авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Одобрено Президиумом НМС ...»

-- [ Страница 2 ] --

В первой главе мы уже встречались с процессом геометрического броуновского движения: формулой (1.1.5) описывалась зависимость стоимости акции от времени.

Внешний вид траекторий геометрического броуновского движения (рис. 1.1.2), дей ствительно, очень напоминает процесс изменения многих финансовых и экономи ческих показателей (например, стоимостей реальных акций, представленных на рис. 1.1.3), поэтому геометрическое броуновское движение легло в основу ряда фи нансово-математических и экономико-математических моделей. В следующих гла вах мы увидим, какие результаты получаются при исследовании этих моделей.

ГЛАВА 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФИНАНСАХ Кто-то любит свежий ветер, Кто-то мягкий каравай, Кто-то ребусы в газете, Мне же — деньги подавай.

Я, признаться по секрету, Очень денежки люблю.

Ничего приятней нету, Чем копить их по рублю.

И шагаю с этой ношей Я по жизни, весь звеня.

Вот какой я нехороший, Полюбуйтесь на меня.

И. Иртеньев §4.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭВОЛЮЦИИ СТОИМОСТИ АКЦИЙ Если предположить, что процентная ставка может меняться со временем, то мо дель (1.1.2) преобразуется в самую распространённую модель банковского счёта.

Как правило, её записывают в виде dBt = r (t )Bt dt.

Процентная ставка r (t ) может описываться при этом либо детерминированной функцией времени, либо случайным процессом. Стохастические модели эволюции процентных ставок, предложенные Ф. Блэком, О. Васичеком, Е. Дерманом, Л. Дотханом, К. Зандманом, Д. Зондерманом, Дж. Ингерсоллом, П. Карасинским, Дж. Коксом, С. Ли, Р. Мертоном, С. Россом, У. Тоем, А. Уайтом, Дж. Халлом, Т. Хо, Л. Ченом, А. Н. Ширяевым, У. Шмидтом, подробно рассматриваются в книге [96].

Многочисленные попытки детерминированного описания динамики стоимостей ценных бумаг успехом не увенчались. Как писал М. Кендалл в статье [34] (1953 г.), поведение этих стоимостей наводит на мысли о «Демоне Случая, случайным обра зом извлекающем число и добавляющем его к текущему значению стоимости для определения стоимости в следующий момент». Первым, кто предпринял попытку стохастического описания эволюции стоимостей акций St, был Л. Башелье, кото рый в 1900 г. в своей диссертации [2] предложил рассматривать St как обобщённое броуновское движение (3.5.4):

St = S 0 + mt + sWt.

Очевидный (и очень серьёзный) недостаток модели (3.5.4) заключается в том, что в её рамках цена акции St может принимать отрицательные значения, что не соответствует реальности. Несмотря на это, нельзя не оценить вклада работы [2] в становление стохастической математики. Именно в ней за пять лет до А. Эйнштейна [99] был впервые введён математический объект (3.1.3), позже получивший назва ние броуновского движения, именно в ней была предпринята первая попытка сто хастического описания рынка ценных бумаг.

Революционная пионерская работа Л. Башелье сильно опередила своё время. В начале XX в. она фактически была проигнорирована и забыта. Теория случайных процессов была позже переоткрыта А. Эйнштейном и начала развиваться, а её при менение в моделировании стоимостей ценных бумаг остановилось до начала 50-х гг.

XX в.

Следующий крупный шаг в применении стохастических методов к анализу стоимостей акций сделал в 1965 г. П. Самуэльсон [63]. В развитие работы М. Осборна [55] (1959 г.), в которой отмечалось, что не стоимости ценных бумаг, как в модели (3.2.1), предложенной Л. Башелье, а логарифмы этих стоимостей в каждый момент времени распределены по нормальному закону, П. Самуэльсон ввёл в рассмотрение геометрическое (или, в его терминологии, экономическое) броунов ское движение St :

ln St = ln S 0 + (m - 0, 5s2 )t + sWt или S ln t = (m - 0, 5s2 )t + sWt.

S Формула, выражающая зависимость St от времени, очевидно, имеет вид (1.1.5) St = S 0e(m-s /2)te sWt.

Как было показано в примере 3.5.4, стоимости St акций удовлетворяют при этом стохастическому дифференциальному уравнению (1.1.7) dSt = St (mdt + sdWt ).

ТЕ О Р Е М А 4.1.1 ( Ч И С Л О В Ы Е ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ АКЦИЙ). Матема тическое ожидание и дисперсия стоимости акции, динамика которой описывает ся законом (1.1.7), таковы:

MSt = S 0e mt, (4.1.1) DSt = (S 0 )2e2mt (e s t - 1). (4.1.2) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как Wt — стандартное броуновское движение, значит, плотность w 1 его переходной вероятности определяется формулой p(0, 0;

t,w ) = e 2t (см. §3.1).

2p t Рассмотрим математическое ожидание стоимости акции s2 m - s t m - s t + 2 m - t +sW t 2 M(e sWt ) = S e S e 2 = S e 2 e sWt p(0,0;

t,w )dw = MSt = M 0 2-2w st +(st )2 (st ) s2 s m - t w m - t + w + 1- + 2 1 1 e sWt - 2t dw = S e 2 = S 0e 2t dw = e 2t 2p 2p t t - s2 s ((w -st ) t ) + m - t + t + - y ( ) 2 - w -st 1 mt 1 mt = S 0e = S 0e e 2 dy = S 0e.

e d 2p 2p t Справедливость формулы (4.1.2) доказывается аналогично.

Различные усовершенствования стандартной диффузионной модели (1.1.5) бы ли предложены Дж. Виггинсом, Б. Дюпири, Д. Нельсоном, Л. Скоттом, А. Уайтом, Дж. Халлом и другими специалистами. Подробнее эти усовершенствования обсуж даются в книге [96].

(B,S)-РЫНОК §4.2.

Предположим, что инвестор имеет возможность размещать средства на банковском счёте и брать с него в долг;

покупать и продавать ценные бумаги.

Тогда для этого инвестора на рынке существует один безрисковый актив (бан ковский счёт) B и n рсковых активов (ценных бумаг) S (1), S (2),, S (n ).

Будем считать, что проценты на банковский счёт начисляются непрерывно с по стоянной ставкой r (t ) r = const, так что dBt = rBt dt. (4.2.1) Здесь Bt — сумма на счёте в момент времени t.





Предположим, что на рынке обращаются n ценных бумаг, и стоимость i -й цен (i ) ной бумаги в момент времени t составляет S t, i = 1;

n и описывается стохастиче ским дифференциальным уравнением (i ) (i ) (i ) dS t = S t (m(i )dt + s(i )dW t ), i = 1;

n. (4.2.2) Будем предполагать, что операционные издержки, связанные с переводом средств между активами, отсутствуют, а также что активы являются безгранично делимыми, т. е. можно купить и продать любую часть ценной бумаги, положить на счёт и снять с него любую его часть.

Функционирующий по таким правилам рынок будем называть (B, S ) -рынком.

В момент времени t инвестор может часть своих средств b оставить на банков ском счёте, а другую часть g потратить на приобретение ценных бумаг.

Портфелем ценных бумаг на (B, S ) -рынке назовём вектор p = (b, g ) = (b, g(1), g(2),, g(n ) ), (4.2.3) n где b, g(i ), i = 1;

n, b + g(i ) = 1.

i = Если инвестор в момент времени t обладает портфелем (n ) (1) (2) pt = (bt, gt ) = (bt, g t, g t,, g t ), (4.2.4) то это означает, что доля bt его средств вложена в безрисковый актив, а доли (i ) g t, i = 1;

n bt вложены в соответствующие рисковые активы. Числа и (i ) g t, i = 1;

n могут быть как положительными, так и отрицательными, в последнем случае инвестор берёт средства в долг с банковского счёта либо совершает корот кую продажу акций1 (конечно, эти числа могут быть и нулевыми).

Короткой продажей называется продажа ценных бумаг, которых нет в наличии, напри мер, в надежде на снижение цен. Бумаги для короткой продажи берутся взаймы (см. §1.1).

Капиталом портфеля ценных бумаг pt в момент времени t называется стои мость всех активов инвестора в этот момент, т. е. число n (i ) (i ) Xtp = bt Bt + g t S t. (4.2.5) i = Очевидно, капитал портфеля ценных бумаг образует случайный процесс.

Ожидаемым капиталом ценной бумаги (портфеля ценных бумаг) называется математическое ожидание её (его) капитала, а риском ценной бумаги (портфеля ценных бумаг) — среднее квадратичное отклонение её (его) капитала.

Возникает задача оптимизации портфеля с целью получения максимального ка питала при минимальном риске. К сожалению, одновременно этого достичь невоз можно, поэтому инвестор, оптимизирующий свой портфель, должен выбрать один из критериев: либо максимизировать ожидаемый капитал портфеля MXtp, либо DXtp.

минимизировать риск портфеля Математическая формулировка задачи минимизации риска портфеля ценных бу маг при заданном минимальном допустимом капитале X p выглядит так:

n (i ) (i ) D bt Bt + g t S t min, (4.2.6) i = n n (i ) (i ) M bt Bt + g t S t = X p, bt + g t = 1, bt, g t, i = 1;

n..

(i ) (i ) i = i = Во-первых, опустим везде индекс времени t, поскольку задача статическая, т. е. рас сматривается в конкретный фиксированный момент времени.

Возведём положительную целевую функцию в квадрат, введём обозначения g (0) b, m(i ) = MS (i ), m(0) = r, s(i, j ) = cov (S (i ), S ( j ) ), i, j = 1;

n, раскроем знаки математических ожиданий и дисперсий и учтём, что DB = 0. Тогда задача (4.2.6) примет вид n n s(i, j )g(i)g( j ) min, i =1 j = n n m(i)g(i) = X p, g(i) = 1, g(i), i = 0;

n.

i =0 i = С помощью функции Лагранжа ( ) L g(0), g(1), g(2),, g(n ), l1, l2 = n n n n s(i, j )g(i)g( j ) - l1 m(i)g(i) - X p - l2 g(i) - = i = 0 i = 0 i =1 j = сведём задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум ( ) L g(0), g(1), g(2),, g(n ), l1, l2 min.

Приравнивая нулю производные функции Лагранжа по g(i ), получаем L = -l1m(0) - l2 = 0, (0) g (4.2.7) n L (i,k )g(i ) - l m(k ) - l = 0, k = 1;

n.

(k ) = 2 s 1 g i = Пусть V = s(i, j ) = cov(S (i ), S ( j ) — ковариационная матрица эффективностей, * (1) g(1) m(1) g * (2) g(2) m(2) 1 g * I=,G =,M =,G = 1 (n ) (n ) * (n ) g m g (звёздочкой обозначаем оптимальное решение), тогда в этих обозначениях система уравне ний (4.2.7) примет вид l = -l m(0), 2 l1 l * G = M + 2 I.

