt 0 эта вероятность обращается в единицу при любом ко нечном значении k. Таким образом, сколь большое число k мы не выберем, модуль производной траектории броуновского движения будет наверняка больше этого чис ла, т. е. бесконечен. Из этого следует, что броуновское движение не является диффе ренцируемым ни в одной точке почти наверное.

Три траектории броуновского движения мы видели на рис. 1.1.1.

Броуновское движение как объект было введено в 1900 г. Л. Башелье [2], затем в 1905 г. исследовалось А. Эйнштейном [99]. Строгая математическая теория бро уновского движения была построена в 1923 г. Н. Винером [6], в честь которого этот процесс называется также винеровским процессом.

Броуновское движение, выходящее в нулевой момент времени из точки W0 = 0, называется стандартным броуновским движением1. Очевидно (по свойствам нор мально распределённых случайных величин), математическое ожидание стандарт ного броуновского движения тождественно равно нулю, а его дисперсия равна DWt = t.

С этим случайным процессом мы уже сталкивались в §1.1.

§3.2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ Пусть Wt — стандартное броуновское движение. Рассмотрим конструкцию [0;

t ) f (s,w)dWs, называемую стохастическим интегралом от случайной функции f (s, w) [0;

t ). Разобьём промежуток [0;

t ) n по промежутку на частей:

0 = s 0 s1 s2 sn = t. Если существует такое число It ( f ), что n ) (3.2.1) f (s, w)dWs = l.i.m. f (si - 1, w)( s - Ws It ( f ) W i - [0;

t ) i n i = 1 независимо от разбиения промежутка [0;

t ) на части, то оно называется стохасти ческим интегралом Ито [0;

t ) f (s,w)dWs от случайной функции f (s, w) по проме жутку [0;

t ) 1.

Приведём без доказательства теорему существования и единственности стохас тического интеграла Ито2.

ТЕ О Р Е М А 3. 2.1 ( СУ Щ Е С Т В О ВА Н И Е И Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т Ь С Т ОХ АС Т И И Т О ). Если функция f является неупреждающей (т. е.

Ч Е С К О Г О И Н Т Е Г РА Л А f (s, w) статистически независима от (Wt -Ws ) для всех t s ) и непрерывной, то стохастический интеграл Ито [0;

t ) f (s,w)dWs от случайной функции f (s, w) по промежутку [0;

t ) существует и определяется однозначно.

Первым, кто ввёл понятие стохастического интеграла, был Н. Винер, который в 1923 г., воспользовавшись идеей интегрирования по частям, определил в работе [6] понятие стохастического интеграла от неслучайной функции (см. пример 3.5.2). За тем Г. Крамер в 1940 г. в работе [39] предложил первую общую теорию стохастиче ских интегралов. Впоследствии теорией стохастического интегрирования занима лись К. Ито [28], [26] (1944 г., 1951 г.), Р. Л. Стратонович [80] (1961 г.), С. Ватанабэ, К. Долеан-Дейд, Дж. Дуб, Ф. Курреж, Х. Куните, П.-A. Мейер и др. Наиболее рас пространённым способом определения стохастического интеграла является способ К. Ито, рассмотренный в данном параграфе.

Здесь под l.i.m. понимается предел в среднем квадратичном: l.i.m. Xn = X, если n n lim M (Xn -X )2 = 0.

n Доказательство теоремы 3.2.1 и всех теорем §3.3 приводятся в книгах [8], [61].

§3.3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Используя введённое понятие стохастического интеграла Ито, можно дать опре деление стохастического дифференциального уравнения.

Пусть a(t, x ) и c(t, x ) — неупреждающие функции, тогда случайный процесс Xt называется решением стохастического дифференциального уравнения Ито dXt = a(t, Xt )dt + c(t, Xt )dWt, (3.3.1) если для всех t 0 выполняются равенства t P | a(t, Xt ) | dt = 1, (3.3.2) 0 t P (c(t, Xt ))2 dt = 1, (3.3.3) 0 t P Xt = X 0 + a(t, Xt )dt + c(t, Xt )dWt = 1. (3.3.4) [0;

t ) Сформулируем условия существования и единственности решения стохастиче ского дифференциального уравнения.