V 2 Последнее уравнение можно выразить относительно G* :

l G* = 1 ( -1M - m(0) -1I ). (4.2.8) V V Подставив эти выражения в условия n n m(i)g(i) = X p, g(i) = 1, i =0 i = получим * (0) T * * (0) M T G* = X p - m(0) g, I G = 1- g или l1 T -1 * (0) (M V M - m(0)M TV -1I ) = X p - m(0) g, l1 T -1 * (0) (I V M - m(0)I TV -1I ) = 1 - g.

Разделив первое уравнение на второе, получим * (0) M TV -1M - m(0)M TV -1I X p - m(0) g, = I TV -1M - m(0)I TV -1I * (0) 1- g откуда M TV -1M - m(0)M TV -1I - X p (I TV -1M - m(0)I TV -1I ) * (0).

g = M TV -1M - m(0)M TV -1I - m(0)(I TV -1M - m(0)I TV -1I ) ( ) * (0) После приведения подобных слагаемых получаем в выражении для 1 - g (X p - m(0))(I TV -1M - m(0)I TV -1I ) * (0), 1- g = M TV -1M - 2m(0)M TV -1I + m(0) I TV -1I l * (0) откуда с учётом того, что 1 (I TV -1M - m(0)I TV -1I ) = 1 - g, находим X p - m (0) X p - m(0) l1, = = (0) T - M TV -1M - 2m(0)M TV -1I + (m(0) ) I TV -1I M - m (0) M - m I I V и из (4.2.8) X p - m(0) V -1 M - m(0)I.

G* = (4.2.9) (0) T - M - m (0) M - m I I V При этом nn n (i ) (i ) D bt Bt + g t S t = s(i, j )g(i )g( j ) = (G* )TV G* = (4.2.10) i =1 j = i = (X p - m(0)) [M - m(0)I ]T V -1 -1[M - m(0)I ] = = VV ([M - m(0)I ]T V -1[M - m(0)I ]) (X p - m(0)) =, [M - m(0)I ]T V -1[M - m(0)I ] где мы учли, что произведение [M - m(0)I ]T V -1[M - m(0)I ] представляет собой число, которое выносится за знак транспонирования, а ковариационная матрица является симмет ричной, т. е. V T = V. Таким образом, доказана Появление матриц в знаменателе не должно смущать читателя, поскольку произведение M - m(0)I T V -1 M - m(0)I 11, т. е. представляет собой число.

ТЕ О Р Е М А 4.2.1. Оптимальное решение задачи (4.2.6) описывается формулой (4.2.9). При этом дисперсия такого оптимального портфеля подчиняется формуле (4.2.10).

Задача максимизации капитала портфеля при заданном максимальном допусти мом риске rp такова:

n (i ) (i ) M bt Bt + g t S t max, (4.2.11) i = n n (i ) (i ) D bt Bt + g t S t = rp, bt + g t = 1, bt, g t, i = 1;

n.

(i ) (i ) i = i = Решение задачи (4.2.11) можно получить аналогично решению задачи (4.2.6).

Задачи (4.2.6) и (4.2.11) были поставлены и успешно решены Г. Марковицем в 1952 г. для случая отсутствия безрискового актива ( bt 0 ) [49], [50] и обобщены Дж. Тобином в 1958 г. на случай возможности безрисковых вложений и заимствова ний ( bt ) [84], [85]. Результаты решения этих задач говорят о том, что в оп тимальный портфель минимального риска должны входить все ценные бумаги с ве сами, пропорциональными их доле на рынке. Дж. Тобин и Г. Марковиц стали лауре атами Нобелевской премии в области экономики в 1981 г. и в 1990 г. соответствен но.

Можно ставить и другие оптимизационные задачи. Подробнее с теорией опти мизации портфеля ценных бумаг можно познакомиться, например, по книге [32].

§4.3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ Теория Г. Марковица и Дж. Тобина предлагает подход к редуцированию инвести ционного риска путём диверсификации (инвестирования в различные активы пропор ционально их доле на рынке). При этом составленный таким образом портфель цен ных бумаг может оказаться менее рискованным, чем каждый из входящих в него рис ковых активов, однако, как правило, полностью избавиться от риска не удаётся.

В 60-е гг. XX в. мировые финансовые рынки отличались высокой стабильно стью, процентные ставки были очень устойчивыми, а обменные курсы валют — вообще фиксированными, начиная с Бреттон-Вудской конференции 1944 г. В 70-е гг.

XX в. произошли события, в результате которых ситуация на финансовых рынках кардинально изменилась: всемирный нефтяной кризис, вызванный политикой ОПЕК1 — законодателя цен на нефть, повлёк за собой мировой валютно ОПЕК (OPEC) — Организация стран-экспортёров нефти (Organization of the Petroleum Exporting Countries), созданная в 1960 г. для координации нефтяной политики членов этой организации. В настоящее время в неё входят Алжир, Венесуэла, Индонезия, Ирак, Иран, Катар, Кувейт, Ливия, Нигерия, Объединённые Арабские Эмираты, Саудовская Аравия.

финансовый кризис, и в 1973 г. Бреттон-Вудскую систему фиксированных обмен ных курсов сменили современные плавающие курсы. В 1971 г. Государственное ка значейство США окончательно отменило практику покупки и продажи золота по фиксированной цене 35 долларов за унцию золота, в результате чего доллар сильно обесценился — нынешняя цена золота составляет 300-400 долларов за унцию. В этих условиях стандартные методы регрессионного анализа, которые применялись в то время к оценке активов, перестали давать адекватные результаты. Торговля обычными финансовыми инструментами стала чрезвычайно рискованной. Естест венно, всё это привело инвесторов к необходимости использовать другие методы минимизации риска, обусловленного неопределённостью будущих значений цен.

Среди таких методов уменьшения риска особого внимания заслуживает хеджирова ние, которое состоит в том, что на определённое время из некоторого актива и неко торого количества производных финансовых инструментов составляется портфель ценных бумаг, причём производный инструмент подбирается таким образом, что одновременно с изменением стоимости базового актива в противоположную сторо ну меняется стоимость производного инструмента. Наиболее распространены два типа таких производных инструментов, используемых для хеджирования, — фью черсы и опционы. Фьючерс — это ценная бумага, представляющая собой соглаше ние о приобретении или продаже в определённый момент времени в будущем опре делённой ценности по фиксированной цене, определяемой в момент заключения контракта. Опцион — это ценная бумага, представляющая собой соглашение, по которому одна из сторон (продавец) продаёт опцион за определённую премию, а другая (покупатель или владелец) получает право в течение срока, оговорённого в условиях опциона, либо купить определённую ценность по фиксированной цене, определяемой в момент заключения контракта (такой опцион называется опционом колл), либо продать (такой опцион называется опционом-пут). По срокам исполне ния опционы делятся на европейские и американские. Американский опцион может быть предъявлен к исполнению в любое время до истечения срока опциона, евро пейский опцион может быть использован только в день истечения его срока.

Основным отличием фьючерсов и опционов является то, что первый представля ет собой обязательство покупки или продажи актива по фиксированной цене, а второй — право.

Фьючерсы и опционы используются в качестве финансовых инструментов очень давно, организованная же торговля опционами началась в 1973 г. на Чикагской оп ционной бирже. В день её открытия 26 апреля 1973 г. было заключено 911 контрак тов на опционы-колл, через год в день продавалось более 20 000 контрактов, в 1987 г. дневной оборот составил около 700 000 опционных контрактов.

Широко распространены и другие производные финансовые инструменты, в ча стности, инструменты, производные от производных, например, опцион на фью черс.

Первая математическая модель опциона была предложена в 1900 г. Л. Башелье в его знаменитой диссертации [2], современная же математическая теория опционов, рассматриваемая в следующем параграфе, является наиболее продвинутой областью стохастической финансовой математики и получила начало в работах Ф. Блэка и М. Шоулза [5] и С. Мертона [54] в том же 1973 г., что и организованная торговля этими финансовыми инструментами.

§4.4. МОДЕЛЬ БЛЭКА – ШОУЛЗА – МЕРТОНА Предположим, что на (B, S ) -рынке обращается ценная бумага (для определён ности, акция) и производный от неё инструмент, стоимость акции изменяется со временем в соответствии со стохастическим дифференциальным уравнением dSt = St (mdt + sdWt ), (4.4.1) а банковский счёт эволюционирует по закону dBt = rBt dt. (4.4.2) Рациональной считается такая стоимость финансового инструмента, которая исключает возможность арбитража1 без риска, иными словами, доходность безрис кового финансового инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна сов падать с доходностью банковского счёта.

В 1973 г. американские экономисты Ф. Блэк и М. Шоулз в работе [5] и независи мо от них С. Мертон в работе [54] на основании модели (B, S ) -рынка (4.4.1)-(4.4.2) получили следующее фундаментальное уравнение для рациональной стоимости производных финансовых инструментов.

ТЕ О Р Е М А 4.4.1 ( ФУ Н Д А М Е Н ТА Л Ь Н О Е У РА В Н Е Н И Е БЛ Э К А – ШОУЛ – М Е Р Т О Н А ). Рациональная стоимость f (t, St ) производного инструмента ЗА на (B, S ) -рынке удовлетворяет фундаментальному уравнению Блэка – Шоулза – Мертона f (t, St ) f (t, St ) 1 f (t, St ) 2 s St = rf (t, St ).

+ rSt + (4.4.3) 2 S t S ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f (t, St ) — стоимость производного инструмента в момент вре мени t, когда стоимость акции составляет St. По формуле Ито (3.4.1), где Xt = St, a(S, t ) = mS, c(S, t ) = sS, f (t, St ) f (t, St ) 1 f (t, St ) 2 2 f (t, St ) s St dt + df = + mSt + sStdWt. (4.4.4) t S S 2 S Рассмотрим портфель p = (0, D, -1), состоящий из D акций в длинной позиции и одно го производного инструмента в короткой позиции. Капитал этого портфеля составит Xtp = -f (t, St ) + St D. (4.4.5) Арбитраж — одновременная покупка некоторого финансового инструмента по низкой цене и его продажа в другом месте по более высокой цене (см. §1.1).

Очевидно, dXtp = -df + DdSt. Подставляя в это уравнение выражение dSt из (4.4.1) и выражение df из (4.4.4), получаем f (t,S ) f (t,S ) t mS + 1 f (t,St ) s 2S 2 dt - f (t,St ) sS dW + S (mdt + sdW )D= dXtp =- t+ t t2 t t t t t S S S f (t, S ) t + D - f (t, St ) mS - 1 f (t, St ) s 2S 2 dt + D - f (t, St ) sS dW.

= - t t S t t S 2 S t f (t, St ) Пусть D =, тогда S f (t, S ) t + 1 f (t, St ) s 2S 2 dt.

dXtp = (4.4.6) t t 2 S Рациональность стоимости производной ценной бумаги означает, что доходность безрис кового портфеля, составленного из акций и данных производных инструментов, должна сов падать с доходностью банковского счёта (чтобы исключить возможность арбитража без рис ка):

dXtp = rXtpdt. (4.4.7) Подставив в формулу (4.4.7) выражение для Xtp из (4.4.5) и выражение для dXtp из (4.4.6), получим 2 f (t, St ) f (t, St ) 1 f (t, St ) 2 St dt, s St dt = r -f (t, St ) + - + t S 2 S откуда 2 f (t, St ) f (t, St ) 1 f (t, St ) 2 St s St = r -f (t, St ) + - + t S 2 S или f (t, St ) f (t, St ) 1 f (t, St ) 2 + rSt + s St = rf (t, St ), 2 S t S что и требовалось доказать.

Для исследования фундаментального уравнения Блэка – Шоулза – Мертона (4.4.3) нам потребуется несколько лемм. Любое уравнение в частных производных второго порядка может быть сведено к стандартному уравнению одного из трёх ти пов: гиперболического, параболического или эллиптического [83]. В частности, уравнение (4.4.3) сводится к уравнению теплопроводности (параболического типа).

Поскольку детерминированные уравнения описывают не что иное, как поведение средних значений случайных процессов (т. е. их математических ожиданий), их ре шения можно представить в вероятностной форме. В лемме 4.4.1 исследуется веро ятностное представление решений задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Первым на возможность представления решений детерминированных уравнений в виде математических ожиданий случайных величин обратил внимание М. Кац [33].

ЛЕ М М А 4. 4. 1. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности V (q, z ) 1 2V (q, z ) = 0, z, q 0, q 2 z 2 (4.4.8) z V (0, z ) = V0 (z ), можно представить в виде V (q, z ) = MV0 ( qx + z ), (4.4.9) где x ~ (0;

1) — случайная величина, распределённая по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, рав ным единице, или в виде V (q, z ) = MV0 ( q + z ), (4.4.10) W где Wq — стандартное броуновское движение.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (4.4.8), как известно [83], описывается интегралом Пуассона + -(u -z ) V (q, z ) = e 2q V (0, u )du.

2pq u -z Произведём замену переменных w(u ) = (тогда u = qw + z, du = qdw ), при q этом w2 w + + q - V (q, z ) = 2 V0 ( qw + z )dw = 2 V0( qw + z )dw = MV0 ( qx + z ), e e 2pq 2p - где x ~ (0;

1).

С другой стороны, w + 2 V0( qw + z )dw = MV0 ( qx + z ) = V (q, z ), MV0( q + z ) = W e 2p что полностью доказывает лемму.

Докажем также следующее вспомогательное утверждение.

ЛЕ М М А 4.4.2. Пусть x ~ (0;

1) — нормально распределенная случайная ве личина с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклоне нием, равным единице, тогда + (b1 ln K + b2 ) - K F (b1 ln K - b2 ), M (aeb x-0,5 b -K ) = a F 2 a a (4.4.11) z x — интегральная функция Лапласа, F0(x ) = где F(x ) = 2 dz F0(x ) + 0, e 2p z x 1 — центрированная интегральная функция Лапласа1.

e = 2 dz 2p ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

+ ( ) 2 (aeby -b2 /2 - K )e- y2 /2dy = M aeb x -b /2 - K = 2p b bx 2 K ae y y -0,5 b2 by - 1 = ae 2 dy - K 2 dy = e e 2p 2p b1a b1a y - ln y - ln 2bK 2bK y (y 2 -2by +b2 ) b + + -0,5 b2 1 - + = ae -K 2 dy = e 2 dy e 2p 2p b1a b1a - ln - ln 2bK 2bK y (y -b ) + + 2 2 1 1 = ae-0,5 b e 0,5 b - b) - K 2 dy = e 2 d (y e 2p 2p b1a b1a - ln - ln 2bK 2bK z2 z + + 1 - 1 =a 2 dz - K 2 dz = e e 2p 2p (b2 - b1 ln K )-b b1a a - ln 2bK ( ) - K 2 - F0 - - ln = a 2 + F0 - 1 a 1 1ab 1 b a b ln = a - F0 - ln + 2 b K bK b K 2 -K + F0 - ln = aF ( ln + ) - K F ( ln - ), 1 1a b 1ab b a 2 b K 2 bK2 bK что и требовалось доказать.

Очевидно, рациональная стоимость опциона в момент его исполнения совпадает с прибылью, которую можно получить, исполнив опцион. Эта прибыль называется Здесь символом a + обозначено наибольшее из чисел a и нуля: a + max{0, a }.

платёжной функцией опциона и обозначается fT. Пусть в момент исполнения T цена акции, на которую выписан европейский опцион-колл, составляет ST, а цена исполнения этого опциона равна K. Тогда если ST окажется не больше K, испол нять опцион бессмысленно, т. е. его платёжная функция равна нулю. Если же ST будет больше K, то выигрыш от исполнения такого опциона составит ST - K.

Объединяя эти два случая, получаем формулу для платёжной функции европейского опциона-колл:

fT = max{0, ST - K } = (ST - K )+. (4.4.12) Используя свою модель (4.4.3), Ф. Блэк и М. Шоулз [5] и С. Мертон [54] иссле довали рациональную стоимость европейского опциона-колл на акцию и получили формулу для её расчёта.

ТЕ О Р Е М А 4.4.2. ( Ф О Р М УЛ А БЛ Э К А – ШОУЛ З А Д Л Я О П Ц И О Н О В К ОЛ Л ). Рациональная стоимость T стандартного европейского опциона-колл на (B, S ) -рынке определяется формулой 1 S0 2 -rT 1 S 0 ln +T (r -0,5s ), (4.4.13) F T = S 0F s T ln K +T (r + 0,5s ) - Ke s T K где S 0 — стоимость акции в данный момент, T — время, оставшееся до испол нения опциона, K — цена исполнения опциона, s — коэффициент изменчивости r — доходности акций, безрисковая процентная ставка, z x 1 F(x )= e 2 dz — интегральная функция Лапласа.

2p ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 4.4.1, рациональная стоимость f (t, St ) производно го инструмента на (B, S ) -рынке подчиняется фундаментальному уравнению Блэка – Шоул за – Мертона (4.4.3).

Для того, чтобы найти решение этого уравнения, необходимо задать краевое условие.

Пусть начальный (нулевой) момент времени соответствует моменту, для которого ведётся расчёт рациональной стоимости опциона, тогда, по определению платёжной функции, f (T, ST ) = fT или f (T, ST ) = (ST - K )+. (4.4.14) Уравнение (4.4.3) относится к стандартному типу уравнений Фейнмана – Каца и решается стандартными методами.

Введём замену переменных q(t ) = s2(T - t ), z (t, S ) = ln S + (r - 0, 5s2 )(T - t ), тогда q 2 t(q) = T - 2, S (q, z ) = e z -(r -0,5s )q / s.

s Пусть V (q, z ) = er (T -t (q))f (t(q), S (q, z )), тогда f (t, S ) = e-r (T -t ) (q(t ), z (t, S )).

V (4.4.15) q q z s z = -s2, = 0, = - r, =, легко можно найти производные Так как t S t S S f f f и :

, S t S V f = e-r (T -t ) rV (q(t ), z (t, S )) + = (4.4.16) t t V z V q = e-r (T -t ) rV (q(t ), z (t, S )) + = + q t z t V V = e-r (T -t ) rV (q(t ), z (t, S )) + (0, 5s2 - r ) - s, z q V z V q f V = e-r (T -t ) 1 V, = e-r (T -t ) = e-r (T -t ) + (4.4.17) q S z S S S S z 2 f 1 V 1 V = e-r (T -t ) - 2 + 2 2. (4.4.18) S z S z S 2 Подставив выражения (4.4.15)-(4.4.18) в уравнение (4.4.3), получим V V + rSe-r (T -t ) 1 V + e-r (T -t ) rV (q(t ), z (t, S )) + (0, 5s2 - r ) - s2 q z S z 1 -r (T -t ) 1 V 1 V 2 2 -r (T -t ) + 2 2 s S = re +e V (q(t ), z (t, S )).

S z S 2 z Сократив обе части последнего уравнения на s2e-r (T -t ), получим после приведения подобных слагаемых классическое уравнение теплопроводности V 1 2V - = 0. (4.4.19) 2 z q Краевое условие (4.4.14) при этом переходит к виду V (0, z ) = (e z - K )+. (4.4.20) Согласно лемме 4.4.1, решение задачи (4.4.19)-(4.4.20) описывается формулой V (q, z ) = MV0( qx + z ) = M(e qx +z - K )+.

2 a = e z + 0,5q, b = q, тогда e qx +z = e z + 0,5qe qx -0,5( q ) = aeb x -0,5b Пусть и V (a,b) = M(aeb x-0,5b - K )+.

По лемме 4.4.2, + V (a,b) = M (aeb x -0,5b - K ) = a F (b1 ln K + b2 ) - K F (b1 ln K - b2 ), 2 a a z 1x где F(x ) = — интегральная функция Лапласа.

e 2 dz 2p Вернёмся теперь к переменным q, z :

1 ez +0,5q q - K F 1 ln e q z +0,5q - = V (q, z ) = e z + 0,5qF ln + 2 q q K K 1 q 1 q 1 q ln K 1 q ln K = e z + 0,5qF z + - KF z+ = - + - 2 q q q2 q q2 q (z -ln K +q ) - K F (z -ln K ).

= e z + 0,5qF q q Наконец, найдём выражение для f (t, S ) = e-r (T -t ) (q(t ), z (t, S )) :

V 2 f (t, S ) = e-r (T -t ) (q(t ), z (t, S )) = e-r (T -t )e ln S +(r -0,5s )(T -t )+ 0,5s (T -t ) V ( s T -t (ln S + (r - 0, 5s2)(T - t ) - ln K + s2(T - t))) F -e-r (T -t )K F ( (ln S + (r - s 2 2)(T - t ) - ln K )) = s T -t ln(S K )+(r +s2 2)(T -t ) -r (T -t ) ln(S K )+(r -s 2)(T -t ).

F = SF - Ke s T -t s T -t Очевидно, рациональная стоимость T европейского опциона-колл в данный (началь ный) момент времени равна ln(S K )+T (r + 0,5s ) -rT ln(S 0 K )+T (r -0,5s ) T = f (0, S 0 ) = S 0F - Ke F, sT sT что и требовалось доказать.

Формуле Блэка – Шоулза можно придать более компактный вид:

T = S 0F(y+ ) - Ke-rT F(y- ), (4.4.21) где ln (S 0 K ) + T (r 0, 5s2 ) y =. (4.4.22) sT Обсудим содержательный смысл формулы Блэка – Шоулза (4.4.21). Первое сла гаемое S 0F(y+ ) есть не что иное, как текущая стоимость ожидаемого дохода от ( ) исполнения опциона. Второе слагаемое -Ke-rT F(y- ) представляет собой про изведение цены исполнения опциона на вероятность того, что он окажется выиг рышным, дисконтированное по безрисковому проценту к текущему моменту, т. е. не что иное, как текущую стоимость ожидаемых расходов при исполнении опциона.