Говорят, что коэффициенты a(t, x ) и c(t, x ) удовлетворяют локальному условию Липшица по переменной x, если для любого n найдётся такая константа K (n ), что для всех t 0 и | x | n, | y | n выполняется неравенство | a(t, x ) - a(t, y ) | + | c(t, x ) - c(t, y ) | K (n ) | x - y |. (3.3.5) ТЕ О Р Е М А 3.3.1 ( СУ Щ Е С Т В О ВА Н И Е И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ И Т О ). Если ко С Т ОХ АС Т И Ч Е С К О Г О Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Г О У РА В Н Е Н И Я эффициенты a(t, x ) и c(t, x ) стохастического дифференциального уравнения Ито (3.3.1) удовлетворяют локальному условию Липшица по переменной x (3.3.5) и ус ловию линейного роста | a(t, x ) | + | c(t, x ) | K (1) | x |, (3.3.6) то стохастическое дифференциальное уравнение (3.3.1) имеет, и притом един ственное (с точностью до стохастической неразличимости (3.3.3)), непрерывное решение Xt, являющееся марковским процессом.

ТЕ О Р Е М А 3.3.2 ( С ВЯ З Ь КОЛ М О Г О Р О ВА У РА В Н Е Н И Й И С Т ОХ АС Т И Ч Е Плотность p(s, x;

t,y ) переход С К И Х Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У РА В Н Е Н И Й ).

ной вероятности диффузионного случайного процесса Xt, удовлетворяющая усло виям (3.3.2)-(3.3.3), описывается уравнениями Колмогорова 1 [ p(s,y;

t,z )] = - a(t,z )p(s,y;

t,z ) + b(t,z )p(s,y;

t,z ) 2 z 2 t z и [ p(s, y;

t,x )] = a(s,y ) [ p(s, y;

t,x )] + b(s, y ) 2 [ p(s, y;

t,x )] s y 2 y тогда и только тогда, когда случайный процесс Xt является решением стоха стического дифференциального уравнения (2.3.1), в котором (c(t, x ))2 b(t, x ) 1.

Теорема 3.3.2 доказывает эквивалентность двух методов исследования слу чайных процессов — уравнений Колмогорова и стохастических дифференциальных уравнений. Иногда к желаемым результатам проще прийти с помощью уравнений Колмогорова, иногда — используя стохастические дифференциальные уравнения.

В дальнейших приложениях будет полезна также ТЕ О Р Е М А 3.3.3.

(dWt )2 = dt, (3.3.7) где Wt — броуновское движение.

Впервые стохастические дифференциальные уравнения были предложены в 1908 г. П. Ланжевеном [41] для описания броуновского движения, однако до введе ния Г. Крамером в 1940 г. [39] и К. Ито в 1942 г. [28] понятия стохастического инте грала строгие методы исследования этих уравнений отсутствовали. Теория стохас тических дифференциальных уравнений развивалась в работах С. Н. Бернштей на [3] (1934 г.), К. Ито [24]-[26] (1942-1951 гг.), И. И. Гихмана [10]-[13] (1950 г.), Р. Л. Стратоновича [80] (1961 г.), С. Варадана, С. Ватанабэ, Л. И. Гальчука, К. Доле ан-Дейд, Ж. Жакода, А. К. Звонкина, М. Каца, Е. Конвея, Т. Комацу, Н. В. Крылова, В. А. Лебедева, Р. Ш. Липцера, Г. Маруямы, А. В. Мельникова, Ж. Мемена, М. Ни сио, А. В. Скорохода, Д. Струка, А. Н. Ширяева, Т. Ямады и др.

§3.4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Стохастическое дифференциальное и интегральное исчисление имеет некоторые отличия от классического, в частности, в приложениях весьма важно отличие диф ференцирования сложной функции.