Таким образом, рациональная стоимость опциона есть разница между текущим ожидаемым доходом от исполнения опциона и текущими ожидаемыми расходами.

Важно отметить, что в формулу для оценки опционов не входит m — ожидаемая доходность акций, рациональная стоимость опциона зависит лишь от стоимости акции в данный момент, времени, оставшегося до исполнения опциона, цены ис полнения опциона, изменчивости доходности акций и безрисковой процентной ставки.

Следующая теорема помогает, зная стоимость европейского опциона-колл на ак цию, найти с помощью формулы Блэка – Шоулза стоимость соответствующего оп циона-пут.

ТЕ О Р Е М А 4.4.3 ( ТЕ О Р Е М А О П А Р И Т Е Т Е О П Ц И О Н О В - К ОЛ Л И П У Т ).

Если одновременно заключаются два опционных контракта (колл и пут) с одной и той же ценой исполнения K и одним и тем же сроком исполнения T на одну и ту же акцию, текущая стоимость которой равна S 0, безрисковая процентная став ка составляет r, то для рациональной стоимости T опциона-колл и рациональ ной стоимости опциона-пут справедливо равенство T - T + S 0 = Ke-rT. (4.4.23) T ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рациональность стоимости означает, что из инструментов с такой стоимостью невозможно создать безрисковый портфель, доходность которого превысит без рисковую доходность r. Если - T + S 0 Ke-rT, то для получения безрисковой при T были можно использовать следующую торговую стратегию: одновременно продать акцию, продать опцион-пут на неё и купить опцион-колл.

Тогда в начальный момент времени будет получена сумма - T + S 0, а в момент исполнения опционов необходимо будет выпла T тить сумму K, текущая стоимость которой составляет Ke-rT. Таким образом, будет полу чен выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в банковский счёт, что противоре чит предположению рациональности стоимости опционов. Аналогично, если - T + S T будет меньше, чем Ke-rT, то для получения безрисковой прибыли можно использовать следующую торговую стратегию: купить акцию, купить опцион-пут на неё и продать опци он-колл. Тогда в начальный момент времени будет выплачена сумма - T + S 0, а в мо T мент исполнения опционов — получена сумма K, текущая стоимость которой составляет Ke-rT, т. е. данная стратегия принесёт выигрыш по сравнению с безрисковыми вложения ми в банковский счёт, что противоречит предположению о рациональной стоимости опцио нов. Полученные противоречия доказывают утверждение теоремы.

Отметим, что данное соотношение паритета справедливо только для европей ских опционов.

Теперь несложно найти аналог формулы Блэка – Шоулза для европейских оп ционов-пут. Он формулируется в следующей теореме.

ТЕ О Р Е М А 4.4.4 ( Ф О Р М УЛ А БЛ Э К А – ШОУЛ З А Д Л Я О П Ц И О Н О В - П У Т ).

Рациональная стоимость стандартного европейского опциона-пут на (B, S ) T рынке определяется формулой = Ke-rT F(-y- ) - S 0F(-y+ ), (4.4.24) T где y+ и y- определяются соотношением (4.4.22).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 4.4.3, = T - S 0 + Ke-rT = S 0F(y+ ) - Ke-rT F(y-) - S 0 + Ke-rT = T = S 0(F(y+ ) - 1) - Ke-rT (F(y-) - 1) = S 0(F0(y+ ) + 0, 5 - 1) -Ke-rT (F0(y-) + 0, 5 - 1) = S 0(-F0(-y+ ) - 0, 5) - Ke-rT (-F0 (-y-) - 0, 5) = = -S 0 (F0(-y+ ) + 0, 5) + Ke-rT (F0 (-y-) + 0, 5) = -S 0F(-y+ ) + Ke-rT F(-y-).

Таким образом, теорема 4.4.4 доказана.

Теория оценки производных инструментов имеет широкие приложения, выхо дящие далеко за пределы рынка ценных бумаг. Банки и инвестиционные компании, разрабатывающие новые производные инструменты, в том числе по заказу клиен тов, используют методику Блэка – Шоулза – Мертона для оценки рациональной стоимости этих инструментов. Аналогичные методы могут быть использованы для оценки страховых контрактов и гарантий, так как они являются своего рода произ водными инструментами, предоставляя своим держателям право, но не обязательст во их использования. В управлении промышленным предприятием методика Блэка – Шоулза – Мертона также находит применение: в качестве основного инструмента здесь может выступать, например, оборудование предприятия, а производным инст рументом может служить производственная программа или стратегия работы пред приятия. Метод, предложенный Ф. Блэком, М. Шоулзом и С. Мертоном, причисля ют к самым крупным достижениям экономической теории за последние 30 лет. Его авторы М. Шоулз и Р. Мертон были удостоены Нобелевской премии в области эко номики за 1997 г. (Ф. Блэк умер в 1995 г.).

Подробнее всего теория рациональной стоимости производных финансовых ин струментов излагается в книге [96], рекомендуем также пособие [29].

В конце параграфа приведём высказывание Ф. Блэка об описанной модели: «Лю ди принимают… простую модель, поскольку они могут легко понять заложенные в ней предположения. Эта модель хороша как первое приближение, и если Вы видите “дыры” в сделанных допущениях, то Вы можете эту модель усовершенствовать, заменяя её более изощрённой» [4].

§4.5. СТРАХОВАНИЕ С ВОЗМОЖНОСТЬЮ ИНВЕСТИРОВАНИЯ Предположим, что страховая компания имеет возможность инвестирования на (B, S ) -рынке (см. §4.2).

Тогда капитал страховой компании в момент времени t (стоимость всех акти вов компании в этот момент) описывается уравнением n (i ) (i ) Xtp = bt Bt + g t S t + Ct - Zt, i = где Ct — получаемые компанией страховые взносы, а Zt — производимые ею страховые выплаты в момент t.

Очевидно, капитал страховой компании образует случайный процесс.

В работе [51] описываются подходы к решению задачи об оценке платёжеспо собности такой страховой компании (аналогичной задаче, рассмотренной в §1.2 без учёта возможности инвестирования).

§4.6. ДИНАМИКА ГОСУДАРСТВЕННОГО ДОЛГА Как отмечено в конце §4.4, приложения теории оценки производных инструмен тов выходят далеко за пределы рынка ценных бумаг. Так, например, в работах Т. Сарджента [64] (1989 г.), А. Диксита и Р. Пиндайка [14] (1994 г.) полагается, что правительство всегда имеет возможность (или опцион) проводить макроэкономиче скую политику стабилизации государственного долга. Такой опцион рассматривает ся по аналогии с европейским опционом-колл в модели Блэка – Шоулза – Мертона.

Иными словами, макроэкономическая политика стабилизации государственного долга предстаёт как опцион, предлагаемый к продаже частным инвесторам на рынке государственных ценных бумаг по цене, соответствующей уровню допустимых из держек.

Объём государственного долга Bt рассматривается как облигации, гарантирую щие получение безрискового дохода в течение бесконечного периода времени.

Пусть M — величина денежного спроса, X — валовй внутренний продукт, P — дефлятор валовго внутреннего продукта, r — безрисковая процентная став ка, d — норма купонной доходности.

В каждый момент времени государство финансирует свои фактические расходы G за счёт налогов T и обслуживает накопленные к этому моменту долги. Тогда M стоимость денег составит m =, стоимость государственных облигаций будет P B 1 dP равна b =, а фактическая инфляция составит p =.

P P dt Основным источником погашения государственного долга является сеньораж 1 dM S= — эмиссия денег в реальном выражении.

P dt Уравнение финансирования бюджетного дефицита можно записать в виде db = rb - S + (G - T ). (4.6.1) dt Если предположить, что динамика сеньоража St описывается (уже знакомым) стохастическим дифференциальным уравнением dSt = St (mdt + sdWt ), то соотношение (4.6.1) примет вид, аналогичный уравнению Блэка – Шоулза – Мер тона (4.4.3). Этот аналог приведём ниже (без доказательства).

ТЕ О Р Е М А 4.6.1. Государственный долг b(t, St ) как функция сеньоража St подчиняется фундаментальному уравнению 1 b(t, St ) 2 2 b(t, St ) s St + (r - d)St - rb(t, St ) + St = 0.

2 S 2 S На основе этого уравнения исследуются различные варианты фискальной и мо нетарной политики государства, пути согласования интересов государства и част ных инвесторов и т. п.

Подробнее познакомиться со стохастическим моделированием процессов, про исходящих в финансах на макроуровне, в том числе с рассмотренной моделью ди намики сеньоража и государственного долга, можно по книге [67].

§4.7. ОЦЕНКА ЭНТРОПИИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ Впервые энтропия H = - pi log2 pi i как мера неопределённости различных процессов была введена в работе К. Шеннона [94] (1948 г.) и определялась на основе априорных оценок вероятно стей. Априорный подход не позволяет оценить энтропию динамики обменных кур сов: несмотря на то, что определённые меры регулирования динамики обменных курсов национальной валюты проводятся государством и являются детерминиро ванными, оценить заранее последствия этих мер (или хотя бы их вероятности) не всегда представляется возможным.

В связи с этим возникла проблема оценки энтропии временного ряда по ста тистическим данным. Ш.-К. Ма в статье [45] (1981 г.) был предложен метод расчёта энтропии с помощью физических аналогий, связанных с макро- и микросостояни ями ансамбля частиц. Для расчёта энтропии динамики обменных курсов этот метод непригоден из-за недостаточного объема реальных статистических данных.

В работах [74], [78] (2000 г.) был предложен метод падающих прямоугольников для оценки энтропии по статистическим данным о реализациях временных рядов обменных курсов. Этот алгоритм реализован программно, и по нему ведутся расчё ты энтропии динамики курса RUR/USD.

Рассмотрим реализацию (S 0, S1,..., Sn ) некоторого временнго ряда.

Алгоритм метода падающих прямоугольников для расчета информационной эн тропии такой кривой состоит из (n + 1) шага.

Вначале на плоскости tOS строится график кусочно-линейной функции, отве чающей реализации (S 0, S1,..., Sn ) данного временнго ряда (рис. 4.7.1а).

а) б) в) Рис. 4.7.1. Метод падающих прямоугольников (а) — реализация временнго ряда, б) — построение, в) — интерпретация) Первый шаг алгоритма. Первый участок монотонности (0;

S 0 ) - (1;

S1 ) постро енной ломаной проецируется на ось ординат, и запоминаются значения S 0, S1. На новом рисунке в координатах JOS строится прямоугольник с основанием S 0S1 и единичной высотой по оси OJ.

Второй шаг. Следующий участок монотонности (1;

S1 ) - (2;

S2 ) построенной ломаной проецируется на ось ординат, при этом фиксируются числа S1, S2. Над прямоугольником, полученным после первого шага, надстраивается новый прямоу гольник с единичной высотой и основанием S1S2. Если основание нового прямо угольника выходит за границы основания старого прямоугольника, то «излишки»

опускаются на единицу вниз по оси OJ (рис. 4.7.1б).

(k + 1) -й шаг. (k + 1) -й участок монотонности (k ;

Sk ) - (k + 1;

Sk +1 ) ломаной, соответствующей временнму ряду, проецируется на ось ординат, запоминаются числа Sk и Sk +1. Над прямоугольником, полученным после k -го шага, надстраи вается новый прямоугольник с единичной высотой и основанием Sk Sk +1. Если основание нового прямоугольника выходит за границы основания какого-либо из прежде построенных прямоугольников, то «излишки» опускаются вниз по оси орди нат OJ по правилу падающих прямоугольников, т. е. соответствующий участок но вого прямоугольника «приземляется» на верхнее основание первого попавшегося по пути ранее построенного прямоугольника, и так до тех пор, пока не будет дос тигнут уровень самого нижнего ранее построенного прямоугольника или ось орди нат.

На рис. 4.7.1б цифрами i = 1;

t = 1;

7 обозначены прямоугольники, построенные на i -м шаге метода.

В результате будет получена фигура, образованная прямоугольниками различных высот i = 1;

imax. Пусть i — суммарная площадь прямоугольников, имеющих imax i высоту i (при этом = — площадь всей построенной фигуры).

i= На рис. 4.7.1в цифрами i = 1;

imax = 1;

5 обозначены прямоугольники, имеющие площадь i.

Площадь i при этом равна произведению суммарной длины отрезков, точки из которых встречаются в непрерывном кусочно-линейном представлении временнго ряда i раз, на абсолютную частоту их появления i ( i = 1;

imax = 1;

5 ), поэтому i величина i = p равна относительной частоте появления точек, встречающихся i раз. Ещё раз подчеркнём, что от дискретного временнго ряда мы перешли к его непрерывному кусочно-линейному обобщению.

Можно показать, что величина n n H n = - (i log2 i ) = - i log2 i p p (4.7.1) n n i =1 i = удовлетворяет всем свойствам энтропии [92], поэтому её естественно назвать ста тистической энтропией, соответствующей реализации (S 0, S1,..., Sn ) временнго ряда.

В приложениях к экономическим и финансовым индексам переход к кусочно линейному непрерывному представлению дискретных временных рядов, ввиду большого количества значений и малых изменений между двумя соседними значе ниями, даёт хорошее приближение к действительному значению энтропии, рассчи танному через относительные частоты появления значений дискретного временного ряда (внося пренебрежимо малую погрешность). При этом, зная статистическую энтропию в момент t, для расчёта статистической энтропии в момент (t + 1) доста точно всего нескольких ( O(n ) ) арифметических операций и сравнений, тогда как расчёт энтропии через относительные частоты появления значений дискретного временного ряда требует O (n n ) O (n ) арифметических операций и сравнений.

§4.8. ЗАДАЧА ПРЕДСКАЗАНИЯ ВАЛЮТНЫХ КРИЗИСОВ И ПОДХОДЫ К ЕЁ РЕШЕНИЮ Валютный кризис — это скачкообразное падение курса национальной валюты (или нескольких взаимосвязанных валют) ниже некоторого порогового значения (например, увеличение цены доллара в рублях более, чем на 10%).

Валютный кризис является следствием слабости национальной экономики, вы ражающимся в падении валовго внутреннего продукта, сокращении золотовалют ных резервов, отрицательном сальдо внешней торговли, росте государственного долга. Эти тенденции улавливаются экономическими агентами и, в итоге, являются причиной падения курса национальной валюты.

Предсказание валютных кризисов является одной из важнейших задач как с точ ки зрения государства, заинтересованного в прямом регулировании валютного рын ка страны, так и с точки зрения инвесторов, заинтересованных в своевременном страховании валютных рисков.

В последние годы появилось много работ, предлагающих различные индикаторы надвигающихся валютных кризисов (см., например, библиографию в работах [18], [19], [57], [59], [81]). Все эти индикаторы основаны на определённых моделях ва лютного рынка, в силу чего не всегда адекватно отражают действительность, так как предположения, лежащие в основе соответствующих моделей, не всегда вы полняются. Кроме того, расчёты этих индикаторов, как правило, весьма сложны.

Например, в работе О. О. Плешивцева [59] (2000 г.) строится математическая модель, в которой прогнозируемой величиной служит вероятность pt того, что в данный момент величина модуля отрицательного скачка курса национальной валю ты превысит заданное пороговое значение.

Из обобщения результатов исследований валютных кризисов в развивающихся странах за последние несколько десятков лет следует, что основными факторами предвестниками кризиса являются изменения реального курса национальной валю ты, размера золотовалютных резервов Центрального банка страны, размера внешне го долга, объема валовго внутреннего продукта, степени зависимости страны от стран-партнеров по торговле, склонности инвесторов к риску и др.

В основе модели лежит регрессионная зависимость доли pt кризисных месяцев в общем числе рассматриваемых месяцев от указанных (но несколько преобразо ванных) факторов (1) (3) (4) (5) (6) pt = a(0) + a(1)xt + a(3)xt + a(4)xt + a(5)xt + a(6)xt + et, (1) (3) где xt — отношение золотовалютных резервов к государственному долгу, xt — (4) трехмесячное скользящее среднее индекса цен акций, xt — шестимесячное сколь (5) зящее среднее склонности к риску, xt — шестимесячное скользящее среднее (6) склонности к риску с лагом (запаздыванием) в 6 мес., xt — номер класса «кризис ности», к которому отнесена данная национальная экономика.

Расчеты коэффициентов регрессионной модели были выполнены по данным около 30 валютных кризисов, которые произошли за последние несколько десятиле тий (включая недавние валютные кризисы в Юго-Восточной Азии, Латинской Аме рике и России).

Значение зависимой переменной pt в данной модели для каждого конкретного кризиса определяется как доля кризисных месяцев в общем числе рассматриваемых за определенное число лет месяцев (кризисных и спокойных). Значения независи мых переменных усредняются по рассматриваемым месяцам.

Зная оценки параметров регрессии ai, по прогнозам независимых переменных (i ) xt +1 можно определить прогноз зависимой переменной pt +1. Само решение о ва лютном кризисе в предстоящем месяце (t + 1) принимается по логистической функции от этого прогноза Pt +1 =, -pt + 1 +e 0, 4, то в сле которая интерпретируется как индикатор девальвации: если P t + дующем месяце ожидается кризис.

Простым и адекватным индикатором кризисных явлений на валютном рынке представляется, на наш взгляд, относительное изменение энтропии динамики об менных курсов валют как меры неопределённости этой динамики.

Очевидно, кризисы на валютных рынках возникают при возрастании неопреде лённости ситуации, т. е. при возрастании энтропии. Поэтому в качестве индикатора возникновения кризиса была выбрана статистика H - Ht - Vt = t, (4.8.1) Ht - где Ht — оценка энтропии динамики обменного курса St, полученная, например, по методу падающих прямоугольников (4.7.1).

Эта статистика Vt имеет смысл относительного изменения неопределённости ситуации на валютном рынке.

Одним из основных критериев применимости экономических моделей считается способность описывать качественно разные сценарии развития моделируемой сис темы. В работах [73]-[75] (2000 г.) метод падающих прямоугольников применялся для анализа динамики обменного курса RUR/USD на примере кризисов 11.10.1994 г.

(«чёрный вторник») и 17.08.1998 г. (кризис на рынке ГКО). Эти два кризиса имеют различные причины и последствия.

На рис. 4.8.1 представлены графики изменения курса RUR/USD от времени в 1993-1995 (а) и в 1997-2000 гг. (б) (по данным Центробанка России). В качестве единицы измерения используется один деноминированный российский рубль.

а) б) Рис. 4.8.1. Динамика обменного курса RUR/USD (а) — с 01.01.1993 г. по 31.03.1995 г. (11.10.1994 г. — кризис «чёрного вторника»), б) — с 01.01.1997 г. по 31.08.2000 г. (17.08.1998 г. — кризис на рынке ГКО)) В середине сентября 1994 г. ускорился рост курса RUR/USD на внутреннем ва лютном рынке, во вторник 11.10.1994 г. произошло резкое скачкообразное повыше ние курса. Курс держался на новой высокой отметке несколько дней, после чего вернулся к первоначальному уровню. Данный скачок курса RUR/USD отвечает краткосрочному качественному изменению характера развития экономики.

17.08.1998 г. произошло резкое скачкообразное увеличение обменного курса RUR/USD (примерно в четыре раза). Несколько дней происходили резкие колеба ния курса около нового среднего значения, после чего эти колебания стали затухать.

Данная ситуация отвечает долгосрочному качественному изменению характера раз вития экономики.

Рассмотрим поведение статистики Vt (4.8.1) перед данными кризисами. В пе риоды стабильности Vt была много меньше 0,01. За некоторое время (за месяц или несколько месяцев) до наступления кризисов значение Vt увеличивалось до 0,05 0,07. Детали поведения статистики Vt в периоды, соответствующие рис. 4.8.1, при ведены на рис. 4.8.2.

а) б) Рис. 4.8.2. Изменение статистики Vt (а) — с 01.01.1993 г. по 31.03.1995 г. (11.10.1994 г. — кризис «чёрного вторника»), б) — с 01.01.1997 г. по 31.08.2000 г. (17.08.1998 г. — кризис на рынке ГКО)) Видно, что до наступления кризисов происходят резкие скачки Vt, являясь сиг налом для государства (принять меры по предотвращению последствий кризиса) и инвесторов (хеджировать валютные позиции):

около 22.09.1994 г. — сигнал о наступлении кризиса 10.10.1994 г.;

февраль 1998 г. — сигнал о грядущем кризисе 17.08.1998 г.

Результаты свидетельствуют, что долгосрочное качественное изменение характе ра развития экономики предсказать легче, чем краткосрочное. Приведём объяснение этого факта.

Причиной кризиса 11.10.1994 г. была, как известно, резкая смена продаж валюты Центробанком России её покупками — паника среди инвесторов была посеяна за достаточно короткое время, но, оказавшись беспочвенной, так же быстро и рассея лась. Неопределённость быстро возросла и также быстро сошла на нет, поэтому предсказать кризис «чёрного вторника» с помощью расчёта энтропии по методу падающих прямоугольников возможно было бы лишь за 20-25 дней до его наступ ления. Вместе с тем, интересно отметить, что неопределённость возросла до смены Центробанком продаж валюты на покупки. Это говорит о том, что кризису способ ствовали как возрастание общей неопределённости экономической ситуации, так и действия Центробанка, и если бы последний повёл себя иначе, мы могли бы наблю дать совершенно иную ситуацию (например, в 1994 г. не произошло бы валютного кризиса).