Как уже отмечалось в §1.4, неотрицательность коэффициента диффузии b(t, x ) следует из его определения (2.3.3).

ТЕ О Р Е М А 3.4. 1 ( Ф О Р М УЛ А И Т О ). Если непрерывная функция F (t, x ) име F F 2F, а случайный процесс Xt является ре ет непрерывные производные,, t x x шением стохастического дифференциального уравнения (3.3.1), то случайный про цесс Ft = F (t, Xt ) является решением стохастического дифференциального урав нения F (t, X ) t + a(t, X ) F (t, Xt ) + 1 c 2 (t, X ) F (t, Xt ) dt + d Ft = (3.4.1) t t t x x F (t, Xt ) +c(t, Xt ) dWt.

x ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выпишем разложение функции F (t, x ) в ряд Тейлора:

1 F (t, x ) 2 2F (t, x ) 2F (t, x ) F (t, x ) F (t, x ) (dx )2 + (dt )2. (3.4.2) dt + dF (t, x ) = dx + dxdt + 2 x 2 x t x t t Подставляя теперь в выражение (3.4.2) Xt вместо x, получим F (t, Xt ) F (t, Xt ) d Ft = dF (t, Xt ) = dXt + dt + x t 2 2F (t, Xt ) 2F (t, Xt ) 1 F (t, Xt ) (dt )2.

(dXt )2 + + dXtdt + 2 x 2 2 x t t Учтём, что процесс Xt подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению (3.3.1):

F (t, Xt ) F (t, Xt ) d Ft = (a(t, Xt )dt + c(t, Xt )dWt ) + dt + x t 2 2F (t, Xt ) 1 F (t, Xt ) (a(t, Xt )dt + c(t, Xt )dWt )2 + + (a(t, Xt )dt + c(t, Xt )dWt )dt + 2 x x t F (t, X ) 2F (t, Xt ) t + a(t, X ) F (t, Xt )dt + c(t, X ) F (t, Xt )dW + (dt )2 = + t t t t t 2 x x 2F (t, Xt ) 2F (t, Xt ) 2F (t, Xt ) (dt )2 + + a(t, Xt )a(t, Xt ) + + x 2 t x t 2F (t, Xt ) 2F (t, Xt ) 1 dW dt + 1 c2(t, X ) F (t, Xt ) (dW )2.

+ a(t, Xt )c(t, Xt ) + c(t, Xt ) x t t t t x 2 x 2 Теперь воспользуемся теоремой 3.3.3 и подставим в последнее выражение dt вместо (dWt )2 и (dt )3 / 2 вместо dWtdt :

2F (t, Xt )dt + c(t, X ) F (t, Xt )dW + F (t, Xt ) F (t, Xt ) 1 2 d Ft = t + a(t, Xt ) + c (t, Xt ) t t 2 x x 2 x 2F (t, X ) 2F (t, X ) t + 1 c(t, X ) t (dt )3 / 2 + + a(t, Xt )c(t, Xt ) x t t x 2F (t, X ) 2F (t, X ) 2F (t, X ) t (dt )2.

1 t+ t+ + a(t, Xt )a(t, Xt ) 2 2 x t 2 x t Отбрасывая все члены, содержащие dt в более высокой степени, чем первая, получаем формулу Ито (3.4.1).

Впервые теорема 3.4.1 была сформулирована и доказана К. Ито в 1951 г. в рабо те [23]. С тех пор с помощью формулы Ито получены многие ставшие уже класси ческими результаты стохастической финансовой математики, включая знаменитую формулу Блэка – Шоулза для оценки рациональной стоимости опционов, рассмат риваемую в §4.4.

Для решения линейных стохастических дифференциальных уравнений вида dXt = (a 0 + a(t )Xt )dt + c(t )dWt, как и для их детерминированных аналогов вида dXt = (a 0 + a(t )Xt )dt, существуют явные формулы (подробнее см. [60, с. 637]), однако реальные стохастические диф ференциальные уравнения, возникающие в практике экономико-математического моделирования, как мы увидим ниже, являются принципиально нелинейными, по этому их решение проводится либо подбором при помощи формулы Ито (3.4.1), либо путём применения численных методов (см. [40], [60, с. 565-581]).