В 1998 г. стратегия государства на рынке ГКО стала носить всё более и более яр ко выраженный «пирамидальный» характер. К началу лета 1998 г. многим (интуи тивно) стало казаться, что ситуация кардинально изменится. Это подтверждает и модель: уже в феврале 1998 г. произошла серия резких скачков статистики Vt. Кри зис не замедлил наступить: 17.08.1998 г. был объявлен дефолт по операциям на рынке ГКО, в связи с чем, поскольку в 1994-1998 гг. наблюдалась тесная зависи мость между политикой Центробанка на валютном рынке и рынке ГКО-ОФЗ, резко возросли обменные курсы, рубль был девальвирован в четыре раза.

Динамика статистики Vt с октября 1998 г. по июнь 2001 г. говорит о том, что степень неопределённости ситуации на валютном рынке РФ остаётся высокой, и в ближайшее время возможны резкие скачки обменного курса RUR/USD, хотя и не настолько большие, чтобы называть моменты этих скачков кризисами.

Предложенный метод предсказания кризисов напоминает поведение животных, перед стихийным бедствием угадывающих заранее его появление по каким-то еле уловимым признакам. Естественно, на основании предложенного метода невозмож но сделать какие-либо качественные выводы о причинах и последствиях кризисов, но все же метод представляется более удобным по сравнению с предложенными в работах [18], [19], [57], [59], [81], поскольку рассмотренный алгоритм предсказания кризисов основывается только на официально публикуемых значениях обменных курсов валют. Практическое применение энтропийного анализа для предсказания кризисных ситуаций на финансовых рынках демонстрирует соответствие теории и практики.

Таким образом, появляется возможность предсказывать нестабильные ситуации на валютных рынках заблаговременно с целью принятия решений по предотвраще нию последствий кризисов.

ГЛАВА 5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ Экономическая жизнь подвержена пере менам… отчасти вследствие изменения в дан ных, … но существует и другой… источ ник… изменений… в экономической системе, который присущ самй системе и лежит в ос нове столь важных явлений, что они пред ставляются заслуживающими отдельной тео рии.

Дж. А. Шумпетер §5.1. НЕОКЛАССИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ Производственная функция выражает зависимость результата производства (объёма выпускаемой продукции) от факторов производства (затраченных ресур сов). При описании экономической системы с помощью производственной функции эта система рассматривается как «чёрный ящик», на вход которого поступают ре сурсы, а на выходе получается произведённый за некоторый период времени про дукт. Если в качестве ресурсов рассматривать прошлый (накопленный) труд K в форме основных производственных фондов (его ещё называют капиталом) и на стоящий (живой) труд L, описываемый количеством занятых, а в качестве резуль тата — валовй внутренний продукт X, то экономика замещается своей моделью в форме наиболее распространённой двухфакторной производственной функции X = F (K, L). (5.1.1) Производственная функция (5.1.1) называется неоклассической, если она опре делена при всех неотрицательных значениях аргументов K и L, является непре рывной и дважды дифференцируемой по обоим аргументам при всех K 0, L и обладает следующими свойствами, имеющими естественную экономическую ин терпретацию.

1. При отсутствии хотя бы одного фактора производство невозможно:

F (K, 0) = 0 для всех K 0, F (0, L) = 0 для всех L 0. (5.1.2) 2. При увеличении затрат ресурсов выпуск продукции возрастает:

F (K, L) F (K, L) 0 для всех K 0, L 0.

0, (5.1.3) K L 3. При увеличении количества одного из используемых ресурсов при постоянном количестве другого ресурса скорость роста выпуска продукции замедляется:

2F (K, L) 2F (K, L) 0 для всех K 0, L 0.

0, (5.1.4) K 2 L 4. При неограниченном увеличении количества хотя бы одного из используемых ресурсов выпуск продукции неограниченно возрастает:

F (K, +) = + для всех K 0, F (+, L) = + для всех L 0. (5.1.5) Одной из наиболее распространённых в макроэкономике неоклассических про изводственных функций является функция Кобба – Дугласа X = AK a L1-a, (5.1.6) предложенная в 1899 г. Ф. Уикстидом и впервые использованная в 1929 г. Ч. Коббом и П. Дугласом [35] для моделирования реальной экономики (США).

В функции Кобба – Дугласа параметр A называется коэффициентом нейтраль ного технического прогресса (при неизменном a и неизменных ресурсах K и L выпуск тем больше, чем больше A ), а параметр a [0;

1] — коэффициентом эла стичности по фондам (если считать эластичностями логарифмические производ ln X = a, а эластичность по труду ные факторов, то эластичность по фондам ln K ln X = 1 - a ).

ln L Производственная функция называется линейно-однородной, если F (lK, lL) = lF (K, L) для всех K 0, L 0. (5.1.7) Легко проверить, что функция Кобба – Дугласа (5.1.6) удовлетворяет всем свой ствам производственной функции (5.1.2)-(5.1.5) и является линейно-однородной.

Предлагаем читателю самостоятельно провести необходимые выкладки.

Опишем модель национальной экономики, предложенную в работе [79] (1956 г.) Р. Солоу, Нобелевским лауреатом 1987 г.

В замкнутой односекторной экономической системе производится один универ сальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться. Основ ные предположения модели Солоу состоят в постоянстве темпа прироста числа за нятых, износа основных производственных фондов и нормы накопления, отсутст вии лага (т. е. запаздывания) капиталовложений.

Состояние экономики в момент времени t определяется следующими показате лями:

валовым внутренним продуктом Xt, основными производственными фондами Kt, числом занятых в производственной сфере Lt, инвестициями It и фондом непроизводственного потребления Ct.

Пусть годовой темп прироста числа занятых составляет n, тогда для Lt можно запи сать дифференциальное уравнение dLt = n Lt, (5.1.8) dt решением которого является функция Lt = L0e nt, где L0 — число занятых в начальный момент времени.

Пусть за год выбывает (изнашивается и приходит в негодность) доля m основных про изводственных фондов, норма накопления составляет r, а годовой валовй внутренний про дукт определяется линейно-однородной неоклассической производственной функцией X = F (K, L). Тогда износ и инвестиции в расчёте на год равны mKt и It = rXt = = rF (Kt, Lt ) соответственно, лаг капиталовложений отсутствует, значит, прирост фондов составляет dKt = -mKtdt + Itdt или dKt = [-mKt + rF (Kt, Lt )]dt. (5.1.9) Перепишем уравнение (5.1.9) в виде L dKt = -m + rF 1, t dt, (5.1.10) K t Kt L где мы учли, что F (Kt, Lt ) = Kt F 1, t, поскольку производственная функция F (Kt, Lt ) K t является линейно-однородной (5.1.7).

K При переходе в (5.1.10) к относительным показателям (фондовооружённости kt = t, Lt X народнохозяйственной производительности труда xt = t, удельным инвестициям на од Lt I C ного занятого it = t и среднедушевому потреблению ct = t ) можно записать дифферен Lt Lt циальное уравнение для фондовооружённости dkt = -(m + n )kt + rkt F 1, dt k t или, поскольку производственная функция F (Kt, Lt ) является линейно-однородной, а зна чит, по формуле (5.1.7), kt F 1, = F (kt,1), kt dkt = [-(m + n )kt + rF (kt,1)]dt.

Рассмотрим в качестве производственной функции функцию Кобба – Дугласа (5.1.6), при этом F (kt,1) = Akta.

Введя обозначения l = m + n, f (kt ) = F (kt,1) = Akta, получаем окончательно следую щую теорему.

ТЕ О Р Е М А 5. 1. 1 ( М ОД Е Л Ь С ОЛ ОУ ). Поведение замкнутой односекторной экономической системы, удовлетворяющей предположениям модели Солоу, описы вается (б ез у ч ё т а в л и я н и я с лу ч а й н ы х ф а кт о р о в) следующей моделью:

dkt = [-lkt + r f (kt )]dt, K k 0 = 0, l = m + n, (5.1.11) L x = f (k ), i = r f (k ), c = (1 - r)f (k ) t t t t t t (в указанных выше обозначениях).

§5.2. СЛУЧАЙНОСТИ, НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ И НЕСТАЦИОНАРНОСТИ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ЭКОНОМИКИ Ещё на рубеже XIX и XX вв. А. Пуанкаре заметил, что некоторые механические системы, эволюция которых подчинена детерминированным уравнениям Гамильто на, могут проявлять хаотическое поведение, однако этот факт до 60-х гг. XX в. счи тался лишь курьёзом. В 1963 г. Е. Лоренц обнаружил, что простая система трёх не линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка может привести к полностью хаотическим траекториям, названным «странными аттрак торами» [44]. В 70-х гг. XX в. хаотическое поведение было замечено в ещё более простых системах: нелинейных одномерных отображениях вида xt +1 = f (xt ). Эти результаты нашли широкое применение в различных областях науки (см., например, библиографию в работе [91] по естественным наукам, в работе [56] — по финансо вым наукам и в работе [21] — по экономическим).

Приведём простейший пример, предложенный в работе М. Штутцера [98] (1980 г.) и основанный на макроэкономической модели роста Т. Хаавельмо [90] (1954 г.).

В работе [90] предложена следующая модель:

dL bL = L a -, X dt X = ALa, (5.2.1) a, A, b 0, 0 a 1.

Здесь L — численность занятых, X — объём производства, a, A, b и a — кон станты.

Подстановка второго уравнения системы (5.2.1) в первое приводит к уравнению bL1-a dL = L a -.

(5.2.2) A dt aA 1-a Динамика этой системы очень проста: при L(0) численность заня b тых L и объём производства X монотонно уменьшаются до своих стационарных состояний a aA 1-a aA 1-a L =, X * = A * ;

b b aA 1-a при L(0) численность занятых L и объём производства X монотонно b увеличиваются до своих стационарных состояний L* и X *.

М. Штутцер [98] перешёл в модели (5.2.2) к дискретному времени:

bL1-a Lt +1 = Lt (1 + a ) - t (5.2.3) A и с помощью замены A(1 + a )1-a Lt xt : Lt = (1 + a )xt b переписал (5.2.3) в виде xt +1 = (1 + a )xt (1 - xt -a ).

1 (5.2.4) При иллюстрации результатов М. Штутцера положим для простоты выкладок a=, оговорив, что качественные свойства модели (5.2.4) не зависят от выбора конкретного значения 0 a 1.

Для каждого возможного значения параметра a модель (5.2.4) имеет две ста (1 + a ). Точка x * является неустойчивой, ус a ционарных точки: x * = 0 и x ** = тойчивость точки x ** определяется значением a : при 0 a 4 x ** является ус тойчивой стационарной точкой, при a = 4 она не является ни устойчивой, ни неус тойчивой стационарной точкой, при 4 a ac (где точное пороговое значение ac неизвестно, но доказано, что ac 5, 54 ) x ** является неустойчивой стационарной точкой, а аттракторами системы становятся последовательно при увеличении a устойчивые предельные циклы порядка 2k ( k растёт вместе с a ). Наконец, при ac a 5, 75 в системе возникает апериодическое движение: поскольку можно локализовать предельный цикл длины три, то по теореме Т. Ли и Й. Йорке [43] (1975 г.) должны также существовать предельные циклы всех периодов k и несчётное множество точек, образующих апериодическую траекторию.

Сейчас такие детерминированные системы, описывающие хаотическое поведе ние экономических систем, рассматриваются в рамках синергетической экономики.

Оказалось, что стационарные состояния представляют собой весьма частный случай экономического поведения, а большую часть времени экономика находится в со стоянии перехода между различными стационарными состояниями. Си нергетическая экономика выявила и другие типы поведения экономических систем.

Подробнее о моделях и методах этой науки можно узнать из книг [21], [42], [56].

Вместе с тем, даже если детерминированная модель построена точно, практиче ское предсказание и управление соответствующей экономической системой могут оказаться невозможными вследствие неустранимых ошибок измерений. Поэтому важно рассчитывать не только ожидаемые (прогнозные) значения экономических показателей — математические ожидания, но и погрешности этих прогнозов — дисперсии.

Именно такой подход предлагается автором и рассматривается в последующих параграфах.

§5.3. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ СОЛОУ Рассмотрим следующее стохастическое обобщение модели Солоу (5.1.11), предложенное в работах [68]-[72], [76] (2000-2001 гг.).

Так же, как и в модели Солоу, рассматривается замкнутая односекторная эконо мическая система, в которой производится один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться. Считаются выполненными основ ные предположения модели Солоу (постоянство темпа прироста числа занятых, из носа основных производственных фондов и нормы накопления, отсутствие лага капиталовложений).

Состояние экономики в момент времени t определяется валовым внутренним продуктом Xt, основными производственными фондами Kt, числом занятых в производственной сфере Lt, инвестициями It и фондом непроизводственного по требления Ct.

ТЕ О Р Е М А 5. 3. 1 ( ОД Н О С Е К Т О Р Н А Я С Т ОХ АС Т И Ч Е С К А Я Д И Н А М И Ч Е С К А Я М ОД Е Л Ь Э К О Н О М И К И ). Поведение замкнутой односекторной экономи ческой системы, удовлетворяющей предположениям модели Солоу, описывается (с у ч ё т ом в л и я н и я с лу ч а й н ы х ф а кт о р о в) следующей моделью:

dkt = [-lkt + r f (kt )]dt + skt dWt, K k 0 = 0, l = m + n, (5.3.1) L x = f (k ), i = r f (k ), c = (1 - r)f (k ) t t t t t t (где используются те же обозначения, что и в модели Солоу (5.1.11), Wt — стан дартное броуновское движение (см. §3.1), а коэффициент s отражает изменчи вость прироста фондов).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как и при построении модели Солоу, Lt будем описывать дифферен циальным уравнением (5.1.8).

Несмотря на очевидный недостаток этой модели, состоящий в том, что на бесконечных временах число занятых неограниченно возрастает по экспоненциальному закону, на не больших промежутках времени (до 2030-2040 гг.) она адекватно отражает динамику роста численности занятых. Если же требуется прогноз на большие сроки, то уравнение (2.1.1) можно заменить более подходящей моделью (например, из работы [30]).

Как отмечают исследователи в области математической демографии и математической экологии (см., например, [62]), при большой численности населения случайные факторы практически не влияют на её динамику, поэтому и мы не будем их учитывать.

Пусть за год выбывает доля m основных производственных фондов, норма накопления составляет r, а годовой валовй внутренний продукт определяется линейно-однородной не оклассической производственной функцией X = F (K, L). Тогда, как было показано в §5. при выводе модели Солоу, прирост фондов при отсутствии влияния случайных факторов описывается уравнением (5.1.10).

В отличие от динамики числа занятых, динамика фондов может существенно зависеть от случайных факторов, которые мы учтём, добавив в уравнение (5.1.10) стохастическое сла гаемое sdWt :

L dKt = -m + rF 1, t dt + sdWt.

(5.3.2) K Kt t Здесь Wt — стандартное броуновское движение (см. §3.1), а s представляет собой ко эффициент изменчивости прироста фондов.

Стохастическое слагаемое sdWt в уравнении (5.3.2) характеризует влияние экзогенных случайных факторов (экономической конъюнктуры, производственной неопределённости, научных открытий и др.) на макроэкономическую динамику.

Kt При переходе в (5.3.2) к относительным показателям (фондовооружённости kt =, Lt Xt народнохозяйственной производительности труда xt =, удельным инвестициям на од Lt It Ct ного занятого it = и среднедушевому потреблению ct = ) можно записать, пользуясь Lt Lt формулой Ито (3.4.1), стохастическое дифференциальное уравнение для фондовооружённо сти dkt = -(m + n )kt + rkt F 1, dt + sktdWt k t или, поскольку производственная функция F (Kt, Lt ) является линейно-однородной, а зна чит, kt F 1, = F (kt,1), kt dkt = [-(m + n )kt + rF (kt,1)]dt + sktdWt.

Введя обозначения l = m + n, f (kt ) = F (kt,1), получаем окончательно односекторную стохастическую динамическую модель экономики (5.3.1).

Модель Солоу (5.1.11) описывает изменение тех же самых экономических пока зателей, но в случае отсутствия влияния случайных факторов (или без их учёта).

§5.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОСЕКТОРНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ Исследуем случай, когда в качестве производственной функции выступает функ ция Кобба – Дугласа (5.1.6). При этом f (k ) = Ak a, и модель (5.3.1) принимает вид dk = (-lk + rAk a )dt + sk dW, t t t t t K k0 =, l = m + n, (5.4.1) L x = Ak a, i = rAk a, c = (1 - r)Ak a.

t t t t t t Введём вспомогательный случайный процесс ut, определяемый формулой ut = kt -a.

1 (5.4.2) 5.4.1. Случайный процесс ut, определяемый формулой (5.4.2), подчи ЛЕ М М А няется стохастическому дифференциальному уравнению dut = (1 - a)[rA - (l + 0, 5as2 )ut ]dt + (1 - a)sut dWt. (5.4.3) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По формуле Ито (3.4.1) a(a - 1) -a -1 2 dut = (1 - a)kt-a (-lkt + rAkta ) + s kt dt + skt (1 - a)kt adWt = kt = l(a - 1)kt -a + (1 - a)rA + a(a - 1)s2kt -a dt + s(1 - a)kt -adWt = 1 1 = (1 - a)[rA - (l + 0, 5as2 )ut ]dt + (1 - a)sutdWt, что и требовалось доказать.

Уравнения вида (5.4.3) рассматривались в задачах скорейшего обнаружения из менений в локальном сносе броуновского движения [97]. Следуя [97], получим ре шение (5.4.3).

Пусть St = S 0e-(1-a)(l + 0,5s +0,5as )t -(1-a)sWt — (5.4.4) геометрическое броуновское движение (см. §§1.1, 3.5, 4.1), являющееся (согласно примеру 3.5.4) решением стохастического дифференциального уравнения dSt = St [-(1 - a)(l + 0, 5as2 )dt + s(1 - a)dWt ].

ЛЕ М М А 5.4.2. Решением стохастического дифференциального уравнения (5.4.3) является функция t dt ut = St u0 + (1 - a)rA, (5.4.5) S t где St определяется формулой (5.4.4).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится непосредственным применением формулы Ито (3.4.1) к случайному процессу (5.4.5).

Решение системы (5.4.1) предлагается в следующей теореме [68], [69].

ТЕ О Р Е М А 5.4.1. Единственным (с точностью до стохастической неразли чимости) решением задачи (5.4.1) является набор функций:

1-a t d t 1-a + (1 - a)rA k kt = St, (5.4.6) S t a 1-a t d t 1-a + (1 - a)rA k xt = A St, (5.4.7) S 0 t a 1-a t d t 1-a + (1 - a)rA k it = rA St, (5.4.8) S t a 1-a t d t 1-a + (1 - a)rA k ct = (1 - r)A St, (5.4.9) S 0 t где St = e-(1-a)(l + 0,5s + 0,5as )t -(1-a)sWt. (5.4.10) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последовательно применяя к случайному процессу ut (5.4.2) леммы 1/(1-a) 5.4.1 и 5.4.2 и учитывая, что kt = u t, заключаем, что фондовооружённость kt при учёте случайных факторов описывается формулой (5.4.6), в которой St подчиняется форму ле (5.4.4) с неизвестным (пока) коэффициентом S 0. Единственность (с точностью до стохас тической неразличимости) решения следует из выполнения для коэффициентов уравнения dkt = (-lkt + rAkta )dt + sktdWt условий теоремы 3.3.1 о существовании и единственности сильного решения стохастическо го дифференциального уравнения: условия Липшица (3.3.5) "n $R(n ) = (l + s)n + rAn a : "x, y {u :| u | n } | -lx + rAx a + ly - rAy a | + | sx - sy | R(n ) | x - y | и условия линейного роста (3.3.6) "x | -lx + rAx a | + | sx | R(1) | x | (последнего в силу того, что a [0;

1] ).

При отсутствии влияния случайных факторов (т. е. при s = 0 ) формула (5.4.6) принима ет следующий вид:

1-a t 1-a (1-a)ltd t kt = S 0e-(1-a)lt k + (1 - a)rA e = (5.4.11) 1-a rA (1-a)lt 1-a = S 0e-(1-a)lt + - 1) = k0 (e l rA -(1-a)lt 1-a rA 1-a rA -(1-a)lt 1-a rA = S 0.

= S 0k0-ae-(1-a)lt + S 1 e -S0 + k0 e l l l l С другой стороны, при отсутствии влияния случайных факторов фондовооружённость kt описывается моделью Солоу (5.1.11), решением которой является, как известно (см., напри мер, [22], [36]), функция rA 1-a rA -(1-a)lt 1-a e + k kt = -. (5.4.12) l l Так как при отсутствии случайных факторов задача (5.4.1) переходит в задачу (5.1.11), их решения (5.4.11) и (5.4.12) должны совпадать. Сравнивая их, замечаем, что S 0 = 1, что пол ностью доказывает формулу (5.4.6). Справедливость формул (5.4.7)-(5.4.9) при этом непо средственно следует из определений xt = Akta, it = rAkta и ct = (1 - r)Akta. Таким обра зом, теорема доказана.

§5.5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИ СТАЦИОНАРНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЭКОНОМИКИ Будем говорить, что экономика находится на логарифмически стационарной траектории, если математические ожидания логарифмов фондовооружённости, народнохозяйственной производительности труда, удельных инвестиций и средне душевого потребления не изменяются во времени.

При отсутствии влияния случайных факторов в экономике, описываемой детер минированной моделью Солоу (5.1.11), на стационарной траектории, где значение фондово dk оружённости не изменяется со временем и составляет k 0, t = 0, поэтому dt k =k t lk 0 = rA(k 0 )a.

Это уравнение имеет единственное решение rA k = 1-a.

(5.5.1) l Найдём значение k 0 фондовооружённости в экономике, находящейся на логарифмиче ски стационарной траектории.