§3.5. ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Рассмотрим несколько примеров случайных процессов, описываемых стохасти ческими дифференциальными уравнениями.

П Р И М Е Р 3.5.1 ( С Т ОХ АС Т И Ч Е С К А Я Э К С П О Н Е Н ТА ). Рассмотрим стохас тический дифференциал процесса E( )t, определяемого формулой W W- t (W )t = e t 2. (3.5.1) x- t a(x, t ) 0, c(x, t ) 1, Согласно формуле Ито (3.4.1), где Xt = Wt, F (t, x ) = e 2, можно записать:

1 eWt - 2 t 1 2eWt - 2 t W- t e t 2 1 W - t 1 W - t dWt = - e t 2 + e t 2 dt + dt + d ( )t = + W t 2 x 2 x 1 Wt - t W- t 2 dWt = e t 2 dWt = ( )t dWt.

+e W Таким образом, d ( )t = ( )t dWt.

W W (3.5.2) W Случайный процесс ( )t называют стохастической экспонентой по аналогии с обыч ной экспонентой et, являющейся решением обыкновенного дифференциального уравнения d (et ) = et, которое можно переписать в виде d (et ) = etdt. Соотношение (3.5.2) можно рас dt W сматривать как стохастическое дифференциальное уравнение, а функцию ( )t, задавае мую формулой (3.5.1) — как решение этого уравнения.

П Р И М Е Р 3.5.2 ( С Т ОХ АС Т И Ч Е С К О Е И Н Т Е Г Р И Р О ВА Н И Е П О Ч АС ТЯ М ).

Пусть в формуле Ито (3.4.1) Xt = Wt, F (t, x ) = f (t )x, тогда a(x, t ) 0, c(x, t ) 1, и форму ла принимает вид d(f (t ) t ) = f (t ) tdt +f (t )dWt W W t или, в интегральной форме, f (t ) t = f (s ) sds + [0;

t ) f (s )dWs.

W W Последнюю формулу можно переписать в виде t [0;

t ) f (s)dWs = f (t )Wt - f (s)Wsds Именно так Н. Винер в 1923 г. предложил вычислять стохастические интегралы от не случайных функций [6].

П Р И М Е Р 3.5. 3 ( О Б О Б Щ Ё Н Н О Е Б Р ОУ Н О В С К О Е Д В И Ж Е Н И Е ). Рассмот рим случайный процесс, подчиняющийся стохастическому дифференциальному уравнению dBt = mdt + sdWt. (3.5.3) С помощью непосредственной подстановки значений Xt = Wt, F (t, x ) = B0 + mt + sx, a(x, t ) 0, c(x, t ) 1 в формулу Ито (3.4.1) легко проверить, что решение уравнения (3.5.3) описывается формулой Bt = B0 + mt + sWt. (3.5.4) Этот процесс называется обобщённым броуновским движением.

П Р И М Е Р 3.5.4 ( Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К О Е Рас Б Р ОУ Н О В С К О Е Д В И Ж Е Н И Е ).

смотрим случайный процесс, подчиняющийся стохастическому дифференциально му уравнению (1.1.7) dSt = St (mdt + sdWt ).

Легко проверить, что его решение описывается формулой (1.1.5) St = S 0e(m -s / 2)t +sWt.

Действительно, согласно формуле Ито (3.4.1), где Xt = Wt, F (t, x ) = S 0e(m-s / 2)t + sx, a(x, t ) 0, c(x, t ) 1, 2 2 ( ) dSt = m - s2/2 S 0e(m -s / 2)te sx + s2S 0e(m -s / 2)te sx dt + sS 0e(m -s / 2)te sx dWt = = mStdt + sStdWt = St (mdt + sdWt ).

Этот процесс называется геометрическим или экономическим броуновским движе нием.



Pages:   || 2 | 3 |
 










 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.