Для этого в модели (5.3.1) перейдём к новой переменной yt = ln kt, для которой с помо щью формулы Ито (3.4.1) запишем уравнение dyt = [rAe-(1-a)yt - (l + 0, 5s2 )]dt + sdWt.

На логарифмически стационарной траектории единственной причиной изменения значе ния yt, может быть случайность, т. е.

rAe-(1-a)y = l + 0, 5s2, где y 0 = ln k 0.

Из последнего уравнения легко выразить rA 1-a y 0 = ln, l + s 2 / а значит, и 1-a rA k 0 = ey =. (5.5.2) l + s2 / При этом a 1-a rA x 0 = A(k 0 )a = A, (5.5.3) l + s2 / a rA 1-a 0a 0 i = rA(k ) = rA, (5.5.4) l + s / a 1-a rA c 0 = (1 - r)A(k 0 )a = (1 - r)A. (5.5.5) l + s2 / Тем самым доказана [69] ТЕ О Р Е М А 5.5.1. В экономике, описываемой моделью (5.3.1), на логарифмиче ски стационарной траектории фондовооружённость, народнохозяйственная про изводительность труда, удельные инвестиции и среднедушевое потребление под чиняются формулам (5.5.2)-(5.5.5).

s2 0, 1, значение фондовооружённости (5.5.2) Видно, что поскольку 1-a на логарифмически стационарной траектории увеличивается по сравнению с детер минированным случаем (5.5.1) при rA l и уменьшается при rA l.

§5.6. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАЗВИТИЯ ОДНОСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКИ В практических целях важнейшими характеристиками показателей развития на циональной экономики, описываемой моделью (5.3.1), являются их математиче ские ожидания, характеризующие ожидаемые значения, и дисперсии, характери зующие меру разброса реальных значений вокруг математических ожиданий (т. е.

риски).

ЛЕ М М А 5.6.1. Математическое ожидание случайного процесса ut, опреде ляемого формулой (5.4.2), подчиняется задаче Коши dMut = -(1 - a)[(l + 0, 5as2 )Mut - rA], dt (5.6.1) Mu0 = k0-a.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Задача (5.6.1) непосредственно следует из уравнения (5.4.3) (лемма 5.4.1) при применении к этому уравнению оператора математического ожидания.

ЛЕ М М А 5.6.2. Математическое ожидание случайного процесса ut, опреде ляемого формулой (5.4.2), вычисляется как rA 1 -(1-a)(l +0,5as2 )t rA + k0-a - e Mut =. (5.6.2) l + 0, 5as l + 0, 5as ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 5.6.1 Mut подчиняется задаче Коши (5.6.1), решение кото рой (5.6.2) можно найти методом разделения переменных. Предлагаем читателю самостоя тельно воспроизвести выкладки.

Теоремы 5.6.1 и 5.6.2 [68], [70] (2000 г.) дают оценки соответственно математи ческих ожиданий и дисперсий показателей развития национальной экономики, опи сываемой моделью (5.3.1).

ТЕ О Р Е М А 5.6.1. При любой эластичности выпуска по фондам a [0;

1] справедливо неравенство 1-a rA rA -(1-a)(l + 0,5as )t 1-a Mkt 2 + k0 - 2 e (5.6.3) l + 0,5as l +0,5as для математического ожидания фондовооружённости.

При любой эластичности выпуска по фондам a [0;

0, 5] справедливы неравен ства a -(1-a)(l +0,5as2 )t 1-a 1-a rA rA Mx t A 2 + k0 - 2 e, (5.6.4) l + 0,5as l + 0,5as a -(1-a)(l + 0,5as2 )t 1-a 1-a rA rA Mit rA 2 + k0 - 2 e, (5.6.5) l +0,5as l + 0,5as a -(1-a)(l + 0,5as2 )t 1-a 1-a rA rA Mct (1 - r)A 2 + k0 - 2 e (5.6.6) l +0,5as l + 0,5as для математических ожиданий народнохозяйственной производительности тру да, удельных инвестиций и среднедушевого потребления, а при любом значении a [0, 5;

1] знаки в неравенствах (5.6.4)-(5.6.6) изменяются на противоположные.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть случайный процесс ut определяется формулой (5.4.2). Тогда по лемме 5.6.2 Mut определяется формулой (5.6.2).

Так как функция g(x ) = x 1/(1-a) является выпуклой вниз при x 0 (поскольку эла 2a d 2g (x ) 1+ a 2 x 1-a 0 ), а = стичность выпуска по фондам a (0;

1), и, следовательно, dx 2 (1-a) случайный процесс ut принимает только неотрицательные значения, можно воспользоваться неравенством Йенсена Mg(ut ) g(Mut ) (см., например, [95]):

-(1-a)(l + 0,5as2 )t 1-a 1-a rA rA Mkt =Mut1-a =Mg(ut )g(Mut )= 2 +k 0 - 2 e.

l + 0,5as l + 0,5as Таким образом, доказана справедливость неравенства (5.6.3).

Аналогичные рассуждения позволяют получить оценки (5.6.4)-(5.6.6) для мате матических ожиданий народнохозяйственной производительности труда, удельных инвести a ций и среднедушевого потребления, так как функция x 1-a выпукла вверх при a [0;

0, 5] и выпукла вниз при a [0, 5;

1].

ТЕ О Р Е М А 5.6.2. При любых допустимых значениях параметров модели (5.3.1) дисперсии фондовооружённости, народнохозяйственной производительно сти труда, удельных инвестиций и среднедушевого потребления остаются поло жительными при t.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть случайный процесс ut определяется формулой (5.4.2). Рас смотрим случайный процесс yt, определяемый формулой yt = ut - Mut. Очевидно, Dut = M(ut - Mut )2 = Myt. Вычитая из уравнения (5.4.3) первое уравнение системы (5.6.1), умноженное на dt, получим d (ut - Mut ) = -(1 - a)(l + 0, 5as2 )(ut - Mut )dt + (1 - a)sutdWt или dyt = -(1 - a)(l + 0, 5as2 )ytdt + (1 - a)sutdWt.

Запишем с помощью формулы Ито (3.4.1) уравнение для yt :

d (yt ) = [-2(1 - a)(l + 0, 5as2 )yt + (1 - a)2 s 2ut ]dt + 2(1 - a)sut ytdWt 2 2 и применим к обеим частям этого уравнения оператор математического ожидания:

dMyt = -(1 - a)(2l + as2 )Myt + (1 - a)2 s2Mut.

2 dt Учитывая, что Dut = Myt, а Mut = Dut + (Mut )2, запишем:

2 dDut = -2(1 - a)(l + 0, 5as 2 )Dut + (1 - a)2 s 2[Dut + (Mut )2 ] dt или dDut = -(1 - a)[2l + (2a - 1)s 2 ]Dut + (1 - a)2 s 2(Mut )2. (5.6.7) dt rA rA, g = k0-a -, d = (1 - a)(l + 0, 5as 2 ), тогда по лемме Пусть b = l + 0,5as 2 l + 0,5as 5.6. (Mut )2 = [b + ge-dt ]2 = b 2 + g 2e-2dt + 2bge-dt, и уравнение (5.6.7) можно переписать в виде dDut = -(1 - a)[2l + (2a - 1)s 2 ]Dut + (1 - a)2 s 2b 2 + dt +(1 - a)2 s 2g 2e-2dt + 2(1 - a)2 s 2bge-dt.

j = (1 - a)[2l + (2a - 1)s 2 ], y = (1 - a)2 s 2b 2, q = (1 - a)2 s 2g 2, Обозначим = 2(1 - a)2 s 2bg, тогда последнее дифференциальное уравнение примет следующий вид:

dDut = -jDut + y + qe-2dt + e-dt. (5.6.8) dt Это — линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, поэтому его решение будем искать в виде Dut = X (t )e-jt. (5.6.9) Подставляя (5.6.9) в (5.6.8), находим, что y jt q (j -d )t e(j -2d)t + X (t ) = e+ +C, e j - 2d j-d j откуда получаем общее решение уравнения (5.6.8):

q y e-2dt + e-dt + Ce-jt +.

Dut = (5.6.10) j - 2d j-d j Так как значение фондовооружённости в начальный момент известно точно, дисперсия u0 равна нулю, поэтому можно найти значение постоянной C в формуле (5.6.10):

q y q y C = Du 0 - - - =- - -.

j - 2d j - d j j - 2d j - d j Таким образом, yq y q + e-jt.

e-2dt + e-dt + - Dut = + (5.6.11) j j - 2d j - d j j - 2d j-d Два первых слагаемых в формуле (5.6.11), очевидно, стремятся к нулю при t +, так как d = (1 - a)(l + 0, 5as 2 ) 0 при всех допустимых значениях a, l и s. Третье слагае мое (1 - a)r2A2s y = j (2l + (2a - 1)s2 )(l + 0, 5as2 ) при любом разумном выборе нормы накопления r остаётся ненулевым числом.

Последнее слагаемое стремится к нулю при t +, если j 0, и неограниченно воз растает при t +, если j 0 (при j = 0 не существует при всех значениях t ).

Исследуем возможные знаки коэффициента j = (1 - a)[2l + (2a - 1)s 2 ]. При любом a (0;

1) первый множитель (1 - a) строго положителен, поэтому 1, a +l / s2 0,5, 2 ] = 0, a +l / s2 = 0,5, signj = sign[2l + (2a - 1)s -1, a +l / s2 0,5.

Из этого следует, что при t + дисперсия случайного процесса ut остаётся конеч ным числом (1 - a)r2A2s Du = lim Du = (2l + (2a - 1)s2 )(l + 0, 5as2 ) t l при a + 0, 5 и неограниченно возрастает во всех остальных случаях.

s Поэтому дисперсии фондовооружённости, народнохозяйственной производительности труда, удельных инвестиций и среднедушевого потребления также остаются положительны ми при t +. Действительно, если бы дисперсия любого из этих показателей стремилась к нулю, то сам этот показатель стремился бы к неслучайной (детерминированной) функции, а поскольку каждый из них связан с ut взаимно-однозначным отображением, то и случайный процесс ut стремился бы к детерминированной функции, следовательно, его дисперсия стремилась бы к нулю, а это, как мы только что показали, не так.

Теорема 5.6.2 означает, что при управлении экономикой как одним сектором не возможно избавиться от неопределённости, риска.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящее время люди особенно ждут более глубокого диагноза, особенно готовы принять его и испробовать на деле всё, что будет казаться имеющим хоть какие-нибудь шансы на успех.

Дж. М. Кейнс Проблемы жгучи, ставки впечатляющи.

Мы живём в поистине интересные времена, и это вполне объяснимо: мы живём в век вели чайшей бифуркации за всю историю челове чества.

Э. Ласло Закон природы — хаос, порядок — лишь мечта!

Г. Адамс Итак, мы рассмотрели основные методы современной теории случайных процессов и их применение в управлении финансовыми, страховыми и макроэкономическими рисками.



Pages:     | 1 || 3 |
 










 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.